福建省诏安县桥东中学高三数学上学期第四次月考试卷 文

诏安县桥东中学2015届文科数学第4次月考试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．集合2{|90},{|15}A x x B x x =-<=-<≤，则A
B = （ ）
A ．()3,1--
B ．(]3,5 C.()13-， D.(]3,5- 2．已知角α的终边经过点)3,4(-，则=αcos （ ）
A ． 54
B ．53
C ．53-
D ．5
4-
3. 已知i 为虚数单位, 则复数z =i (2+i ）在复平面内对应的点位于 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 4．下列函数中, 在区间(0,)+∞上为增函数的是( )
A.y 2(1)y x =- C. 2x y -= D. 0.5log y x =
5.如果直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，那么a =（ ）
A.1
B.13-
C. 2
3
- D. 2- 6. 为了得到函数()sin(2)6
f x x π
=+的图象，则只要将()sin 2g x x =的图像（ ）
A. 向右平移
π12个单位长度 B. 向右平移π
6个单位长度 C. 向左平移π12个单位长度 D. 向左平移π
6
个单位长度
7．设向量a ,b 满足||=10a b +，||=6a b -，则a b ⋅=( )
A.1
B.2
C.3
D.5
8．中心在坐标原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线方程为
430x y +=，则该双曲线的离心率为( )
9．程序框图如右图所示，则输出S 的值为( ) A ．15 B ．21
C ．22
D ．28
10．函数log 1(0,1)m y x m m =+>≠的图像恒过定点M ，若点M 在直线1(0,0)ax by a b +=>>上，则
14
a b
+的最小值为( )
A ．8
B ．9
C ．10
D ．12 11．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8
12.已知定义在R 上的函数()f x 的图象关于点3
04-（，）成中心对称图形，且满足3()()2
f x f x =-+，
(1)1f -=,(0)2f =-，则(1)(2)(3)(2014)f f f f +++
+的值为( )
A.1
B.2
C. 0
.-2
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卷的相应位置. 13.设抽测的树木的底部周长均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有 株树木的底部周长小于100cm.
14．已知函数2log ,0,()31,0,
x x x f x x >⎧=⎨+≤⎩则1(())4f f 的值是
15．P 是抛物线2
4x y =上一点，抛物线的焦点为F ，且
5PF =，则P 点的纵坐标为________．
16. 若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：)(i 直线l 在点()00,y x P 处与曲线C 相切；)(ii 曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C . 下列命题正确的是__ ____(写出所有正确
命题的编号)
①直线0:=y l 在点()0,0P 处“切过”曲线C ：3x y = ②直线:1l y x =-在点()1,0P 处“切过”曲线C ：ln y x = ③直线:l y x π=-+在点(,0)P π处“切过”曲线C ：x y sin = ④直线:1l y x =+在点(0,1)P 处“切过”曲线C ：x y e =
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.(本小题满分12分)
在ABC ∆中，角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，且3,a =3=b ,3
1cos =B . (Ⅰ)求边c 的长度； (Ⅱ)求)cos(C B -的值. 18（本小题满分12分）
已知数列{}n a 中，11a =，且点,1()n n a a +在函数1y x =+的图象上(n N*)∈,数列{}n b 是各项都为正数的
100 80 90 110 120 130
底部周长/cm
(第13题)
等比数列，且242,8b b ==.
（Ⅰ）求数列{}n a ,{}n b 的通项公式；
（Ⅱ）若数列{}n c 满足(1)n n n n c a b =-+，记数列{}n c 的前n 项和为n T ,求100T 的值. 19．（本小题满分12分）
根据调查，某学校开设了“街舞”、“围棋”、“武术”三个社团，三个社团参加的人数如下表所示：
为调查社团开展情况，学校社团管理部采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为n 的样本，已知从“街舞”社团抽取的同学8人。

(I) 求n 的值和从“围棋”社团抽取的同学的人数；
(II)若从“围棋”社团抽取的同学中选出2人担任该社团活动监督的职务，已知 “围棋”社团被抽取的同学中有2名女生，求至少有1名女同学被选为监督职务的概率。

20．（本小题满分12分）
如图，已知PA ⊥☉O 所在的平面，AB 是☉O 的直径，AB =2，C 是☉O 上一点，且AC =BC ，45PCA ∠=，
E 是PC 的中点，
F 是PB 的中点.
（I ）求证：EF //面ABC ； （II ）求证：EF ⊥面PAC ； （III ）求三棱锥B -PAC 的体积.
21．（本小题满分12分）
直线y ＝kx ＋b 与曲线0442
2
=-+y x 交于A 、B 两点，记△AOB 的面积为S （O 是坐标原点）． （1）求曲线的离心率；
（2）求在k ＝0，0＜b ＜1的条件下，S 的最大值．
22．（本小题满分12分）
已知函数x x x g x
a x x f ln )(3)(2
+=-+=，，其中0>a 。

)()()(x g x f x F +=． （1）若2
1
=x 是函数)(x F y =的极值点，求实数a 的值；
（2）若函数(])3,0()(∈=x x F y 的图象上任意一点处切线的斜率2
5
≤k 恒成立，
求实数a 的取值范围；
（3）若函数)(x f y =在[]2,1上有两个零点，求实数a 的取值范围．
桥东中学2014-2015学年上学期第4次月考
高三数学（文）参考答案
一、本大题共12小题，每小题5分，共60分．
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 13. 24 14. 109
15 .4 16 ①③
17. (本小题满分12分)
（Ⅰ）由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-.又3,a =3=b ,3
1cos =
B ， 21
99233c c ∴=+-⨯⨯. ………2分
2202(c c c ∴-=∴=舍去0） ………4分
（Ⅱ）在△ABC 中，sin B ==
，……………………………6分 由正弦定理，得2224sin sin 3c C B b === .………………………………8分
因a =b >c ，所以C 为锐角，因此7
cos 9
C = ……………10分
于是1723
cos()cos cos sin sin 3927
B C B C B C -=+=⨯+=. …………………12分
18. (本小题满分12分)
解：(1) 因点,1()n n a a +在直线y=x+1的图象上，11n n a a +=+，即11n n a a +-=
∴数列{a n }是以1为首项，1为公比的等比数列.
故数列{}n a 的通项公式为n a n = …………………………………………4分 数列{b n }为等比数列，设公比为q ， ∵21b b q =，b 4＝b 1q 3
＝8，
0n b >∴11b =,q ＝2.∴b n ＝2n －1(n ∈N *)．…………………………………8分
（Ⅱ）12n
n n c n -=+（-1）,
01299100(1234100)(2222)
T =-+-+-
+++++
+[]0
1
2
99
(12)(34)99100)(2222)=-++-++
+-+++++
+（100
100125024912
-=+
=+-……12分 19．(本小题满分12分)
解：（Ⅰ）
81
76032040
n ==
19n ∴= …………………………………2分 从“围棋”社团抽取的同学:1
240640
⨯= …………………………………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，从“围棋”社团抽取的同学为6人，
其中2位女生记为A，B，4位男生记为C，D，E，F ………5分
则从这6位同学中任选2人，不同的结果有
{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，
{C，D}，{C，E}，{C，F}，{D，E}，{D，F}，{E，F}，
共15种．……………………………………8分法1：其中含有1名女生的选法为
{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，
{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，
共8种；
含有2名女生的选法只有{A，B}1种．至少有1名女同学共9种……………………10分
故至少有1名女同学被选中的概率
9
15
=
3
5
．………………………12分
法2：从这6位同学中任选2人，没有女生的有：{C，D}，{C，E}，{C，F}，{D，E}，{D，F}，{E，F}，共6种
故至少有1名女同学被选中的概率1-
6
15
=
3
5
．
20.（本小题满分12分）
21.（本小题满分12分）解：
22.（本小题满分14分）
解：3ln 2)(2-++=x x a x x F ，x x
a x F 12)(22'
+-= ----------2分 （1）044)2
1(2'=-=a F 且0>a 1=∴a ---------4分
（2）25
12)(22'
≤+-=x x
a x F 对任意的(]3,0∈x 恒成立 -----5分
x x a 2222+-≥∴对任意的(]3,0∈x 恒成立 max 22)2(2x x a +-≥∴ 而当1=x 时，1)1(222+--=+-x x x 取最大值为1， 122≥∴a ，且0>a ，2
2
≥
∴a --------------7分 （3）2
22'
)
)((1)(x a x a x x a x f +-=-=，且0>a
a x x f ±=⇒=0)('；a x x f >⇒>0)('或a x -<；a x a x f <<-⇒<0)('
)(x f y =∴在),(a --∞和),(∞+a 上递增；而在),(a a -上递减。

----8分
当21≤≤x 时
i ）10≤<a ，则)(x f y =在[]2,1上递增，
)(x f y =在[]2,1上不可能有两个零点。

-----------9分
ii ）21<<a ，则)(x f y =在[]a ,1上递减，而在[]2,a 上递增， )(x f y =∴在[]2,1上有极小值（也就是最小值）32)(-=a a f
而12
)2(2)1(2
2
-=-=a f a f ，
⎪⎩
⎪
⎨⎧<>>∴0
)(0)2(0
)1(a f f f 232<<∴a
2
32<
<∴a 时，)(x f y =在[]2,1上有两个零点。

--------12分 iii ）2≥a ，则)(x f y =在[]2,1上递减，
)(x f y =在[]2,1上不可能有两个零点。

--------13分
综上所述：2
3
2<
<a -----------14分。