南通数学学科基地密卷(1)

高中数学学习材料

金戈铁骑整理制作

2014年高考模拟试卷(1)

南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ．

1. 设a ，b 是实数，若

2

1a bi i

=+-（i 是虚数单位）

，则a b +的值是 ． 2. 若全集U R =，集合{|31}A x x =-≤≤，{|32}A B x x =-≤≤，则U B A =ð ． 3. 平行四边形ABCD 中，E 为CD 的中点．若在平行四边形ABCD 内部随机取一点M ，则点M 取自ABE ∆内部的概率为 ．

4. 为了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名高三男生的体重. 根据抽样测量后的男生体重（单位：kg ）数据绘制的频率分布直方图如图所示，则这100名学生中体重值在区间[56.5，64.5）的人数是 ．

（第5题图）

5. 运行如图语句，则输出的结果T = ．

6. 设等比数列{}n a 的前n 项和为n

S

，若

424

=S S ，则84

S S = ． 7. 若关于x 的不等式2230x x a -+<的解集为(),1m ，则实数m = ．

8. 已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且623AB BC ==，，则棱锥

O ABCD -的体积为 ．

（第4题图） T ←1 I ←3 While I<50 T ←T +I

I ←I +2 End While Print T

9. 已知锐角A ，B 满足)tan(tan 2B A A +=,则B tan 的最大值为 ．

10. 已知双曲线:C 22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的渐近线与圆22(2)1x y -+=相交，则双曲线C 离

心率的取值范围是 ． 11. 设函数)102)(3

6sin(2)(<<-+=x x x f ππ的图像与x 轴交于点A ，过点A 的直线l 与函数

()f x 的图像交于另外两点B 、C .O 是坐标原点，则()OB OC OA +⋅= ．

12. 当对数函数=log (>0a y x a 且1)a ≠的图像至少经过区域0=(,)+8030x y M x y x y y ⎧-≥⎫⎧⎪⎪⎪

-≤⎨⎨⎬⎪⎪⎪

-≥⎩⎩⎭

内的一个点

时，实数a 的取值范围为 ．

13. 设等差数列{}n a 满足222222333636

45sin cos cos cos sin sin 1sin()

a a a a a a a a -+-=+，公差(1,0)d ∈-. 若

当且仅当9n =时，数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值，则首项1a 的取值范围是 ． 14. 从x 轴上一点A 分别向函数3()f x x =-与函数33

2

()||g x x x =

+引不是水平方向的切线1l 和

2l ，两切线1l 、2l 分别与y 轴相交于点B 和点C ，O 为坐标原点，记OAB ∆的面积为1S ，

OAC ∆的面积为2S ，则12S S +的最小值为 ．

二、解答题：本大题共6小题，共90分.

15.（本小题满分14分）已知,(0,)2

αβπ∈，且7sin(2)sin 5αβα+=．

（1）求证：tan()6tan αββ+=；

（2）若tan 3tan αβ=，求α的值．

16.（本小题满分14分）如图，在四面体ABCD 中，AB AC DB DC ===，点E 是BC 的中点，点F 在线段AC 上， 且AF AC

λ=．

（1）若EF ∥平面ABD ，求实数λ的值； （2）求证：平面BCD ⊥平面AED ．

A

17.（本小题满分14分）某地发生某种自然灾害，使当地的自来水受到了污染．某部门对水质检测后，决定往水中投放一种药剂来净化水质. 已知每投放质量为m 个单位的药剂后，经过x 天该药剂在水中释放的浓度y （毫克/升）满足()y m f x =，

其中()2log (4),04

6

,42

x x f x x x +<≤⎧⎪=⎨>⎪-⎩，当药剂在水中释放的浓度不低于6（毫克/升）时称为有效．．净化．．；当药剂在水中释放的浓度不低于6（毫克/升）且不高于18（毫克/升）时称为最佳．．净化．．

. （1）如果投放的药剂质量为4=m ，试问自来水达到有效．．净化．．一共可持续几天? （2）如果投放的药剂质量为m ，为了使在7天（从投放药剂算起包括第7天）之

内的自来水达到最佳．．净化．．

，试确定应该投放的药剂质量m 的取值范围.

18. (本小题满分16分) 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆:E ()22

2210x y a b a b

=>>+的离

心率为1

2

，右焦点为F ，且椭圆E 上的点到点F 距离的最小值为2．

（1）求a ，b 的值；

（2）设椭圆E 的左、右顶点分别为,A B ，过点A 的直线l 与椭圆E 及直线8x =分别相交于点,N M ．

①当过,,A F N 三点的圆半径最小时，求这个圆的方程； ②若65

cos 65

AMB ∠=-

，求ABM △的面积．

19.（本小题满分16分）已知函数2()(33)x f x x x e =-+，其中e 是自然对数的底数． （1）若[2,],21x a a ∈--<<，求函数()y f x =的单调区间； （2）设2a >-，求证：2

13()f a e >

； （3）对于定义域为D 的函数()y g x =，如果存在区间[,]m n D ⊆，使得[,]x m n ∈时，

()y g x =的值域是[,]m n ，则称[,]m n 是该函数()y g x =的“保值区间”．

设()()(2),(1,)x h x f x x e x =+-∈+∞，问函数()y h x =是否存在“保值区间”？若存

在，请求出一个“保值区间”； 若不存在，请说明理由．

20.（本小题满分16分）已知数列{}n a 的各项均为正数，数列{}n b ，{}n c 满足2

n n n

a b a +=

，21n n n c a a +=．

（1）若数列{}n a 为等比数列，求证：数列{}n c 为等比数列；

（2）若数列{}n c 为等比数列，且1n n b b +≥，求证：数列{}n a 为等比数列．