南通数学学科基地密卷(1)

高中数学学习材料
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2014年高考模拟试卷(1)
南通市数学学科基地命题
第Ⅰ卷（必做题，共160分）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ．

1. 设a，b是实数，若21abii（i是虚数单位），则ab的值是 ．
2. 若全集UR，集合{|31}Axx，{|32}ABxx，则UBAð ．
3. 平行四边形ABCD中，E为CD的中点．若在平行四边形ABCD内部随机取一点M，则点M
取自ABE内部的概率为 ．
4. 为了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名高三男生的体重. 根据抽样测
量后的男生体重（单位：kg）数据绘制的频率分布直方图如图所示，则这100名学生中体
重值在区间[56.5，64.5）的人数是 ．

（第5题图）
5. 运行如图语句，则输出的结果T ．

6. 设等比数列{}na的前n项和为nS，若424SS，则84SS ．

7. 若关于x的不等式2230xxa的解集为,1m，则实数m ．
8. 已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且623ABBC，，则棱锥
OABCD
的体积为 ．

（第4题图）
T←1
I←3
While I<50
T←T +I
I←I +2
End While
Print T
9. 已知锐角A，B满足)tan(tan2BAA,则Btan的最大值为 ．
10. 已知双曲线:C 22221(0,0)xyabab的渐近线与圆22(2)1xy相交，则双曲线C离
心率的取值范围是 ．
11. 设函数)102)(36sin(2)(xxxf的图像与x轴交于点A，过点A的直线l与函数

()fx
的图像交于另外两点B、C.O是坐标原点，则()OBOCOA ．

12. 当对数函数=log(>0ayxa且1)a的图像至少经过区域0=(,)+8030xyMxyxyy内的一个点
时，实数a的取值范围为 ．
13. 设等差数列{}na满足22222233363645sincoscoscossinsin1sin()aaaaaaaa，公差(1,0)d. 若

当且仅当9n时，数列{}na的前n项和nS取得最大值，则首项1a的取值范围是 ．
14. 从x轴上一点A分别向函数3()fxx与函数332()||gxxx引不是水平方向的切线1l和

2l，两切线1l、2
l
分别与y轴相交于点B和点C，O为坐标原点，记OAB的面积为1S，
OAC
的面积为2S，则12SS的最小值为 ．
二、解答题：本大题共6小题，共90分.

15.（本小题满分14分）已知,(0,)2，且7sin(2)sin5．
（1）求证：tan()6tan；
（2）若tan3tan，求的值．

16.（本小题满分14分）如图，在四面体ABCD中，ABACDBDC，点E是BC的
中点，点F在线段AC上， 且AFAC．
（1）若EF∥平面ABD，求实数的值；
（2）求证：平面BCD平面AED．

A
17.（本小题满分14分）某地发生某种自然灾害，使当地的自来水受到了污染．某
部门对水质检测后，决定往水中投放一种药剂来净化水质. 已知每投放质量为m个

单位的药剂后，经过x天该药剂在水中释放的浓度y（毫克/升）满足ymfx，

其中2log(4),046,42xxfxxx，当药剂在水中释放的浓度不低于6（毫克/升）时称
为有效．．净化．．；当药剂在水中释放的浓度不低于6（毫克/升）且不高于18（毫克/升）
时称为最佳．．净化．．.
（1）如果投放的药剂质量为4m，试问自来水达到有效．．净化．．一共可持续几天?
（2）如果投放的药剂质量为m，为了使在7天（从投放药剂算起包括第7天）之
内的自来水达到最佳．．净化．．，试确定应该投放的药剂质量m的取值范围.

18. (本小题满分16分) 在平面直角坐标系xOy中，椭圆:E222210xyabab+的离
心率为12，右焦点为F，且椭圆E上的点到点F距离的最小值为2．
（1）求a，b的值；
（2）设椭圆E的左、右顶点分别为,AB，过点A的直线l与椭圆E及直线8x分
别相交于点,NM．
①当过,,AFN三点的圆半径最小时，求这个圆的方程；
②若65cos65AMB，求ABM△的面积．

19.（本小题满分16分）已知函数2()(33)xfxxxe，其中e是自然对数的底数．
（1）若[2,],21xaa，求函数()yfx的单调区间；

（2）设2a，求证：213()fae；
（3）对于定义域为D的函数()ygx，如果存在区间[,]mnD，使得[,]xmn时，
()ygx
的值域是[,]mn，则称[,]mn是该函数()ygx的“保值区间”．
设()()(2),(1,)xhxfxxex，问函数()yhx是否存在“保值区间”？若存
在，请求出一个“保值区间”； 若不存在，请说明理由．

20.（本小题满分16分）已知数列{}na的各项均为正数，数列{}nb，{}nc满足2nnnaba，
2
1nnncaa

．

（1）若数列{}na为等比数列，求证：数列{}nc为等比数列；

（2）若数列{}nc为等比数列，且1nnbb，求证：数列{}na为等比数列．
第Ⅱ卷（附加题，共40分）
21．[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在相
．．．．．．．．．．．

应的答题区域内作答．．．．．．．．．．

A．（选修４－１：几何证明选讲）
在ABC中，已知12ACAB，CM是ACB的平分

线，AMC的外接圆交BC边于点N，求证：2BNAM．

B．（选修４－２：矩阵与变换）
已知二阶矩阵13aMb的特征值1所对应的一个

特征向量113e．
（1）求矩阵M；
（2）设曲线C在变换矩阵M作用下得到的曲线C'的方程为1xy，求曲线C的方程．

C．（选修４－４：坐标系与参数方程）
在平面直角坐标系xOy中，设M是椭圆22221xyab

(0)ab
上在第一象限的点，(,0)Aa和(0,)Bb是椭圆的两个顶点，求四边形MAOB的面积的
最大值.

N
M
O

B

A

C
D．（选修４－５：不等式选讲）
设,,,abcdR，求证：

222222
()()abcdacbd
，等号当且仅当adbc时成立.

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.
22．福彩中心发行彩票的目的是为了获取资金资助福利事业，现在福彩中心准备发
行一种面值为5元的福利彩票刮刮卡,设计方案如下： ①该福利彩票中奖率为
50%；②每张中奖彩票的中奖奖金有5元，50元和150
元三种；③顾客购买一张
彩票获得150元奖金的概率为p，获得50元奖金的概率为2%.
（1）假设某顾客一次性花50元购买10张彩票,求该顾客中奖的概率；
（2）设福彩中心卖出一张彩票获得的资金为X元，求X的概率分布（用p表示）；

（3）为了能够筹得资金资助福利事业, 求p的取值范围.

23．（1）设1x，试比较ln(1)x与x的大小；
（2）是否存在常数Na，使得111(1)1nkkaank对任意大于1的自然数n都
成立？若存在，试求出a的值并证明你的结论；若不存在，请说明理由．