2018年春高考数学(文)新课标二轮复习(高考22题各个击破)课件: 7.3.3
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2018年春高考数学(文)新课标二轮复习(高考22题各个击破)课件:3
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24.忽视斜率不存在致误 在解决两直线平行的相关问题时,若利用l1∥l2⇔k1=k2来求解,则 要注意其前提条件是两直线不重合且斜率存在.如果忽略k1,k2不存 在的情况,就会导致错解.这类问题也可以利用如下的结论求解,即 直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0平行的必要条件是A1B2A2B1=0,在求出具体数值后代入检验,看看两条直线是不是重合,从 而确定问题的答案.对于解决两直线垂直的相关问题时也有类似的 情况.利用l1⊥l2⇔k1· k2=-1时,要注意其前提条件是k1与k2必须同时 存在.利用直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0垂直的充要条 件是A1A2+B1B2=0,就可以避免讨论.
-2-
4.充分条件、必要条件颠倒致误 对于两个条件A,B,若A⇒B成立,则A是B的充分条件,B是A的必要 条件;若B⇒A成立,则A是B的必要条件,B是A的充分条件;若A⇔B,则 A,B互为充分必要条件.解题时最容易出错的就是颠倒了充分性与 必要性,所以在解决这类问题时一定要根据充分条件和必要条件的 概念作出准确的判断. 5.“或”“且”“非”理解不准确致误 命题p∨q真⇔p真或q真,命题p∨q假⇔p假且q假(概括为一真即 真);命题p∧q真⇔p真且q真,命题p∧q假⇔p假或q假(概括为一假即 假);非p真⇔p假,非p假⇔p真(概括为一真一假).求参数取值范围的 题目,也可以把“或”“且”“非”与集合的“并”“交”“补”对应起来进行 理解,通过集合的运算求解.
-9-
������ ������
18.不等式恒成立问题致误 解决不等式恒成立问题的常规求法是:借助相应函数的单调性求 解,其中的主要方法有数形结合法、变量分离法、主元法.通过最 值产生结论.应注意恒成立与存在性问题的区别,如对任意x∈[a,b] 都有f(x)≤g(x)成立,即f(x)-g(x)≤0的恒成立问题,但对存在x∈[a,b], 使f(x)≤g(x)成立,则为存在性问题,即f(x)min≤g(x)max,应特别注意两 函数的最大值与最小值的关系. 19.忽视三视图中的实、虚线致误 三视图是根据正投影原理进行绘制,严格按照“长对正,高平齐,宽 相等”的规则去画,若相邻两物体的表面相交,表面的交线是它们的 原分界线,且分界线和可视轮廓线都用实线画出,不可见的轮廓线 用虚线画出,这一点很容易疏忽数列问题中,数列的通项an与其前n项和Sn之间存在下列关系: 当n=1时,a1=S1;当n≥2时,an=Sn-Sn-1.这个关系对任意数列都是成立 的,但要注意的是这个关系式是分段的,在n=1和n≥2时这个关系式 具有完全不同的表现形式,这也是解题中经常出错的一个地方,在 使用这个关系式时要牢牢记住其“分段”的特点. 13.对数列的定义、性质理解错误 等差数列的前n项和在公差不为零时是关于n的常数项为零的二 次函数.一般地,有结论“若数列{an}的前n项和 Sn=an2+bn+c(a,b,c∈R),则数列{an}为等差数列的充要条件是c=0”; 在等差数列中,Sm,S2m-Sm,S3m-S2m(m∈N*)是等差数列.
2018年春高考数学(文)新课标二轮复习(高考22题各个击破)课件: 2.4.1
卷 年份 设问特点 涉及知识点 别 全 讨论零点个数、 求导数、单调 国 证明函数不等 性、零点存在 Ⅰ 式 定理、最值 2015 全 讨论单调区、知 求导数、单调 国 最值求参数范 性、最值 Ⅱ 围
函数模型 e2x-aln x
解题思想方 法 分类讨论、 转换思想
分类讨论、 ln x+一次函 转换思想、 数 函数思想
2.4 [压轴大题1]函数、导数、 方程、不等式
卷 年份 设问特点 别 全 知切线求值、讨 国 论单调性、求极 Ⅰ 值 2013 全 求函数极值、求 国 参数范围
解题思想方 涉及知识点 函数模型 法 导数的几何意 x 求导确定单 e (cx+d)+二 义、单调性、 调,由单调 次函数 极值 求极值 求导→单调 2 导数、单调性、 x →极值,函 x 基本不等式 ������ Ⅱ 数思想 导数的几何意 全 知切线求值、知 义、单调性、 aln x+二次 转换思想、 国 函数不等式求 最值、充要条 函数 分类讨论 Ⅰ 参数范围 2014 件 全 知切线求值、证 导数几何意 构造函数、 国 明曲线与直线 义、单调性、 三次函数 转换思想 Ⅱ 一个交点 零点存在定理 -2-
考向一
考向二
考向三
考向四
(2)①若a=0,则f(x)=e2x,所以f(x)≥0. ②若a>0,则由(1)得,当x=ln a时,f(x)取得最小值,最小值为f(ln a)=a2ln a.从而当且仅当-a2ln a≥0,即a≤1时,f(x)≥0.
③若 a<0,则由 (1)得 ,当 x=ln - 2 时 ,f(x)取得最小值 ,
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卷 设问特点 别 全 讨论单调性、知 国 函数零点个数 Ⅰ 求参数范围 全 求切线方程、知 2016 国 函数不等式求 Ⅱ 参数范围 全 讨论单调性、证 国 明函数不等式 年份
2018年春高考数学(文)新课标二轮复习(高考22题各个击破)课件: 7.1
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一、选择题
二、填空题
10.(2017 河北邯郸二模 ,文 7)已知直线 l:kx+y- 2k=0 与双曲线 C:
������ 2 ������ 2 4 3
������ 2 ������ 2
−
=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行,且这两条平行线间的距离为 ,则
双曲线 C 的离心率为 ( D ) A.2 B.2 2 C. 2 D.3 解析:由题意,双曲线C的渐近线方程为kx+y=0,即y=-kx,
2������ 2 ������
D.( 3,3 3)
2
2 2 ������
解析 :由题意 ,将 x=-c 代入双曲线的方程 ,得 y =b
������ 2
-1 =
������ 4 ������ 2
,
∴|AB|=
.
π
������ 2 ������
∵过焦点 F1 且垂直于 x 轴的弦为 AB,若 ∠AF2B< 3 , ∴tan∠AF2F1= 2������ < ∴ 2������������ <
������2 ������2 14.(2017辽宁大连一模,文15)过双曲线 ������2 − ������2=1 (a>0,b>0)的右焦
������ 5 3 3 ������
点F且斜率为1的直线与渐近线有且只有一个交点,则双曲线的离心 率为 2 .
解析:由题意,所给直线应与双曲线的一条渐近线 y= x 平行 ,∴ =1, 即
2 3
D.
3 4
解析:设椭圆的一个顶点坐标为(0,b),一个焦点坐标为(c,0),
则直线 l 的方程为 + =1, 即 bx+cy-bc=0, 短轴长为 2b,由题意得
2018年春高考数学(文)新课标二轮复习(高考22题各个击破)课件: 7.2
= ,从而 e= =
3 ������
2
������
6 3
.故选 A.
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一、选择题
二、填空题
5.以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两 点.已知|AB|=4 2 ,|DE|=2 5 ,则C的焦点到准线的距离为( B ) A.2 B.4 C.6 D.8
解析: 不妨设抛物线C的方程为y2=2px(p>0),圆的方程为x2+y2=R2.
(3)过椭圆
������0 ������ ������ 2 ������ 0 ������ ������ 2
������ 2
������ 2
+
������ 2 ������ 2
������ 2 ������ 2
=1(a>b>0)上一点 M(x 0,y 0)的切线方程为
������ 2 ������ 2
6.(2017河南洛阳一模,文9)已知直线x+y-k=0(k>0)与圆x2+y2=4交
于不同的两点 A,B,O 是坐标原点,且有| ������������ + ������������|≥ 的取值范围是( A.( 3,+∞) C ) B.[ 2,+∞)
3 3
|������������|,则实数 k
������ 2 ������ 2
������ 2 ������ 2
−
=1(a>0,b>0)的左、右顶点,F1,F2 为其左、右焦点,双曲线的渐近线
上一点 P(x0,y 0)(x0<0,y0>0)满足 ������������1 ·������������2 =0,且∠PBF1=45° ,则双曲 线的离心率为( D ) A. 2 B. 3 C.
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解 (1)由离心率为 ,得 =
3 ������ 6 ������ 6 3
,即 c= a,①
3
6
又以原点O为圆心,椭圆C的长半轴长为半径的圆为x2+y2=a2, 且与直线 2x- 2y+6=0 相切 ,
所以 a=
6 22 +( 2)
2
= 6,代入 ①得 c=2,
所以 b2=a2-c2=2. 所以椭圆 C 的标准方程为
解 (1)由题意可得 =tan ,a+b+c=3+ 3,又 a2=b2+c2,
������ 3
������
π
联立解得 a=2,b= 3,c=1.∴椭圆 E 的方程为
������ 2 4
+
������ 2 3
=1.
-7-
(2)证明:由(1)得A(2,0).设直线l的方程为my+t=x,P(x1,y1),Q(x2,y2). ������������ + ������ = ������, 联立 ������ 2 ������ 2 化为(3m2+4)y2+ 6mty+3t 2-12=0, + = 1,
(1)求C的方程; (2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线P2A与直线 P2B的斜率的和为-1,证明:l过定点.
-2-
难点突破 (1)求椭圆方程需要两个条件,由椭圆的对称性知 在椭圆上,这只能算一个条件,将P1(1,1)代入椭 圆方程与P3代入椭圆方程的比较中P1(1,1)不在椭圆上,知两点易求 椭圆方程. (2)证明直线l过定点可根据条件直接用参数表示出直线方程,得 到形如f(x,y)+λg(x,y)=0的形式,且方程对参数的任意值都成立,解方
7.3.3 圆锥曲线中的定点、 定值与存在性问题
圆锥曲线中的定点问题(多维探究) 解题策略一 直接法
例 1 已知椭圆 C:
������ 2 ������ 2
+
3 2
������ 2 ������ 2
=1(a>b>0),四点
3 2
P1(1,1),P2(0,1),P3 -1,
,P4 1,
中恰有三点在椭圆 C 上.
即 m= ,此时������������ ·������������=m -6=- 为定值,定点 E 为
2
7 3
,0 .
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圆锥曲线中的定值问题 解题策略 直接法 例3(2017全国Ⅲ,文20)在直角坐标系xOy中,曲线y=x2+mx-2与x轴 交于A,B两点,点C的坐标为(0,1).当m变化时,解答下列问题: (1)能否出现AC⊥BC的情况?说明理由; (2)证明过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值. 难点突破 (1)先假设能出现AC⊥BC,再验证直线AC,BC的斜率之 积是否为-1,从而得结论; (2)设A(x1,0),B(x2,0),点C的坐标已知,由A,B,C三点⇒AB,BC的中垂 线方程⇒圆心坐标及圆半径⇒圆在y轴上的弦长.
12 ������ 2 1+3������ 2
,x1x 2=
12 ������ 2 -6 1+3������ 2
,
根据题意 ,假设 x 轴上存在定点 E(m,0), 使得������������2 + ������������ ·������������ = ������������· (������������ + ������������ )=������������ ·������������ 为定值 , 则有������������ ·������������ =(x1-m,y1)· (x2-m,y 2)=(x1-m)(x2-m)+y1y2 =(x1-m)(x2-m)+k2(x1-2)(x2-2) =(k2+1)x1x2-(2k 2+m)(x1+x2)+(4k 2+m2) =(k +1)·
-6-
对点训练 1(2017 山东潍坊二模,文 20)已知椭圆
π 3
������ 2 ������ 2
+
������ 2 ������ 2
=1(a>b>0),
其上顶点 B 与左焦点 F 所在的直线的倾斜角为 ,O 为坐标原 点,△OBF 的周长为 3+ 3.
(1)求椭圆E的方程; (2)设椭圆E的右顶点为A,不过点A的直线l与椭圆E相交于P,Q两 点,若以PQ为直径的圆经过点A,求证:直线l过定点,并求出该定点坐 标.
������ 2 6
+
������ 2 2
=1.
-12-
������ = ������(������-2), 2 2 2 2 可得 (1 + 3 k ) x 12 k x+ 12 k -6= 0, 2 2 ������ + 3������ = 6 Δ=144k4-4(1+3k 2)(12k 2-6)>0,即为 6+6k2>0 恒成立 . (2)由 设 A(x1,y1),B(x2,y 2),所以 x1+x2=
又过点P存在唯一直线垂直于OQ, 所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
-10-
解题心得证明直线或曲线过某一确定的定点(定点坐标已知),可 把要证明的结论当条件,逆推上去,若得到使已知条件成立的结论, 即证明了直线或曲线过定点.
-11-
对点训练 2(2017 云南楚雄州一模,文 21 改编)已知椭圆 C:
2 7
,0 .
-8-
解题策略二 逆推法 例 2(2017 全国Ⅱ,文 20)设 O 为坐标原点,动点 M 在椭圆
C: +y2=1 上,过 M 作 x 轴的垂线,垂足为 N,点 P 满足������������ = 2 ������������ .
2
������ 2
(1)求点P的轨迹方程; (2)设点Q在直线x=-3上,且 ������������ ·������������ =1.证明:过点P且垂直于OQ 的直线l过C的左焦点F.
������1 -1 ������ 1 8������������ 4
������ 2
+
4������ 2 +1 4������ 2 +1 ������2 -1 ������������ 1 +������ -1 ������ ������ 2 +������ -1 2������������ 1 ������ 2 +(������ -1)(������ 1 +������ 2 ) = + = . ������ 2 ������ 1 ������ 2 ������ 1 ������ 2 -8������������
-9-
解 (1)设 P(x,y),M(x0,y 0),则 N(x0,0),������������ =(x-x0,y),������������ =(0,y0). 由������������ = 2 ������������ 得 x0=x,y0= y. 因为 M(x0,y0)在 C 上 ,所以
������ 2 2 2 2 ������ 2 2
,x1x2=
4������ 2 -4
.
由题设 k1+k2=-1,故 (2k+1)x1x2+(m-1)(x1+x2)=0. 即 (2k+1)· 解得 k=4������ 2 -4 4������ 2 +1 ������ +1 2
+(m-1)·
4������ 2 +1
=0.
������ +1 2
.
当且仅当 m>-1 时 ,Δ>0,于是 l:y=即 y+1=������ +1 2
x+m,
(ห้องสมุดไป่ตู้-2),
-5-
所以l过定点(2,-1).
解题心得证明直线和曲线过定点,如果定点坐标没有给出,一般 可直接求直线和曲线的方程,然后根据方程的形式确定其过哪个定 点;如果得到的方程形如f(x,y)+λg(x,y)=0,且方程对参数的任意值都 成立,则令
������(������,������) = 0, 解方程组得定点. ������(������,������) = 0,
7 3
2
12������ 2 -6 1+3������ 2
-(2k +m)·
2
12 ������ 2
1+3������ 2
+(4k +m )=
5 9
2
2
(3������ 2 -12������ +10)������ 2 +(������ 2 -6) 1+3������ 2
,
要使上式为定值,即与k无关,则应3m2-12m+10=3(m2-6),
������ 2 ������ 2 6 3
������ 2 ������ 2
+
=1(a>b>0)的离心率为 ,以原点 O 为圆心,椭圆 C 的长半轴为半
径的圆与直线 2x- 2y+6=0 相切. (1)求椭圆C的标准方程; (2)已知点A,B为动直线y=k(x-2)(k≠0)与椭圆C的两个交点,证明: 在x轴上是否存在定点E,使 ������������2 + ������������ ·������������ 为定值,并求出定值.
+
3 4������ 2
知,C 不经过点 P1,所以点 P2 在 C 上 .
������ 2 1 ������
������2 = 4, 解得 2 3 ������ = 1. + 2 = 1, 2
3 ������ 6 ������ 6 3
,即 c= a,①
3
6
又以原点O为圆心,椭圆C的长半轴长为半径的圆为x2+y2=a2, 且与直线 2x- 2y+6=0 相切 ,
所以 a=
6 22 +( 2)
2
= 6,代入 ①得 c=2,
所以 b2=a2-c2=2. 所以椭圆 C 的标准方程为
解 (1)由题意可得 =tan ,a+b+c=3+ 3,又 a2=b2+c2,
������ 3
������
π
联立解得 a=2,b= 3,c=1.∴椭圆 E 的方程为
������ 2 4
+
������ 2 3
=1.
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(2)证明:由(1)得A(2,0).设直线l的方程为my+t=x,P(x1,y1),Q(x2,y2). ������������ + ������ = ������, 联立 ������ 2 ������ 2 化为(3m2+4)y2+ 6mty+3t 2-12=0, + = 1,
(1)求C的方程; (2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线P2A与直线 P2B的斜率的和为-1,证明:l过定点.
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难点突破 (1)求椭圆方程需要两个条件,由椭圆的对称性知 在椭圆上,这只能算一个条件,将P1(1,1)代入椭 圆方程与P3代入椭圆方程的比较中P1(1,1)不在椭圆上,知两点易求 椭圆方程. (2)证明直线l过定点可根据条件直接用参数表示出直线方程,得 到形如f(x,y)+λg(x,y)=0的形式,且方程对参数的任意值都成立,解方
7.3.3 圆锥曲线中的定点、 定值与存在性问题
圆锥曲线中的定点问题(多维探究) 解题策略一 直接法
例 1 已知椭圆 C:
������ 2 ������ 2
+
3 2
������ 2 ������ 2
=1(a>b>0),四点
3 2
P1(1,1),P2(0,1),P3 -1,
,P4 1,
中恰有三点在椭圆 C 上.
即 m= ,此时������������ ·������������=m -6=- 为定值,定点 E 为
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圆锥曲线中的定值问题 解题策略 直接法 例3(2017全国Ⅲ,文20)在直角坐标系xOy中,曲线y=x2+mx-2与x轴 交于A,B两点,点C的坐标为(0,1).当m变化时,解答下列问题: (1)能否出现AC⊥BC的情况?说明理由; (2)证明过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值. 难点突破 (1)先假设能出现AC⊥BC,再验证直线AC,BC的斜率之 积是否为-1,从而得结论; (2)设A(x1,0),B(x2,0),点C的坐标已知,由A,B,C三点⇒AB,BC的中垂 线方程⇒圆心坐标及圆半径⇒圆在y轴上的弦长.
12 ������ 2 1+3������ 2
,x1x 2=
12 ������ 2 -6 1+3������ 2
,
根据题意 ,假设 x 轴上存在定点 E(m,0), 使得������������2 + ������������ ·������������ = ������������· (������������ + ������������ )=������������ ·������������ 为定值 , 则有������������ ·������������ =(x1-m,y1)· (x2-m,y 2)=(x1-m)(x2-m)+y1y2 =(x1-m)(x2-m)+k2(x1-2)(x2-2) =(k2+1)x1x2-(2k 2+m)(x1+x2)+(4k 2+m2) =(k +1)·
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对点训练 1(2017 山东潍坊二模,文 20)已知椭圆
π 3
������ 2 ������ 2
+
������ 2 ������ 2
=1(a>b>0),
其上顶点 B 与左焦点 F 所在的直线的倾斜角为 ,O 为坐标原 点,△OBF 的周长为 3+ 3.
(1)求椭圆E的方程; (2)设椭圆E的右顶点为A,不过点A的直线l与椭圆E相交于P,Q两 点,若以PQ为直径的圆经过点A,求证:直线l过定点,并求出该定点坐 标.
������ 2 6
+
������ 2 2
=1.
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������ = ������(������-2), 2 2 2 2 可得 (1 + 3 k ) x 12 k x+ 12 k -6= 0, 2 2 ������ + 3������ = 6 Δ=144k4-4(1+3k 2)(12k 2-6)>0,即为 6+6k2>0 恒成立 . (2)由 设 A(x1,y1),B(x2,y 2),所以 x1+x2=
又过点P存在唯一直线垂直于OQ, 所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
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解题心得证明直线或曲线过某一确定的定点(定点坐标已知),可 把要证明的结论当条件,逆推上去,若得到使已知条件成立的结论, 即证明了直线或曲线过定点.
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对点训练 2(2017 云南楚雄州一模,文 21 改编)已知椭圆 C:
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解题策略二 逆推法 例 2(2017 全国Ⅱ,文 20)设 O 为坐标原点,动点 M 在椭圆
C: +y2=1 上,过 M 作 x 轴的垂线,垂足为 N,点 P 满足������������ = 2 ������������ .
2
������ 2
(1)求点P的轨迹方程; (2)设点Q在直线x=-3上,且 ������������ ·������������ =1.证明:过点P且垂直于OQ 的直线l过C的左焦点F.
������1 -1 ������ 1 8������������ 4
������ 2
+
4������ 2 +1 4������ 2 +1 ������2 -1 ������������ 1 +������ -1 ������ ������ 2 +������ -1 2������������ 1 ������ 2 +(������ -1)(������ 1 +������ 2 ) = + = . ������ 2 ������ 1 ������ 2 ������ 1 ������ 2 -8������������
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解 (1)设 P(x,y),M(x0,y 0),则 N(x0,0),������������ =(x-x0,y),������������ =(0,y0). 由������������ = 2 ������������ 得 x0=x,y0= y. 因为 M(x0,y0)在 C 上 ,所以
������ 2 2 2 2 ������ 2 2
,x1x2=
4������ 2 -4
.
由题设 k1+k2=-1,故 (2k+1)x1x2+(m-1)(x1+x2)=0. 即 (2k+1)· 解得 k=4������ 2 -4 4������ 2 +1 ������ +1 2
+(m-1)·
4������ 2 +1
=0.
������ +1 2
.
当且仅当 m>-1 时 ,Δ>0,于是 l:y=即 y+1=������ +1 2
x+m,
(ห้องสมุดไป่ตู้-2),
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所以l过定点(2,-1).
解题心得证明直线和曲线过定点,如果定点坐标没有给出,一般 可直接求直线和曲线的方程,然后根据方程的形式确定其过哪个定 点;如果得到的方程形如f(x,y)+λg(x,y)=0,且方程对参数的任意值都 成立,则令
������(������,������) = 0, 解方程组得定点. ������(������,������) = 0,
7 3
2
12������ 2 -6 1+3������ 2
-(2k +m)·
2
12 ������ 2
1+3������ 2
+(4k +m )=
5 9
2
2
(3������ 2 -12������ +10)������ 2 +(������ 2 -6) 1+3������ 2
,
要使上式为定值,即与k无关,则应3m2-12m+10=3(m2-6),
������ 2 ������ 2 6 3
������ 2 ������ 2
+
=1(a>b>0)的离心率为 ,以原点 O 为圆心,椭圆 C 的长半轴为半
径的圆与直线 2x- 2y+6=0 相切. (1)求椭圆C的标准方程; (2)已知点A,B为动直线y=k(x-2)(k≠0)与椭圆C的两个交点,证明: 在x轴上是否存在定点E,使 ������������2 + ������������ ·������������ 为定值,并求出定值.
+
3 4������ 2
知,C 不经过点 P1,所以点 P2 在 C 上 .
������ 2 1 ������
������2 = 4, 解得 2 3 ������ = 1. + 2 = 1, 2