概率试题及答案

D( X ) = 1 ; 统计量 X ~ N (2, 1 ) 。
4
4
二、选择题（每题 3 分，共 15 分） 1．设 A, B 为任二事件, 则下列关系正确的是( D )。
(A) P(A − B) = P(A) − P(B)
(B) P(A B) = P(A) + P(B)
(C) P(AB) = P(A)P(B)
-2 4
4
P{X = −1,Y = 1} = P{U ≤ −1,U 1} = 0 ,
P{X = 1,Y = −1} = P{U −1 ,U ≤1} = 1 1 dx = 1 ,
−1 4
2
P{X = 1,Y = 1} = P{U −1,U 1} = 2 1 dx = 1 .
(D) P( A) = P( AB) + P( AB)
2． 设 X ~ N(0,1), 又常数 c 满足 P{X≥c} = P{X c} , 则 c 等于( B )。
(A) 1
(B) 0
(C) 1 2
(D) -1
3．设 X ~ B(n, p), E( X ) = 6, D( X ) = 3.6 , 则有( C )。
3．设随机变量
X
的概率密度为
f
(x)
=
e−x ,
x 0, 则 E(e−2 X ) =
1
。
0, x≤0.
3
4．设X~ NhomakorabeaN (1, 32 ) , Y
~
N (0, 42 ) ;X与Y的相关系数 XY
=
1 −,
2
Z = X + Y ，则E(Z)= 32
1 3
，D(Z)= 3。
5 ． 设 总 体 X ~ N(2, 25) , X1, X 2 , , X100 是 从 该 总 体 中 抽 取 的 样 本 , 则 E( X ) = 2;
=
1 4y
；
当 y 4 时， FY ( y) = PY y = P X 2 y = 1 ，所以 fY ( y) = FY( y) = 0
随机变量 Y = X 2 的概率密度函数即为
fY
( y)
=
1
4
y
,0
y
4
0, 其它
六、（8
分）设随机变量 U 在区间[-2,
2]上服从均匀分布,
随机变量 X
(C) (X, Y)是二维连续型随机变量. (D) 由(X, Y)的边缘分布可完全确定(X, Y)的联合分布
5． 设随机变量 X ~ t(n)(n 1),Y = X 2 , 则下列关系中正确的是( D ).
(A) Y ~ 2 (n)
(B) Y ~ 2 (n −1) (C) Y ~ F(n,1) (D) Y ~ F(1, n)
(A) n = 10, p = 0.6 (B) n = 20, p = 0.3
(C) n = 15, p = 0.4 (D) n = 12, p = 0.5
4．设(X,Y)服从二维正态分布, 则下列说法中错误的是( D )。
(A) (X, Y)的边缘分布仍然是正态分布. (B) X 与 Y 相互独立等价于 X 与 Y 不相关
（2）由条件概率公式 P(B2
|
B1 )
=
P(B1B2 ) P(B1 )
=
1 10 2 50
9 49
+ 2
1 18 17 2 30 29
= 0.4857
5
x, 四、(12 分)设连续型随机变量 X 具有概率密度函数 f ( x) = 2 − x,
0,
0 x1 1 x2
其它
求: (1)
X 的分布函数 F(x)；（2）关于 t 的方程 4t2 + 4 Xt + 1 = 0 有实根的概率；（3）对 X 独立观
三、（10 分）有两箱同种类型的零件。第一箱装 50 只，其中 10 只一等品；第二箱 30 只，其中 18 只一等品。今从两箱中任挑出一箱，然后从该箱中取零件两次，每次任取一 只，作不放回抽样。试求（1）第一次取到的零件是一等品的概率。（2）第一次取到的零 件是一等品的条件下，第二次取到的也是一等品的概率。
−1, =
1,
−1, Y =
1,
若U ≤1, 求（1）X 与 Y 的联合分布律；（2）cov(X,Y)。
若U 1.
解: (1) 随机变量(X, Y)的可能取值为(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1).
P{X = −1,Y = −1} = P{U ≤ −1,U ≤1} = P{U≤ −1} = -1 1 dx = 1 ,
0
2
（3） P( X 1) =
2
(2
−
x)dx
=
1
，
1
2
令 Y 表示对 X 独立观察 3 次，观察结果大于 1 的次数，则 Y～B（3， 1 ）。 2
所求概率为
P(Y
2)
=
C32
1 2
2
1 2
+
C33
1 2
3
=
1 2
五、（6 分）设随机变量 X 服从区间(0,2)上的均匀分布, 求随机变量 Y = X 2 的概率密度。
察 3 次, 求至少有 2 次的结果大于 1 的概率。
x
解：(1) 根据分布函数公式 F(x) = f (x)dx 得 −
0,
x 0,
1
x
2
,
0 x 1
F ( x)
=
2 2x −
x2 2
−1,
1 x 2,
1,
x 2.
（2） P( 0) = P( X 2 1) = 1 − P( X 2 1) = 1 − P(−1 X 1) = 1 − 1 xdx = 1
解：设 Bi 表示“第 i 次取到一等品” i=1，2；Aj 表示“产品取自第 j 箱”，j=1,2，则
P( A1 )
=
P( A2
)
=
1 2
；P(B1|A1)=
1 5
，P(B1|A2)=
3 5
，
(1) 由全概率公式 P(B1)=P(A1)P(B1|A1)+P(A2)P(B1|A2) = 1 1 + 1 3 = 2 = 0.4 25 25 5
解：当 y 0 时， FY ( y) = PY y = P X 2 y = 0 ，所以 fY ( y) = FY ( y) = 0 ；
当 0 y 4时， FY ( y) = PY y = P X 2 y = P 0 X
y1
1
y = dx =
02
2
y，
所以，
fY
( y)
概率试题答案（一）
一、填空题(每小题 3 分，共 15 分)
1．设 A, B, C 是三个随机事件, 试以 A, B, C 的运算关系来表示事件 A, B, C 中至少有一 个发生 A B C 。
2. 已知 P( A) = 0.4 , P(B) = 0.3, P( A B) = 0.4 , 则 P( AB) = 0.1 。