2015级(2018届)高三第一次诊断性检测数学(理)

＝ (k２ ＋１)x１x２ ＋k(m －１)(x１ ＋x２)＋ (m －１)２ ＝０,
������ ������ ������７ 分 ������ ������ ������８ 分
数学(理科)“一诊”考试题答案第 ２ 页(共４页)
∴(k２ ＋１)４４mk２２＋－１４＋k(m －１)４－k８ ２k＋m１＋ (m －１)２ ＝０．
������ ������ ������３ 分
∴H
(x)的
极小
值
为
H
(－１)＝
－
１ e．
∴k
－b
的
最
小值
为
－
１ e．
������ ������ ������５ 分
(２)∵ m ＞２,x ≥０,由g′(x)＝x(ex －２m)＝０,解得x ＝０或x ＝ln２m ．
当x ＞ln２m 时,g′(x)＞０,∴g(x)在 (ln２m ,＋ ∞)上单调递增;
y 轴,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz ．
则 B(４,０,０),C(０,３,０),P(０,０,４),A(０,－３,０)．
设点 Q(x,y,z)．
由
AQ→
＝
１ ３
AP→,得
Q(０,－２,４ ３)．
������ ������ ������６ 分
∴ B→C ＝(－４,３,０),BQ→ ＝(－４,－２,４ ３)．
２０．解:(１)∵c＝ ３,ba ＝２,a２ ＝b２ ＋c２,
∴a ＝２,b＝１．
∴
椭
圆
的
标
准
方
程
为
x２ ４
＋y２
＝１．
������ ������ ������５ 分
(２)当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y＝kx＋m(m ≠１),M(x１,y１),N(x２,y２)．
{ 联立
y ＝kx ＋m ,消 x２ ＋４y２ ＝４
＝
１ ２
éëêê(１－
１ ３)＋
(１ ３
－
１ ５)＋������������������＋
(２n１－１－２n１＋１)ùûúú
＝ １２(１－２n１＋１)＝２nn＋１．
������ ������ ������１２ 分
１８．解 :(１)记 “从 这 １２ 天 的 数 据 中 随 机 抽 取 ３ 个 ,至 多 有 １ 天 是 用 水 量 超 标 ”为
当x ＝m 时,g(m)＝ (m －１)em －m３ ＋２,m ＞２． 令u(x)＝ (x －１)ex －x３ ＋２,x ＞２． ∴u′(x)＝xex －３x２ ＝x(ex －３x)． 设 G(x)＝ex －３x,x ＞２． ∵G′(x)＝ex －３＞０,∴G(x)在 (２,＋ ∞)上单调递增． ∴G(x)＞ G(２)＝e２ －６＞０． ∴uP
(A
)＝CC１４３１C２２８
C３８ ＋C３１２
１６８ ４２ ＝２２０＝５５．
������ ������ ������４ 分
(２)以 这 １２ 天 的 样 本 数 据 中 用 水 量 超 标 的 频 率 作 为 概 率 ,易 知 其 概 率 为
１ ３
．
随机变量 X 表示未来三天用水量超标的天数,∴ X 的所有可能取值为０,１,２,３．
∴u(x)＞u(２)＝e２ －６＞０． ∴ 当 m ＞２时,g(m)＞０． 又 ∵g(x２)＝０,g(x)在 (ln２m ,＋ ∞)上单调递增,
∴m ＞x２．
故
x１
＋ln
４ e
＜ x２
＜m
成立．
������ ������ ������１２ 分
数学(理科)“一诊”考试题答案第 ３ 页(共４页)
２２．解 :(１)由
∵cos‹n１,n２›＝
n１������n２ n１ n２
＝
１５ ３２ ＋４２ ＋１５２
＝３１０１０,
������ ������ ������４ 分
������ ������ ������８ 分 ������ ������ ������１１ 分
∴
二面角
Q
－BC
－A
的
余弦
值
为
３ １０ １０ ．
������ ������ ������１２ 分
∵PB ＝４ ２, ∴PO２ ＋OB２ ＝PB２．
∴PO ⊥ OB．
∵BO ∩ AC ＝O,∴PO ⊥ 平面 ABC．
∵PO ⊂ 平面 PAC, ∴ 平面 ABC ⊥ 平面 PAC．
(２)∵AB ＝BC,∴BO ⊥ AC．
易知 OB,OC,OP 两两相互垂直．
以 O 为 坐 标 原 点,OB,OC,OP 所 在 直 线 分 别 为x 轴,
数学(理科)“一诊”考试题答案第 ４ 页(共４页)
设n１＝(x１,y１,z１)为平面 BCQ 的一个法向量．
{由
n１ n１
������B→C ������BQ→
＝０⇒ ＝０
ìïï－４x１ í îï－４x１
＋３y１ －２y１
＝０ ４
＋ ３z１
．解 ＝０
得
ìïïx１
＝
３ ４y１
í
．
ï îïy１
４ ＝１５z１
取z１ ＝１５,则n１ ＝ (３,４,１５)． 取平面 ABC 的一个法向量n２＝(０,０,１)．
∴此方程的两个实数根为直线l 与曲线C 的交点A,B 对应的参数t１,t２．
∵t１t２ ＝－１６,
∴ MA ������ MB ＝ t１t２ ＝１６．
������ ������ ������１０ 分
２３．解:(１)由题意,得 x －２ ＋ x ＋１ ＜４．
(i)当 x
＞ ２ 时 ,原 不 等 式 即 ２x
数
学期
望
E(X
)＝３×
１ ３
＝１．
数学(理科)“一诊”考试题答案第 １ 页(共４页)
������ ������ ������１０ 分 ������ ������ ������１２ 分
１９．解:(１)取 AC 的中点O ,连接 PO,BO 得到 △PBO ． ∵ABCD 是菱形,∴PA ＝PC ,PO ⊥ AC． ∵DC ＝５,AC ＝６,∴OC ＝３,PO ＝OB ＝４,
������ ������ ������５ 分
(２)将
ìïïx
＝２＋
１ ２t
í
ï
３
代入抛物线方程x２ ＝４y
中 ,可 得
(２＋ １ ２t)２ ＝４(２＋
２３t)．
îïy ＝２＋ ２t
即t２ ＋ (８－８ ３)t－１６＝０．
������ ������ ������８ 分
∵Δ ＞０,且点 M 在直线l 上,
当０＜x ＜ln２m 时,g′(x)＜０,∴g(x)在 [０,ln２m ) 上单调递减．
∴g (x)的极小值为g(ln２m)．
������ ������ ������７ 分
∵g(１)＝２－m ＜０,又 ∵ln２m ＞ln４＞１,
∴g(ln２m )＜ ０．
又 ∵g(０)＝１＞０,g(１)＝２－m ＜０,
二 、填 空 题 :(每 小 题 ５ 分 ,共 ２０ 分 )
１３．４０; １４．１２; １５．６; １６．６．
三 ．解 答 题 :(共 ７０ 分 )
１７．解:(１)设数列 {an} 的公差为d ． ∵a２ ＝３,S４ ＝１６,∴a１ ＋d ＝３,４a１ ＋６d ＝１６． 解得d ＝２,a１ ＝１．
������ ������ ������１２ 分
２１．解:(１)曲线在点 P(x０,ex０ )处的切线为y ＝ex０x －x０ex０ ＋ex０ ． ∴k ＝ex０ ,b＝－x０ex０ ＋ex０ ． ∴k －b＝x０ex０ ． 设 H (x)＝xex ． 由 H′(x)＝ (x ＋１)ex ＝０,解得x ＝－１． 当x ＞－１时,H′(x)＞０,∴ H (x)在(－１,＋∞)上单调递增; 当x ＜－１时,H′(x)＜０,∴ H (x)在(－∞,－１)上单调递减．
成都市２０１５级高中毕业班第一次诊断性检测
数学(理科)参考答案及评分标准
第 Ⅰ 卷 (选 择 题 ,共 ６０ 分 )
一 、选 择 题 :(每 小 题 ５ 分 ,共 ６０ 分 )
１．A
２．D
３．D
７．A
８．B
９．C
４．C １０．C
５．C １１．B
６．B １２．D
第 Ⅱ 卷 (非 选 择 题 ,共 ９０ 分 )
ìïïx í
＝２＋
１ ２t,消
去参
数t
可
得y
＝
３(x －２)＋２．
ï
３
îïy ＝２＋ ２t
∴直线l 的普通方程为 ３x －y ＋２－２ ３ ＝０．
������ ������ ������２ 分
∵ρsin２θ＋４sinθ＝ρ,∴ρ２sin２θ＋４ρsinθ＝ρ２． ∵ρsinθ＝y,ρ２ ＝x２ ＋y２, 故曲线 C 的直角坐标方程为x２ ＝４y．
原不等式可化为２－x －kx －k ≥k ．可得k ≤x２－＋x２＝－１＋x４＋２．
∴k ≤３．
(iii)当 －１＜x ＜０时,
原
不等
式可
化
为 ２－x
＋kx
＋k
≥k．可
得k
≤ １－
２ x
．
������ ������ ������５ 分
∴k ≤３． 综上,可得０≤k ≤３,即k 的最大值为３．
������ ������ ������１０ 分
整 理 ,得 ５m２
－２m
－３＝０． 解得 m
３ ＝－５
或
m
＝１(舍 去 )．
∴
直 线l
的
方程
为y
＝kx
－
３ ５．
������ ������ ������１０ 分
易知当直线l 的斜率不存在时,不合题意．
������ ������ ������１１ 分
故直线l 经过定点,且该定点的坐标为 (０,－ ３ ５)．
＜ ５．∴ ２ ＜ x
＜
５ ２
;
(ii)当 x
＜－１ 时 ,原 不 等 式 即
－２x
＜ ３．∴
－
３ ２
＜x
＜－１;
(iii)当 －１≤x ≤２时,原不等式即３＜４．∴ －１≤x ≤２．
{ } 综上,原不等式的解集为
３
５
x|－ ２ ＜x ＜ ２
,即 x１
＝
－
３ ２
,x２
＝
５ ２
．
∴x１ ＋x２ ＝１． (２)由题意,得 x －２ ＋k x ＋１ ≥k． 当x ＝２时,即不等式３k ≥k 成立．∴k ≥０． (i)当x ≤－２或x ≥０时, ∵ x ＋１ ≥１,∴ 不等式|x －２|＋k|x ＋１|≥k 恒成立． (ii)当 －２＜x ≤－１时,
∴an ＝２n －１．
������ ������ ������４ 分 ������ ������ ������６ 分
(２)由
题
意
,bn
＝
(２n
１ －１)(２n
＋１)＝
１ ２
(２n１－１－２n１＋１)．
∴Tn ＝b１ ＋b２ ＋������������������＋bn
������ ������ ������８ 分
易知 X
~ B(３,１ ３),P(X
＝k)＝Ck３(１ ３
)k (２ ３
)３－k
,k
＝０,１,２,３．
则
P(X
＝０)＝２８７,P(X
＝１)＝
４ ９
,P(X
＝２)＝
２ ９
,P(X
＝３)＝２１７．
������ ������ ������８ 分
∴随机变量 X 的分布列为
X
０
１
２
３
P
８４ ２７ ９
２１ ９ ２７
∴ ∃x１ ∈ (０,１),使得g(x１)＝０．
由g(ln２m)＜０,知当x →＋ ∞ 时,g(x)→＋ ∞ ．
∴∃x２ ∈ (ln２m ,＋ ∞),使得g(x２)＝０．
∴x２ ＞ln２m ＞ln４,
∴x２
－x１
＞ln４－１＝ln
４ e
．即
x２
＞ x１
４ ＋ln e．
������ ������ ������９ 分
去
y
可得
(４k２
＋１)x２
＋８kmx ＋４m２
－４＝０．
∴Δ ＝４k２ ＋１－m２ ＞０,x１ ＋x２ ＝４k－２８k＋m１,x１x２ ＝４４mk２２＋－１４．
∵点 B 在以 MN 为直径的圆上, ∴ BM→������BN→ ＝０． ∵ BM→������BN→ ＝ (x１,kx１ ＋m －１)������(x２,kx２ ＋m －１)