矩形、菱形的性质定理和判定定理及其证明(1)

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《特殊平行四边形》全章复习与巩固(基础)知识讲解

《特殊平行四边形》全章复习与巩固（基础）【学习目标】1. 理解矩形、菱形的概念，探索并证明矩形、菱形的性质定理，以及它们的判定定理.2. 理解正方形的概念，探索并掌握正方形的对称性及其他有关性质，以及一个四边形是正方形的条件.3.会初步综合应用特殊平行四边形的知识，解决一些简单的实际问题. 【知识网络】【要点梳理】要点一、矩形1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2．性质：（1）具有平行四边形的所有性质；（2）四个角都是直角；（3）对角线互相平分且相等；（4）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：宽＝长矩形 S４．判定：（1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形. （2）对角线相等的平行四边形是矩形. （3）有三个角是直角的四边形是矩形. 要点诠释：由矩形得直角三角形的性质：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半．要点二、菱形1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 2．性质：（1）具有平行四边形的一切性质；（2）四条边相等；（3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角；（4）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：2对角线对角线高＝＝底菱形⨯⨯S4．判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（3）四边相等的四边形是菱形.要点三、正方形1. 定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形. 2．性质：（1）对边平行；（2）四个角都是直角；（3）四条边都相等；（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；（5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；（6）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：=S 正方形边长×边长＝12×对角线×对角线 4．判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）一组邻边相等的矩形是正方形；（3）对角线相等的菱形是正方形；（4）对角线互相垂直的矩形是正方形；（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；（6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形.【典型例题】类型一、矩形1、（常州期末）如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 为BC 的中点，AE ∥BC ，DE ∥AB ．试说明：（1）AE=DC ；（2）四边形ADCE 为矩形．【思路点拨】（1）根据已知条件可以判定四边形ABDE 是平行四边形，则其对边相等：AE=BD ．结合中点的性质得到AE=CD ；（2）依据“对边平行且相等”的四边形是平行四边形判定四边形ADCE 是平行四边形，又由“有一内角为直角的平行四边形是矩形”证得结论．【答案与解析】证明：（1）如图，∵AE∥BC，∴AE∥BD．又∵DE∥AB，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AE=BD．∵D为BC的中点，∴BD=DC，∴AE=DC；（2）∵AE∥CD，AE=BD=DC，即AE=DC，∴四边形ADCE是平行四边形．又∵AB=AC，D为BC的中点，∴AD⊥CD，∴平行四边形ADCE为矩形．【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质，矩形的判定与性质以及平行四边形的性质．此题也可以根据“对角线相等的平行四边形是矩形”来证明（2）的结论．2、如图所示，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．将矩形ABCD沿CE折叠后，使点D恰好落在对角线AC上的点F处，求EF的长.【思路点拨】要求EF的长，可以考虑把EF放入Rt△AEF中，由折叠可知CD＝CF，DE＝EF，易得AC＝10，所以AF＝4，AE＝8-EF，然后在Rt△AEF中利用勾股定理求出EF的值．【答案与解析】解：设EF＝x，由折叠可得：DE＝EF＝x，CF＝CD＝6，又∵在Rt△ADC中，22AC+=．6810∴ AF ＝AC －CF ＝4，AE ＝AD －DE ＝8－x ．在Rt △AEF 中，222AE AF EF =+，即222(8)4x x -=+，解得：x ＝3 ∴ EF ＝3 【总结升华】在矩形折叠问题中往往根据折叠找出相等的量，然后把未知边放在合适的直角三角形中，再利用勾股定理进行求解．举一反三：【变式】把一张矩形纸片（矩形ABCD ）按如图方式折叠，使顶点B 和点D 重合，折痕为EF ．若AB ＝ 3cm ，BC ＝ 5cm ，则重叠部分△DEF 的面积是__________2cm ．【答案】5.1.提示：由题意可知BF ＝DF ，设FC ＝x ，DF ＝5－x ，在Rt △DFC 中，222DC FC DF +=，解得x ＝85，BF ＝DE ＝3.4，则DEF 1=DE AB 2S ⨯△＝12×3.4×3＝5.1.类型二、菱形3、（遵义）在Rt△ABC 中，∠BAC=90°，D 是BC 的中点，E 是AD 的中点，过点A 作AF∥BC 交BE 的延长线于点F ．（1）求证：△AEF≌△DEB；（2）证明四边形ADCF 是菱形；（3）若AC=4，AB=5，求菱形ADCF 的面积．【答案与解析】（1）证明：①∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DBE，∵E 是AD 的中点，AD 是BC 边上的中线， ∴AE=DE，BD=CD ，在△AFE 和△DBE 中，，∴△AFE≌△DBE（AAS）；（2）证明：由（1）知，△AFE≌△DBE，则AF=DB．∵DB=DC，∴AF=CD．∵AF∥BC，∴四边形ADCF是平行四边形，∵，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，∴AD=DC=BC，∴四边形ADCF是菱形；（3）解：设菱形DC边上的高为h，∴RT△ABC斜边BC边上的高也为h，∵BC==，∴DC=BC=，∴h==，菱形ADCF的面积为：DC•h=×=10．【总结升华】运用菱形的性质可以证明线段相等、角相等、线段的平行及垂直等问题，关键是要记住它们的判定和性质.举一反三：【变式】用两张等宽的纸带交叉重叠地放在一起，重合的四边形ABCD是菱形吗？如果是菱形请给出证明，如果不是菱形请说明理由．【答案】四边形ABCD是菱形；证明：由AD∥BC，AB∥CD得四边形ABCD是平行四边形,过A，C两点分别作AE⊥BC于E，CF⊥AB于F．∴∠CFB＝∠AEB＝90°．∵AE＝CF（纸带的宽度相等）∠ABE＝∠CBF，∴Rt△ABE≌Rt△CBF,∴AB＝BC,∴四边形ABCD是菱形.4、如图，E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，且AB＝CD．下列结论：①EG⊥FH，②四边形EFGH是矩形，③HF平分∠EHG，④EG＝12（BC－AD），⑤四边形EFGH是菱形．其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C；【解析】解：∵E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，∴EF＝12CD，FG＝12AB，GH＝12CD，HE＝12AB，∵AB＝CD，∴EF＝FG＝GH＝HE，∴四边形EFGH是菱形，∴①EG⊥FH，正确；②四边形EFGH是矩形，错误；③HF平分∠EHG，正确；④当AD∥BC，如图所示：E，G分别为BD，AC中点，∴连接CD，延长EG到CD上一点N，∴EN＝12BC，GN＝12AD，∴EG＝12（BC－AD），只有AD∥BC时才可以成立，而本题AD与BC很显然不平行，故本小题错误；⑤四边形EFGH是菱形，正确．综上所述，①③⑤共3个正确．故选C．【总结升华】本题考查了三角形中位线定理与菱形的判定与菱形的性质，根据三角形的中位线定理与AB＝CD判定四边形EFGH是菱形是解答本题的关键．类型三、正方形5、如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P 作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N．（1）求证：∠ADB＝∠CDB；（2）若∠ADC＝90°，求证：四边形MPND是正方形．【思路点拨】（1）问通过证明三角形全等来证明角相等；（2）先证明四边形MPND是矩形，再证明一组邻边相等，从而证明四边形MPND是正方形.【答案与解析】证明：(1) ∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD.又∵BA＝BC，BD＝BD，∴△ABD≌△CBD.∴∠ADB＝∠CDB.(2) ∵PM⊥AD，PN⊥CD，∴∠PMD＝∠PND＝90°，又∵∠ADC＝90°，∴四边形MPND是矩形.∵∠ADB＝∠CDB，PM⊥AD，PN⊥CD，∴PM＝PN.∴四边形MPND是正方形.【总结升华】熟记正方形的判定定理，有一组邻边相等的矩形是正方形.6、如图，一个含45°的三角板HBE的两条直角边与正方形ABCD的两邻边重合，过E点作EF⊥AE交∠DCE的角平分线于F点，试探究线段AE与EF的数量关系，并说明理由.【思路点拨】AE＝EF．根据正方形的性质推出AB＝BC，∠BAD＝∠HAD＝∠DCE＝90°，推出∠HAE＝∠CEF，根据△HEB是以∠B为直角的等腰直角三角形，得到BH＝BE，∠H＝45°，HA＝CE，根据CF平分∠DCE推出∠H＝∠FCE，根据ASA证△HAE≌△CEF即可得到答案．【答案与解析】探究：AE＝EF证明：∵△BHE为等腰直角三角形,∴∠H＝∠HEB＝45°，BH＝BE.又∵CF平分∠DCE，四边形ABCD为正方形，∴∠FCE＝12∠DCE＝45°，∴∠H＝∠FCE.由正方形ABCD知∠B＝90°，∠HAE＝90°＋∠DAE＝90°＋∠AEB,而AE⊥EF，∴∠FEC＝90°＋∠AEB，∴∠HAE＝∠FEC.由正方形ABCD知AB＝BC，∴BH－AB＝BE－BC，∴HA＝CE,∴△AHE≌△ECF （ASA）,∴AE＝EF.【总结升华】充分利用正方形的性质和题目中的已知条件，通过证明全等三角形来证明线段相等.举一反三：【变式1】如图所示，E、F、G、H分别是四边形ABCD各边中点，连接EF、FG、GH、HE，则四边形EFGH为________形．(1)当四边形满足________条件时，四边形EFGH是菱形．(2)当四边形满足________条件时，四边形EFGH是矩形．(3)当四边形满足________条件时，四边形EFGH是正方形．在横线上填上合适的条件，并说明你所填条件的合理性．【答案】四边形EFGH为平行四边形；解：(1)AC＝BD，理由：如图①，四边形ABCD的对角线AC＝BD，此时四边形EFGH为平行四边形，且EH＝12BD，HG＝12AC，得EH＝GH，故四边形EFGH为菱形．(2)AC⊥BD，理由：如图②，四边形ABCD的对角线互相垂直，此时四边形EFGH为平行四边形．易得GH⊥BD，即GH⊥EH，故四边形EFGH为矩形．(3)AC＝BD且AC⊥BD，理由：如图③，四边形ABCD的对角线相等且互相垂直，综合(1)(2)可得四边形EFGH为正方形．本题是以平行四边形为前提，加上对角线的特殊条件来判定特殊的平行四边形，加上邻边相等为菱形，加上对角线互相垂直为矩形，综合得到正方形．【变式2】（黄冈）如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E．若∠CBF=20°，则∠AED等于度．【答案】65°.提示：∠ABE=90°-20°=70°，由正方形的性质知，∠BAC=45°，∴∠AEB=180°-45°-70°=65°，由正方形的对称性可知，∠AED=∠AEB=65°.【巩固练习】一.选择题1.如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD相交于点O，则图中等腰三角形的个数是（）A．8 B．6 C．4 D．22.如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF，则∠CDF等于（）A．50°B．60°C．70°D．80°3.（武进区一模）如图，在正方形ABCD中，AD=5，点E、F是正方形ABCD内的两点，且AE=FC=3，BE=DF=4，则EF的长为（）A．32B232．75D24. 在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是（）．A．测量对角线是否相互平分 B．测量两组对边是否分别相等C．测量一组对角是否都为直角 D．测量其中三角形是否都为直角5.正方形具备而菱形不具备的性质是（）A. 对角线相等；B. 对角线互相垂直；C. 每条对角线平分一组对角；D. 对角线互相平分.6.矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠AOD＝120°，AC＝8，则△ABO的周长为（）A．16 B．12 C．24 D．207.（桂林模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，D是AB上一动点，过点D 作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF的最小值是（）A．5 B．4.8 C．4.6 D．4.48. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为AB的中点，且OE＝a，则菱形ABCD的周长为（）A．16a B．12a C．8a D．4a二.填空题9.如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，E是斜边AB上任意一点，作EF⊥AC于F，EG⊥BC于G，则矩形CFEG的周长是_______.10．矩形的两条对角线所夹的锐角为60 ，较短的边长为12，则对角线长为__________. 11．如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝45°，则点D的坐标为______．12.如图，菱形ABCD中，对角线AC交BD于O，AB＝8，E是CB的中点，则OE的长等于_______.13.如图, 有一块边长为4的正方形塑料模板ABCD，将一块足够大的直角三角形的直角顶点落在点A，两条直角边分别与CD交于点F，与CB的延长线交于点E，则四边形AECF的面积是 _________.cm，对角线AC＝4cm，则菱形的边长是______cm．14．已知菱形ABCD的面积是12215.菱形ABCD中，AE垂直平分BC，垂足为E，AB＝4cm．那么，菱形ABCD的面积是________，对角线BD的长是_________．16.（昆明校级期中）如图，将两条宽度都为3的纸条重叠在一起，使∠ABC=60°，则四边形ABCD的面积为________．三.解答题17.如图，BD是菱形ABCD的对角线，点E、F分别在边CD、DA上，且CE＝AF．求证：BE＝BF．18.（无棣县期中）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，作AE∥BC，CE∥AD，AE、CE交于点E．（1）证明：四边形ADCE是矩形．（2）若DE交AC于点O，证明：OD∥AB且OD=AB．19.（崂山区一模）已知：如图，E是正方形ABCD的对角线BD上的点，连接AE、CE．（1）求证：AE=CE；（2）若将△ABE沿AB对折后得到△ABF；当点E在BD的何处时，四边形AFBE是正方形？请证明你的结论．20. 已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE ＝ AF．（1）求证：BE ＝ DF；（2）连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM ＝ OA，连接EM、FM．判断四边形AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论．【答案与解析】一.选择题1.【答案】C；【解析】根据矩形的对角线相等且互相平分可得AO＝BO＝CO＝DO，进而得到等腰三角形．2.【答案】B；【解析】连接BF，根据菱形的对角线平分一组对角求出∠BAC，∠BCF＝∠DCF，四条边都相等可得BC＝CD，再根据菱形的邻角互补求出∠ABC，然后根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AF＝BF，根据等边对等角求出∠ABF＝∠BAC，从而求出∠CBF，再利用“边角边”证明△BCF和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠CDF＝∠CBF．3.【答案】D；4.【答案】D；5.【答案】A；6.【答案】B；【解析】根据矩形性质求出AO＝BO＝4，得出等边三角形AOB，求出AB，即可求出答案．7.【答案】B；【解析】解：如图，连接CD．∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，∴AB==10，∵PE⊥AC，PF⊥BC，∠C=90°，∴四边形CFDE是矩形，∴EF=CD，由垂线段最短可得CD⊥AB时，线段EF的值最小，此时，S△ABC=BC•AC=AB•CD，即×8×6=×10•CD，解得CD=4.8，∴EF=4.8．故选B．8.【答案】C；【解析】OE＝a，则AD＝2a，菱形周长为4×2a＝8a.二.填空题9.【答案】12；【解析】推出四边形FCGE 是矩形，得出FC ＝EG ，FE ＝CG ，EF∥CG，EG∥CA，求出∠BEG ＝∠B，推出EG ＝BG ，同理AF ＝EF ，求出矩形CFEG 的周长是CF ＋EF ＋EG ＋CG ＝AC ＋BC ，代入求出即可． 10．【答案】24；11．【答案】).2,22(+；【解析】过D 作DH ⊥OC 于H ，则CH ＝DH ＝2，所以D 的坐标为).2,22(+ 12.【答案】4；【解析】根据菱形的性质得出OA ＝OC ，根据三角形的中位线性质得出OE ＝12AB ，代入求出即可．13.【答案】16；【解析】证△ABE ≌△ADF ，四边形AECF 的面积为正方形ABCD 的面积. 14．【答案】13；【解析】设BD ＝x ，1412,62x x ⨯==，所以边长＝222313+=. 15.【答案】832cm ；43cm ；【解析】由题意知△ABC 为等边三角形，AE ＝23，面积为832cm ，BD ＝2AE ＝ 43cm .16.【答案】6.【解析】∵纸条的对边平行，即AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD 是平行四边形， ∵两张纸条的宽度都是3，∴S 四边形ABCD =AB×3=BC×3， ∴AB=BC，∴平行四边形ABCD 是菱形，即四边形ABCD 是菱形．如图，过A 作AE⊥BC，垂足为E ， ∵∠ABC=60°，∴∠BAE=90°﹣60°=30°， ∴AB=2BE，在△ABE 中，AB 2=BE 2+AE 2，即AB 2=AB 2+32，解得AB=2， ∴S 四边形ABCD =BC•AE=2×3=6．故答案是：6．三.解答题17.【解析】证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB＝BC ，∠A＝∠C， ∵在△ABF 和△CBE 中，AF CE A C AB CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABF≌△CBE（SAS ）， ∴BF＝BE ． 18.【解析】证明：（1）∵AB=AC，AD 是△ABC 的角平分线，∴AD⊥BC，且BD=CD ， ∵AE∥BC，CE∥AD，∴四边形ADCE 是平行四边形， ∴四边形ADCE 是矩形；（2）∵四边形ADCE 是矩形， ∴OA=OC，∴OD 是△ABC 的中位线，∴OD∥AB 且OD=12AB. 19.【解析】（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=CB ，∠BAD=∠ABC=90°，∠ABE=∠CBE=45°，在△ABE 和△CBE 中，，∴△ABE ≌△CBE （SAS ）， ∴AE=CE ．（2）解：点E 在BD 的中点时，四边形AFBE 是正方形；理由如下：由折叠的性质得：∠F=∠AEB ，AF=AE ，BF=BE ， ∵∠BAD=90°，E 是BD 的中点， ∴AE=BD=BE=DE ， ∵AE=CE ，∴AE=BE=CE=DE=AF=BF ，∴四边形AFBE 是菱形，E 是正方形ABCD 对角线的交点， ∴AE ⊥BD ，∴∠AEB=90°，∴四边形AFBE是正方形．20.【解析】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠B＝∠D＝90°．∵AE ＝ AF，∴Rt RtABE ADF△≌△．∴BE＝DF．（2）四边形AEMF是菱形．∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCA ＝∠DCA＝45°，BC＝DC．∵BE＝DF，∴BC－BE＝DC－DF. 即CE＝CF．∴OE＝OF．∵OM＝OA，∴四边形AEMF是平行四边形．∵AE＝AF，∴平行四边形AEMF是菱形．A DB EFOC。

证明菱形判定方法

证明菱形判定⽅法四边都相等的四边形是菱形;两条对⾓线互相垂直的平⾏四边形是菱形;邻边相等的平⾏四边形是菱形;对⾓线互相垂直平分的，四边形是菱形;⼀条对⾓线平分⼀个顶⾓的平⾏四边形是菱形。

下⾯⼩编给⼤家带来证明菱形判定⽅法，希望能帮助到⼤家!证明菱形判定⽅法中点四边形：依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形。

不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平⾏四边形。

菱形的中点四边形是矩形(对⾓线互相垂直的四边形的中点四边形定为菱形，对⾓线相等的四边形的中点四边形定为矩形。

)菱形是在平⾏四边形的前提下定义的，⾸先它是平⾏四边形，但它是特殊的平⾏四边形，特殊之处就是“有⼀组邻边相等”，因⽽就增加了⼀些特殊的性质和不同于平⾏四边形的判定⽅法。

菱形的⾯积计算：1.对⾓线乘积的⼀半。

(只要是对⾓线互相垂直的四边形都可⽤);由把菱形分解成2个三⾓形，化简得出;2.底乘⾼;3.设菱形的边长为a，⼀个夹⾓为θ，则⾯积公式是：S=a^2·sinθ。

有⼀组邻边相等的平⾏四边形是菱形。

2.四条边都相等的四边形是菱形。

3. 对⾓线互相垂直的平⾏四边形是菱形。

证明菱形判定定理证明：∵AB=CD，BC=AD,∴四边形ABCD是平⾏四边形(两组对边分别相等的四边形是平⾏四边形).⼜∵AB=BC,∴四边形ABCD是菱形(有⼀组邻边相等的平⾏四边形是菱形).2、对⾓线互相垂直的平⾏四边形是菱形。

证明：∵四边形ABCD是平⾏四边形，∴ OA=OC(平⾏四边形的对⾓线相互平分)。

⼜∵AC⊥BD，∴ BD所在直线是线段AC的垂直平分线，∴ AB=BC，∴四边形ABCD是菱形(有⼀组邻边相等的平⾏四边形是菱形)。

3、有⼀组邻边相等的平⾏四边形是菱形。

RF是三⾓形ABD的中位线，于是RF∥AD，同理：GH∥AD，RH∥BE，FG∥BE，所以有RF∥GH，RH∥FG，所以四边形RFGH是平⾏四边形;第⼆步证明△ACD≌△BCE，则AD=BE，于是有RH=RF;所以四边形RFGH是菱形。

菱形的性质是什么有哪些判定定理

菱形的性质是什么有哪些判定定理菱形是一种具有特殊性质的几何图形。

它是由四条相等且对角线相交的直线组成的四边形。

菱形在数学和几何学中具有一些重要的性质和判定定理，下面我们将详细介绍。

首先，菱形的性质之一是它的对角线相等。

菱形的两条对角线是相等的，即两对角线的长度相同。

这意味着如果我们知道菱形的一个对角线的长度，就可以确定另一条对角线的长度。

第二，菱形的对角线互相垂直。

这意味着菱形的对角线之间的夹角是直角。

所以，如果我们找到了一个菱形的两条对角线，我们可以通过检查它们是否互相垂直来确定它是否是一个菱形。

第三，菱形的所有边都是相等的。

这意味着菱形的四条边的长度相等。

如果我们知道一个边的长度，我们就可以确定所有边的长度。

第四，菱形的内角和为360度。

菱形的每个内角都是锐角，而且四个内角的和为360度。

这与其他四边形如矩形或平行四边形不同，它们的内角和为360度。

第五，菱形的一个重要定理是角平分线定理。

这个定理指出，菱形的对角线互相平分了它们所夹的两个角。

这意味着如果我们知道菱形的一条对角线，我们可以通过它来确定菱形的两个内角。

第六，菱形的高与宽相等。

菱形的高是指连接菱形两边中心的线段，即菱形的垂直中线。

菱形的宽是从一个顶点到另一个顶点的线段。

由于菱形的对角线互相垂直，所以菱形的高与宽相等。

第七，菱形的外接圆定理。

这个定理指出，菱形的四个顶点都在一个圆上。

这个圆被称为菱形的外接圆。

由于菱形的对角线相等，所以菱形的外接圆的半径等于对角线的一半。

最后，菱形的判定定理有两个常用的定理。

首先是菱形的判定定理一：如果一个四边形的四个角都是直角，则它是一个菱形。

其次是菱形的判定定理二：如果一个四边形的两对对边相等且相交于直角，则它是一个菱形。

总结起来，菱形的性质包括对角线相等、对角线互相垂直、边相等、内角和为360度、角平分线定理、高与宽相等、外接圆定理等。

菱形的判定定理让我们能够通过已知条件来判断一个四边形是否为菱形。

华东师大版八年级数学下册19.2.2《菱形的判定定理1》优秀教学案例

（二）讲授新知
1.菱形的定义：引导学生通过观察和分析，总结菱形的定义和性质，如对角线互相垂直平分、四边相等等。
2.菱形的判定定理：引导学生通过实验和观察，发现菱形的判定定理，如对角线互相垂直平分的四边形是菱形等。
3.定理的应用：通过实例讲解，引导学生学会运用菱形的判定定理解决实际问题，提高解决问题的能力。
3.学生通过合作交流，培养团队协作精神和沟通能力，提高综合素质。
在教学过程中，我将注重启发式教学，引导学生主动参与，激发他们的学习兴趣和积极性。同时，通过创设丰富的教学情境，让学生在实践中感受数学的魅力，培养他们的创新思维和解决问题的能力。在教学过程中，我还将注重培养学生的团队合作意识，让他们在合作中共同进步，提高综合素质。
2.学生通过观察、实验、归纳等方法，培养直观想象能力和数学推理能力。
3.学生通过练习和应用，巩固菱形的性质和判定定理，提高解决问题的能力。
（三）情感态度与价值观
1.学生能够在学习过程中体验到数学的乐趣，增强对数学的兴趣和自信心。
2.学生能够认识数学在生活中的应用价值，培养运用数学解决实际问题的意识。
2.问题情境：创设有趣的问题，如“如何判断一个四边形是否为菱形？”引导学生思考，激发他们的探究精神。
3.几何情境：通过展示几何图形，如矩形、正方形等，引导学生发现菱形的特殊性质，激发他们的观察和分析能力。
（二）问题导向
1.提出问题：在教学过程中，提出引导性问题，引导学生思考和探索菱形的性质和判定方法。
3.评价与反馈：学生之间相互评价，给予反馈，促进学生的相互学习和进步。
（四）反思与评价
1.自我反思：鼓励学生对自己的学习过程进行反思，发现自己的不足，制定改进措施。
2.同伴评价：学生之间相互评价，给予反馈，培养学生的评价能力和团队协作精神。

北师大版九上第一章特殊平行四边形基于标准的教学设计

第一章特殊的平行四边形1.1 菱形的性质与判定（一）一、目标确定的依据1、课程标准的相关要求探索并证明矩形、菱形、正方形的性质定理：矩形的四个角都是直角，对角线相等；菱形的四条边相等，对角线互相垂直；以及它们的判定定理：三个角是直角的四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形；四边相等的四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

正方形具有矩形和菱形的一切性质。

2、教材分析与八年级下册“平行四边形”一章类似，本章仍将采用探究和证明结合的方式展开相关内容。

课本基于目前学生的知识和能力水平，对本课内容提出了具体的学习任务：进一步发展推理论证能力，运用综合法证明矩形的性质和判定定理，进一步体会证明的必要性和作用，体会归纳等数学思想方法。

对于本节课的知识，教科书提出的学习任务，重点集中在了学生的能力培养上，因为本节课的知识，对学生来说从认知角度上缺乏挑战性，大部分学生都已经能够熟练运用矩形的性质和判定方法，所以，在教学时，我们应该把目标上升一个层次，从关注学生是否能证明这些定理提高到关注学生如何找到解题思路，从关注学生是否能顺利证明提高到关注学生是否合理严密的使用数学语言严格证明，从关注学生合作解题提高到让每一个学生都能独立完成证明的过程。

3、学情分析学生活动经验基础：在相关知识的学习中，学生已经经历了大量的证明活动，特别是平行四边形的相关证明推理，学生已经逐渐体会到了证明的必要性和证明在解决实际问题时的作用，从而初步具备了证明特殊平行四边形性质和判定定理的能力；同时，在前面的相关活动中，学生已经初步了解了归纳、概括及转化等数学思想方法，大量的活动经验丰富了学生的数学思想，锻炼了学生的能力，使学生具备了在解题中合理运用方法的能力。

二、学习目标1.通过观察、猜想、证明等过程，能自己归纳并证明出菱形的性质。

2.通过练习，能用菱形的性质规律解决一些具体的实际问题。

三、评价任务1.会分清平行四边形和菱形的性质区别。

32.3 矩形、菱形的性质定理和判定定理及其证明(1)

32.3 矩形、菱形的性质定理和判定定理及其证明（1）汉儿庄中学执笔人审核领导
教学目的：1、知识目标：掌握矩形的定义，知道矩形与平行四边形的关系。

掌握矩形的
性质定理
2、能力目标：使学生能应用矩形定义、判定等知识，解决简单的证明题和计
算题。

3、情感目标：进一步培养学生独立思考和分析问题的能力
教学重点：矩形的性质及其推论．矩形的判定
教学难点：矩形的本质属性及性质定理的综合应用．矩形的判定及性质的综合应用．
矩形的性质：既然矩形是一种特殊的平行四边形，就应具有平行四边形性质，同时矩形又是特殊的平行四边形，比平行四边形多了一个角是直角的条件，因而它就增加了一些特殊性质．例：已知
相交于O 是等边三角形，cm 4 AB ，求这个平
形．。

人教版八年级下册数学 18.2矩形、菱形的性质定理和判定定理及其证明习题精选(含答案)

矩形、菱形的性质定理和判定定理及其证明习题精选矩形的性质和判定1．矩形的两条对角线的夹角为60°，一条对角线与短边的和为15，则短边的和为15，则短边的长是________。

2．如图32-3-1，设矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别为S1、S2，则二者的大小关系是：S1____S2。

3．如果矩形一个角的平分线分一边为4 cm和3 cm两部分，那么矩形的周长为_______。

4．现有一张长为40cm, 宽为20 cm的长方形纸片（如图32-3-2所示），要从中剪出长为18 cm，宽为12 cm的长方形纸片，则最多能剪出___张。

5．矩形的一条较短边的长为5 c m，两条对角线的夹角为60°，则它的对角线的长等于_____ cm。

6．如图32-3-3，在矩形ABCD中，CE⊥BD于E，∠DCE：∠ECB=3：1，则∠ACE=____度。

7．下列说法中正确的是( )A．一个角是直角，两条对角线相等的四边形是矩形。

B．一组对边平行且有一个角是直角的四边形是矩形。

C．对角线互相垂直的平行四边开是矩形。

D．一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形。

8．四边形ABCD的对角线相交于O，在下列条件中，不能说明它为矩形的是（）A．AB=CD,AD=BC, BAD=90°B．AO=CO，BO=DO，AC=BDC．∠BAD=∠ABC=90°, ∠BAD+∠ADC=180°D．∠BAD=∠BCD, ∠ABC+∠ADC=180°★菱形的性质和判定9．己知菱形的锐角是60°，边长是20 cm，则较长对角线是_____。

10．菱形两条对角线的长分别为6 cm和8 cm，它的高为______。

11．菱形的一个内角是120°，平分这个内角的一条对角钱长为13 cm，则菱形的周长是____。

12．菱形的一边与两条对角线所构成的两个角的差是32°，则菱形较小的内角是_____。

矩形、菱形的性质及判定

矩形、菱形的性质及判定一、矩形的性质和判定1.定义：　有一个角是直角的叫做矩形（通常也叫长方形）。

2.性质：矩形的性质：（从边、角、对角线三个方面总结出矩形的性质）（1）对边平行且相等；（2）每个角都是直角；（3）对角线相等且互相平分。

矩形是轴对称图形，它有条对称轴。

矩形是中心对称图形，是它的对称中心。

3.判定（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。

（2）有三个角都是直角的四边形是矩形。

（3）对角线相等的平行四边形是矩形。

(也可以表述成“对角线互相平分且的四边形是矩形”)。

4、直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．逆定理：如果一个三角形的一条边上的中线等于它的一半，那么这个三角形是直角三角形，且这条边所对的角为直角。

（会证明吗？）例：如图,在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边的中点，AC=3，BC=4，则CD=__________.在直角三角形中还有一个涉及“一半”的定理是：例1、矩形是面积的60，一边长为5，则它的一条对角线长等于。

例2、如果矩形的一边长为8，一条对角线长为10，那么这个矩形面积是__________。

例3、如图，已知矩形ABCD的两条对角线相交于O，，AB=4cm，求此矩形的面积。

ABOCD例4、四边形ABCD的对角线相交于点O，在下列条件中，不能判别它是矩形的是（） A．AB=CD，AD=BC，∠BAD=90°B．AO=CO，BO=CO，AC=BD C．∠BAD=∠ABC=90°，∠BCD+∠ADC=180° D．∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC=90°例5、如图，矩形ABCD中，DE=AB，，求证：EF=EB。

AEBCDF例6、如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，且AF＝DC，连结CF．(1)求证：D是BC的中点；(2)如果AB＝AC，试猜测四边形ADCF的形状，并证明你的结论．二、菱形的性质和判定定义1、四条边都相等的四边形是菱形。

矩形、菱形的性质定理和判定定理及其证明习题精选

3、若矩形的一个角的平分线分一边为考点：矩形的性质。
4cm 和 3cm 的两部分，则矩形的周长为
22 或 20 cm．
分析：本题需分两种情况解答．即矩形的一个角的平分线分一边为当矩形的一个角的平分线分一边为
4cm 和 3cm，或者矩形的角平分分一边为 3cm 和 4cm． 4cm 和 3cm 时，矩形的周长为 2×（ 3+4） +2×4=22cm；
则这条对角线和一组邻边组成等边三角形，可得边长为 8cm，则菱形周长为 32cm．
故答案为 32．点评：此题主要考查菱形的性质和等边三角形的判定的运用．
10 、菱形的一边与两条对角线所构成的两个角的差是考点：菱形的性质。专题：计算题。
32°，则菱形较小的内角是 58° ．
分析：根据菱形的一边与两条对角线所构成的两个角的差是角线垂直平分且为角平分线确．
故选 D．
点评：本题考查的是矩形判定定理，考生同时也要注意平行四边形的判定以及性质，难度一般．
17、四边形 ABCD的对角线相交于点 O，下列条件不能判定它是矩形的是（
）
A、 AB=CD，AB∥CD，∠BAD=90°
B、 AO=CO， BO=DO， AC=BD
C、∠BAD=∠ABC=90°，∠BCD+∠ADC=180°
2
即为对角线的长．
解答：解：
∵四边形 ABCD是矩形，
∴OA=OB， ∵∠AOB=6°0 ， ∴△AOB 是等边三角形， ∴OA=AB=5cm， ∴AC=2OA=10cm，故答案为 10．点评：主要考查矩形的性质；用到的知识点为：矩形的对角线互相平分且相等． 6、（ 1999?河南）已知：如图，在矩形 ABCD中， CE⊥BD，E 为垂足，∠DCE：∠ECB=3：1，则∠ACE= 45

数学平行四边形、菱形、矩形、正方形的定理、性质、判定

1. 定义: 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

2.性质:⑴如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等。

（简述为“平行四边形的对边相等”）⑵如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等。

（简述为“平行四边形的对角相等”）⑶夹在两条平行线间的平行线段相等。

⑷如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两条对角线互相平分。

（简述为“平行四边形的两条对角线互相平分”）⑸平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。

3.判定：（1）如果一个四边形的两组对边分别相等，那么这个四边形是平行四边形。

（简述为“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”）（2）如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形。

（简述为“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”）（3）如果一个四边形的两条对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形。

（简述为“对角线互相平分的四边形是平行四边形”）（4）如果一个四边形的两组对角分别相等，那么这个四边形是平行四边形。

（简述为“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”（5）如果一个四边形的两组对边分别平行，那么这个四边形是平行四边形。

（简述为“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”）矩形的性质和判定定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.性质：①矩形的四个角都是直角；②矩形的对角线相等 .注意：矩形具有平行四边形的一切性质 .判定：①有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形 .菱形的性质和判定定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.性质：①菱形的四条边都相等；②菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 .注意：菱形也具有平行四边形的一切性质 .判定：①有一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四条边都相等的四边形是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形(4).有一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形正方形的性质和判定定义：有一组邻边相等并且有一角是直角的平行四边形叫做正方形.性质：①正方形的四个角都是直角，四条边都相等；②正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角 .判定：因为正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，所以我们判定正方形有三个途径①四条边都相等的平行四边形是正方形②有一组临边相等的矩形是正方形③有一个角是直角的菱形是正方形梯形及特殊梯形的定义梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形.（一组对边平行且不相等的四边形叫做梯形.）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形. 直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形.等腰梯形的性质1、等腰梯形两腰相等、两底平行；2、等腰梯形在同一底上的两个角相等；3、等腰梯形的对角线相等；4、等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，一底的垂直平分线是它的对称轴. 等腰梯形的判定1、两腰相等的梯形是等腰梯形；2、在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；3、对角线相等的梯形是等腰梯形.平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等且平行平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角矩形性质定理2 矩形的对角线相等矩形判定定理1 有一个角是直角的平行四边形是矩形矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形正方形性质定理1正方形的四个角都是直角，四条边都相等正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角菱形性质定理1 菱形的四条边都相等菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷2菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形菱形判定定理3是对称轴图形的平行四边形是菱形。

矩形、菱形、正方形的性质与判定(1)

1.3 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定（1）学习过程：一、情境创设根据我们曾经探索得到的平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质，填写下表：平行四边形矩形菱形正方形对边平行对边相等四边相等对角相等 4个角是直角对角线互相平分对角线相等对角线互相垂直两条对角线平分两组对角从上面的几种特殊四边形的性质中，你能说说它们之间有什么联系与区别吗？如图''''''//,//,//AB A B BC BC CA C A ，图中有______个平行四边形。

二、探索活动1、上表中平行四边形的性质中，你能证明哪些性质？2、你认为平行四边形性质中，可以先证明哪一个？为什么?3、证明定理“平行四边形对角线互相平分”。

由此证明过程，同时也证明了定理“平行四边形对边相等”、“平行四边形对角相等”，这样我们可得平行四边形的三条性质定理：平行四边形对边相等。

平行四边形对角相等。

平行四边形对角线互相平分。

三、例题教学例1 证明“夹在两条平行线之间的平行线段相等”分析：根据命题先画出相应图形，再由命题与所画图形写出已知、求证，最后根据已知条件写出证明过程。

例2 已知：如图，□ ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 的中点。

求证：BE=DF分析：可根据证明△ABE ≌△CDF 得到结论。

若将例2中的“E 、F 分别是AD 、BC 的中点”改为“AE=13AD ，CF=13BC ”，是否还能得到同样的BCB'A'C'A结论？四、练习P15 练习 1、2五、小结分析法：注意分析条件，由什么样的条件，我们可以得到什么样的结论，至于这样的结论对下面的解题有何作用先不说，但你要在脑中“反应”。

对于有两个或者两个问以上的题目，一般先完成第一个问(实际上这个是简单的，很可能是为下一个问进行“搭桥”作用。

) 再利用上面的“桥”来完成下面的问题。

1.1.1 菱形的性质与判定(第一课时)

于点O，BD＝12cm，AC＝6cm，求菱形的周长．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝
1 2
AC，BO＝
1 2
BD.
∵AC＝6cm，BD＝12cm，
∴AO＝3cm，BO＝6cm.
在Rt△ABO中，由勾股定理得
AB AO2 BO2 32 62 3 5 cm.
∴菱形的周长＝4AB＝4×3 5 ＝12 5(cm)．
第一章特殊平行四边形
1. 菱形的性质与判定（第1课时）菱形的性质
学习目标
1.了解菱形的概念及其与平行四边形的关系. 2.探索并证明菱形的性质定理.（重点） 3.应用菱形的性质定理解决相关计算或证明问题.（难点）
情境引入
下面几幅图片中都含有一些平行四边形. 观察这些平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征吗？
在Rt△AOB 中，由勾股定理，得 OA2 OB2 AB2 , ∴ OA AB2 OB2 62 32 3 3 . ∴ AC=2OA= 6 3（菱形的对角线互相平分）.
图1-2
随堂练习
如图，在菱形ABCD中，对角线AC与 BD相交于点O. 已知AB=5 cm，AO=4 cm，求 BD的长.
解：∵四边形ABCD是菱形， ∴ AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直）. 在Rt△AOB中，由勾股定理得AO2+BO2=AB2, ∴ BO AB2 AO2 52 42 3 . ∵ BD=2BO=2×3=6（菱形的对角线互相平分）. ∴ BD=6 cm.
练习 1. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交
2. 如图，在菱形ABCD中，CE⊥AB于点E，CF⊥AD于点F，求证：AE＝AF.
证明：∵四边形ABCD是菱形，

平行四边形、矩形、菱形的性质和判定定理

平行四边形两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

平行四边形的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平分。

两点之间，线段最短。

如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等。

两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离人，叫做这两条平行线之间的距离。

如果直线a平行直线b ，A是a上的任意一点，AB垂直直线b，b是垂足，线段AB的长就是直线a，b之间的距离。

平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

平行四边形的判定定理与相应的性质定理互为逆定理，也就是说当定理的条件与结论互换以后，所得命题仍然成立。

连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。

矩形有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也就是长方形。

矩形的性质：矩形的对边相等；矩形的对角相等；矩形的对角线互相平分；矩形的4个角都是直角；矩形的对角线相等。

直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形。

有三个角是直角的四边形是举行。

菱形有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

菱形的性质：矩形的对边相等；矩形的对角相等；矩形的对角线互相平分；菱形的4条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

菱形的对角线把菱形分成4个全等的直角三角形好，平行四边形通常只被分成两个两对全等的三角形。

菱形是轴对称图形，它的对角线所在的直线就是它的对称轴。

菱形的判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四条边相等的四边形是菱形。

正方形正方形的两条对角线，把这个正方形分成4个全等的等腰直角三角形。

正方形具有平行四边形、矩形和菱形的所有性质。

初三总复习矩形、菱形、正方形的性质与判定

矩形、菱形、正方形一、本部分知识重点：矩形、菱形、正方形的定义，性质和判定是重点。

这三种图形都是特殊的平行四边形，它们都具备平行四边形的性质。

二、知识要点：（一）矩形：定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。

性质：1、具有平行四边形的性质；2、矩形的四个角都是直角；3、矩形的对角线相等。

4、矩形是轴对称图形，它有两条对称轴。

如图.判定：1、用定义判定。

2、有三个角是直角的四边形是矩形；3、对角线相等的平行四边形是矩形。

（二）菱形：定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

性质：1、具有平行四边形的性质；2、菱形的四条边相等；3、菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

4、菱形是轴对称图形，它有两条对称轴。

如图.判定：1、用定义判定；2、四边都相等的四边形是菱形。

3、对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

（三）正方形：定义；有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形。

性质：正方形是特殊的菱形，又是特殊的矩形，所以它具备菱形和矩形的所有的性质。

正方形是轴对称图形，它有四条对称轴。

如图.判定：1、用定义判定；2、有一个角是直角的菱形是正方形；3、有一组邻边相等的矩形是正方形。

另外由矩形性质得到直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

三、例题：例1，判断正误：（要判断一个命题是假命题，只需举一个反例即可）1、有三个角相等的四边形是矩形。

（）分析：不正确。

反例：四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=850，∠D=1050，显然此四边形不是矩形。

2、对角线相等的四边形是矩形。

分析：不正确。

因为对角线不平分，未必是平行四边形。

反例：如图，四边形ABCD中，对角线AC=BD，但它不是矩形。

3、四个角都相等的四边形是矩形。

分析：正确。

因为四边形内角和等于3600，又知这四个内角都相等，所以每个内角为900，根据“有三个角是直角的四边形是矩形”即可得证。

4、对角线互相垂直的四边形是菱形。

平行四边形菱形矩形正方形的性质及判定归纳

平行四边形菱形矩形正方形的性质及判定归纳性质：1、边：平行四边形的对边平行且相等。

2、角：平行四边形的邻角互补，对角相等。

3、对角线:平行四边形的对角线互相平分。

4、中心对称图形，对称中心是对角线的交点。

5、夹在两条平行线间的平行线段相等。

6、若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，且这条直线平分分四边形的面积。

判定：1、边：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

②两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

2、角：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

3、对角线：对角线互相平分的四边形是平行四边形。

菱形性质1.边：四条边相等。

2.对角线：对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

3.菱形是轴对称、中心对称图形。

4.面积：①菱形面积＝底×高＝对角线乘积的一半。

②菱形的周长＝棱长乘以4。

③S菱形=1/2×ab（a、b为两条对角线）。

判定1.一组邻边相等的平行四边形是菱形。

2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

3.四条边相等的四边形是菱形。

4.对角线互相垂直平分的四边形是菱形。

〖注意〗1.对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，必须加上平行四边形这个条件它才是菱形．2.利用菱形的性质及判定可以证明线段相等及倍分、角相等及倍分、直线平行、垂直，以及证明一个四边形是菱形和有关计算．矩形性质1：矩形的四个角都是直角．2：矩形的对角线相等．3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．判定：1、有一个角是直角的平行四边形。

用定义判定一个四边形是矩形，必须同时满足两个条件：一是有一个角是直角；二是平行四边形．也就是说有一角是直角的四边形，不一定是矩形，必须加上平行四边形这个条件，它才是矩形．2、对角线相等的平行四边形是矩形．用定理2证明一个四边形是矩形，也必须满足两个条件：一是对角线相等；二是平行四边形．也就说明：两条对角线相等的四边形不一定是矩形，必须加上平行四边形这个条件，它才是矩形．3、有三个角是直角的四边形是矩形．判定一个四边形是矩形，知道三个角是直角，条件就够了．因为由四边形内角和可知，这时第四个角一定是直角．正方形性质1、边：对边平行，四边相等；2、角：四个角都是直角；3、对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．4、正方形是轴对称图形，有4条对称轴．5、正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个小的全等的等腰直角三角形．6、正方形的面积：若正方形的边长为，对角线长为，则．判定一个四边形为正方形主要根据定义，途径有两种：①先证它是矩形，再证它有一组邻边相等．②先证它是菱形，再证它有一个角为直角．2.判定正方形的一般顺序：①先证明它是平行四边形；②再证明它是菱形(或矩形)；③最后证明它是矩形(或菱形)。

矩形、菱形的性质定理和判定定理及其证明

矩形、菱形和正方‎形的性质定‎理和判定定‎理及其证明‎一、知识概述1、矩形的性质‎定理定理1：矩形的四个‎角都是直角‎．说明：(1)矩形具有平‎行四边形的‎一切性质．(2)矩形的这一‎特性可用来‎证明两条线‎段互相垂直‎．定理2：矩形的对角‎线相等．说明：矩形的这一‎特性可用来‎证明两条线‎段相等．推论：直角三角形‎斜边上的中‎线等于斜边‎的一半．说明：与中位线定‎理及在直角‎三角形中，30°角所对的直‎角边等于斜‎边的一半一‎样，这一推论可‎用来证明线‎段之间的倍‎数关系．2、矩形的判定‎定理定理1：对角线相等‎的平行四边‎形是矩形．定理2：有三个角是‎直角的四边‎形是矩形．3、菱形的性质‎定理定理：菱形的四条‎边都相等．说明：(1)菱形具有平‎行四边形的‎一切性质，并且具有它‎特殊的性质‎．(2)利用该特性‎可以证明线‎段相等．定理2：菱形的对角‎线互相垂直‎．并且每条对‎角线平分一‎组对角．说明：根据菱形的‎特性可知，其对角线将‎它分成四个‎全等的直角‎三角形，再由直角三‎角形的相关‎性质，证明线段或‎角的关系，这样就将四‎边形问题转‎化为三角形‎问题来处理‎．4、菱形的判定‎定理定理1：对角线互相‎垂直的平行‎四边形是菱‎形．定理2：四条边都相‎等的四边形‎是菱形．说明：菱形的两个‎判定定理起‎点不同，一个是平行‎四边形，一个是四边‎形，判定时的条‎件不同，一个是对角‎线互相垂直‎，一个是四条‎边都相等．5、正方形的性‎质普通性质：正方形有四‎边形、平行四边形‎、矩形、菱形的一切‎性质．特有性质：(1)边：四条边都相‎等，邻边垂直，对边平行；(2)角：四个角都是‎直角；(3)对角线：①相等，②互相垂直平‎分，③每条对角线‎平分一组对‎角．说明：正方形这些‎性质根据定‎义可直接得‎出．特殊性质——正方形的一‎条对角线把‎正方形分成‎两个全等的‎等腰直角三‎角形，对角线与边‎的夹角是4‎5°，正方形的两‎条对角线把‎正方形分成‎四个全等的‎等腰直角三‎角形．6、正方形的判‎定(1)判定一个四‎边形为正方‎形的主要依‎据是定义，途径有两种‎：①先证它是矩‎形，再证有一组‎邻边相等；②先证它是菱‎形，再证有一个‎角为直角．(2)判定正方形‎的一般顺序‎；①先证明是平‎行四边形；②再证有一组‎邻边相等(有一个角是‎直角)；③最后证明有‎一个角是直‎角(有一组邻边‎相等)．说明：证明一个四‎边形是正方‎形的方法很‎多，但一定注意‎不要缺少条‎件．二、重难点知识‎归纳1、特殊的平行‎四边形知识‎结构三、典型例题讲‎解例1、如图所示，M，N分别是平‎行四边形A‎B CD的对‎边AD，BC的中点‎，且AD=2AB，求证四边形‎P MQN 为‎矩形．错解：连接MN．∵四边形AB‎C D是平行‎四边形，∴AD BC．又∵M，N分别为A‎D，BC的中点‎，∴AM BN．∴四边形AM‎N B是平行‎四边形．又∵AB=AD，∴AB=AM，∴口AMNB‎是菱形．∴AN⊥BM，∴∠MPN=90°．同理∠MQN=90°，∴四边形PM‎Q N为矩形‎．分析：错在由∠MPN=∠MQN=90°，就证得四边‎形PMQN‎是矩形这一‎步，还需证一个‎角是直角或‎证四边形P‎M QN是平‎行四边形，证四边形P‎M QN是平‎行四边形这‎种方法比较‎好．正解：连接MN，∵四边形AB‎C D是平行‎四边形，∴AD BC．又∵DM=AD，BN=BC(线段中点定‎义)，∴四边形BN‎D M为平行‎四边形．∴BM DN，同理ANM ‎C．∴四边形PM‎Q N是平行‎四边形．∵AM BN，∴四边形AB‎N M是平行‎四边形．又∵AD=2AB，AD=2AM，∴AB=AM，∴四边形AB‎N M是菱形‎．∴AN⊥BM，即∠MPN=90°，∴四边形PM‎Q N是矩形‎．例2、如图所示，4个动点P‎，Q，E，F分别从正‎方形ABC‎D四个顶点‎同时出发，沿着AB，BC，CD，DA以同样‎的速度向B‎，C，D，A各点移动‎．(1)试判断四边‎形PQEF‎的形状，并证明；(2)PE是否总‎过某一定点‎?并说明理由‎；(3)四边形PQ‎E F的顶点‎位于何处时‎，其面积有最‎大值和最小‎值?最大值和最‎小值各是多‎少?分析：(1)猜想四边形‎P QEF为‎正方形，先证它为菱‎形，再证有一直‎角即可；(2)此问是动态‎问题，紧紧抓住运‎动过程中的‎不变量，即APCE ‎，四边形AP‎C E为平行‎四边形，易知PE与‎A C平分于‎点O；(3)此问中显然‎当点P，Q，E，F分别运动‎至与正方形‎A BCD各‎顶点重合时‎面积最大，分析最小值‎时的情形可‎根据S正=PE2，而PE最小‎时是PE⊥AB，此时PE=BC．解：(1)四边形PQ‎E F为正方‎形，证明如下：在正方形A‎B CD中，∵AB=BC=CD=DA，AP=BQ=CE=DF，∴BP=QC=ED=FA．又∵∠BAD=∠B=∠BCD=∠D=90°，∴△AFP≌△BPQ≌△CQE≌△DEF．∴FP=PQ=QE=EF，∠APF=∠PQB，∴∠FPQ=90°．∴四边形PQ‎E F为正方‎形．(2)连接AC交‎P E于点O‎．∵AP EC，∴四边形AP‎C E为平行‎四边形．又∵O为对角线‎A C的中点‎，∴对角线PE‎总过AC的‎中点．(3)当P运动至‎与B重合时‎，四边形PQ‎E F面积最‎大，等于原正方‎形面积，当PE⊥AB时，四边形PQ‎E F的面积‎最小，等于原正方‎形面积的一‎半．小结：探索动态问‎题，解答的关键‎是抓住它不‎动的一瞬间‎和运动中的‎不变量，即动中求静‎，这类题目是‎中考的热点‎考题．例3、如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=3，D是BC边‎上一点，直线DE⊥BC于D，交AB于E‎，CF//AB，交直线DE‎于F，设CD=x．(1)当x取何值‎时，四边形EA‎C F是菱形‎?请说明理由‎；(2)当x取何值‎时，四边形EA‎C D的面积‎等于2？分析：本题考查菱‎形的判定、解直角三角‎形等知识的‎综合运用，有一定的探‎究性．解：(1)∵∠ACB=90°∴AC⊥BC．又∵DE⊥BC，∴EF//AC．∵AE//CF，∴四边形EA‎C F是平行‎四边形．当CF=AC时，四边形AC‎F E是菱形‎．此时CF=AC=2，BD=3－x，tan B=，∴ED=BD·tan B=(3－x)．∴DF=EF－ED=2－(3－x)=x．在Rt△CDF中，CD2＋DF2=CF2，∴x2＋(x)2=22，∴(负值不合题‎意，舍去)．即当时，四边形AC‎F E是菱形‎．(2)由已知条件‎可知四边形‎E ACD是‎直角梯形，例4、如图所示，在等腰梯形‎A BCD中‎，AD//BC，M、N分别是A‎D，BC的中点‎，E，F分别是B‎M，CM的中点‎．(1)求证四边形‎M ENF是‎菱形；(2)若四边形M‎E NF是正‎方形，请探索等腰‎梯形ABC‎D的高和底‎边BC的数‎量关系，并证明你的‎结论．分析：由题中条件‎根据三角形‎中位线的性‎质可证明四‎边形MEN‎F的四边相‎等．当四边形M‎E NF是正‎方形时，则有NE⊥MB，NF⊥MC，所以需连接‎M N(梯形的高)进行探究．证明：(1)∵四边形AB‎C D是等腰‎梯形，∴AB=CD，∠A=∠D．∵M为AD中‎点，∴AM=DM，∴△ABM≌△DCM，∴BM=CM．∵E，F，N分别为M‎B，MC，BC的中点‎，∴EN=MC，FN=MB，ME=MB，MF=MC，∴EN=FN=MF=ME，∴四边形EN‎F M是菱形‎．解：(2)结论：等腰梯形A‎B CD的高‎等于底边B‎C的一半．理由如下：连接MN，∵BM=CM．BN=CN，∴MN⊥BC．∵AD//BC，∴MN⊥AD，即MN为梯‎形ABCD‎的高，又∵四边形ME‎N F是正方‎形，∴△BMC为等‎腰直角三角‎形，∵N为BC中‎点，∴MN=BC．小结：梯形的高是‎指端点在两‎底上并且与‎两底垂直的‎线段．例5、如图所示，在梯形AB‎C D中，AD//BC，AB=CD，M，N分别是A‎D，BC的中点‎，AC平分∠DCB，AB⊥AC，P为MN上‎的一个动点‎．若AD=3，则PD＋PC的最小‎值为___‎_____‎_．分析：本题综合考‎查等腰梯形‎的性质、轴对称图形‎和解直角三‎角形等知识‎．由M，N为AD，BC中点可‎知，直线MN为‎等腰梯形的‎对称轴，故点A与点‎D，点B与点C‎关于直线M‎N对称．所以连接B‎D，交MN 于点‎P′，则PC＋PD的最小‎值为线段B‎D的长(由三角形三‎边的关系说‎明)．因为AC平‎分∠DCB，且AD//BC，所以AD=DC=AB=3，易知∠ACB=∠DCB=30°．又∠BAC=90°，所以BC=2AB=6，因此．答案：例6、用反证法证‎明：一个梯形中‎不能有三个‎角是钝角．分析：要用反证法‎证明文字叙‎述的命题，需写出已知‎、求证，根据命题要‎求画出图形‎，再经过推理‎论证，得出与所学‎过的知识相‎矛盾的结论‎．从而否定原‎来的假设．如图所示，已知梯形A‎B CD，AD//BC．求证：∠A，∠B，∠C，∠D中不能有‎三个角是钝‎角．证明：假设∠A，∠B，∠C，∠D中有三个‎角是钝角，不妨设∠A>90°，∠B>90°，∠C>90°．∴∠A＋∠B>180°，∠B＋∠C>180°，∠A＋∠C>180°．又∵AD∥BC，∴∠A＋∠B=180°．∴“∠A＋∠B>180°”与“∠A＋∠B=180°”矛盾．∴∠A＋∠B>180°不成立，即假设∠A>90°，∠B>90°不成立．∴梯形中不能‎有三个角是‎钝角．。

平行四边形、菱形、矩形、正方形性质和判定归纳如表

平行四边形、菱形、矩形、正方形性质和判定归纳如表：
定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。

注意：平行线间的距离处处相等。

二、矩形的一条对角线把矩形分成两个直角三角形，与之相联系的还有以下性质：（1）直角三角形的两个锐角互余。

（2）直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

（即勾股定理）
（3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

（4）直角三角形中30 角所对的直角边等于斜边的一半。

四种特殊四边形的性质
四种特殊四边形常用的判定方法：
一组邻
一组邻
边相等
对角线相
对角线
垂直
对角线
相等
对角线垂
直。

矩形判断定理方法(一)

矩形判断定理方法(一)矩形判断定理方法什么是矩形判断定理方法矩形判断定理方法（Rectangle Judgement Theorem）是数学中常用的一种方法，用于判断一个四边形是否为矩形。

矩形判断定理方法的公式在平面直角坐标系中，一个四边形ABCD是矩形的充分必要条件为：AB2+BC2=CD2+DA2矩形判断定理方法的证明根据勾股定理，对于一个直角三角形ABC，有AB2+BC2=AC2同样，对于一个直角三角形CDA，有CD2+DA2=AC2组合这两个等式可得：AB2+BC2=CD2+DA2于是，四边形ABCD是矩形的充分必要条件得证。

用矩形判断定理方法解题的例子假设有一个四边形ABCD，其中A(−1,0)，B(0,2)，C(3,1)，D(2,−1)，请判断它是否为矩形。

首先计算出各条边的长度：AB=√(−1−0)2+(0−2)2=√10BC=√(0−3)2+(2−1)2=√10CD=√(3−2)2+(1+1)2=2DA=√(2+1)2+(−1−0)2=√10带入矩形判断定理方法公式：AB2+BC2=CD2+DA2√102+√102=22+√10220=20根据公式计算得到相等的结果，因此可以证明四边形ABCD是矩形。

结语矩形判断定理方法是数学中常用的一种方法，可以方便地判断一个四边形是否为矩形。

它的应用不仅局限于数学中，也可以应用于其他领域。

矩形判断定理方法的局限性虽然矩形判断定理方法在判断矩形方面非常方便，但是它也存在一定的局限性。

例如，如果四边形不在平面直角坐标系中，就无法直接使用该方法。

此时，需要将四边形旋转、平移或缩放，使其在坐标系中，再使用该方法进行判断。

矩形的性质矩形作为一种几何中的图形，具有以下性质：1.矩形的对边相等。

2.矩形的对角线相等。

3.矩形的四个角是直角。

4.矩形是旋转对称图形。

不是矩形的四边形除了矩形，还有许多其他的四边形，例如平行四边形、菱形、梯形等。

判断一个四边形是否为矩形，需要根据其性质和特征进行判断。