2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题(含解析)_1

2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题
（含解析）
一、填空题
1.函数的最小正周期______.
【答案】π
【解析】
函数y=3sin（2x+）的最小正周期是=π，故答案为：π．
2.若扇形圆心角为，扇形面积为，则扇形半径为
__________.
【答案】2
【解析】
【分析】
先将角度转化为弧度，然后利用扇形面积公式列方程，由此求得扇形的半径.
【详解】依题意可知，圆心角的弧度数为，设扇形半径为，则.
【点睛】本小题主要考查角度制和弧度制的转化，考查扇形面
积公式，属于基础题.
3.在等差数列中，已知，，则________.
【答案】-16
【解析】
【分析】
设等差数列的公差为，利用通项公式求出即可.
【详解】设等差数列的公差为，得，则
.
故答案为：
【点睛】本题考查了等差数列通项公式的应用，属于基础题.
4.若数列满足：，，则前8项的和
_________.
【答案】255
【解析】
【分析】
根据已知判断数列为等比数列，由此求得其前项和.
【详解】由于，故数列是首项为，公比为的等比数列，故.
【点睛】本小题主要考查等比数列的定义，考查等比数列前项和公式，属于基础题.
5.已知，则_________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据诱导公式求得的值，根据同角三角函数的基本关系式求得的值，根据二倍角公式求得的值.
【详解】依题意，由于，所以
，所以.
【点睛】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数基本关系式，二倍角公式，属于基础题.
6.函数，为偶函数，则_______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据诱导公式以及的取值范围，求得的值.
【详解】根据诱导公式可知，是的奇数倍，而，所以.
【点睛】本小题主要考查诱导公式，考查三角函数奇偶性，属于基础题.
7.在中，,其面积，则长为________.【答案】49
【解析】
【分析】
根据三角形面积公式求得，然后根据余弦定理求得.
【详解】由三角形面积公式得,解得，由余弦定理得.
【点睛】本小题主要考查三角形的面积公式，考查利用余弦定理解三角形，属于基础题.
8.设表示等比数列的前项和，已知，则
______.
【答案】7
【解析】
【分析】
根据等比数列的前项和公式化简已知条件，求得的值，由此求得所求表达式的值.
【详解】由于数列为等比数列，故.
.
【点睛】本小题主要考查数列的前项和公式，考查运算求解能力，属于基础题.
9.数列中,则通项____________.
【答案】
【解析】
因为数列的首项为1，递推关系式两边加1，得到等比数列，其公比为3，首项为2，因此可知。

故答案为
10.已知和的图象的对称轴完全相同，则时，方程的解是______.
【答案】或
【解析】
【分析】
根据两个函数对称轴相同，则周期相同，求得的值，根据函
数值为求得的值.
【详解】由于两个函数对称轴相同，则周期相同，故，即，当时，，令，则或，解得或.
【点睛】本小题主要考查三角函数的周期性，考查已知三角函数值求对应的值，属于基础题.
11.在等比数列中，已知，若，则
的最小值是______.
【答案】12
【解析】
【分析】
利用等比数列的通项公式化简，可得
根据可判断将变形为
，利用基本不等式的性质即可得出结果．
【详解】在等比数列中，
，
，
化为：．
若，则
，当且仅当时取等号．
若，则，与矛盾，不合题意
综上可得，的最小值是，故答案为12．
【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、基本不等式的性质，属于中档题．在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.
12.已知函数，数列是公比大于0的等比数列，且
，，则_______.
【答案】
【解析】
【分析】
由于是等比数列，所以也是等比数列.根据题目所给条件列方程，解方程求得的值.
【详解】设数列的公比为，则是首项为，公比为
的等比数列，由得
，即①，由，得②，联立①②解得.
【点睛】本小题主要考查等比数列的性质，考查等比数列的前项和公式，考查运算求解能力，属于中档题.
二、选择题
13.要得到的图象，只要将函数的图象（）
A. 向左平移单位
B. 向右平移单位
C. 向左平移单位
D. 向右平移单位
【答案】D
【解析】
【分析】
将初始函数化简，然后根据三角函数图像平移的知识得出正确选项.
【详解】初始函数，向右平移个单位得到，故选D.
【点睛】本小题主要考查三角函数图像变换的知识，属于基础
题.
14.用数学归纳法证明命题“”时,在作归纳假设后,需要证明当时命题成立,即需证明 ( )
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据数学归纳法的知识，直接选出正确选项.
【详解】将题目中的，改为，即
，故选B.
【点睛】本小题主要考查数学归纳法的知识，属于基础题.
15.已知等比数列的前项和为，则下列一定成立的是（）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】C
【解析】
【分析】
利用等比数列的通项公式，根据已知得出的正负，然后判断结论是否正确，由此得出正确选项.
【详解】当时，为正数，无法确定，故
，C选项正确.而无法确定正负，A选项错误..当时，不妨设数列为，则，故B,D选项错误. 综上所述，本小题选C.
【点睛】本小题主要考查等比数列的通项公式，考查等比数列项的正负判断，属于基础题.
16.等差数列，满足
，则（）
A. 的最大值为50
B. 的最小值为50
C. 的最大值为51
D. 的最小值为51
【答案】A
【解析】
【分析】
首先数列中的项一定满足既有正项，又有负项，不妨设
，由此判断出数列为偶数项，利用配凑法和关系式的变换求出的最大值.
【详解】为等差数列，则使
，所以数列中的项一定有正有负，不妨设，因为
为定
值，故设，且，解得.若且，则，同理若，则.所以
，所以数列的项数为，所以
，由于，所以，解得，故
，故选A.
【点睛】本小题主要考查数列的通项公式的应用，考查等差数列求和公式的应用，考查运算求解能力，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.
三、解答题
17.已知函数.
（1）求的单调递增区间；
（2）当时，求的最大值和最小值.
【答案】（1）；（2）的最大值为2，最小值为-1
【解析】
【分析】
（1）利用辅助角公式得：，将放入的单调递增区间中，求出的范围即可；（2）根据的范围得
的范围，结合的图象可求得最值.
【详解】（1）
由得：
的单调增区间为
（2）当时，
当时，
当时，
的最大值为，最小值为
【点睛】本题考查的单调区间的求解、函数值域的求解问题，关键是能够通过整体对应的方式，通过分析的图象求得结果.
18.已知递增的等差数列满足：，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列对任意正整数都满足，求数列
的前项的和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）将已知条件转化为的形式，解方程组求得，进而求得数列的通项公式.（2）利用分组求和法求得数列的前项和.
【详解】（1）由于数列为等差数列，故，解得，故.（2）依题意，所以
.【点睛】本小题主要考查利用基本元的思想求解等差数列的通项公式，考查分组求和法、考查裂项求和法，属于中档题.
19.为了加强环保建设，提高社会效益和经济效益，某市计划用若干年时间更换一万辆燃油型公交车。

每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，更换的新车为电力型车和混合动力型车。

今年初投入了电力型公交车辆，混合动力型公交车辆，计划以后
电力型车每年的投入量比上一年增加，混合动力型车每年比上一年多投入辆．设、分别为第年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量，设、分别为年里投入的电力型公交车、混合动力型公交车的总数量。

（1）求、，并求年里投入的所有新公交车的总数；（2）该市计划用年的时间完成全部更换，求的最小值．
【答案】（1），，
；
（2）147．
【解析】
试题分析：（1）设、分别为第年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量，通过分析可知数列是首项为、公比为的等比数列,数列是首项为、公差为的等差数列，由等比数列的前项和公式，等差数列的前项和公式即可求出;（2）通过分析
、是关于的单调递增函数，故是关于的单调递增函数，要求满足的最小值应该是，此时应注意实际问题中取整的问题．
试题解析：（1）设、分别为第年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量，
依题意知，数列是首项为、公比为的等比数列； 1分
数列是首项为、公差为的等差数列， 2分
所以数列的前项和， 4分
数列的前项和， 6分
所以经过年，该市更换的公交车总数
； 7分
（2）因为、是关于的单调递增函数， 9分
因此是关于的单调递增函数， 10分
所以满足的最小值应该是， 11分
即，解得， 12分
又，所以的最小值为147．
考点：1、等差数列、等比数列的定义的灵活应用；2、等差数列、等比数列的前项和公式；3、函数的单调性；4、求最值问题．
20.已知数列的前项和为，等差数列满足
．
（1）分别求数列的通项公式；
（2）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）由----①得----②，
①②得，
又a2=3,a1=1也满足上式，∴an=3n-1；----------------3分
； -----------------6分
（2），
对恒成立，即对恒成立，-----8分
令，，
当时，，当时，，--------------10分
，．----------12分
【解析】
试题分析：（1）根据条件等差数列满足，，将其转化为等差数列基本量的求解，从而可以得到的通项公
式，根据可将条件中的变形得到
，验证此递推公式当n=1时也成立，可得到是等比数列，从而得到的通项公式；
（2）根据（1）中所求得的通项公式，题中的不等式
可转化为，从而问题等价于求，可求得当n=3时，为最大项，从而可以得到．
（1）设等差数列公差为，则，
解得，，（2分）
当时，，则，
是以1为首项3为公比的等比数列，则．（6分）；
（2）由（1）知，，原不等式可化为（8分）
若对任意的恒成立，，问题转化为求数列的最大项
令，则，解得，所以，（10分）即的最大项为第项，，所以实数的取值范围．（12分）．
考点：1、数列的通项公式；2、恒成立问题的处理方法．
21.对于任意，若数列满足，则称这个数列为“数列”.
（1）已知数列：，，是“数列”，求实数的取值范围；（2）已知等差数列的公差，前项和为，数列是“数列”，求首项的取值范围；
（3）设数列前项和为，，且，. 设，是否存在实数，使得数列为“数列”.若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】
【分析】
（1）根据数列的概念列不等式组，解不等式组求得的取值范围.（1）写出数列的表达式，根据“数列”的概念列不等式，解不等式求得的取值范围.（3）利用“退一作差法”证得是公比为的等比数列，求出的通项公式，由此求得的表达式，根据“数列”的概念列不等式，解不等式求得的取值范围，
【详解】（1）得；
（2），数列是“K数列”；
，，对恒成立,
.
（3）,
,
也成立,
，是公比为的等比数列，
,
，由题意得：,
,
当偶数时，恒成立,
当为奇数时，恒成立.
所以综上：
【点睛】本小题主要考查等差数列的前项和公式，考查等比数列的定义和通项公式的求法，考查已知求得方法，考查新定义概念的理解和运用.综合性较强，属于难题.
2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题
（含解析）
一、填空题
1.函数的最小正周期______.
【答案】π
【解析】
函数y=3sin（2x+）的最小正周期是=π，故答案为：π．
2.若扇形圆心角为，扇形面积为，则扇形半径为__________.
【答案】2
【解析】
【分析】
先将角度转化为弧度，然后利用扇形面积公式列方程，由此求得扇形的半径.
【详解】依题意可知，圆心角的弧度数为，设扇形半径为，则.
【点睛】本小题主要考查角度制和弧度制的转化，考查扇形面积公式，属于基础题.
3.在等差数列中，已知，，则________.
【答案】-16
【解析】
【分析】
设等差数列的公差为，利用通项公式求出即可.
【详解】设等差数列的公差为，得，则.故答案为：
【点睛】本题考查了等差数列通项公式的应用，属于基础题.
4.若数列满足：，，则前8项的和_________.
【答案】255
【解析】
【分析】
根据已知判断数列为等比数列，由此求得其前项和.
【详解】由于，故数列是首项为，公比为的等比数列，故.【点睛】本小题主要考查等比数列的定义，考查等比数列前项和公式，属于基础题.
5.已知，则_________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据诱导公式求得的值，根据同角三角函数的基本关系式求得的值，根据二倍角公式求得的值.
【详解】依题意，由于，所以，所
以.
【点睛】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数基本关系式，二倍角公式，属于基础题.
6.函数，为偶函数，则_______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据诱导公式以及的取值范围，求得的值.
【详解】根据诱导公式可知，是的奇数倍，而，所以.
【点睛】本小题主要考查诱导公式，考查三角函数奇偶性，属于基础题.
7.在中，,其面积，则长为________.
【答案】49
【解析】
【分析】
根据三角形面积公式求得，然后根据余弦定理求得.
【详解】由三角形面积公式得,解得，由余弦定理得
.
【点睛】本小题主要考查三角形的面积公式，考查利用余弦定理解三角形，属于基础题.
8.设表示等比数列的前项和，已知，则______.
【答案】7
【解析】
【分析】
根据等比数列的前项和公式化简已知条件，求得的值，由此求得所求表达式的值.
【详解】由于数列为等比数列，故..【点睛】本小题主要考查数列的前项和公式，考查运算求解能力，属于基础题.
9.数列中,则通项____________.
【答案】
【解析】
因为数列的首项为1，递推关系式两边加1，得到等比数列，其公比为3，首项为2，因此可知。

故答案为
10.已知和的图象的对称轴完全相同，则
时，方程的解是______.
【答案】或
【解析】
【分析】
根据两个函数对称轴相同，则周期相同，求得的值，根据函数值为求得的值.
【详解】由于两个函数对称轴相同，则周期相同，故，即，当
时，，令，则或，解得或.
【点睛】本小题主要考查三角函数的周期性，考查已知三角函数值求对应的值，属于基础题.
11.在等比数列中，已知，若，则的最小值是______.
【答案】12
【解析】
【分析】
利用等比数列的通项公式化简，可得根据
可判断将变形为，利用基本不等式的性质即可得出结果．
【详解】在等比数列中，
，
，
化为：．
若，则
，当且仅当时取等号．
若，则，与矛盾，不合题意
综上可得，的最小值是，故答案为12．
【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、基本不等式的性质，属于中档题．在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.
12.已知函数，数列是公比大于0的等比数列，且，
，则_______.
【答案】
【解析】
【分析】
由于是等比数列，所以也是等比数列.根据题目所给条件列方程，解方程求得的值.
【详解】设数列的公比为，则是首项为，公比为的等比数列，由
得
，即①，由，得
②，联立①②解得.
【点睛】本小题主要考查等比数列的性质，考查等比数列的前项和公式，考查运算求解能力，属于中档题.
二、选择题
13.要得到的图象，只要将函数的图象（）
A. 向左平移单位
B. 向右平移单位
C. 向左平移单位
D. 向右平移单位
【答案】D
【解析】
【分析】
将初始函数化简，然后根据三角函数图像平移的知识得出正确选项.
【详解】初始函数，向右平移个单位得到，故选D.
【点睛】本小题主要考查三角函数图像变换的知识，属于基础题.
14.用数学归纳法证明命题“”时,在作归纳假设后,需要证明当
时命题成立,即需证明 ( )
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据数学归纳法的知识，直接选出正确选项.
【详解】将题目中的，改为，即，故选B.【点睛】本小题主要考查数学归纳法的知识，属于基础题.
15.已知等比数列的前项和为，则下列一定成立的是（）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】C
【解析】
【分析】
利用等比数列的通项公式，根据已知得出的正负，然后判断结论是否正确，由此得出正确选项.
【详解】当时，为正数，无法确定，故，C选项正确.而无法确定正负，A选项错误..当时，不妨设数列为，则
，故B,D选项错误. 综上所述，本小题选C.
【点睛】本小题主要考查等比数列的通项公式，考查等比数列项的正负判断，属于基础题.
16.等差数列，满足
，则（）
A. 的最大值为50
B. 的最小值为50
C. 的最大值为51
D. 的最小值为51
【答案】A
【解析】
【分析】
首先数列中的项一定满足既有正项，又有负项，不妨设，由此判断出数列为偶数项，利用配凑法和关系式的变换求出的最大值.
【详解】为等差数列，则使
，所以数列中的项一定有正有负，不妨设，因为
为定值，
故设，且，解得.若且，则，同理若
，则.所以，所以数列的项数为，所以
，由于，所以，解得，故，故选A.【点睛】本小题主要考查数列的通项公式的应用，考查等差数列求和公式的应用，考查运算求解能力，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.
三、解答题
17.已知函数.
（1）求的单调递增区间；
（2）当时，求的最大值和最小值.
【答案】（1）；（2）的最大值为2，最小值为-1
【解析】
【分析】
（1）利用辅助角公式得：，将放入的单调递增区间中，求出的范围即可；（2）根据的范围得的范围，结合的图象可求得最值.
【详解】（1）
由得：
的单调增区间为
（2）当时，
当时，
当时，
的最大值为，最小值为
【点睛】本题考查的单调区间的求解、函数值域的求解问题，关键是能够通过整体对应的方式，通过分析的图象求得结果.
18.已知递增的等差数列满足：，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列对任意正整数都满足，求数列的前项的和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）将已知条件转化为的形式，解方程组求得，进而求得数列的通项公式.（2）利用分组求和法求得数列的前项和.
【详解】（1）由于数列为等差数列，故，解得，故.（2）依题意，所以
.【点睛】本小题主要考查利用基本元的思想求解等差数列的通项公式，考查分组求和法、考查裂项求和法，属于中档题.
19.为了加强环保建设，提高社会效益和经济效益，某市计划用若干年时间更换一万辆燃油型公交车。

每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，更换的新车为电力型车和混合动力型车。

今年初投入了电力型公交车辆，混合动力型公交车辆，计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加，混合动力型车每年比上一年多投入辆．设、分别为第年投入的电力型
公交车、混合动力型公交车的数量，设、分别为年里投入的电力型公交车、混合动力型公交车的总数量。

（1）求、，并求年里投入的所有新公交车的总数；
（2）该市计划用年的时间完成全部更换，求的最小值．
【答案】（1），，
；
（2）147．
【解析】
试题分析：（1）设、分别为第年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量，通过分析可知数列是首项为、公比为的等比数列,数列是首项为、公差为的等差数列，由等比数列的前项和公式，等差数列的前项和公式
即可求出;（2）通过分析、是关于的单调递增函数，故是关于的单调递增函数，要求满足的最小值应该是，此时应注意实际问题中取整的问题．
试题解析：（1）设、分别为第年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量，
依题意知，数列是首项为、公比为的等比数列； 1分
数列是首项为、公差为的等差数列， 2分
所以数列的前项和， 4分
数列的前项和， 6分
所以经过年，该市更换的公交车总数
； 7分
（2）因为、是关于的单调递增函数， 9分
因此是关于的单调递增函数， 10分
所以满足的最小值应该是， 11分
即，解得， 12分
又，所以的最小值为147．
考点：1、等差数列、等比数列的定义的灵活应用；2、等差数列、等比数列的前项和公式；
3、函数的单调性；
4、求最值问题．
20.已知数列的前项和为，等差数列满足．（1）分别求数列的通项公式；
（2）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）由----①得----②，
①②得，
又a2=3,a1=1也满足上式，∴an=3n-1；----------------3分
； -----------------6分
（2），
对恒成立，即对恒成立，-----8分
令，，
当时，，当时，，--------------10分
，．----------12分
【解析】
试题分析：（1）根据条件等差数列满足，，将其转化为等差数列基本量
的求解，从而可以得到的通项公式，根据可将条件中的
变形得到，验证此递推公式当n=1时也成立，可得到是等比数列，从而得到的通项公式；
（2）根据（1）中所求得的通项公式，题中的不等式可转化为，从而问题等价于求，可求得当n=3时，为最大项，从而可以得到．
（1）设等差数列公差为，则，
解得，，（2分）
当时，，则，
是以1为首项3为公比的等比数列，则．（6分）；（2）由（1）知，，原不等式可化为（8分）
若对任意的恒成立，，问题转化为求数列的最大项
令，则，解得，所以，（10分）
即的最大项为第项，，所以实数的取值范围．（12分）．
考点：1、数列的通项公式；2、恒成立问题的处理方法．
21.对于任意，若数列满足，则称这个数列为“数列”.
（1）已知数列：，，是“数列”，求实数的取值范围；
（2）已知等差数列的公差，前项和为，数列是“数列”，求首项的取值范围；
（3）设数列前项和为，，且，. 设
，是否存在实数，使得数列为“数列”.若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】
【分析】
（1）根据数列的概念列不等式组，解不等式组求得的取值范围.（1）写出数列的表达式，根据“数列”的概念列不等式，解不等式求得的取值范围.（3）利用“退一作差法”证得
是公比为的等比数列，求出的通项公式，由此求得的表达式，根据“数列”的概念列不等式，解不等式求得的取值范围，
【详解】（1）得；
（2），数列是“K数列”；
，，对恒成立,
.
（3）,
,
也成立,
，是公比为的等比数列，
,
，由题意得：,
,
当偶数时，恒成立,
当为奇数时，恒成立.
所以综上：
【点睛】本小题主要考查等差数列的前项和公式，考查等比数列的定义和通项公式的求法，考查已知求得方法，考查新定义概念的理解和运用.综合性较强，属于难题.。