高考数学总复习 107离散型随机变量及其分布列课件 理

的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X服从参数
为N，M，n的超几何分布．
[疑难关注]
1．对随机变量的理解
(1)随机变量具有如下特点：其一，在试验之前不能断言随 机变量取什么值，即具有随机性；其二，在大量重复试 验中能按一定统计规律取实数值的变量，即存在统计规 律性．
(2)由离散型随机变量分布列的概念可知，离散型随机变量 的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．因此，离散型 随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内 各个值的概率之和．
2．超几何分布
一般地，设有总数为N件的两类物品，其中一类有M件， 从所有物品中任取n件(n≤N)，这n件中所含这类物品件数 X是一个离散型随
CmM
Cn－m N－M
机 变 量 ， 它 取 值 为 m 时 的 概 C率nN 为 P(X ＝ m) ＝
(0≤m≤l，l为n和M中较小的一个)，称离散型随机变量X
则p为( )
1
1
A.6
B.3
2
1
C.3
D.2
解析：由 16＋13＋16＋p＝1，∴p＝13. 答案：B
2．(2013年衡阳模拟)一盒中有12个乒乓球，其中9个新的， 3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此
时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X＝4)的值是
()
1
27
A.220
B.55
27
ξ＝2 时表示取得 2 个白球和 1 个黑球， ∴P(ξ＝2)＝CC32C31115＝111； ξ＝3 时表示取得 3 个白球， ∴P(ξ＝3)＝CC31331＝1165； ∴所求概率分布列为
解析：得分ξ的取值为－3，－2，－1,0,1,2,3. ξ＝－3时表示取得3个球均为红球，
∴P(ξ＝－3)＝CC31331＝1615；
ξ＝－2 时表示取得 2 个红球和 1 个黑球，
∴P(ξ＝－2)＝CC32C31115＝111；
ξ＝－1 时表示取得 2 个Байду номын сангаас球和 1 个白球，或 1 个红球和 2 个黑球， ∴P(ξ＝－1)＝C32C13C＋311C13C25＝1535； ξ＝0 时表示取得 3 个黑球或 1 红、1 黑、1 白， ∴P(ξ＝0)＝C53＋CC31131C13C15＝13； ξ＝1 时表示取得 1 个白球和 2 个黑球或 2 个白球和 1 个红球， ∴P(ξ＝1)＝C31C25C＋311C23C13＝1535；
2
1．(2013年烟台模拟)已知随机变量ξ的分布列为
若P(ξ2<x)＝ ，则实数x的取值范围是________．
解析：由P(ξ2<x11)12＝ 且结合分布列得4<x≤9.
答案：(4,9]
11
12
考向二 分布列的求法
[例2] (2013年日照模拟)在学校组织的足球比赛中，某班 要与其他4个班级各赛一场，在这4场比赛的任意一场中， 此班级每次胜、负、平的概率相等．已知当这4场比赛 结束后，该班胜场多于负场．
第七节 离散型随机变量及其分布列
一、离散型随机变量
随着试验结果变化而变化的变量称随为机变量 ，常用字母X，
Y，ξ，η，…表示．所有取值可以一一列出的随机变量，
称
为
离散型随机变量
．
二、离散型随机变量的分布列及性质
1．离散型随机变量的分布列
若离散型随机变量X所有可能取的值为x1，x2，…，xn，X 取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率为p1，p2，…，pn， 则表
(2)X的可能取值为1,2,3,4，P(X＝1)＝4 ，P(X＝128)＝ ， P8(X＝3)＝ 1，P(X＝4)＝ ，所3以1 X的分布列3为1
31
31
2．(2013年宣城模拟)袋中有3个白球，3个红球和5个黑 球．从中抽取3个球，若取得1个白球得1分，取得1个红 球扣1分，取得1个黑球得0分．求所得分数ξ的概率分布 列．
1
3
考向一 离散型随机变量分布列的性质
[例1] (2013年岳阳模拟)设X是一个离散型随机变量，其 分布列为:
则q等于( )
A．1
C．1－
2 2
B．1±
2 2
D．1＋
2 2
[解析] 由分布列的性质得：
q2＋1－2q＋12＝1， ∴q1q＝－ 2≥12－0q，≥0， .故选C. [答案] C 2
21
C.220
D.55
解析：{X＝4}表示从盒中取了2个旧球，1个新球，
故P(X＝4)＝ C23C19 ＝ 27 .
答案：C
C312
220
3．(2013年宁波模拟)设某项试验的成功率是失败率的2倍，
用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)等
于( A．0)
1 B.2
1
2
C.3
D.3
解析：“X＝0”表示试验失败，“X＝1”表示试验成功， 设失败率为p，则成功率为2p.
2．离散型随机变量分布列的性质 ((12))ppi1≥＋p，2＋0 i＝…1＋,2p,3n＝，…，；n； (3)P(xi≤X≤xj)＝pi＋pi1＋1＋…＋pj.
三、常见离散型随机变量的分布列 1．二点分布 如果随机变量X的分布列为
其中0＜p＜1，q＝
，则称离散型随机变量X服从参
数为p的二点分布．1－p
(1)求该班级胜场多于负场的所有可能的个数和；
(2)若胜场次数为X，求X的分布列．
[解析] (1)若胜一场，则其余为平，共有1 C ＝4种情况； 若胜两场，则其余两场为一负一平2 或1 两4平2 ，共有C C ＋ C ＝18种情况；若胜三场，则其余2 一2 场为4 负或平，共有 C ×2＝8种情况；若胜四场4，3 则只有一种情况．综上， 共有31种情况．
则X的分布列为
1 3
∴由p＋2p＝1得p＝ .
4．(课本习题改编)设随机变量X等可能取值1,2,3，…，n， 如果P(X<4)＝0.3，那么n＝________.
解析： ×3＝0.3，∴n＝10.
1
答案：10n
5．(2013年苏州模拟)已知随机变量X的分布列为P(X＝i)＝ i (i＝1,2,3)，则P(X＝2)＝________. 解∴答2a 析P案(X：：＝由2分)＝布列22a＝的13性. 质知21a＋22a＋23a＝1，∴a＝3，
2．分布列正误的检验方法
对于离散型随机变量的分布列，要注意利用它的两条性质 检验所列分布列是否正确，如果求出的离散型随机变量 的分布列不满足这两条性质，就说明计算过程中存在错 误；反之，也不能说明所得分布列一定是正确的．但要 掌握利用这两条性质判断计算过程是否存在错误的方 法．
1．(课本习题改编)设随机变量X的分布列如下：