二次根式—2024全国初中数学重点高中自招竞赛试题精选精编

二次根式
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1(2024·全国·八年级竞赛)4+15+4-15=．
【答案】10
【分析】本题考查二次根式的运算，将式子进行平方，运用完全平方公式展开后化简，即可解答．
【详解】∵4+15+4-15
2
=4+15
2+24+15⋅4-15+4-15
2
=4+15+216-15+4-15
=8+2
=10，
又4+15>0，4-15>0
∴4+15+4-15=10．
故答案为：10．
2(2024·全国·九年级竞赛)已知x为实数，则x-2+4-x的最大值为．【答案】2
【分析】本题考查二次根式有意义的条件和配方法，掌握被开方数为非负数和配方法是解题关键．先确定x的取值范围，然后利用配方法分析其最值．
【详解】解：由题意可得
x-2≥0
4-x≥0
，解得2≤x≤4，
令y=x-2+4-x y≥0
，
则y2=x-2+4-x
2
=x-2+2x-2
4-x
+4-x
=2+2-x2+6x-8
=2+2-x-3
2+1
∵0≤-x-3
2+1≤1
∴y2的最大值为4，
∴y的最大值为2，
即x-2+4-x的最大值为2．
故答案为：2．
3(2024·全国·八年级竞赛)定义一种新的运算“@”：x@y=ax+by，其中a、b为常数，且使得等式
a-2-8-4a+a b=1
2恒成立，那么2@3=．
【答案】1
【分析】本题考查了二次根式的意义，幂的运算，求代数式的值，正确理解二次根式的意义是解答本题的关键．先根据二次根式的意义列出不等式组并求解，得到a=2，再代入方程求出b的值，从而得到x@y=2x -y，依此即可求得答案．
【详解】根据题意得
a-2≥0
8-4a≥0 ，
∴
a≥2 a≤2 ，
∴a=2，
将a=2代入a-2-8-4a+a b=1
2得0-0+2
b=1
2，
解得b=-1，
∴x@y=2x-y，
∴2@3=2×2-3=1．
故答案为：1．
4(2024·全国·八年级竞赛)计算：2+5
20172-5
2017=．
【答案】-1
【分析】本题主要考查了分式混合运算，平方差公式和积的乘方运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．根据相关的运算法则进行计算即可．
【详解】解：2+5
20172-5
2017
=2+5
2-5
2017
=4-5
2017
=-1
2017
=-1．
故答案为：-1．
5(2024·全国·八年级竞赛)若不等式x+4
+x-1≥a-x-2
-2对任意实数x都成立，则a的最大值为．
【答案】8
【分析】本题考查了绝对值不等式的解法，根据题设借助绝对值的几何意义得x+4
+x-2
有最小值为6，又由x-1≥0得出当x=1时，x+4
+x-2
+x-1的最小值为6，然后由不等式恒成立即可求解．
【详解】解：x+4
+x-1≥a-x-2
-2，
∴x+4
+x-2
+x-1≥a-2
当-4≤x≤2时，x+4
+x-2
有最小值为6，
∵x-1≥0，
∴当x=1时，x+4
+x-2
+x-1的最小值为6，
∴6≥a-2，
∴解得a≤8，
∴a的最大值为8，
故答案为：8．
6(2024·全国·八年级竞赛)计算12×
1
3
27+75+313-48
-24-323
2=．
【答案】12
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式，解题的关键是掌握运算法则．
【详解】解：原式=23×
1
3
×33+53+3×3
3
-43
-26-3×63
2
=23×33-6
=12．
7(2024·全国·八年级竞赛)计算：2009×2010×2011×2012+1-2009=．
【答案】2010
【分析】本题考查整式的混合运算、二次根式的性质，设参数计算是解答的关键．设a=2009，利用整式的混合运算法则和二次根式的性质是解答的关键．
【详解】解：记a=2009，
则原式=a a+1
+1-a
a+3
a+2
=a a+3
+1-a
a+2
a+1
=a2+3a
+1-a
a2+3a+2
=a2+3a
2+2a2+3a
+1-a
=a2+3a+1
2-a
=a2+3a+1-a
=a+1
2
=a+1
=2010，
故答案为：2010．
8(2024·全国·八年级竞赛)化简：-(x+1)2=．
【答案】0
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，由被开方数为非负数得到-x+1
2≤0，可确
2≥0，即x+1
定x+1
2=0，进而求解，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
【详解】解：由题意可得，-(x+1)2≥0，
∴x+1
2≤0
∴(x+1)2=0，
∴-x+1
2=0=0，
故答案为：0．
9(2024·全国·八年级竞赛)已知实数x满足20122-4024x+x2+x-2013=x，则x-20122=．
【答案】2013
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．先根据二次根式有意义的条件求出x的取值范围，再根据二次根式的性质化简得x-2013=2012，然后两边平方即可求解．
【详解】解：∵x-2013≥0，
∴x≥2013，
∴x>2012．
∵20122-4024x+x2+x-2013=x，
∴2012-x
2+x-2013=x，
∴2012-x
+x-2013=x，
∴x-2012+x-2013=x，
∴x-2013=2012，
即x-2013=20122，故x-20122=2013．故答案为：2013．
10(2024·全国·八年级竞赛)计算：1+20092+20092
20102
-1
2010
=．
【答案】2009
【分析】本题考查了完全平方公式和二次根式化简，熟练巧用完全平方公式是解本题的关键；首先化简为完全平方公式形式，然后根据二次根式开方即可解答．
【详解】解：1+20092+20092 20102
-1
2010
=1+2010-1
2+20092 20102
-1
2010
=1+20102-2×2010+1+20092
20102-1 2010
=20102-2×2010+2+2009
2010
2-12010
=20102-2×2010-1
+
2009
2010
2-12010
=20102-2×2009+2009
2010
2-12010
=2010-2009
2010
2-12010
=2010-2009
2010-1 2010
=2009．
故答案为：2009．
11(2024·全国·八年级竞赛)5+26+5-26=．
【答案】23
【分析】本题考查二次根式的化简，熟练利用完全平方公式化简二次根式是解本题的关键．把原式化为3+2
2+3-2
2，再利用二次根式的性质化简即可．
【详解】解：5+26+5-26=3+2
2+3-2
2=3+2+3-2=23，
故答案为：23．
12(2024·全国·八年级竞赛)计算：(π+999)0-12+-3
+8+(-1)3+(2+1)23-22
=．
【答案】22-3+1
【分析】本题主要考查了二次根式的运算，先将二次根式化简，再根据二次根式的运算法则计算即可．【详解】原式=1-23+3+22-1+(3+22)(3-22)
=22-3+(9-8)
=22-3+1.
故答案为：22-3+1．
13(2024·全国·九年级竞赛)已知正整数a、b满足等式a+b=369，则a-b=．
【答案】123或-123
【分析】本题考查了二次根式的加减运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
先把369化成最简二次根式，再把满足正整数a、b的所有值列举出来代入计算即可．
【详解】解：∵369=341，正整数a、b满足等式a+b=369，
∴a=41，b=241，即a=41,b=164，
或a=241，b=41，即a=164,b=41，
∴a-b=41-164=-123或a-b=164-41=123，
故答案为：123或-123．
14(2024·全国·七年级竞赛)计算：1-2
=．
+2-3
+⋅⋅⋅+2016-2017
+3-4
【答案】2017-1/-1+2017
【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，解题的关键是根据绝对值的意义，去掉绝对值，然后根据二次
根式加减运算法则进行计算即可．
【详解】解：1-2
+⋯+2016-2017
+3-4
+2-3
=2-1+3-2+4-3+⋯+2017-2016
=2017-1．
故答案为：2017-1．
15(2024·全国·九年级竞赛)计算：9+18-27=．
【答案】3+32-33
【分析】本题考查二次根式的加减运算，理解二次根式的性质，准确化简各数是解题关键．
直接根据二次根式的性质化简即可．
【详解】解：9+18-27=3+32-33
故答案为：3+32-33．
16(2024·全国·八年级竞赛)若实数a满足a-8
+a-2015=a，则a=．
【答案】2079
【分析】本题考查二次根式有意义的条件、绝对值的化简、算术平方根，熟知二次根式有意义的条件是解答
的关键．先求得a≥2015，则a-8
=a-8，进而得到a-2015=8，然后求解即可．
【详解】解：依题意得a-2015≥0，则a≥2015，
∴a-8
=a-8，
∴原式化为a-8+a-2015=a，即a-2015=8，
得a-2015=64，
∴a=2079．
故答案为：2079．
17(2024·全国·八年级竞赛)已知-2<x<3，则x2-6x+9-x2+4x+4化简为．
【答案】1-2x
【分析】先判断出x-3<0,x+2>0，再根据二次根式的性质化简原式即可．此题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
【详解】解：∵-2<x<3，
∴x-3<0,x+2>0，
∴x2-6x+9-x2+4x+4
=x-3
2-x+2
2
=x-3
-x+2
=3-x-x-2
=1-2x
故答案为：1-2x
二、单选题
18(2021·全国·九年级竞赛)设n,k为正整数，A1=(n+3)(n-1)+4,A2=(n+5)A1+4,A3= (n+7)A2+4，A4=(n+9)A3+4,⋯,A k=(n+2k+1)A k-1+4,⋯，已知A100=2005，则n的值为( )．
A.1806
B.2005
C.3612
D.4100
【答案】A
【详解】A1=[(n+1)+2][(n+1)-2]+4=(n+1)2-22+4=(n+1)2=n+1，
A2=[(n+3)+2][(n+3)-2]+4=(n+3)2-22+4=(n+3)2=n+3，
A3=[(n+5)+2][(n+5)-2]+4=(n+5)2-22+4=(n+5)2=n+5，
同理A4=n+7,A5=n+9,⋯,A100=n+2×100-1=n+199=2005⇒n=2005-199=1806．
故选：A．
19(2011·湖北黄冈·九年级竞赛)设a、b是整数，方程x2+ax+b=0的一根是4-23，则a2+b2 ab的
值为()
A.2
B.0
C.-2
D.-1
【答案】C
【分析】先化简4-23，再代入方程x2+ax+b=0并整理，根据题意列出二元一次方程组并求解求得a 和b的值，再代入计算即可．
【详解】解：4-23=3
2-23+1==3-1
2=3-1．
∵方程x2+ax+b=0的一根是4-23，
∴4-23
2+4-23a+b=0．
∴3-1
2+3-1
a+b=0．
∴a-2
3+4-a+b
=0．
∵a、b是整数，
∴
a-2=0,
4-a+b=0．
解得
a=2, b=-2．
∴a2+b2
ab =
22+-2
2
2×-2
=-2．
故选：C．
【点睛】本题考查二次根式的化简，一元二次方程的解，二元一次方程组的应用，正确构造二元一次方程组是解题关键．
20(2024·全国·八年级竞赛)若二次根式x-2在实数范围内没有意义，则x的取值范围是() A.x<2 B.x≤2 C.x>2 D.x≥2
【答案】A
【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式没有意义的条件可得x-2<0，再解不等式即可，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数.
【详解】解：二次根式x -2在实数范围内没有意义，∴x -2<0，解得：x <2故选：AD ．
21(2024·全国·八年级竞赛)已知1
3-7
的整数部分是m ，小数部分是n ，则m m +7n +mn 的值
为()
A.10
B.7
C.6
D.4
【答案】A
【分析】本题考查了无理数的估算，分母有理化，代数式求值，先根据无理数的估算求出m ，n 的值，再代入进行求解即可．
【详解】解：13-7=3+73+7 3-7
=3+7
2，
∵4<7<9，
∴2<7<3，
∴2.5<3+7
2
<3，
∴m =2，n =3+7
2-2，
∴m m +7n +mn =22+7×3+72-2
+2×3+7
2
-2 =10，故选：A ．
22(2024·全国·九年级竞赛)若1±72是关于x 的一元二次方程a (x -b )2=7a ≠0 的两根，则a
b
的值为()
A.
1
8
B.8
C.2
D.
9
2
【答案】B
【分析】本题考查了根与系数的关系．先整理成一般式，利用根与系数的关系分另求得b 和a 的值，再代入求解即可．【详解】解：方程a (x -b )2=7整理得ax 2-2abx +ab 2-7=0，
∵1±72是关于x 的一元二次方程a (x -b )2=7a ≠0 的两根，
∴1+72+1-72=1=--2ab a =2b ，
∴b =12，1+72⋅1-72=-32=ab 2-7a ，
∴-32=12 2-7a ，
∴a =4，∴a b
=412
=8．
故选：B ．
23(2024·全国·八年级竞赛)已知75m 是整数，则满足条件的最小正整数m =( )．A.5
B.0
C.3
D.75
【答案】C
【分析】此题考查了无理数与有理数的联系，根据二次根式的定义进行解答，解题的关键是正确理解75m 什么情况下为正整数．
【详解】解：∵75m =52×3m ，∴3m 是一个平方数，∴正整数m 最小是3，故选：C ．
24(2021·全国·九年级竞赛)已知实数a ≠b ，且满足a +1 2=3-3a +1 ,b +1 2=3-3b +1 ，则b
b a
+a
a b
的值为()A.23 B.-23
C.-2
D.-13
【答案】B
【分析】由题意可得a +1,b +1是方程x 2=3-3x 即x 2+3x -3=0的两个根，根据根与系数的关系可得a +1+b +1=-3，a +1 b +1 =-3，整理可得a +b =-5，ab =1，即得a <0，b <0，a 2+b 2=a +b 2-2ab =25-2=23，然后把所求的式子变形后整体代入即可求解.
【详解】解：∵a ≠b ，且满足a +1 2=3-3a +1 ，b +1 2=3-3b +1 ，
∴a +1，b +1是方程x 2=3-3x 即x 2+3x -3=0的两个根，∴a +1+b +1=-3，a +1 b +1 =-3，整理，得a +b =-5，ab =1，
∴a <0，b <0，a 2+b 2=a +b 2-2ab =25-2=23，∴b b a +a
a b =-b a ab -a b ab =-b a -a b =-a 2+b 2ab
=-23；
故选：B .【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，二次根式的化简求值，由题意得出a +b =-5，ab =1，是
解题的关键．
三、解答题
25(2024·全国·八年级竞赛)若m 满足关系式2x +3y +4x +5y -m =x -2012+y +2012-x -y ，求m 的值．【答案】4024
【分析】本题考查了非负数的性质以及二次根式有意义的条件，得到x +y =2012是关键．根据二次根式的性质：被开方数是非负数求得2x +3y +4x +5y -m =0，然后根据非负数的性质得到关于x 和y 的方程组，然后结合x +y =2012即可求得m 的值．【详解】解：由x -2012+y ≥0
2012-x -y ≥0 可得x +y =2012，
∴
x +y =20122x +3y =04x +5y -m =0
∴m =4x +5y =2x +y +2x +3y =4024
26(2024·全国·八年级竞赛)设等腰三角形的腰为a ，底边为b ，底边上的高为h ．(1)如果a =6+3，b =6+43，求h ；
(2)如果b =46+2，h =26-1，求a ．【答案】(1)32；(2)52．
【分析】此题考查了等腰三角形的基本性质，学会在等腰三角形中构造直角三角形从而应用勾股定理来求解．
(1)知道等腰三角形、底边利用等腰三角形高的特殊性质可构成直角三角形，再应用勾股定理求解h 值；(2)知道等腰三角底边和高，同理在等腰三角形中构造直角三角形，利用勾股定理来求a 值．【详解】(1)解：在等腰△ABC 中，由勾股定理知，
∵a 2=12
b 2
+h 2，
∴6+3 2=1
4
6+43 2+h 2，
∴36+123+3=1
4
36+483+48 +h 2，
∴39+123=9+123+12+h 2，∴h 2=18，∴h =18=32．
(2)解：同理在等腰△ABC 中，由勾股定理知,
∵a 2=12
b 2
+h 2，
∴a 2=12×46+2
2+26-1 2∴a 2=26+1 2+26-1 2∴a 2=50，∴a =52．
27(2024·全国·八年级竞赛)先化简，再求值：(2x -1)2-(3x +2)(3x -2)+(5x -4)(x +2)，其中x =2．
【答案】2x -3,22-3
【分析】本题考查平方差公式、完全平方公式及多项式乘多项式、整式的加减，熟练掌握并灵活运用它们是
本题的关键．
分别利用完全平方和、平方差公式、多项式乘多项式的法则、整式加减的运算法则计算即可．【详解】解：原式=4x 2-4x +1-9x 2+4+5x 2+6x -8，=2x -3
当x =2时，原式=2x -3=22-3．
28(2024·全国·八年级竞赛)已知：
y =3x -15+15-3x +4，求2x +y 2-2x +y 2x -y ÷2y -1
2y 的值．
【答案】12【分析】先根据二次根式有意义的条件得出x =5，进而得出y =4，再化简求值，代入即可得出答案．【详解】解：由3x -15≥0,15-3x ≥0，∴x =5，∴y =4，
∴2x +y 2-2x +y 2x -y ÷2y -12y =2x +y 2x +y -2x +y ÷2y -1
2
y
=2x+y-1
2y=2x+1
2
y=12．
29(2024·全国·八年级竞赛)已知a=4-15，求：(1)a-1
a
；
(2)a5-6a4-16a3+7a2+23a-4
2008．
【答案】(1)-6
(2)1
【分析】本题考查完全平方公式，无理数的估算：
(1)先根据完全平方公式变形得出a+1
a =8，求出a-1
a
2=6，再估算出0<4-15<1，即0<a<
1，最后求出答案即可；
(2)将式子变形，再将a2-8a+1=0代入，进而可得出答案．
【详解】(1)解：a=4-15，
∴a-4
2=15，
∴a2-8a+1=0．
∴a+1
a
=8，
∴a-1
a
2=a+1a-2=8-2=6，
∵3<15<4，
∴-4<-15<-3，
∴0<4-15<1，即0<a<1，
∴a-1
a
<0，
∴a-1
a
=-6．
(2)解：∵a5-6a4-16a3+7a2+23a-4
=a3a2-8a+1
+2a2a2-8a+1
-a a2
-8a+1 -3a2-8a+1
-1
=0+0-0-0-1=-1，
∴a5-6a4-16a3+7a2+23a-4
2008=-1
2008=1．
30(2024·全国·八年级竞赛)已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足a-2+b2-10b+25=0．
(1)求△ABC第三边c的取值范围；
(2)求△ABC的周长l的取值范围；
(3)若△ABC为等腰三角形，你能求出△ABC的周长吗？
【答案】(1)3<c<7
(2)10<l<14
(3)12
【分析】本题考查二次根式的非负性，等腰三角形的定义，三角形的三边关系：
(1)先根据非负性得出∴a=2,b=5，再根据三角形第三边的取值范围即可得出答案；
(2)根据周长三边之和，即可得出答案；
(3)当c=2时，可知不能构成三角形，当c=5时，求出三边之和即可．
【详解】(1)解：a-2+(b-5)2=0，
∴a=2,b=5，
∵b-a<c<a+b，
∴3<c<7．
(2)l=a+b+c=7+c，
∴10<l<14．
(3)c=2时，三边长(2,2,5)不能构成三角形，舍去．
∴c=5，l=2+5+5=12．
11。