贵阳学院数值分析试卷

贵阳学院数值分析试卷
一、选择题
1.数值分析是研究如何求解数学问题的一门学科，它主要研究的是数学问题的近似求解方法和数值计算方法。

A. 直接求解；精确计算
B. 近似求解；数值计算
C. 数值求解；近似计算
D. 精确求解；近似计算
2.下列哪个不是数值分析的研究内容？
A. 插值
B. 数值微分
C. 矩阵计算
D. 解线性方程组
3.数值微分是通过差商来近似求解导数的方法。

A. 牛顿差商
B. 前向差商
C. 后向差商
D. 中心差商
4.对一个连续函数进行插值，可以得到一个与原函数在一定意义下“相似”的函数。

A. 线性
B. 切比雪夫
C. 拉格朗日
D. 插值
5.当使用截断误差来评估数值解的误差时，通常假设计算过程中的所有误差都可以视为是由四舍五入误差引起的。

这种假设称为舍入误差假设。

A. 对
B. 错
二、填空题
1.龙贝格公式的推导是基于梯形公式和辛普森公式的。

2.在数值计算中，数值稳定性是指算法在计算上的结
果对于输入数据的微小扰动非常敏感。

3.常用的插值方法有拉格朗日插值、牛顿插值和埃尔
米特插值等。

4.利用高斯消元法求解线性方程组时，需要进行前向
消元和回代替换两个基本步骤。

5.当使用计算公式计算数值解时，对于给定的数值计
算方程，一般需要对计算公式进行有效性验证。

三、简答题
1.什么是误差分析？为什么在数值计算中需要进行误
差分析？
答：误差分析是指对数值计算结果的误差来源、误
差大小和误差传递等进行分析和研究的过程。

在数值计算中，误差是不可避免的，进行误差分析能够帮助我们了解
数值计算的可靠性和精确性，从而选择合适的算法和调整计算参数，提高数值计算的准确性和可靠性。

2.描述辛普森公式的原理和计算步骤。

答：辛普森公式是一种求解定积分的数值方法，原理是将曲线所围面积近似划分为若干个小的矩形和梯形，再通过对这些矩形和梯形的面积求和，得到曲线所围面积的近似值。

辛普森公式的计算步骤如下：
1)对于给定的积分区间[a, b]，将其等分为2n个
小区间，其中n为正整数。

2)利用辛普森公式计算每个小区间的定积分近似
值。

3)对所有小区间的近似值求和，得到整个积分区
间的定积分近似值。

辛普森公式的计算结果通常比梯形公式更加精确，特别适用于曲线具有一定规律性的情况。

3.解释数值稳定性与数值收敛性的概念。

答：数值稳定性是指算法在计算上的结果对于输入数据的微小扰动非常敏感。

换句话说，一个数值稳定的算法能够在输入数据稍加变动的情况下，仍能保持输出结果的准确性。

相反，如果一个算法对输入数据的微小扰动非常敏感，那么它就是不稳定的。

数值收敛性是指数值计算方法在迭代过程中逐步接近准确解的性质。

如果一个数值计算方法在进行较多的迭代后能够逼近准确解，那么这个方法就是收敛的。

相反，如果数值计算方法在迭代过程中不断偏离准确解，那么它就是发散的。

4.解释数值分析中的舍入误差和截断误差。

答：舍入误差是指将无限精度的实数近似表示为有限位数的计算机浮点数所引入的误差。

因为计算机表示的浮点数是有限精度的，无法准确表示无限位数的实数，所以进行计算时会产生一定程度的舍入误差。

截断误差是指数值计算过程中某种数学运算的近似和真实结果之间的差别，例如在数值积分中将积分区间等分为有限个小区间，对每个小区间求和近似求解积分，因此会产生截断误差。

截断误差是由数值计算方法的近似性质所引起的。

四、计算题
1.使用梯形公式计算函数 f(x) = x^2 在区间 [0, 2] 上的定积分近似值，将区间等分为4个小区间。

结果：定积分近似值为 2.6667。

h = (2 - 0) / 4 = 0.5
(f(0) + 2 * f(0.5) + 2 * f(1.0) + 2 * f(1.5) + f(2)) * h / 2 = 2.6667
2.使用埃尔米特插值方法，根据以下数据点插值计算f(2.5) 的近似值：
x f(x)
2.0 4.0
3.0 5.0
4.0 2.0
结果：f(2.5) 的近似值为 3.5。

H0(x) = 2y0 + (x - x0)[f[x0, x0, x0, x0] + (x - x1)f[x0, x0, x0, x1]]
H1(x) = 2y1 + (x - x1)[f[x1, x1, x1, x1] + (x - x0)f[x0, x0, x0, x1]]
H2(x) = 2y2 + (x - x2)[f[x2, x2, x2, x2] + (x - x3)f[x2, x2, x2, x3]]
f(2.5) = H0(2.5) = 3.5
以上就是贵阳学院数值分析试卷的内容，希望对大家的复习和学习有所帮助！。