广东省深圳市三校联考高考数学一模试卷(理科) Word版含解析

2017年广东省深圳市三校联考高考数学一模试卷（理科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．已知集合A={x|x2＜4}，B={x∈Z|﹣3≤x＜1}，则A∩B=（）A．{﹣2，﹣1，0}B．（﹣1，0） C．{﹣1，0}D．（﹣3，﹣2）
2．命题“∃x∈R，sinx＞1”的否定是（）
A．∃x∈R，sinx≤1 B．∀x∈R，sinx＞1
C．∃x∈R，sinx=1 D．∀x∈R，sinx≤1
3．函数y=的定义域为（）
A．（﹣2，1） B．[﹣2，1]C．（0，1）D．（0，1]
4．定积分x2dx=（）
A．0 B．C．1 D．2
5．函数f（x）=log2x﹣的零点包含于区间（）
A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（4，+∞）
6．已知a=0.30.3，b=1.20.3，c=log1.20.3，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．a＜b＜c D．a＜c＜b
7．已知命题p：不等式ax2+ax+1＞0的解集为R，则实数a∈（0，4）；命题q“x2﹣2x﹣8＞0”是“x＞5”的必要不充分条件，则下列命题正确的是（）
A．p∧q B．p∧（￢q） C．（￢p）∧（￢q）D．（￢p）∧q
8．已知f（x）=，g（x）=|x﹣2|，则下列结论正确的是（）
A．h（x）=f（x）+g（x）是偶函数 B．h（x）=f（x）•g（x）是奇函数
C．h（x）=是偶函数D．h（x）=是奇函数
9．函数y=的一段大致图象是（）
A．B．
C．D．
10．已知函数f（x）对任意x∈R都有f（x+6）+f（x）=2f（3），y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，且f（4）=4，则f（2012）=（）
A．0 B．﹣4 C．﹣8 D．﹣16
11．若函数f（x）=e x（x2+ax+b）有极值点x1，x2（x1＜x2），且f（x1）=x1，则关于x的方程f2（x）+（2+a）f（x）+a+b=0的不同实根个数为（）
A．0 B．3 C．4 D．5
12．定义区间[x1，x2]的长度为x2﹣x1（x2＞x1）单调递增），函数
（a∈R，a≠0）的定义域与值域都是[m，n]（n＞m），则区间[m，n]取最大长度时实数a的值（）
A．B．﹣3 C．1 D．3
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.）
13．=．
14．设函数f（x）=，则f（f（3））=．
15．设函数f（x）=的最大值为M，最小值为m，则M+m=．
16．在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+b是曲线y=alnx的切线，则当a＞0时，实数b的最小值是．
二、解答题（解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）
17．（12分）设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，q：实数x满足|x﹣3|＜1．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（2）若其中a＞0且￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
18．（12分）已知函数f（x）=（）ax，a为常数，且函数的图象过点（﹣1，2）．（1）求a的值；
（2）若g（x）=4﹣x﹣2，且g（x）=f（x），求满足条件的x的值．
19．（12分）已知三次函数f（x）=x3+bx2+cx+d（a，b，c∈R）过点（3，0），且函数f（x）在点（0，f（0））处的切线恰好是直线y=0．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设函数g（x）=9x+m﹣1，若函数y=f（x）﹣g（x）在区间[﹣2，1]上有两个零点，求实数m的取值范围．
20．（12分）已知函数f（x）满足（其中a＞0，a≠1）（Ⅰ）求f（x）的表达式；
（Ⅱ）对于函数f（x），当x∈（﹣1，1）时，f（1﹣m）+f（1﹣m2）＜0，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）当x∈（﹣∞，2）时，f（x）﹣4的值为负数，求a的取值范围．
21．（12分）设，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线2x+y+1=0垂直．
（1）求a的值；
（2）若∀x∈[1，+∞），f（x）≤m（x﹣1）恒成立，求m的范围．
（3）求证：．
[选修4-1：几何证明选讲]
22．（10分）如图，AB是圆O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交圆O 于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E，OE交AD于点F．
（1）求证：DE是圆O的切线；
（2）若∠CAB=60°，⊙O的半径为2，EC=1，求DE的值．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．在平面直角坐标系中，直线l过点P（2，）且倾斜角为α，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=4cos （θ﹣），直线l与曲线C相交于A，B两点；
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）若，求直线l的倾斜角α的值．
[选修4-5：不等式选讲]
24．设函数f（x）=|2x﹣7|+1．
（1）求不等式f（x）≤x的解集；
（2）若存在x使不等式f（x）﹣2|x﹣1|≤a成立，求实数a的取值范围．
2017年广东省深圳市三校联考高考数学一模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．已知集合A={x|x2＜4}，B={x∈Z|﹣3≤x＜1}，则A∩B=（）
A．{﹣2，﹣1，0}B．（﹣1，0） C．{﹣1，0}D．（﹣3，﹣2）
【考点】交集及其运算．
【分析】化简集合A，B，运用二次不等式的解法和运用列举法，由交集的定义，即可得到所求值．
【解答】解：集合A={x|x2＜4}={x|﹣2＜x＜2}，
B={x∈Z|﹣3≤x＜1}={﹣3，﹣2，﹣1，0}，
则A∩B={﹣1，0}．
故选：C．
【点评】本题考查集合的交集的运算，注意运用二次不等式的解法，考查运算能力，属于基础题．
2．命题“∃x∈R，sinx＞1”的否定是（）
A．∃x∈R，sinx≤1 B．∀x∈R，sinx＞1 C．∃x∈R，sinx=1 D．∀x∈R，sinx≤1
【考点】命题的否定．
【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行求解即可．
【解答】解：命题是特称命题，则命题的否定是：
∀x＞0，sinx≤1，
故选：D．
【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
3．函数y=的定义域为（）
A．（﹣2，1） B．[﹣2，1]C．（0，1）D．（0，1]
【考点】函数的定义域及其求法．
【分析】根据二次根式的性质结合对数函数的性质得到关于x的不等式组，解出即可．
【解答】解：由题意得：
，
解得：0＜x＜1，
故选：C．
【点评】本题考察了求函数的定义域问题，考察二次根式的性质以及对数函数的性质，是一道基础题．
4．定积分x2dx=（）
A．0 B．C．1 D．2
【考点】定积分．
【分析】根据定积分的计算法则计算即可
【解答】解：定积分x2dx=|=（1+1）=，
故选：A．
【点评】本题考查了定积分的计算，关键是求出原函数，属于基础题．
5．函数f（x）=log2x﹣的零点包含于区间（）
A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（4，+∞）
【考点】二分法求方程的近似解．
【分析】由题意知函数f（x）=log2x﹣在（0，+∞）上连续，再由函数的零点的判定定理求解．
【解答】解：函数f（x）=log2x﹣在（0，+∞）上连续，
f（3）=log23﹣＜0；f（4）=log24﹣=＞0；
故函数f（x）=log2x﹣的零点所在的区间是（3，4）．
故选：C．
【点评】本题考查了函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．
6．已知a=0.30.3，b=1.20.3，c=log1.20.3，则a，b，c的大小关系为（）
A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．a＜b＜c D．a＜c＜b
【考点】对数值大小的比较．
【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．
【解答】解：∵a=0.30.3∈（0，1），b=1.20.3＞1，c=log1.20.3＜0，
∴c＜a＜b，
故选：A．
【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
7．已知命题p：不等式ax2+ax+1＞0的解集为R，则实数a∈（0，4）；命题q“x2﹣2x﹣8＞0”是“x＞5”的必要不充分条件，则下列命题正确的是（）
A．p∧q B．p∧（￢q） C．（￢p）∧（￢q）D．（￢p）∧q
【考点】复合命题的真假．
【分析】命题p：不等式ax2+ax+1＞0的解集为R，a=0时，可得1＞0恒成立；
a≠0时，可得：，解得a范围，即可判断出p的真假．命题q：
x2﹣2x﹣8＞0，解得x＞4或x＜﹣2．可得“x2﹣2x﹣8＞0”是“x＞5”的必要不充分条件，即可判断出真假．再利用复合命题真假的判定方法即可得出．
【解答】解：命题p：不等式ax2+ax+1＞0的解集为R，a=0时，可得1＞0恒成立；a≠0时，可得：，解得0＜a＜4，综上可得：实数a∈[0，4），
因此p是假命题；
命题q：x2﹣2x﹣8＞0，解得x＞4或x＜﹣2．因此“x2﹣2x﹣8＞0”是“x＞5”的必要不充分条件，是真命题．
下列命题正确的是（￢p）∧q．
故选：D．
【点评】本题考查了不等式的解法、不等式的解集与判别式的关系、复合命题真假的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
8．已知f（x）=，g（x）=|x﹣2|，则下列结论正确的是（）
A．h（x）=f（x）+g（x）是偶函数 B．h（x）=f（x）•g（x）是奇函数
C．h（x）=是偶函数D．h（x）=是奇函数
【考点】函数奇偶性的判断．
【分析】利用函数的奇偶性的定义判断即可．
【解答】解：f（x）=，g（x）=|x﹣2|，
A．h（x）=f（x）+g（x）=+|x﹣2|=+2﹣x，x∈[﹣2，2]．
h（﹣x）=+2+x，不满足函数的奇偶性的定义，是非奇非偶函数．
B．h（x）=f（x）•g（x）=|x﹣2|=（2﹣x），x∈[﹣2，2]．
h（﹣x）=（2+x），不满足奇偶性的定义．
C．h（x）==，x∈[﹣2，2）不满足函数的奇偶性定义．
D．h（x）==，x∈[﹣2，0）∪（0，2]，函数是奇函数．
故选：D．
【点评】本题考查函数的奇偶性的判断，函数的定义域的求法，是基础题．
9．函数y=的一段大致图象是（）
A．B．C．
D．
【考点】函数的图象．
【分析】根据函数的奇偶性和特殊值即可判断．
【解答】解：f（﹣x）=﹣=﹣f（x），
∴y=f（x）为奇函数，
∴图象关于原点对称，
∴当x=π时，y=﹣＜0，
故选：A．
【点评】本题考查了函数的图象的识别，关键是掌握函数的奇偶性和函数值得特点，属于基础题．
10．已知函数f（x）对任意x∈R都有f（x+6）+f（x）=2f（3），y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，且f（4）=4，则f（2012）=（）
A．0 B．﹣4 C．﹣8 D．﹣16
【考点】函数的值．
【分析】先利用函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，得到函数y=f（x）是奇函数，然后求出f（3）=0，最后利用函数的周期性求f（2012）的值．
【解答】解：因为函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，
所以函数y=f（x）的图象关于点（0，0）对称，
即函数y=f（x）是奇函数，
令x=﹣3得，f（﹣3+6）+f（﹣3）=2f（3），
即f（3）﹣f（3）=2f（3），解得f（3）=0．
所以f（x+6）+f（x）=2f（3）=0，即f（x+6）=﹣f（x），
所以f（x+12）=f（x），即函数的周期是12．
所以f（2012）=f（12×168﹣4）=f（﹣4）=﹣f（4）=﹣4．
故选：B．
【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．
11．若函数f（x）=e x（x2+ax+b）有极值点x1，x2（x1＜x2），且f（x1）=x1，则关于x的方程f2（x）+（2+a）f（x）+a+b=0的不同实根个数为（）
A．0 B．3 C．4 D．5
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；根的存在性及根的个数判断．
【分析】求出f（x）的导数，问题转化为方程x2+（2+a）x+a+b=0有两个不相同的实数根，结合二次函数的性质判断即可．
【解答】解：函数f（x）有两个不相同的极值点，
即f′（x）=e x[x2+（2+a）x+a+b]=0有两个不相同的实数根x1，x2，
也就是方程x2+（2+a）x+a+b=0有两个不相同的实数根，
所以△=（2+a）2﹣4（a+b）＞0；
由于方程f2（x）+（2+a）f（x）+a+b=0的判别式△′=△，
故此方程的两个解为f（x）=x1或f（x）=x2．
由于函数y=f（x）的图象和直线y=x1的交点个数即为方程f（x）=x1的解的个数，函数y=f（x）的图象和直线y=x2的交点个数即为方程f（x）=x2的解的个数．根据函数的单调性以及f（x1）=x1，
可知y=f（x）的图象和直线y=x1的交点个数为2，
y=f（x）的图象和直线y=x2的交点个数为1．
所以f（x）=x1或f（x）=x2共有三个不同的实数根，
即关于x的方程f2（x）+（2+a）f（x）+a+b=0的不同实根个数为3，
故选：B．
【点评】本题难度中等偏上，是导数单调性、极值点与解一元二次方程的综合题目，求解的关键是判断出函数的单调性，并将方程解的个数问题转化为函数图象的交点个数问题．
12．定义区间[x1，x2]的长度为x2﹣x1（x2＞x1）单调递增），函数
（a∈R，a≠0）的定义域与值域都是[m，n]（n＞m），则区间[m，n]取最大长度时实数a的值（）
A．B．﹣3 C．1 D．3
【考点】函数的值域．
【分析】由题意求出f（x）的定义域并化简解析式，判断出区间的范围和f（x）的单调性，由题意列出方程组，转化为m，n是方程f（x）的同号的相异实数根，利用韦达定理表示出mn和m+n，由判别式大于零求出a 的范围，表示出n﹣m 利用配方法化简后，由二次函数的性质求出最大值和a的值．
【解答】解：由题意得，函数f（x）的定义域是{x|x≠0}，
∵[m，n]是其定义域的子集，∴[m，n]⊆（﹣∞，0）或（0，+∞）．
∵f（x）=在[m，n]上是增函数，
∴由条件得，则m，n是方程f（x）=x的同号相异的实数根，
即m，n是方程（ax）2﹣（a2+a）x+1=0同号相异的实数根．
∴mn=，m+n==，
则△=（a2+a）2﹣4a2＞0，解得a＞1或a＜﹣3．
∴n﹣m===
=，
∴n﹣m的最大值为，此时，解得a=3，
即在区间[m，n]的最大长度为时，a的值是3．
故选D．．
【点评】本题考查函数与方程的关系及其转化，函数单调性、值域，一元二次函数的性质，以及韦达定理的综合应用，考查化简、变形能力．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.）
13．=﹣4．
【考点】对数的运算性质．
【分析】由lg8=3lg2，lg125=3lg5对分子进行化简，再由0.1=，=对分母进行化简，利用lg2+lg5=1进行求值．
【解答】解：=
==﹣4
故答案为：﹣4．
【点评】本题的考点是对数的运算性质的应用，即化简求值，还考查了根式的分数指数幂的转化，利用“lg2+lg5=1”进行求值．
14．设函数f（x）=，则f（f（3））=3．
【考点】分段函数的应用；函数的值．
【分析】利用分段函数直接求解函数值即可．
【解答】解：函数f（x）=，
则f（f（3））=f（）=f（）=1﹣log2（2﹣）=1+2=3．
故答案为：3．
【点评】本题考查函数值的求法，分段函数的应用，考查计算能力．
15．设函数f（x）=的最大值为M，最小值为m，则M+m=2．【考点】函数的最值及其几何意义．
【分析】化f（x）为1+，由g（x）=，定义域为R，判断g（x）的奇偶性，由图象性质可得g（x）的最值之和为0，进而得到所求和．
【解答】解：函数f（x）=
==1+，
由g（x）=，定义域为R，
可得g（﹣x）+g（x）=+=0，
可得g（x）为奇函数，
由奇函数的图象关于原点对称，
可得g（x）的最大值a与最小值b的和为0，
则M+m=a+1+b+1=（a+b）+2=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查函数的最值的求法，注意运用转化法，由奇函数的性质：最值之和为0，考查运算能力，属于中档题．
16．在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+b是曲线y=alnx的切线，则当a＞0时，实数b的最小值是﹣1．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】设出曲线上的一个切点为（x，y），利用导数的几何意义求切线的坐标，可得b=alna﹣a，再求导，求最值即可．
【解答】解：设出曲线上的一个切点为（x，y），
由y=alnx，得y′=，
∵直线y=x+b是曲线y=alnx的切线，
∴y′==1，
∴x=a，
∴切点为（a，alna），
代入y=x+b，可得b=alna﹣a，
∴b′=lna+1﹣1=0，可得a=1，
∴函数b=alna﹣a在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
∴a=1时，b取得最小值﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题主要考查导数的几何意义的应用，利用导数的运算求出切线斜率，根据切线斜率和导数之间的关系建立方程进行求解是解决本题的关键，考查学生的运算能力．
二、解答题（解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）
17．（12分）（2017•深圳一模）设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，q：实数x 满足|x﹣3|＜1．
（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（2）若其中a＞0且￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】（1）若a=1，根据p∧q为真，则p，q同时为真，即可求实数x的取值范围；
（2）根据￢p是￢q的充分不必要条件，建立条件关系即可求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由x2﹣4ax+3a2＜0得（x﹣3a）（x﹣a）＜0
当a=1时，1＜x＜3，即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3．
由|x﹣3|＜1，得﹣1＜x﹣3＜1，得2＜x＜4
即q为真时实数x的取值范围是2＜x＜4，
若p∧q为真，则p真且q真，
∴实数x的取值范围是2＜x＜3．
（2）由x2﹣4ax+3a2＜0得（x﹣3a）（x﹣a）＜0，
若￢p是￢q的充分不必要条件，
则￢p⇒￢q，且￢q⇏￢p，
设A={x|￢p}，B={x|￢q}，则A⊊B，
又A={x|￢p}={x|x≤a或x≥3a}，
B={x|￢q}={x|x≥4或x≤2}，
则0＜a≤2，且3a≥4
∴实数a的取值范围是．
【点评】本题主要考查复合命题的真假关系以及充分条件和必要条件的应用，考查学生的推理能力．
18．（12分）（2017•深圳一模）已知函数f（x）=（）ax，a为常数，且函数的图象过点（﹣1，2）．
（1）求a的值；
（2）若g（x）=4﹣x﹣2，且g（x）=f（x），求满足条件的x的值．
【考点】指数函数的单调性与特殊点；函数的零点．
【分析】（1）代入点的坐标，即得a的值；
（2）根据条件得到关于x的方程，解之即可．
【解答】解：（1）由已知得（）﹣a=2，解得a=1．
（2）由（1）知f（x）=（）x，
又g（x）=f（x），则4﹣x﹣2=（）x，即（）x﹣（）x﹣2=0，即[（）x]2
﹣（）x﹣2=0，
令（）x=t，则t2﹣t﹣2=0，即（t﹣2）（t+1）=0，
又t＞0，故t=2，即（）x=2，解得x=﹣1，
满足条件的x的值为﹣1．
【点评】本题考察函数解析式求解、指数型方程，属基础题，（2）中解方程时用换元思想来求解．
19．（12分）（2017•深圳一模）已知三次函数f（x）=x3+bx2+cx+d（a，b，c∈
R）过点（3，0），且函数f（x）在点（0，f（0））处的切线恰好是直线y=0．（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设函数g（x）=9x+m﹣1，若函数y=f（x）﹣g（x）在区间[﹣2，1]上有两个零点，求实数m的取值范围．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】（1）根据已知条件即可建立关于b，c，d的三个方程，解方程即可求出b，c，d，从而求出f（x）的解析式．
（2）由已知条件可得到方程f（x）﹣g（x）=0在区间[﹣2，1]上有两个不同的解，带入f（x），g（x）后得到：方程x3﹣3x2﹣9x﹣m+1=0在区间[﹣2，1]上有两个不同解．因为求m的取值范围，所以把方程变成：m=x3﹣3x2﹣9x+1，求函数x3﹣3x2﹣9x+1在区间[﹣2，1]上的取值范围，要使方程有两个不同的解，从而求出m应满足的范围．这样便求出了m的取值范围．
【解答】解：（1）f′（x）=3x2+2bx+c，由已知条件得：
，解得b=﹣3，c=d=0；
∴f（x）=x3﹣3x2
（2）由已知条件得：f（x）﹣g（x）=0在[﹣2，1]上有两个不同的解；
即x3﹣3x2﹣9x﹣m+1=0在区间[﹣2，1]有两个不同的解；
即m=x3﹣3x2﹣9x+1在[﹣2，1]上有两个不同解．
令h（x）=x3﹣3x2﹣9x+1，h′（x）=3x2﹣6x﹣9，x∈[﹣2，1]；
解3x2﹣6x﹣9＞0得：﹣2≤x＜﹣1；解3x2﹣6x﹣9＜0得：﹣1＜x≤1；
∴h（x）max=h（﹣1）=6，又f（﹣2）=﹣1，f（1）=﹣10，∴h（x）min=﹣10；m=h（x）在区间[﹣2，1]上有两个不同的解，∴﹣1≤m＜6．
∴实数m的取值范围是[﹣1，6）．
【点评】考查函数在切点处的导数与切线斜率的关系，对切线过切点的条件的运用，函数零点和方程实数解的关系，根据函数单调性求函数的最值．
20．（12分）（2017•深圳一模）已知函数f（x）满足
（其中a＞0，a≠1）
（Ⅰ）求f（x）的表达式；
（Ⅱ）对于函数f（x），当x∈（﹣1，1）时，f（1﹣m）+f（1﹣m2）＜0，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）当x∈（﹣∞，2）时，f（x）﹣4的值为负数，求a的取值范围．
【考点】奇偶性与单调性的综合；函数解析式的求解及常用方法．
【分析】（Ⅰ）设log a x=t求出x=a t，代入原函数化简求出f（x）的表达式；（Ⅱ）对a分类讨论，分别由指数函数的单调性判断f（x）的单调性，由函数奇偶性的定义判断f（x）是奇函数，由奇函数的性质等价转化f（1﹣m）+f（1﹣m2）＜0，结合x的范围和单调性列出不等式，求出实数m的取值范围；（Ⅲ）根据f（x）的单调性和题意求出f（x）的值域，结合条件列出不等式，化简后由一元二次不等式的解法求出a的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）设log a x=t，则x=a t，
代入原函数得，
则…（2分）
（Ⅱ）当a＞1时，a x是增函数，a﹣x是减函数且，
所以f（x）是定义域R上的增函数，
同理，当0＜a＜1时，f（x）也是R上的增函数，…（4分）
又f（﹣x）==﹣f（x），则f（x）为奇函数…由f（1﹣m）+f（1﹣m2）＜0得：f（1﹣m）＜﹣f（1﹣m2）=f（m2﹣1）…（6分）
所以，解得…（8分）
则实数m的取值范围是（1，）；
（Ⅲ）因为f（x）是增函数，
所以x∈（﹣∞，2）时，f（x）﹣4∈（﹣∞，f（2）﹣4），
又当x∈（﹣∞，2）时，f（x）﹣4的值为负数，
所以f（2）﹣4≤0，…（9分）
则f（2）﹣4=
==…（10分）
解得且a≠1，
所以a的取值范围是{a|且a≠1}．…（12分）
【点评】本题考查换元法求函数的解析式，函数奇偶性的定义，复合函数单调性的判断及应用，以及指数函数的单调性，考查分类讨论思想，转化思想，化简、变形能力．
21．（12分）（2017•深圳一模）设，曲线y=f（x）在点（1，f （1））处的切线与直线2x+y+1=0垂直．
（1）求a的值；
（2）若∀x∈[1，+∞），f（x）≤m（x﹣1）恒成立，求m的范围．
（3）求证：．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．
【分析】（1）求得函数f（x）的导函数，利用曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线2x+y+1=0垂直，即可求a的值；
（2）先将原来的恒成立问题转化为，设，即∀x∈（1，+∞），g（x）≤0．利用导数研究g（x）在（0，+∞）上单调性，求出函数的最大值，即可求得实数m的取值范围．
（3）由（2）知，当x＞1时，时，成立．不妨令，
得出，再分别令k=1，2，…，n．得到n个不等式，最后累加可得．
【解答】解：（1）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）
由题设，
∴
∴1+a=1，∴a=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）
（2），∀x∈（1，+∞），f（x）≤m（x﹣1），即
设，即∀x∈（1，+∞），g（x）≤0．
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）
①若m≤0，g'（x）＞0，g（x）≥g（1）=0，这与题设g（x）≤0矛盾．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）
②若m＞0方程﹣mx2+x﹣m=0的判别式△=1﹣4m2
当△≤0，即时，g'（x）≤0．
∴g（x）在（0，+∞）上单调递减，
∴g（x）≤g（1）=0，即不等式成立．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）
当时，方程﹣mx2+x﹣m=0，其根，
，
当x∈（1，x2），g'（x）＞0，g（x）单调递增，g（x）＞g（1）=0，与题设矛盾．
综上所述，．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）
（3）由（2）知，当x＞1时，时，成立．
不妨令
所以，
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
﹣﹣﹣（12分）
累加可得即
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
﹣﹣﹣﹣﹣（14分）
【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性、导数在最大值、最小值问题中的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．
[选修4-1：几何证明选讲]
22．（10分）（2017•深圳一模）如图，AB是圆O的直径，AC是弦，∠BAC 的平分线AD交圆O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E，OE交AD于点F．
（1）求证：DE是圆O的切线；
（2）若∠CAB=60°，⊙O的半径为2，EC=1，求DE的值．
【考点】与圆有关的比例线段．
【分析】（1）连接OD，由已知得∠ODA=∠OAD=∠DAC，从而OD∥AE，由此能证明DE是圆O的切线．
（2）连结BC，由已知得AC=2，AE=EC+CA=3，由此利用圆的切割线定理能求出DE的值．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵AB是圆O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交圆O于点D，
∴∠ODA=∠OAD=∠DAC，∴OD∥AE，…（3分）
又AE⊥DE，∴DE⊥OD，又OD为半径，
∴DE是圆O的切线．…
（2）解：连结BC，在Rt△ABC中，∠CAB=60°，AB=4，
∴AC=ABcos60°=2…（7分）
又∵EC=1，∴AE=EC+CA=3，
由圆的切割线定理得：
DE2=CE•EA=3，∴．…（10分）
【点评】本题考查圆的切线的证明，考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的切割线定理的合理运用．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．（2017•深圳一模）在平面直角坐标系中，直线l过点P（2，）且倾斜角为α，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极
坐标方程为ρ=4cos（θ﹣），直线l与曲线C相交于A，B两点；
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）若，求直线l的倾斜角α的值．
【考点】简单曲线的极坐标方程．
【分析】（1）由ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，ρsinθ=y，能求出曲线C的直角坐标方程．（2）设出直线方程，求出圆心到直线的距离，由已知求出直线的斜率，由此能求出直线l的倾斜角α的值．
【解答】解：（1）∵，∴
…（3分）
∴，∴，
∴曲线C的直角坐标方程为．…
（2）当α=900时，直线l：x=2，∴，∴α=900舍…（6分）
当α≠900时，设tanα=k，则，
∴圆心到直线的距离
由，
∴，∵α∈（0，π），∴．…（10分）
【点评】本题考查曲线的直角坐标的求法，考查直线的倾斜角的求法，是基础题，解题时要注意极坐标方程、直角坐标方程互化公式的合理运用．
[选修4-5：不等式选讲]
24．（2017•深圳一模）设函数f（x）=|2x﹣7|+1．
（1）求不等式f（x）≤x的解集；
（2）若存在x使不等式f（x）﹣2|x﹣1|≤a成立，求实数a的取值范围．
【考点】绝对值不等式的解法．
【分析】（1）问题转化为解不等式组问题，解出取并集即可；（2）先求出g（x）的分段函数，求出g（x）的最小值，从而求出a的范围．
【解答】解：（1）由f（x）≤x得|2x﹣7|+1≤x，
∴，
∴不等式f（x）≤x的解集为；
（2）令g（x）=f（x）﹣2|x﹣1|=|2x﹣7|﹣2|x﹣1|+1，
则，
∴g（x）min=﹣4，
∵存在x使不等式f（x）﹣2|x﹣1|≤a成立，
∴g（x）min≤a，
∴a≥﹣4．
【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，考查函数的最值问题，是一道基础题．。