介休市第三中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案

介休市第三中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
一、选择题
1． 已知点M （a ，b ，c ）是空间直角坐标系O ﹣xyz 中的一点，则与点M 关于z 轴对称的点的坐标是（ ） A ．（a ，﹣b ，﹣c ） B ．（﹣a ，b ，﹣c ） C ．（﹣a ，﹣b ，c ） D ．（﹣a ，﹣b ，﹣c ）
2． 如果双曲线经过点P （2
，），且它的一条渐近线方程为y=x ，那么该双曲线的方程是（ ） A ．x 2
﹣
=1 B
．
﹣
=1 C
．
﹣
=1 D
．
﹣
=1
3． 函数f （x ）=（）x2﹣9的单调递减区间为（ ） A ．（﹣∞，0） B ．（0，+∞） C ．（﹣9，+∞） D ．（﹣∞，﹣9）
4． 已知数列｛n a ｝满足n
n n a 2
728-+=（*
∈N n ）.若数列｛n a ｝的最大项和最小项分别为M 和m ，则=+m M （ ） A ．
211 B ．227 C ． 32259 D ．32
435 5． 若函数f （x ）是奇函数，且在（0，+∞）上是增函数，又f （﹣3）=0，则（x ﹣2）f （x ）＜0的解集是（ ） A ．（﹣3，0）∪（2，3） B ．（﹣∞，﹣3）∪（0，3） C ．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞） D ．（﹣3，0）∪（2，+∞）
6． 下列计算正确的是（ ）
A 、213
3
x x x ÷= B 、4554()x x = C 、455
4x x x = D 、4455
0x x -
=
7． 在空间中，下列命题正确的是（ ） A ．如果直线m ∥平面α，直线n ⊂α内，那么m ∥n
B ．如果平面α内的两条直线都平行于平面β，那么平面α∥平面β
C ．如果平面α外的一条直线m 垂直于平面α内的两条相交直线，那么m ⊥α
D ．如果平面α⊥平面β，任取直线m ⊂α，那么必有m ⊥β
8． 奇函数f （x ）在（﹣∞，0）上单调递增，若f （﹣1）=0，则不等式f （x ）＜0的解集是（ ） A ．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） B ．（﹣∞，﹣1）（∪1，+∞） C ．（﹣1，0）∪（0，1） D ．（﹣1，0）∪（1，+∞）
9． 若将函数y=tan （ω
x+
）（ω＞0
）的图象向右平移
个单位长度后，与函数y=tan （ω
x+
）的图象
重合，则ω的最小值为（ ） A
．
B
．
C
．
D
．
10
．一个算法的程序框图如图所示，若运行该程序后输出的结果为，则判断框中应填入的条件是（ ）
班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________
___________________________________________________________________________________________________
A ．i ≤5？
B ．i ≤4？
C ．i ≥4？
D ．i ≥5？
11．已知偶函数f （x ）满足当x ＞0时，3f （x ）﹣2f （）=，则f （﹣2）等于（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．设抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）的焦点为F ，点M 在C 上，|MF|=5，若以MF 为直径的圆过点（0，2），则C 的方程为（ ）
A ．y 2=4x 或y 2=8x
B ．y 2=2x 或y 2=8x
C ．y 2=4x 或y 2=16x
D ．y 2=2x 或y 2=16x
二、填空题
13．计算sin43°cos13°﹣cos43°sin13°的值为 ．
14．在（1+2x ）10的展开式中，x 2项的系数为 （结果用数值表示）．
15．函数2()2(1)2f x x a x =+-+在区间(,4]-∞上递减，则实数的取值范围是 ．
16．已知（1+x+x 2）（x ）n （n ∈N +
）的展开式中没有常数项，且2≤n ≤8，则n= ．
17．已知函数
为定义在区间[﹣2a ，3a ﹣1]上的奇函数，则a+b= ．
18．要使关于x 的不等式2
064x ax ≤++≤恰好只有一个解，则a =_________. 【命题意图】本题考查一元二次不等式等基础知识，意在考查运算求解能力.
三、解答题
19．已知数列{a n }与{b n }，若a 1=3且对任意正整数n 满足a n+1﹣a n =2，数列{b n }的前n 项和S n =n 2+a n ． （Ⅰ）求数列{a n }，{b n }的通项公式；
（Ⅱ）求数列{}的前n 项和T n ．
20．已知函数f（x）=在（，f（））处的切线方程为8x﹣9y+t=0（m∈N，t∈R）
（1）求m和t的值；
（2）若关于x的不等式f（x）≤ax+在[，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．
21．已知数列{a n}是等比数列，S n为数列{a n}的前n项和，且a3=3，S3=9
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设b n=log2，且{b n}为递增数列，若c n=，求证：c1+c2+c3+…+c n＜1．
22．如图，已知边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC=2，M为BC的中点
（Ⅰ）试在棱AD上找一点N，使得CN∥平面AMP，并证明你的结论．
（Ⅱ）证明：AM⊥PM．
23．已知函数()()2
1+2||02
()1()102
x x x x f x x ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩．
（1）画出函数()f x 的图像，并根据图像写出函数()f x 的单调区间和值域；
（2）根据图像求不等式3
(x)2
f ≥的解集（写答案即可）
24．已知椭圆
+
=1（a ＞b ＞0）的离心率为
，且过点（
，
）．
（1）求椭圆方程；
（2）设不过原点O 的直线l ：y=kx+m （k ≠0），与该椭圆交于P 、Q 两点，直线OP 、OQ 的斜率依次为k 1、k 2，满足4k=k 1+k 2，试问：当k 变化时，m 2是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由．
介休市第三中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】C
【解析】解：∵在空间直角坐标系中，
点（x ，y ，z ）关于z 轴的对称点的坐标为：（﹣x ，﹣y ，z ）， ∴点M （a ，b ，c ）关于z 轴的对称点的坐标为： （﹣a ，﹣b ，c ）． 故选：C ．
【点评】本小题主要考查空间直角坐标系、空间直角坐标系中点的坐标特征等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于基础题．
2． 【答案】B
【解析】解：由双曲线的一条渐近线方程为y=x ，
可设双曲线的方程为x 2﹣y 2
=λ（λ≠0），
代入点P （2，），可得
λ=4﹣2=2，
可得双曲线的方程为x 2﹣y 2
=2，
即为﹣=1．
故选：B ．
3． 【答案】B
【解析】解：原函数是由t=x 2
与y=（
）t
﹣9复合而成，
∵t=x 2在（﹣∞，0）上是减函数，在（0，+∞）为增函数； 又y=（）t
﹣9其定义域上为减函数，
∴f （x ）=（）x2
﹣9在（﹣∞，0）上是增函数，在（0，+∞）为减函数，
∴函数ff （x ）=（）x2
﹣9的单调递减区间是（0，+∞）．
故选：B ．
【点评】本题考查复合函数的单调性，讨论内层函数和外层函数的单调性，根据“同増异减”再来判断是关键．
4． 【答案】D 【解析】
试题分析： 数列n n n a 2728-+
=，112528++-+=∴n n n a ，112527
22
n n n n
n n a a ++--∴-=-
()11
2522729
22
n n n n n ++----+=
=，当41≤≤n 时，n n a a >+1,即12345a a a a a >>>>；当5≥n 时,n n a a <+1,即...765>>>a a a .因此数列{}n a 先增后减,32259,55==∴a n 为最大项，8,→∞→n a n ，
2
11
1=a ,∴最小项为211，M m +∴的值为32435
32259211=+．故选D.
考点：数列的函数特性. 5． 【答案】A
【解析】解：∵f （x ）是R 上的奇函数，且在（0，+∞）内是增函数， ∴在（﹣∞，0）内f （x ）也是增函数， 又∵f （﹣3）=0， ∴f （3）=0
∴当x ∈（﹣∞，﹣3）∪（0，3）时，f （x ）＜0；当x ∈（﹣3，0）∪（3，+∞）时，f （x ）＞0； ∴（x ﹣2）•f （x ）＜0的解集是（﹣3，0）∪（2，3） 故选：A ．
6． 【答案】B 【解析】 试题分析：根据()
a
a β
ααβ⋅=可知，B 正确。

考点：指数运算。

7． 【答案】 C
【解析】解：对于A ，直线m ∥平面α，直线n ⊂α内，则m 与n 可能平行，可能异面，故不正确；
对于B ，如果平面α内的两条相交直线都平行于平面β，那么平面α∥平面β，故不正确； 对于C ，根据线面垂直的判定定理可得正确；
对于D ，如果平面α⊥平面β，任取直线m ⊂α，那么可能m ⊥β，也可能m 和β斜交，；
故选：C ．
【点评】本题主要考查命题的真假判断与应用，考查了空间中直线与平面之间的位置关系、平面与平面之间的位置关系，同时考查了推理能力，属于中档题．
8． 【答案】A
【解析】解：根据题意，可作出函数图象：
∴不等式f （x ）＜0的解集是（﹣∞，﹣1）∪（0，1） 故选A ．
9．【答案】D
【解析】解：y=tan（ωx+），向右平移个单位可得：y=tan[ω（x﹣）+]=tan（ωx+）
∴﹣ω+kπ=
∴ω=k+（k∈Z），
又∵ω＞0
∴ωmin=．
故选D．
10．【答案】B
【解析】解：模拟执行程序框图，可得
i=1，sum=0，s=0
满足条件，i=2，sum=1，s=
满足条件，i=3，sum=2，s=+
满足条件，i=4，sum=3，s=++
满足条件，i=5，sum=4，s=+++=1﹣+﹣+﹣+﹣=．
由题意，此时不满足条件，退出循环，输出s的，则判断框中应填入的条件是i≤4．
故选：B．
【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．
11．【答案】D
【解析】解：∵当x＞0时，3f（x）﹣2f（）=…①，
∴3f（）﹣2f（x）==…②，
①×3+③×2得：
5f（x）=，
故f（x）=，
又∵函数f（x）为偶函数，
故f（﹣2）=f（2）=，
故选：D．
【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，其中根据已知求出当x＞0时，函数f（x）的解析式，是解答的关键．
12．【答案】C
【解析】解：∵抛物线C方程为y2=2px（p＞0），
∴焦点F坐标为（，0），可得|OF|=，
∵以MF为直径的圆过点（0，2），
∴设A（0，2），可得AF⊥AM，
Rt△AOF中，|AF|==，
∴sin∠OAF==，
∵根据抛物线的定义，得直线AO切以MF为直径的圆于A点，
∴∠OAF=∠AMF，可得Rt△AMF中，sin∠AMF==，
∵|MF|=5，|AF|=
∴=，整理得4+=，解之可得p=2或p=8
因此，抛物线C的方程为y2=4x或y2=16x．
故选：C．
方法二：
∵抛物线C方程为y2=2px（p＞0），∴焦点F（，0），
设M（x，y），由抛物线性质|MF|=x+=5，可得x=5﹣，
因为圆心是MF的中点，所以根据中点坐标公式可得，圆心横坐标为=，
由已知圆半径也为，据此可知该圆与y轴相切于点（0，2），故圆心纵坐标为2，则M点纵坐标为4，
即M（5﹣，4），代入抛物线方程得p2﹣10p+16=0，所以p=2或p=8．
所以抛物线C的方程为y2=4x或y2=16x．
故答案C．
【点评】本题给出抛物线一条长度为5的焦半径MF，以MF为直径的圆交抛物线于点（0，2），求抛物线的方程，着重考查了抛物线的定义与简单几何性质、圆的性质和解直角三角形等知识，属于中档题．
二、填空题
13．【答案】．
【解析】解：sin43°cos13°﹣cos43°sin13°=sin（43°﹣13°）=sin30°=，
故答案为．
14．【答案】180
【解析】解：由二项式定理的通项公式T r+1=C n r a n﹣r b r可设含x2项的项是T r+1=C7r（2x）r
可知r=2，所以系数为C102×4=180，
故答案为：180．
【点评】本题主要考查二项式定理中通项公式的应用，属于基础题型，难度系数0.9．一般地通项公式主要应用有求常数项，有理项，求系数，二项式系数等．
a≤-
15．【答案】3
【解析】
试题分析：函数()f x 图象开口向上，对称轴为1x a =-，函数在区间(,4]-∞上递减，所以14,3a a -≥≤-. 考点：二次函数图象与性质． 16．【答案】 5 ．
【解析】二项式定理． 【专题】计算题．
【分析】要想使已知展开式中没有常数项，需（x ）n （n ∈N +）的展开式中无常数项、x ﹣1项、x ﹣2
项，利
用（x
）n （n ∈N +
）的通项公式讨论即可．
【解答】解：设（x ）n
（n ∈N +
）的展开式的通项为T r+1，则T r+1=
x n ﹣r x ﹣3r =
x n ﹣4r ，2≤n ≤8，
当n=2时，若r=0，（1+x+x 2）（x
）n
（n ∈N +）的展开式中有常数项，故n ≠2；
当n=3时，若r=1，（1+x+x 2）（x
）n
（n ∈N +
）的展开式中有常数项，故n ≠3；
当n=4时，若r=1，（1+x+x 2）（x
）n
（n ∈N +
）的展开式中有常数项，故n ≠4；
当n=5时，r=0、1、2、3、4、5时，（1+x+x 2
）（x ）n
（n ∈N +
）的展开式中均没有常数项，故n=5适合
题意；
当n=6时，若r=1，（1+x+x 2
）（x ）n
（n ∈N +
）的展开式中有常数项，故n ≠6；
当n=7时，若r=2，（1+x+x 2
）（x
）n （n ∈N +
）的展开式中有常数项，故n ≠7；
当n=8时，若r=2，（1+x+x 2）（x
）n
（n ∈N +
）的展开式中有常数项，故n ≠2；
综上所述，n=5时，满足题意．
故答案为：5．
【点评】本题考查二项式定理，考查二项展开式的通项公式，突出考查分类讨论思想的应用，属于难题．
17．【答案】 2 ．
【解析】解：∵f （x ）是定义在[﹣2a ，3a ﹣1]上奇函数， ∴定义域关于原点对称， 即﹣2a+3a ﹣1=0， ∴a=1，
∵函数为奇函数，
∴f（﹣x）==﹣，
即b•2x﹣1=﹣b+2x，
∴b=1．
即a+b=2，
故答案为：2．
18．【答案】±.
【解析】分析题意得，问题等价于264
++≤只有一解，
x ax
++≤只有一解，即220
x ax
∴280
∆=-=⇒=±，故填：±.
a a
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由题意知数列{a n}是公差为2的等差数列，
又∵a1=3，∴a n=3+2（n﹣1）=2n+1．
列{b n}的前n项和S n=n2+a n=n2+2n+1=（n+1）2
当n=1时，b1=S1=4；
当n≥2时，．
上式对b1=4不成立．
∴数列{b n}的通项公式：；
（Ⅱ）n=1时，；
n≥2时，，
∴．
n=1仍然适合上式．
综上，．
【点评】本题考查了求数列的通项公式，训练了裂项法求数列的和，是中档题．
20．【答案】
【解析】解：（1）函数f（x）的导数为f′（x）=，
由题意可得，f（）=，f′（）=，
即=，且=，
由m∈N，则m=1，t=8；
（2）设h（x）=ax+﹣，x≥．
h（）=﹣≥0，即a≥，
h′（x）=a﹣，当a≥时，若x＞，h′（x）＞0，①
若≤x≤，设g（x）=a﹣，
g′（x）=﹣＜0，g（x）在[，]上递减，且g（）≥0，
则g（x）≥0，即h′（x）≥0在[，]上恒成立．②
由①②可得，a≥时，h′（x）＞0，h（x）在[，+∞）上递增，h（x）≥h（）=≥0，
则当a≥时，不等式f（x）≤ax+在[，+∞）恒成立；
当a＜时，h（）＜0，不合题意．
综上可得a≥．
【点评】本题考查导数的运用：求切线方程和求单调区间，主要考查不等式恒成立问题转化为求函数最值，正确求导和分类讨论是解题的关键．
21．【答案】已知数列{a n}是等比数列，S n为数列{a n}的前n项和，且a3=3，S3=9
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设b n=log2，且{b n}为递增数列，若c n=，求证：c1+c2+c3+…+c n＜1．
【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．
【专题】计算题；证明题；方程思想；综合法；等差数列与等比数列．
【分析】（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q，从而可得3（1++）=9，从而解得；
（Ⅱ）讨论可知a2n+3=3•（﹣）2n=3•（）2n，从而可得b n=log2=2n，利用裂项求和法求和．
【解析】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q，
则3（1++）=9，
解得，q=1或q=﹣；
故a n=3，或a n=3•（﹣）n﹣3；
（Ⅱ）证明：若a n=3，则b n=0，与题意不符；
故a2n+3=3•（﹣）2n=3•（）2n，
故b n=log2=2n，
故c n==﹣，
故c1+c2+c3+…+c n=1﹣+﹣+…+﹣
=1﹣＜1．
【点评】本题考查了数列的性质的判断与应用，同时考查了方程的思想应用及裂项求和法的应用．
22．【答案】
【解析】（Ⅰ）解：在棱AD上找中点N，连接CN，则CN∥平面AMP；
证明：因为M为BC的中点，四边形ABCD是矩形，
所以CM平行且相等于DN，
所以四边形MCNA为矩形，
所以CN∥AM，又CN⊄平面AMP，AM⊂平面AMP，
所以CN∥平面AMP．
（Ⅱ）证明：过P作PE⊥CD，连接AE，ME，
因为边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC=2，M为BC的中点
所以PE⊥平面ABCD，CM=，
所以PE⊥AM，
在△AME中，AE==3，ME==，AM==，
所以AE2=AM2+ME2，
所以AM⊥ME，
所以AM⊥平面PME
所以AM⊥PM．
【点评】本题考查了线面平行的判定定理和线面垂直的判定定理的运用；正确利用已知条件得到线线关系是关键，体现了转化的思想．
23．【答案】（1）图象见答案，增区间：(],2-∞-，减区间：[)2,-+∞，值域：(],2-∞；（2）[]3,1--。

【解析】
试题分析：（1）画函数()f x 的图象，分区间画图，当0x ≤时，()2
122
f x x x =--，此时为二次函数，开口向下，配方得()()()2
1142222
f x x x x =-
+=-++，可以画出该二次函数在0x ≤的图象，当0x >时，()1()12x f x =-，可以先画出函数1
()2
x y =的图象，然后再向下平移1个单位就得到0x >时相应的函数图
象；（2）作出函数()f x 的图象后，在作直线3
2
y =，求出与函数()f x 图象交点的横坐标，就可以求出x 的
取值范围。

本题主要考查分段函数图象的画图，考查学生数形结合思想的应用。

试题解析：（1）函数()f x 的图象如下图所示：
由图象可知：增区间：(],2-∞-，减区间：[)2,-+∞，值域为：(],2-∞。

（2）观察下图，()3
2
f x ≥
的解集为：[]3,1--。

考点：1.分段函数；2.函数图象。

24．【答案】
【解析】解：（1）依题意可得，解得a=2，b=1
所以椭圆C的方程是…
（2）当k变化时，m2为定值，证明如下：
由得，（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0．…
设P（x1，y1），Q（x2，y2）．则x1+x2=，x1x2=…（•）…
∵直线OP、OQ的斜率依次为k1，k2，且4k=k1+k2，
∴4k==，得2kx1x2=m（x1+x2），…
将（•）代入得：m2=，…
经检验满足△＞0．…
【点评】本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆方程的综合应用，考查分析问题解决问题的能力以及转化思想的应用．。