2019-2020学年北师大版八年级数学上册2.7二次根式第2课时二次根式的运算学案

2.7 二次根式
第2课时二次根式的运算
一、二次根式的乘法
一、复习引入
1．填空（1=______；
（2=_______．
（3．
参考上面的结果，用“>、<或＝”填空．
×_____，×_____，×
一般地，对二次根式的乘法规定为
反过来
例1．计算
（1（2（3（4
例2 化简
（1（2（3（4（5）
例3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：
（1=
（2=4
二、二次根式的除法
1．写出二次根式的乘法规定及逆向等式．
2．填空
（1=________；（2=________；
（3=________；（4=________．
规律：916______916；1636______1636；416
_______416；3681_______3681． 一般地，对二次根式的除法规定：
a b =a b （a ≥0，b>0）， 反过来，a b =a b
（a ≥0，b>0） 例1．计算：（1）
123
（2）3128÷ （3）11416÷ （4）648 例2．化简： （1）364
（2）22649b a （3）2964x y （4）25169x y 例3．已知9966
x x x x --=--，且x 为偶数，求（1+x ）22541x x x -+-的值． 三、分母有理化
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们说这两个代数式互为有理化因式。

对于有理化因式，要注意以下四点：
(1)它们必须是成对出现的两个代数式；
(2)这两个代数式都是二次根式；
(3)这两个代数式的积不含有二次根式；
(4)一个二次根式，可以与几个不同的代数式互为有理化因式。

①单项：a a a ⨯= （单项二次根式的有理化因式是它本身）；
②两项：()()a b a b a b +-=- （平方差公式）。

在进行二次根式的除法运算时，把分母中的根号化去，叫做分母有理化．分母有理化的一般方法是：先将分母的二次根式化简，再选择一个适当的代数式同时乘以分子与分母，把分母的根号化去；特殊情况可用特殊的方法化去分母的根号，如约分．
例1. 判断题：(1)
的理化因式是
(2)
(3)的有理化因式 例2. 将
进行分母有理化
例3．观察下列各式，通过分母有理化，进行化简：
21+=1(21)2121(21)(21)⨯--=-+-=2-1， 32+=1(32)3232(32)(32)
⨯--=-+-=3-2， 同理可得：43
+=4-3，…… 从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算
（21++32++43++……+20022001
+）（2002+1）的值． 把形如
a a
的式子分母有理化，可以应用以下三种方法： （1）将分子与分母乘以同一个代数式，使分母有理化，即a a a a a
a a a a a ==⋅⋅=； （2）逆用关系式()()02≥=a a a ，把分子与分母中的公因式直接约分，得()a a a a a ==2；
（3）逆用关系式()02≥=a a a ，再根据二次根式的除法法则进行约分，即a a a a
a a a ===2
2练习：选择恰当的方法把下列各式的分母有理化： （1）403；（2）2723-；（3）xy y 422；（4）a
a 105；（5）
b a b a 263++；（6）552--x x ． 四、二次根式的加减
1计算下列各式．
（1）22+32 （2）28-38+58 （3）7+27+397⨯ （4）33-23+2
二次根式加减法的法则
二次根式相加减，先把各个二次根式化简成最简二次根式，在把同类二次根式分别合并。

合并同类二次根式与合并同类项类似，因此，二次根式的加减可以对比整式的加减进行。

例1.计算：(1)
(2)
例2．计算
（1）
（2）
）+
例3．已知4x 2+y 2-4x-6y+10=0
，求（
23+y
-（x
例4．如图所示的Rt △ABC 中，∠B=90°，点P 从点B 开始沿BA 边以1厘米/•秒的速度向点A 移动；同时，点Q 也从点B 开始沿BC 边以2厘米/秒的速度向点C 移动．问：几秒后△PBQ 的面积为35平方厘米？PQ 的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）
B
A C
Q
P
例5．已知x b a -=2-x a b
-，其中a 、b 是实数，且a+b ≠0，化
简
五、 二次根式运算中的技巧
例1：计算
(1)已知x ＝2－3，y ＝2＋3，求：x 2＋xy ＋y 2的值．
(2)已知x ＋1x ＝－3，求x －1x 的值．
例2：化简：
例3：化简：。