秋八年级数学上册13.2命题与证明教学设计(新版)沪科版【精品教案】

13.2命题与证明
第 1课时命题与证明(一)
教课目的
【知识与技术】
1. 理解真命题、假命题、公义、原命题、抗命题等观点.
2.会判断一个命题的真假 , 能划分公义、定理和命题 .
3.理解证明的含义 , 体考证明的必需性和数学推理的严实性.
【过程与方法】
1.经过一些简单命题的证明 , 训练学生的逻辑推理能力 .
2.依据命题的证明需要 , 要修业生画出图形 , 写出已知、求证 , 训练学生将命题转变为数学语言的能力 .
【感情、态度与价值观】
1. 经过对命题真假的判断, 培育学生科学谨慎的学习态度和求真求实的作风.
2. 让学生踊跃参加数学活动 , 对数学定理、命题的由来产生好奇心和求知欲 , 让学生认识数学与人类生活的亲密联系 , 提升学生学习数学的踊跃性 .
要点难点
【要点】
学习命题的观点和命题、公义、定理的划分.
【难点】
严实完好地写出推理过程.
教课过程
一、创建情境, 导入新知
教师多媒体出示:
有一根比地球赤道长 1m的铜线将地球赤道绕一圈 , 想想 , 铜线与地球赤道之间的缝隙有多
大 ?能放进一颗枣吗 ?能放进一个苹果吗 ?
学生交流议论后回答.
生甲 : 都放不进去 .
生乙 : 枣能放进 , 苹果放不进 .
生丙 : 都能放进 .
师 : 我们此刻用这个式子来算 , 设赤道的长为 C, 则铜线与地球赤道之间的空隙是 -= ≈
0.26(m), 可见 , 枣和苹果都能放进去 . 经过这个例子 , 你们遇到了什么启迪 ?
生 : 有些东西想象的或感觉的不必定靠谱, 要详细剖析 .
师 : 对 , 我们要做到有理有据.
上一节研究三角形的性质时, 我们经过折叠、剪拼、胸怀等方法获得三角形的内角和是180°, 但对这类方法, 有的同学提出这样的疑问:
在剪拼时 , 发现三个内角难以拼成一个平角 , 不过靠近 180°的某个值 ; 胸怀
三个角 , 而后相加 , 不必定能正确地获得 180°.
两种状况怎么解呢?
学生思虑、交流、.
: 是的 , 研究几何形 , 从察和获得的 , 有会有差 , 以令人确信
其果必定正确 . 所以 , 就得在察的基上有理有据地明原因 , 就是 , 要判断数学命的真假 , 需要
做必需的推理 .
二、共同研究, 取新知
: 推理是一种思活, 人在思活中, 经常要事物的状况做出各种判断.
教多媒体出示:
(1)江是中国第一大河 ;
(2)假如∠ 1和∠ 2是角 , 那么它相等 ;
(3)2+3 ≠ 5;
(4)假如一个整数的各位上的数字之和是3的倍数 , 那么个数能被 3整除 .
教找一名学生回答, 而后集体正 .
: 在学中 , 凡是能够判断出真 ( 即正确 ) 、假 ( 即 ) 的句叫做命 . 上边的 (1) 、
(2)、 (4) 都是正确的命 , 我称之真命 ;(3) 是的命 , 我称之假命 . 假如一
个句没有某一事件的正确与否作出任何判断 , 那么它就不是命 , 比方感句、疑句、祈使句等 .
教多媒体出示 :
(1) 关上窗 ;
(2) 你明日来上学 ?
(3) 天真冷啊 !
(4)今日夜晚不会下雨 .
(5)昨天我去旅行了 .
: 同学判断一下哪些句是命?
学生后回答, 而后集体正.
: 每个命都由、两部分成, 是已知事 , 是由已知事推出的事
. 命常写成“假如⋯⋯那么⋯⋯”的形式 . 有我了便 , 省略关“假如”、“那么” , 如命“假如两个角是
角 , 那么两个角相等” , 能够写成“ 角相等” .
以“假如⋯⋯那么⋯⋯”关的命的一般形式是“假如p, 那么 q”, 或许成“若p, q”, 此中 p是个命的条件( 或假 ),q 是个命的( 或断 ).
三、
教多媒体出示:
【例 1】指出以下命的条件与:
(1) 两条直都平行于同一条直, 两条直平行;
(2) 假如∠ A=∠ B, 那么∠ A的角与∠ B的角相等 .
生甲 :(1) 中“两条直平行于同一条直”是条件, “两条直平行”是.
生乙 : “∠ A=∠B”是条件 , “∠ A的角与∠ B的角相等”是.
四、推, 深入研究
: 将命“假如 p, 那么 q”中的条件与互, 便获得一个新命“假如q, 那么 p”,我把的两个命称互抗命, 此中一个叫做原命, 另一个叫做原命的抗命. 我在前面学了命都能够判断真假, 当一个命是真命, 它的抗命也是真命?
学生交流议论后发布建议.
师: 我们能够看这样一个例子 , “假如∠ 1与∠ 2是对顶角 , 那么∠ 1=∠2”是真命题 , 它的抗命题是什么 ?
生 : 它的抗命题是“假如∠1=∠ 2, 那么∠ 1与∠ 2是对顶角” .
师 : 它是真命题仍是假命题呢?
生: 假命题 .
师 : 你是怎么判断它是假命题的呢?
学生交流议论后回答.
教师多媒体出示以下图.
师 : 对 . 我们能够举一个例子, 比方角均分线分红的两个角, ∠ 1=∠ 2, 但明显 , 这里∠ 1与∠2就不是对顶角 . 像这类切合命题条件 , 但不知足命题结论的例子 , 我们称之为反例 . 若要说明一
个命题是假命题 , 只需举出一个反例即可 .
五、练习新知, 加深议论
师 : 请同学们看教材中本节例1后练习的第 2题 .
教师找学生回答, 而后集体校正获得:
(1)假命题 .
反例 :|-1|=|1|, 但-1 ≠1.
(2)假命题 .
反例 :(- 1) ×(-1)>0, 但 -1 是负数 .
(3)真命题 .
(4)假命题 .
若两条不平行的直线与第三条直线订交, 同位角不相等 .
师 : 我们来看第 3题 .
教师找学生回答, 而后集体校正获得:
(1)真命题 ,(2) 真命题 ,(3) 真命题 .
师 : 在数学命题的研究中 , 为了确认某些命题是真仍是假 , 需要对命题的正确性进行论证 , 在论证过程中 , 一定追本求源 , 真谛不需要再作论证 , 其正确性是人们在长久实践中查验所得
的真命题 , 作为判断其余命题真假的依照 , 这些作为原始依据的真命题称为公义 . 同学们想一下, 我
们学过哪些公义 ?
生甲 : 经过两点有一条直线, 并且只有一条直线.
生乙 : 两点之间的全部连线中, 线段最短 .
生丙 : 经过直线外一点, 有且只有一条直线平行于这条直线,
师: 对 , 这些都是公义 . 有些命题 , 它们的正确性已经过推理获得证明 , 并被选定作为判断其余
命题真假的依照 , 这样的真命题叫做定理 . 谁能举几个例子 ?
生甲 : 对顶角相等 .
生乙 : 三角形的三个内角和等于180°.
生丙 : 等角的补角相等.
师 : 对 . 推理的过程叫做证明. 下边 , 我们来证明一个七年级时用过的定理“内错角相等,
两直线平行” .
教师多媒体出示:
【例 2】已知:如下图,直线c与直线a、b订交,且∠ 1=∠ 2.
求证 :a ∥ b.
师: 若已知“同位角相等 , 两直线平行”这个定理 , 怎么证明“内错角相等 , 两直线平行”
这个结论 ?
学生交流议论, 教师巡视指导.
学生口述 , 教师板书推理过程.
证明 : ∵∠ 1=∠ 2,( 已知 )
又∵∠ 1=∠ 3,( 对顶角相等 )
∴∠ 2=∠ 3.( 等量代换 )
∴ a∥ b.( 同位角相等 , 两直线平行 )
教师重申 : 证明中的每一步推理都要有依据, 不可以想自然 . 这些依据 , 能够是已知条件, 也能够是定义、公义、已经学过的定理.
【例 3】已知:如图,∠ AOB+∠BOC=180°,OE均分∠AOB,OF均分∠ BOC.
求证 :OE⊥ OF.
证明 : ∵ OE均分∠ AOB,OF均分∠ BOC(已知 )
∴∠ 1=∠ AOB,∠2=∠ BOC.(角均分线的定义)
又∵∠ AOB+∠BOC=180°,( 已知 )
∴∠ 1+∠ 2=( ∠ AOB+∠ BOC)
=90°.( 等式性质 )
∴OE⊥OF.( 垂直的定义 )
六、讲堂小结
师 : 我们今日学习了什么内容?
学生回答 , 教师增补完美.
教课反省
在这节课上 , 经过举反例判断一个命题是假命题, 培育学生学会从反面思虑问题的方法. 经过重申正面的严实性, 让学生理解证明的必需性和推理过程要步步有据. 在教课方法上我
主要采纳“举一”, 让学生独立思虑、自由交流、集思广益, 进而达到“反三”的目的. 尽可能地调换更多学生主动参加、交流、交流 , 经过自己思想碰撞建立新的认知构造 , 进而正确地判断
命题的真假 , 关于假命题举出反例 . 关于命题的证明 , 要修业生能写出证明的一般步骤并能做到步步有据 .
第 2课时命题与证明(二)
教课目的
【知识与技术】
1. 掌握三角形内角和定理及其三个推论.
2. 熟习并掌握较简单命题的证明方法及其表述.
3. 研究并理解三角形的内角和定理.
4. 会灵巧地运用三角形内角和定理的几个推论解决实质问题.
【过程与方法】
1. 经历研究并证明三角形内角和定理的过程.
2. 让学生在思虑与研究的过程中认识三角形内角和定理的几个推论.
【感情、态度和价值观】
1. 经过三角形内角和定理的证明, 让学生领会到数学的谨慎性和推理的用途.
2.经过让学生踊跃思虑、踊跃讲话, 使他们养成优秀的学习习惯 .
3.经过生动的教课活动 , 发展学生的合情推理能力和表达能力 , 提升学生学习和研究数学的
兴趣 .
要点难点
【要点】
三角形内角和定理的证明, 三角形内角和定理及其推理.
【难点】
三角形内角和定理的证明.
教课过程
一、创建情境, 导入新知
师 : 在前面我们学习了三角形的内角和定理, 你还记得它的内容吗?
学生回答 .
师 : 我们用什么方法证明过这个命题?
生 : 用折叠、剪拼和胸怀的方法.
师 : 很好 ! 在上节课我们学习了定理的观点, 大家还记得吗 ?
生 : 记得 . 它们的正确性已经过推理获得证明, 并被选定作为判断其余命题真假的依照, 这样的真命题叫做定理.
师: 对 . 三角形的内角和定理是一个定理 , 它能够被证明 , 上节课我们还学习了简单命题的
证明 , 此刻我们来证明这个定理 .
二、共同研究, 获得新知
教师多媒体出示:
【例 1】证明三角形内角和定理: 三角形的三个内角和等于180°.
师: 在证明命题时 , 要分清命题的条件和结论 , 假如问题与图形有关 , 第一 , 依据条件画出图形 , 并在图形上标出有关字母与符号 ; 再联合图形 , 写出已知、求证 . 这个命题的条件和结论分别是什
么 ?
师 : 这个命题与图形有关吗?
生:有关.
师 : 那我们要画出什么图形?
生 : 一个三角形 .
教师在黑板上画出一个三角形.
师 : 题目中没有已知、求证, 我们自己要写出来. 已知就是条件, 求证的就是要证的结论. 应当怎么写 ?
生: 已知 : △ ABC,如下图 . 求证 : ∠A+∠ B+∠C=180°.
教师板书 .
师 : 从前我们经过剪拼将三角形的三个内角拼成了一个平角, 这不是证明 , 但它却给我们以启迪 , 此刻我们经过作图来实现这类转变, 给出证明 .
教师边操作边解说:
在剪拼中我们能够把∠ B剪下 , 放在这个地点 , 在证明中我们能够作出一个角与∠ B相等 , 来取代这类操作 . 并且为了证明的需要 , 在本来图形上添画的线 , 这类线叫做协助线 . 同学们
看, 应当如何添画协助线来帮助我们证明这个问题?
生 : 延伸 BC到 D,以点 C为极点、 CD为一边作∠ 2=∠ B.
教师作图 :
师 : 对 . 假如再知道什么条件就能获得结论了?
学生议论后回答.
生 : 由于∠ 1+∠ 2+∠ ACB是一个平角 , 等于 180°, 假如∠ A=∠ 1, 那么就有∠ A+∠
B+∠C=∠ 1+∠ 2+∠ACB=180°, 这样就证出了却论 .
师 : 对 . 此刻我们看如何证∠A=∠ 1?
学生交流议论.
教师提示 : ∠ A和∠ 1是什么角 ?
生: 内错角 .
师 : 怎么证两个内错角相等?
生 : 两直线平行 , 内错角相等 .
师 : 在题中要证哪两条直线平行?怎么证它们平行?
生 : 证明 CE∥ BA,由于∠ 2=∠ B, 由同位角相等 , 两直线平行 , 就能够证出 CE∥ BA了 .
师: 很好 ! 我们此刻来把这个推导过程详细写一下 . 要注意 , 我们方才是剖析 , 能够由结论推条件 , 但在书写过程中 , 要先写条件 , 再写结论 , 这个次序要理清 .
学生口述 , 教师板书 .
师: 此刻大家想想 , 假如一个三角形中一个角是 90°, 依据三角形内角和定理 , 此外两个角的和会是多少 ?
生:90 °.
师 : 对 . 两个角的和是 90°, 我们能够称它们之间是什么关系?
生:互余.
师 : 对 . 由此我们获得三角形内角和定理的第一个推论.
教师板书 :
推论 1直角三角形的两锐角互余.
三、边讲边练
师: 三角形内角和定理的证明有多种方法 , 课本练习中给出了此外两种证法 . 大家能不可以说出
第一题的思路 ?
生 : 过点 A作 DE∥BC后 , 由两直线平行 , 内错角相等来成立两个相等关系 , 再由平角的定义
便可证出了 .
师 : 你们已经理清了思路, 此刻请大家将书上的证明过程增补完好.
学生达成练习第1题 .
师 : 第二个练习的思路大家清楚吗?
学生交流议论后回答.
生: 过三角形一边上一点作两条平行线 , 而后依据平行线的性质使△ ABC的三个内角与构成平
角的三个角分别相等 , 再由平角的定义证明它们的和是 180°.
师 : 很好 ! 请同学们把证明过程增补完好 .
学生增补练习第2题的证明 , 教师巡视指导, 而后集体校正.
四、层层推动, 深入理解
教师多媒体出示:
师 : 在三角形内角和定理的证明中, 我们以前如图中所示那样把△ABC的一边 BC延伸至点
D,获得∠ ACD,像这样由三角形的一边与另一边的延伸线构成的角, 叫做三角形的外角. 在上
图中 , △ ABC的外角 , 也就是∠ ACD与它不相邻的内角∠A、∠B有如何的关系?你能给出证明吗?
学生小组交流议论后回答.
生 : ∠ ACD与∠ ACB的和是 180°, 所以∠ ACD=180°- ∠ ACB;依据三角形内角和定理, ∠ A+
∠B+∠C=180°, ∠ A+∠B=180° - ∠ C. 由等式的性质 , 获得∠ ACD=∠ A+∠ B.
师: 很好 ! 除了这个相等关系 , 还可以获得什么大小关系 ?
生: ∠ ACD>∠ A, ∠ ACD>∠ B.
师: 很好 ! 在证明中主要应用了三角形内角和定理 , 我们把这两个结论称为这个定理的两个
推论 .
教师板书 :
推论 2三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
推论 3三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.
师: 像这样 , 由公义、定理直接得出的真命题叫做推论. 推论 2能够用来计算角的大小 , 推
论3能够用来比较两个角的大小 .
【例 2】已知:如下图,∠ 1、∠ 2、∠ 3是△ ABC的三个外角.
师: 这个问题实质上是三角形外角和定理, 即三角形三个外角的和是 360°. 请大家想一
下,怎么证明这个命题 ?
学生交流议论后回答, 而后集体校正 .
证明 : ∵∠ 1=∠ ABC+∠ ACB,
∠2=∠BAC+∠ ACB,
∠3=∠BAC+∠ ABC,
( 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和)
∴∠ 1+∠ 2+∠ 3=2( ∠ ABC+∠ ACB+∠ BAC).( 等式性质 )
∵∠ ABC+∠ ACB+∠BAC=180°,( 三角形内角和定理)
∴∠ 1+∠ 2+∠3=360°.
五、讲堂小结
师 : 我们今日学习了哪些内容?你有什么收获 ?
学生讲话 , 教师评论 .
教课反省
本节课我经过让学生自己思虑设计证明思路, 来培育学生踊跃思虑的研究精神. 在证明三角形内角和定理的第一种证法中, 我率领他们回首了从前证明此定理的操作方法, 并说明这两种方法的思想是一致的. 一方面能够让他们学会把实质问题用数学形式表示出来, 另一方面培育了他们成立有关事物之间的联系的意识, 促使知识的迁徙. 在证明三角形内角和定
理的练习中 , 我让他们先理清思路 , 再做题 , 不只能够借鉴识人的思路 , 并且能做到整体掌握 , 理清脉络 .。