空间点阵

从等大球体堆积构型中抽象出空间点阵 (一) 六方最紧密堆积
这个点阵相当于一个底面顶 角为60的平行六面体在三维 空间的无限堆垛
比较一下晶体结构与空间点阵
把所有的微粒都画出来的图 形表示的是晶体的结构
只给出等同微粒的图 形表示的是空间点阵
从等大球体堆积构型中抽象出空间点阵 (二) 立方最紧密堆积
顶点处的八个圆球是 等同微粒：种类相同， 所处环境也相同。
因此这个结构中的基元是由两 个同种类的圆球构成的。
因此，对空间点阵的描述是：将构成晶体的 最小结构单元 基元抽象为几何点，这些几何 点的集合就称为空间点阵。晶体的最小结构单元 基元中包括了晶体中所有种类的不等同微粒，而 且构成基元的微粒中任意两个都互为不等同微粒。
晶体中如果存在旋转轴，则其必定通过晶体的几 何中心。
倒转轴是一种复合对称要 素，由一根假想的直线和在 此直线上的一个定点组成。 相应的对称操作是绕此直线 旋转一定角度以及对此定点 的倒反。
根据晶体对称轴定律，倒转 轴也只有 1 次、2 次、3 次、 4 次和 6 次等 5 种
倒反轴的表示方法
在晶体研究中经常遇到两个名词：
点群：在宏观晶体中存在的所有对称要素都必定 通过晶体的中心，因此不论如何进行对称操作，晶 体中至少有一个点是不变的，因此对称型也称为点 群。
空间群：晶体结构中还有一些微观的对称要素， 微观对称要素的核心是平移轴，微观对称要素的集 合构成平移群。晶体结构中存在的一切对称要素 (包括平移轴在内) 的集合称为空间群。晶体中可能 存在的空间群只有 230 种
吊扇叶片每旋转一周就重复 3 次，相应的对称轴为三 次对称轴
在旋转操作中，使物体复原所需的最小旋转角
称为基转角。轴次 n 可以写成
n 360

在晶体的宏观对称中，n 的数值不能是任意的。晶 体对称定律证明：在晶体中只可能出现一次、二次、 三次、四次和六次旋转轴。不可能出现五次以及高 于六次的旋转轴。
在进行对称操作时，如果物体中至少有一个点保 持不动，那么相应的对称操作就称为点对称操作， 也叫宏观对称操作。
对称操作一定与某一个几何图形相联系。换句话 说，进行对称操作都必须凭借于一定的几何要素， 这些几何要素可以是点、也可以是直线或者平面。 进行对称操作所凭借的几何要素称为对称要素。
对称性指的是物体在经过一定的操作之后其空间 构型能够完全复原的性质
原始格子的划分方式是多种多样的。
空间点阵是一个三维无限大的图形，直接用空 间点阵来描述晶体中原子的堆积方式显然是很不方 便的，而构成空间点阵的基本单元体 原始格 子又因边棱取向的随意性而不可能完整地反映出空 间点阵的几何特征。因此，法国科学家布拉维于 1848 年提出了一套简便而准确描述空间点阵几何 特征的方法。
(2) 在不违反对称的条件下，应选择棱与棱之间的 直角关系最多的平行六面体；
(3) 在遵循上述两条的前提下，所选的平行六面体 体积应该最小；
(4) 在对称性规定棱间交角不为直角时，在遵循前 三条的前体下，应选择结点间距小的行列作为平行 六面体的是物体在经过一定的操作之后其 空间构型能够完全复原的性质。这种“一定的操作” 称为对称操作。
1, 2, 3, 4, 6
倒转轴是一种复合对称要素。各类倒转轴 中，只有 4 次倒转轴是一个独立的基本对称操 作，其他 4 种倒转轴都可以表示为对称中心、 对称面、旋转轴的组合。
1 次倒转轴
相当于旋转360后再对中心 反演而图形不变。
由于旋转360将使图形回复 到原始位置，因此，1 次倒 转轴的效果与单纯的反演操 作完全相同
在从这个结构抽象出 点阵的过程中，把由 这两种原子组成的一 个基元抽象为一个点
如果我们把这个空间点 阵还原为晶体结构的话， 点阵中的每一个结点都 将转换为由两个原子组 成的一个基元。
再来看看六方最紧密堆积的情况
首先，这一结构中所有的圆球都是一样的， 也就是说微粒的种类是一样的。 顶点处的圆球和六面体内的圆球是不等同微 粒：种类虽然相同，但所处环境不同。
三种立方堆积中的基元均由一个圆球构成，因 此晶体结构图形与空间点阵图形是一样的
尽管前面一直用一个平行六面 体来描述空间点阵，但是必须 记住的是，空间点阵是一个无 限大的三维空间图形。
三维空间点阵是由一些按照一定 规律排列的几何点 (结点) 所构成的一 个阵列。
在空间点阵中，分布在同一直线上的结点构成一 个行列。很显然，任意两个结点就可以决定一个 行列。行列中两个相邻的结点间的距离称为结点 间距。连接分布在同一平面内的结点即构成一个 面网，而连接分布在三维空间内的结点就构成了 空间点阵。
对称中心 对称面 旋转轴 倒转轴 (有时也称为象转轴)
对称中心是一个假想的几何 点，其对应的对称操作是对于 这个点的倒反 (反演)。
通过对称中心作任意直线， 在此直线上位于对称中心两侧 等距离的两点是性质完全相同 的对应点。
在晶体中，如果存在有对称 中心，则对称中心肯定位于晶 体的几何中心。
现实生活中的几个对称的例子
吊扇中的叶片以转子中心线为对称轴， 三个叶片之间可以围绕这个对称轴每 旋转120重复一次。
对称操作：绕对称轴旋转一定的角度 对称要素：旋转轴
现实生活中的几个对称的例子
对称变换：镜子的反映 (注意这是一个 虚拟操作)
对称要素：镜子构成的对称面
在晶体内部结构中 (以及在相应抽象出来的空间点阵 中) 可能存在的对称要素以及相应可以进行的宏观对 称操作主要有以下几类：
ABCABC堆积就构成了一个 换一个角度看看立方最紧密
立方最紧密堆积结构
堆积可以看出一些特征
立方最紧密堆积结构可以抽 象出一个空间点阵，这个点 阵相当于下面的平行六面体 在三维空间无限堆垛而形成
点阵中的结点所代表 的基元只由一个圆球 构成。
这个图形所中顶点与面心是等同点吗？
从等大球体堆积构型中抽象出空间点阵 (三) 简单立方堆积
空间点阵也可以看成是由一个只在八个顶点上 含有结点的平行六面体单元沿三维方向重复堆积而 构成的。这样的平行六面体单元称为原始格子。注 意到在空间点阵中，每个结点都由 8 个原始格子所 共有，因此，每个原始格子中只含有一个结点。显 然，对于一个给定的空间点阵，原始格子的划分方 法有很多种，取决于我们所选择的平行六面体三条 不共面的棱边 (行列) 的取向。
把微粒间相互作用的影响暂时撇开而从纯粹 的几何角度来讨论晶体结构的描述问题，就 可以把晶体中微粒的排列看成是等大球体或 者不等大球体的堆积。
2.3.1 几个基本概念
等同微粒、周期
从球体堆积模型可以看出，晶体中微粒排 列的一个基本特征就是原子的排列是有规律 的：不论从哪一个方向看上去，总是相隔一 定的距离就会出现相同的微粒。
关于等同
点阵只是表示等同微粒在空间的分布规律的 一种几何抽象。因为等同微粒不仅要求微粒的种 类相同，而且要求微粒所处的周围环境也相同， 因此即使在只由一类微粒构成的晶体 (单质晶体) 中，也并不一定是所有的微粒都是等同微粒；而 对于化合物晶体，不同的微粒因为种类不同就显 然不是等同微粒。
上节课的一个例子：一个由两种不同的原子构成 的结构基元以及由这个基元组成的二维点阵
关于晶体宏观对称性的详细讨论不属于本课 程的范围，有兴趣的可以阅读已经出版的大量的 结晶学方面的专门著作。
现在我们还是回过头来看看布拉维格子。
首先来建立一个描述空间点阵的坐标系
前面提到的布拉维的四条基本原则的目的在于在 空间点阵中找出一个能够全面准确体现该点阵几 何特征的平行六面体。确定了这个平行六面体， 也就相当于确定了空间点阵的坐标系。
先旋转120图形能够复原， 因此该图形具有 1 条 3 次旋 转轴
该图形显然具有一个对称面
因此 6 次倒转轴相当于 1 条 3 次旋转轴加上一个对称面
6 3m
晶体中只存在有 8 种独立的对称要素， 分别为。 i, m, 1, 2, 3, 4, 6, 4
任何宏观晶体所具有的对称性都是这 8 种基本对称要素的组合。
这里所说的“相同”，不仅仅是微粒本身 的相同 (同类原子或者离子)，还包括了微粒 所处环境的相同。
等同微粒、周期
晶体结构中种类和所处的周围环境完全相 同的微粒称为等同微粒，而两个等同微粒之 间的距离称为周期。
显然，沿不同的方向周期可能是不同的。
空间点阵、结点
晶体中微粒排列的周期性规律可以用一些在 空间有规律分布的几何点来表示。我们可以把晶 体中所有的等同微粒都分别抽象为一个几何点， 这样微粒在空间的排列就相当于这些几何点在空 间的有规律分布。这样的几何点的集合称为空间 点阵，空间点阵中的几何点称为点阵的结点，而 沿点阵的任何一个方向上相邻两个结点之间的距 离就是晶体沿这一方向的周期。
在结晶学中，对称中心一般 用符号 “i” 表示。
对称面是一个假想的平面，相应 的对称操作为对此平面的反映。对 称面就像一面镜子，把物体的两个 相同的部分以互成镜像反映的关系 联系起来。
垂直于对称面作任意直线，位于 直线两侧等距离的两点是性质完全 相同的对应点
晶体中如果存在有对称面，则必 定通过晶体的几何中心并将晶体分 为互成镜像反映的两个相同部分
3 3i
4 次倒转轴
相当于旋转90后再对中心反 演而图形不变。
这是一个独立的对称操作。 它既没有 4 次旋转轴也没有 对称中心，不能分解成其他 基本对称要素的组合。
注意这里的 2、6、4、 8 这四个点是不存在的， 也是过渡点。
6 次倒转轴
相当于旋转60后再对中心反 演而图形不变。
1 次倒转轴也就是对称中心。
1i
2 次倒转轴
相当于旋转180后再对中心 反演而图形不变。
2 次倒转轴就是对称面
2m
3 次倒转轴
相当于旋转120后再对中心反 演而图形不变。
先旋转120图形能够复原，因 此该图形具有 1 条 3 次旋转轴
该图形显然具有一个对称中心
因此 3 次倒转轴相当于 1 条 3 次旋转轴加上一个对称中心
单位平行六面体的三根棱是 三个坐标轴的方向
2.3 空间点阵
晶体内部原子排列很类似于球体的堆积。结晶 学中往往把构成晶体的微粒 (原子或者离子) 视 为具有一定半径的球体，这些球体在三维空间 按一定规律无限排列就构成了晶体。
实际晶体微粒的堆积比球体堆积要稍微复杂一 些，前者除了必须考虑几何因素之外，微粒之 间的相互作用也是影响原子或者离子排列状态 的关键因素。
在结晶学中，对称面一般用符号 “m” 表示。
旋转轴是一条假想的直线，相应 的对称操作是绕此直线的旋转。
物体在旋转一周的过程中重复的 次数称为该旋转轴的轴次。
在结晶学中，一般直接采用轴次 表示旋转轴，如 “1” 即代表 1 次旋 转轴，“3” 即代表 3 次旋转轴等。
1 次旋转轴相当于没有对称性
这么一个图形一层层地堆起来 就是相应的空间点阵
简单立方堆积就是简单
从等大球体堆积构型中抽象出空间点阵 (四) 体心立方堆积
体心位置和顶点位置是等同位置
小结一下
六方最紧密堆积的晶体结构图形与空间点阵图 形是不一样的，而三种立方堆积的晶体结构图 形与空间点阵图形则是一样的
六方最紧密堆积结构的基元由两个圆球构成， 是导致晶体结构与空间点阵图形不一样的原因
2.3.2 布拉维格子
布拉维认为，对于任何一种晶体的结构抽象出 来的空间点阵，都可以看成是由一个能够全面准确 体现该点阵几何特征的平行六面体沿三维方向重复 堆积而构成；这个能够全面准确体现空间点阵几何 特征的平行六面体的选取必须遵循 4 个基本原则：
平行六面体的选取原则
(1) 所选取的平行六面体的对称性应该符合整个空 间点阵的对称性；
晶体的宏观对称性
宏观晶体的几何外形是多种多样的，不同晶体 中存在的对称要素也不同。
晶体中有几个对称要素共存时，它们在空间的 分布也应该符合整体的对称关系。因此，对称 要素的组合具有一定的规律。
晶体中对称要素的集合称为晶体的对称型。已 经证明：在一切宏观晶体中，总共可能出现的 对称型只有 32 种。