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汉中市2016届高三年级教学质量检测考试
数学（理科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共四页。

满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名.准考证号等项在密封线内填写清楚。

2.选择题 请按题号用2B 铅笔填涂方框，非选择题，除作图可使用2B 铅笔外，其余各题请按题号用0.5毫米黑色签字笔书写，否则作答无效。

3.按照题号在对应的答题区域内作答，超出各题答题区域的答案无效，在草稿纸.试题上答题无效。

4.保持字体工整，笔记清晰，卷面清洁，不折叠。

第I 卷（选择题 共60分）
一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知复数i z +=11，i z 2-32=，则复数
1
2
z z 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 在等差数列{ n a }中,已知4a +8a =16,则该数列前11项和11S =（ ）
A ．58
B ．88
C ．143
D ．176 3. 两向量)125(),34(--=-=，，,则AB 在CD 方向上的投影为（ ）
A ．(－1，－15)
B ．(－20,36)
C ．1613
D ．165
4. 已知命题40:<<a p ，命题:q 函数12
+-=ax ax y 的值恒为正，则p 是q 的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5. 函数y=e sinx (-π≤x ≤π)的大致图象为（ ）
6. 已知某名校高三学生有2000名，在某次模拟考试中数学成绩ξ服从正态分布2
(120,)N σ，已知
(100120)0.45P ξ<<=，按分层抽样的方式从中抽出100份试卷进行分析研究，则应从140分以上的
试卷中抽（ ）份.
A ．4
B ．5
C ．8
D ．10
7．某几何体的三视图如图示，此几何体的体积是（ ）
A ．20π3
B ．6π
C ．
10
π
3
D ．16π3 8．若椭圆和双曲线C ：1222
2
=-y x 有相同的焦点，且该椭圆经过
点⎪⎭
⎫
⎝⎛
-
23,1，则椭圆的方程为（ ） A ． 14522=+y x B. 13422=+y x C. 15422=+y x D. 15
92
2=+y x 9．函数)2
0)(sin()(π
ϕϕω<>+=，其中A x A x f 的部分图像如图所示,为了得到g(x)=cos2x 的图像,则
只要将f(x)的图像（ ）
A.向左平移
π 个单位长度 B.向右平移
π
个单位长度
C.向左平移π
个单位长度 D.向右平移π
个单位长度
10. 设2
11e a dx x =⎰
，则二项式25()a
x x
-的展开式中x 的系数为（ ） A. 40 B. -40 C. 80 D. -80
11．若一个四棱锥底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心，且该四棱锥的体积为9，当其外接
球表面积最小时，它的高为（ ）
A ．3
B ．．．12. 设函数2sin 20()20a x x f x x a x +≥⎧=⎨+<⎩
，，
，（其中a ∈R ）的值域为S ，若[1)S +∞⊆，
则a 的取值范围是（ ） A. 1
(,)2-∞
B. 37[1,](,2]24
C. 1(,)[1,2]2-∞
D.3
(,)2
+∞
第II 卷 (90分)
本卷包括必考题和选考题两部分。

第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13.若变量y x ,满足约束条件102800x y x y x -+≤⎧⎪
+-≤⎨⎪≥⎩
则y x z +=3的最小值为 .
14.动点M 到点F(4，0)的距离比它到直线L:x+6=0的距离小2，则动点M 的轨迹方程为 . 15.设等比数列{}n a 的公比为q ，若n S ，1-n S ，1+n S 成等差数列，则
5
37
5a a a a ++等于 .
16. 某工厂接到一任务，需加工6000个P 型零件和2000个Q 型零件。

这个厂有214名工人，他们每一个人用以加工5个P 型零件的时间可以加工3个Q 型零件，将这些工人分成两组同时工作，每组加工一种型号的零件。

为了在最短时间内完成这批任务，则加工P 型零件的人数为 人。

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. （本小题满分12分） 已知函数()2cos sin()6
f x x x π
=⋅+．
（1）求()f x 的最小正周期；
（2）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若()1f C =，sin 2sin B A =，且ABC ∆的面积
为c 的值。

18.（本小题满分12分）如图在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，已知AB ⊥侧面BB 1C 1C ，BC ＝2 ，AB ＝CC 1＝2，∠BCC 1＝ π
4，点E 在棱BB 1上.
（1）求C 1B 的长，并证明C 1B ⊥平面ABC ；
（2）若BE ＝λBB 1，试确定λ的值，使得二面角A-C 1E-C 的余弦
值为5
5
.
19. （本小题满分12分）为弘扬民族古典文化，市电视台举行古诗词知识竞赛，某轮比赛由节目主持人随机从题库中抽取题目让选手抢答，回答正确将给该选手记正10分，否则记负10分。

根据以往统计，某参赛选手能答对每一个问题的概率均为
3
2
；现记“该选手在回答完n 个问题后的总得分为n S ”。

（1）求206=S 且()3,2,10=≥i S i 的概率；
（2）记5S X =,求X 的分布列，并计算数学期望()X E 。

20．（本小题满分12分）已知直线l ：6+=x y ，圆O ：52
2
=+y x ，椭圆E ：122
22=+b
x a y (a ＞b
＞0)的离心率3
3
=
e ，直线l 被圆O 截得的弦长与椭圆的短轴长相等． （1）求椭圆E 的方程；
（2）过圆O 上任意一点)3,2),(0000±≠±≠y x y x P （作两条直线与椭圆E 分别只有唯一一个公共点，
求证:这两直线斜率之积为定值。

E
A
C
B
C 1
B 1
A 1
D
21. （本小题满分12分）已知函数()32f x ax x a =+-， （1）求函数()f x 的单调递增区间；
（2）若,a n =且*
n N ∈，设n x 是函数()32n f x nx x n =+-的零点，
（i ）证明:当2≥n 时存在唯一n x ，且）
（
1,1
+∈n n
x n ； （i i ）若)1)(1(1+--=n n n x x b ，记n n b b b S +++=...21，证明:1<n S .
请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.
22.（本小题满分10分）《选修4—1：几何证明选讲》 在ABC ∆中， AB=AC ，过点A 的直线与其外接圆交于点P ，交BC 延长线于点D 。

（1）求证： BD
PD AC PC =
； （2）若AC=3，求AD AP ⋅的值。

23．（本小题满分10分）《选修4-4：坐标系与参数方程》
在平面直角坐标系xoy 中，已知曲线22
1:1C x y +=，以平面直角坐标系xoy 的原点O 为极点，x 轴
的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线:(2sin )6l cos ρθθ-
=.
（1）将曲线1C 、2倍后得到曲线2C ，试写出
直线l 的直角坐标方程和曲线2C 的参数方程；
（2）在曲线2C 上求一点P ，使点P 到直线l 的距离最大，并求出此最大值. 24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数()2f x x a x =++-
（1）当3a =-时，求不等式()3f x ≥的解集；
（2）若()4f x x ≤-的解集包含[1,2]，求a 的取值范围。

2016届汉中市高中数学质量检测理科答案
选择题：1-6 DBCADB 7-12 CBADAC 填空题：
13. 1 ； 14. x y 162=； 15. 4 ； 16. 137 （见北师大版必修一课本P130） 17. （1）f （x ）=2cosx
（
sinx+cosx ）
=
sin2x+
cos2x+=sin （
2x+）
+，…（4
分）
∵ω=2，∴f （x ）的最小正周期为π；..................................…（5分） （2）∵f （C ）=sin （2C+）+=1，∴sin （2C+
）=，∵
＜2C+
＜
，
∴2C+
=
，即C=
，........................................（7分）
∵sinB=2sinA ，∴b=2a ①，........…（8分） ∵△ABC 面积为2，
∴absin
=2
，即ab=8②，....…（9分）联立①②，得：a=2，b=4，....（10分）
由余弦定理得：c 2=a 2+b 2﹣2abcosC=12，即c=2
．..............（12分）
18.（1）因为BC ＝2 ，CC 1＝BB 1＝2，∠BCC 1＝ π
4
，
在△BCC 1中，由余弦定理，可求得C 1B ＝2 ， ……………………2分 所以C 1B 2＋BC 2＝CC 21，C 1B ⊥BC ． 又AB ⊥侧面BCC 1B 1，故AB ⊥BC 1，
又CB ∩AB ＝B ，所以C 1B ⊥平面ABC ． …………………5分 （2）由（1）知，BC ，BA ，BC 1两两垂直，
以B 为空间坐标系的原点，建立如图所示的坐标系， 则B (0，0，0)，A (0，2，0)，C (2 ，0，0)，
C 1A →＝(0，2，－2 )，C 1E →＝C 1B →＋λBB 1→＝C 1B →＋λCC 1
→＝(－2 λ，0，2 λ－2 )，
设平面AC 1E 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧m ·C 1A →＝0，m ·C 1E →
＝0，即⎩⎨⎧2y －2 z ＝0，2 λx ＋(2 －2 λ)z ＝0， 令z ＝2 ，取m ＝(2 (λ－1)
λ
，1，2 )，………9分 又平面C 1EC 的一个法向量为n ＝(0，1，0)，
所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝1___________√__________2(λ－1)2λ2
＋3
＝5 5，解得λ＝ 1 2
． 所以当λ＝
1 2时，二面角A -C 1E -C 的余弦值为5
5
. ………………………12分
1
19. 解：(1)当206=S 时，即回答6个问题后，正确4个，错误2个。

若回答正确第1个和第2个问题，则其余4个问题可任意回答正确2个问题；若第一个问题回答正确，第2个问题回答错误，第三个问题回答正确，则其余三个问题可任意回答正确2个。

记回答每个问题正确的概率为p ，则32=
p ，同时回答每个问题错误的概率为3
1
………3分 故所求概率为：81
1631323231323132322
232
2
2
42
=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⨯⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛=C C P (6)
分
(2) 由5S X =可知X 的取值为10，30，50
可有()814031323132103
22523
35=
⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭
⎫ ⎝⎛==C C X P ()813031323132304
1
151
4
45=
⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==C C X P ()81113132505
055
5
5
=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛==C C X P ……………9分 故X 的分布列为：
()81
1850
=
X E ……………12分 20. 解析： (1)设椭圆半焦距为c ， 圆心O 到l 的距离d ＝
61＋1
＝3，.....2分
则l 被圆O 截得的弦长为22，所以b ＝ 2.
由题意得⎩⎪⎨⎪⎧
c a ＝33
，
a 2＝
b 2＋
c 2，
又b ＝2，∴a 2
＝3，b 2
＝2. .....4分
∴椭圆E 的方程为y 23＋x 2
2
＝1. .....6分
(2)过P (x 0，y 0)的直线与椭圆E 分别只有唯一的公共点过点，设过P 的椭圆E 的切线l 0的方程为y －
y 0＝k (x －x 0)，
整理得y ＝kx ＋y 0－kx 0， 联立直线l 0与椭圆E 的方程得
⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋y 0－kx 0，y 23＋x
22
＝1，.....8分
消去y 得2[kx ＋(y 0－kx 0)]2＋3x 2
－6＝0，
整理得(3＋2k 2
)x 2
＋4k (y 0－kx 0)x ＋2(kx 0－y 0)2
－6＝0， ∵l 0与与椭圆E 分别只有唯一的公共点（即与椭圆E 相切）， ∴Δ＝[4k (y 0－kx 0)]2
－4(3＋2k 2
)[2(kx 0－y 0)2
－6]＝0， 整理得(2－x 2
0)k 2
＋2x 0y 0k －(y 2
0－3)＝0，.....9分
设满足题意的与椭圆E 分别只有唯一的公共点的直线的斜率分别为k 1，k 2，
则k 1k 2＝－y 20－32－x 20
.
∵点P 在圆O 上，∴x 2
0＋y 2
0＝5， ∴k 1k 2＝－5－x 2
0－3
2－x 20
＝－1.
∴两条切线斜率之积为－1. .....12分 21.解：（1），.....1分
若
，则
，函数
在
上单调递增；.....3分 若
，令
，
或
，
函数的单调递增区间为和
；.....5分 （2）（i ）a=n>0由（Ⅰ）得，在
上单调递增，
又........5分
=
........7分
当
时，
，
，
时存在唯一
且
.........9分
（i i ）当
时，
，
.........10分
2
1
31....121+++<+++=∴n b b b b S n n .........10分
又
，，
， 又
，
.........11分
12
1
12131922131....121<+-<+-+<+++<+++=∴n n n b b b b S n n .........12分
命题得证.
22解：（1）D D ABC CPD ∠=∠∠=∠, ， DPC ∆∴～DBA ∆，BD
PD
AB PC =
∴
又BD
PD AC PC AC AB =
∴
=, （5分）
（2）,,CAP CAP APC ACD ∠=∠∠=∠ APC ∆∴～ACD ∆AD
AC
AC AP =
∴
， 92=⋅=∴AD AP AC （10分）
23解(Ⅰ) 由题意知，直线l 的直角坐标方程为：2x-y-6=0，………………2分
∵曲线2C
的直角坐标方程为：22()12y
+=，
∴曲线2C
的参数方程为：()2sin x y θ
θθ
⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数.………………5分
(Ⅱ) 设点P
的坐标,2sin )θθ，则点P 到直线l 的距离为：
d ==
，………………7分 ∴当sin(600－θ)=-1时，点P(-)1,23
，此时max d =
=分 24解：（1）当3a =-时，()3323f x x x ≥⇔-+-≥
2323x x x ≤⎧⇔⎨-+-≥⎩或23323x x x <<⎧⇔⎨-+-≥⎩或3323x x x ≥⎧
⇔⎨-+-≥⎩
1x ⇔≤或4x ≥ ……5分
（2）原命题()4f x x ⇔≤-在[1,2]上恒成立
⇔++-≤-在[1,2]上恒成立x a x x
24
⇔--≤≤-在[1,2]上恒成立
x a x
22
⇔-≤≤……10分
30
a。