高考数学二轮复习 新高考方案专题增分方略 专题微课(四) 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题

而t∈[1,2]，
所以△MBA面积的取值范围是12278，2176.
[方法技巧] 目标函数法解圆锥曲线有关最值、范围问题的解题模型
[对点训练]
已知椭圆C：x22＋y2＝1，点P在圆O：x2＋y2＝1上．
(1)设点Q在直线x＝－2上，且
―→ OP
―→ ·PQ
＝1.试问：过点P且垂直于OQ的直线l1
y＝kx－2，
由x42＋y2＝1
消去y，得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0，
则x1＋x2＝1＋164kk2，x1x2＝1＋124k2.
由直线l与E有两个不同的交点，得Δ＞0， 则(－16k)2－4×12×(1＋4k2)＞0，
解得k2＞34.① 由坐标原点O位于以MN为直径的圆外，
则―OM→·―O→N ＞0，即x1x2＋y1y2＞0，
专题微课(四)|圆锥曲线中的最值、范围、证明问题 题型策略一 目标函数法解决最值、范围问题 [典例] (2020·蚌埠质检)如图，设抛物线 C1：x2＝4y 与抛 物线 C2：y2＝2px(p>0)在第一象限的交点为 Mt，t42，点 A，B 分别在抛物线 C2，C1 上，AM，BM 分别与 C1，C2 相切． (1)当点 M 的纵坐标为 4 时，求抛物线 C2 的方程； (2)若 t∈[1,2]，求△MBA 面积的取值范围．
t 2
，即点
B－2t ，1t26.
|MB|＝
t＋2t 2＋t42－1t262＝136t 64＋t2，
点A
4t ，－t82
பைடு நூலகம்
到直线BM：y＝
t 8
x＋
t2 8
，即tx－8y＋t2＝0的距离为d＝
t42＋t2＋t2＋64t2＝4 t92＋t2 64，
故△MBA面积为S△MBA＝12|MB|·d＝2172t83，
将y＝kx＋b代入椭圆C：
x2 2
＋y2＝1，消去y，整理得(1＋2k2)x2＋4kbx＋2b2－
2＝0，
则x1＋x2＝－1＋4k2bk2，x1x2＝12＋b2－2k22，
∴|AB|＝
1＋k216k2b2－81＋b22－k2121＋2k2
＝2 2
1＋k2 2k2－b2＋1
1＋2k2
.
∵b2＝k2＋1，
[解] (1)由△ABP是等腰直角三角形， 知a＝2，B(2,0)， 设Q(x0，y0)，由―PQ→＝32―Q→B ， 得x0＝65，y0＝－45， 代入椭圆方程，解得b2＝1， ∴椭圆E的方程为x42＋y2＝1. (2)由题意可知，直线l的斜率存在，设直线方程为y＝kx－2，M(x1，y1)， N(x2，y2)，
k2＋1＋k2
∴|AB|＝2
2 k21＋k2 2 1＋2k2 <
2· 2 1＋2k2
＝ 2，
∵k2≠1＋k2，∴等号不成立．
综上，|AB|的最大值是 2.
题型策略二 不等式法解决最值、范围问题 [典例] 已知点 A，B 分别为椭圆 E：xa22＋by22＝1(a＞b＞0)的左、右顶点，点 P(0，－2)，直线 BP 交 E 于点 Q，―PQ→＝32―Q→B ，且△ABP 是等腰直角三角形． (1)求椭圆 E 的方程； (2)设过点 P 的动直线 l 与 E 相交于 M，N 两点，当坐标原点 O 位于以 MN 为直径的圆外时，求直线 l 斜率的取值范围．
则x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1－2)(kx2－2) ＝(1＋k2)x1x2－2k(x1＋x2)＋4 ＝(1＋k2)·1＋124k2－2k·1＋164kk2＋4＞0， 解得k2＜4.② 联立①②可知34＜k2＜4， 解得 23＜k＜2或－2＜k＜－ 23， 故直线l斜率的取值范围为－2，－ 23∪ 23，2.
是否恒过椭圆C的左焦点F？若成立请证明，若不成立请说明理由．
(2)直线l2与圆O：x2＋y2＝1相切于点M，且与椭圆C相交于不同的两点A，B，
求|AB|的最大值．
解：(1)由题意知F(－1,0)，设Q(－2，t)，P(m，n)， 则m2＋n2＝1，―O→P ＝(m，n)，―PQ→＝(－2－m，t－n)． ∵―O→P ·―PQ→＝－2m－m2＋tn－n2＝1， ∴tn－2m＝m2＋n2＋1＝2. ∵―P→F ＝(－1－m，－n)，―O→Q ＝(－2，t)， ∴―P→F ·―O→Q ＝2＋2m－tn＝0， ∴过点P且垂直于OQ的直线l1恒过椭圆C的左焦点F. (2)当直线l2垂直x轴时，易知|AB|＝ 2. 当直线l2不垂直x轴时，设为y＝kx＋b， 由直线l2与圆O：x2＋y2＝1相切知， k|2b＋| 1＝1，即b2＝k2＋1.
联立方程y＝k2x－t＋t42， y2＝2px，
消去 x，化简得 y2－2kp2 y－2pt－4tk22＝0，
则 Δ＝4kp222＋8pt－4tk22＝0，代入 p＝3t32，解得 k2＝8t ，
从而直线BM的斜率为
y2－t42 x2－t
＝
x422－t42 x2－t
＝
x2＋t 4
＝
t 8
，解得x2＝－
[方法技巧] 利用不等式解决最值、范围问题的策略
解决有关最值、范围问题时，先要恰当地引入变量(如点的坐标、角、斜 率等)，寻找不等关系，其方法有：
(1)利用判别式或几何性质来构造不等式，从而确定所求最值或范围； (2)利用已知参数的取值范围，求新参数的最值或范围，解这类问题的核 心是在两个参数之间建立相等关系； (3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出所求最值或范围； (4)利用已知不等关系构造不等式，从而求出所求最值或范围； (5)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域， 从而确定所求最值或范围； (6)利用已知，将条件转化为n个不等关系，从而求出参数的最值或范围．
x2＝4y，
则 Δ＝16k21－4(4k1t－t2)＝0，解得 k1＝2t ， 从而直线 AM 的斜率yx11－－t4t2＝y2y1p21－－t42t＝1y6t13y－21－t42t＝44yt13＋t2＝2t ， 解得 y1＝－t82，即点 A4t ，－t82. 设点 B(x2，y2)，直线 BM 方程为 y＝k2(x－t)＋t42，
[解] (1)由条件知，t42＝4 且 t>0，解得 t＝4， 即点 M(4,4)， 代入抛物线 C2 的方程，得 8p＝16，所以 p＝2，则抛物线 C2 的方程为 y2 ＝4x. (2)将点 Mt，t42代入抛物线 C2 的方程，得 p＝3t32. 设点 A(x1，y1)，直线 AM 方程为 y＝k1(x－t)＋t42， 联立方程y＝k1x－t＋t42， 消去 y，化简得 x2－4k1x＋4k1t－t2＝0，