(新课标)高考数学一轮总复习 第六章 不等式、推理与证明 6-1 不等式的性质及一元二次不等式课时规

6-1 不等式的性质及一元二次不等式
课时规X 练 A 组 基础对点练
1．(2018·某某省三市联考)若集合A ＝{x |3＋2x －x 2
>0}，集合B ＝{x |2x
<2}，则A ∩B 等于( C ) A ．(1,3) B.(－∞，－1) C ．(－1,1)
D.(－3,1)
2．设a >b ，a ，b ，c ∈R ，则下列结论正确的是( C ) A ．ac 2
>bc 2
B.a b
>1 C ．a －c >b －c
D.a 2
>b 2
解析：当c ＝0时，ac 2
＝bc 2
，所以选项A 错误；当a >0，b <0时，a
b
<0，所以选项B 错误；因为a >b ，所以a －c >b －c 恒成立，所以选项C 正确；当a ≤0时，a 2
<b 2
，所以选项D 错误．故选C.
3．(2018·某某调研)若6<a <10，a
2≤b ≤2a ，c ＝a ＋b ，那么c 的取值X 围是( D )
A ．9≤c ≤18 B.15<c <30 C ．9≤c ≤30
D.9<c <30
4．不等式组⎩⎪⎨
⎪⎧
x x ＋2
>0，
|x |<1
的解集为( C )
A ．{x |－2<x <－1} B.{x |－1<x <0} C ．{x |0<x <1}
D.{x |x >1}
5．若a >b >0，c <d <0，则一定有( B ) A.a d >b c
B.a d <b c
C.a c >b d
D.a c <b d
6．下列选项中，使不等式x <1x
<x 2
成立的x 的取值X 围是( A )
A ．(－∞，－1) B.(－1,0) C ．(0,1)
D.(1，＋∞)
7．已知函数f (x )＝
1ln
x ＋1
＋4－x 2
，则函数f (x )的定义域为( B ) A ．[－2,0)∪(0,2] B.(－1,0)∪(0,2] C ．[－2,2]
D.(－1,2]
8．若一元二次不等式ax 2
＋bx ＋2>0的解集是⎝ ⎛ －12
，
⎭
⎪⎫
13，则a ＋b 的值是( D ) A ．10 B.－10 C ．14
D.－14
9．设集合M ＝{x |x 2
＋3x ＋2<0}，集合N ＝⎩⎨⎧
x ⎪⎪⎪⎭
⎬
⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤4，则M ∪N ＝( A )
A ．{x |x ≥－2} B.{x |x >－1} C ．{x |x <－1}
D.{x |x ≤－2}
10．(2018·某某调研)设a >b >c >0，x ＝a 2
＋b ＋c 2
，y ＝b 2＋c ＋a
2
，z ＝
c 2＋a ＋b
2
，则x ，y ，z 的大小关系是__z >y >x __.(用“>”连接)
解析：法一 y 2
－x 2
＝2c (a －b )>0，∴y >x .同理，z >y ，∴z >y >x . 法二 令a ＝3，b ＝2，c ＝1，则x ＝18，y ＝20，z ＝26，故z >y >x .
11．(2018·某某调研)已知函数f (x )＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)，若不等式f (x )<0的解集为
⎩⎨⎧
x ⎪⎪⎪⎭
⎬⎫
x <12或x >3，则f (e x
)>0(e 是自然对数的底数)的解集是__{x |－ln_2<x <ln_3}__．
解析：依题意可得f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12(x －3)(a <0)，则f (e x
)＝a ⎝
⎛⎭⎪⎫e x －12(e x －3)(a <0)，
由f (e x
)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫e x －12(e x －3)>0，可得12<e x <3，
解得－ln 2<x <ln 3.
12．已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2
－4x .那么，不等式f (x ＋2)＜5的解集是__(－7,3)__．
B 组 能力提升练
1．已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2
＋bx ＋c .若f (0)＝f (4)>f (1)，则( A ) A ．a >0,4a ＋b ＝0 B.a <0,4a ＋b ＝0 C ．a >0,2a ＋b ＝0
D.a <0,2a ＋b ＝0
解析：∵f (0)＝f (4)>f (1)， ∴c ＝16a ＋4b ＋c >a ＋b ＋c ，
∴16a ＋4b ＝0，即4a ＋b ＝0， 且15a ＋3b >0，即5a ＋b >0， 而5a ＋b ＝a ＋4a ＋b ，∴a >0.故选A.
2．关于x 的不等式x 2
－2ax －8a 2
<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝( A ) A.52 B.7
2 C.154
D.152
解析：由x 2
－2ax －8a 2<0， 得(x ＋2a )(x －4a )<0， ∵a >0，
∴不等式x 2
－2ax －8a 2
<0的解集为(－2a,4a )． 又∵不等式x 2
－2ax －8a 2
<0的解集为(x 1，x 2)， ∴x 1＝－2a ，x 2＝4a .
∵x 2－x 1＝15，∴4a －(－2a )＝15， 解得a ＝5
2
，故选A.
3．函数f (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
2e
x －1
x <2，log 3
x 2
－1
x ≥2，
则不等式f (x )>2的解集为( C )
A ．(－2,4)
B ．(－4，－2)∪(－1,2)
C ．(1,2)∪(10，＋∞)
D ．(10，＋∞) 解析：令2e
x －1
>2(x <2)，解得1<x <2；令log 3(x 2
－1)>2(x ≥2)，解得x >10，故选C.
4．若a <b <0，则下列不等式中不成立的是( B ) A ．|a |>|b | B.1a －b >1a
C.1a >1b
D.a 2
>b 2
解析：由不等式的性质，可得|a |>|b |，a 2>b 2
，1a >1b 成立．假设1a －b >1a 成立，由a <b <0，得a
－b <0，∴a (a －b )>0，则
1a －b >1a ⇒a (a －b )·1a －b >1
a
·a (a －b )⇒a >a －b ⇒b >0，与已知矛盾，
故选B.
5．(2018·某某调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ＋2，x ≤0，－x ＋2，x >0，
则不等式f (x )≥x 2
的解集为
( A ) A ．[－1,1] B.[－2,2] C ．[－2,1]
D.[－1,2]
解析：法一 当x ≤0时，x ＋2≥x 2
，∴－1≤x ≤0； 当x >0时，－x ＋2≥x 2
，∴0<x ≤1.
综上，原不等式的解集为{x |－1≤x ≤1}．故选A.
法二 作出函数y ＝f (x )和函数y ＝x 2
的图象，如图所示，由图知f (x )≥x 2
的解集为[－1,1]．故选A.
6．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
|3x －4|x ≤2，2
x －1
x >2，则f (x )≥1的解集为( D )
A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，53
B.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤53，3 C ．(－∞，1)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫53，＋∞ D ．(－∞，1]∪⎣⎢⎡⎦
⎥⎤53，3 解析：不等式f (x )≥1等价于⎩⎪⎨⎪
⎧
x >2，2
x －1
≥1或⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≤2，|3x －4|≥1，
解得x ≤1或5
3
≤x ≤3，所
以不等式的解集为(－∞，1]∪⎣⎢⎡⎦
⎥⎤53，3，故选D. 7．已知一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
x <－1或x >
1
3，则f (e x )>0的解集为( D ) A ．{x |x <－1或x >－ln 3}
B ．{x |－1<x <－ln 3}
C ．{x |x >－ln 3}
D ．{x |x <－ln 3}
解析：设－1和13是方程x 2
＋ax ＋b ＝0的两个实数根，
∴a ＝－⎝
⎛⎭⎪⎫－1＋13＝23， b ＝－1×1
3＝－13
.
∵一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
x <－1或x >
1
3， ∴f (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋23x －13＝－x 2
－23x ＋13，
∴f (x )>0的解集为x ∈⎝
⎛⎭⎪⎫－1，13.
不等式f (e x )>0可化为－1<e x <1
3，解得x <ln 13，
∴x <－ln 3，
即f (e x
)>0的解集为{x |x <－ln 3}．故选D.
8．(2018·某某质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
－x 2
＋2x ，x ≥0，
x 2
－2x ，x <0，
若关于x 的不等式[f (x )]2
＋
af (x )－b 2<0恰有1个整数解，则实数a 的最大值是( D )
A ．2 B.3 C ．5
D.8
解析：作出函数f (x )的图象如图实线部分所示，
由[f (x )]2
＋af (x )－b 2
<0，
得－a －a 2
＋4b 2
2<f (x )<－a ＋a 2
＋4b
2
2
，
若b ≠0，则f (x )＝0满足不等式，即不等式有2个整数解，不满足题意，所以b ＝0，所以－a <f (x )<0，且整数解x 只能是3，当3<x ≤4时，－8≤f (x )<－3，
所以－8≤－a <－3，即a 的最大值为8，故选D. 9．下列四个不等式：
①x ＋1x ≥2(x ≠0)；②c a <c b (a >b >c >0)；③a ＋m b ＋m >a b (a ，b ，m >0)；④a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ＋b 22
.其中恒成
立的有( B ) A ．3个 B.2个 C ．1个
D.0个
解析：对于①，当x <0时，x ＋1
x
≥2(x ≠0)不成立；
对于②，∵a >b >c >0，
∴1a <1b ，由不等式的性质，知c a <c b
；
对于③，
a ＋m
b ＋m >a
b
成立的条件是a ，b ，m >0且a <b ； 对于④，2(a 2
＋b 2
)≥a 2
＋b 2
＋2ab (当且仅当a ＝b 时等号成立)，两边同时除以4，可得
a 2＋
b 2
2
≥⎝
⎛⎭
⎪⎫a ＋b 22.
综上，四个不等式恒成立的是②④，故选B.
10．(2018·某某模拟)若不等式mx 2
＋2mx －4<2x 2
＋4x 对任意x 都成立，则实数m 的取值X 围是__(－2,2]__．
解析：原不等式等价于(m －2)x 2
＋2(m －2)x －4<0， ①当m －2＝0，即m ＝2时，对任意x ，不等式都成立；
②当m －2<0，即m <2时，Δ＝4(m －2)2
＋16(m －2)<0，解得－2<m <2. 综上，m ∈(－2,2]．
11．(2018·某某模拟)若关于x 的不等式4x
－2x ＋1
－a ≥0在[1,2]上恒成立，则实数a 的取
值X 围为__(－∞，0]__． 解析：因为不等式4x
－2x ＋1
－a ≥0在[1,2]上恒成立，
所以4x
－2
x ＋1
≥a 在[1,2]上恒成立．
令y ＝4x －2
x ＋1
＝(2x )2
－2×2x
＋1－1＝(2x
－1)2
－1.
因为1≤x ≤2，所以2≤2x
≤4.
由二次函数的性质，可知当2x
＝2，即x ＝1时，y 取得最小值0，所以实数a 的取值X 围为(－∞，0]．
12．关于x 的不等式ax 2
＋(a －2)x －2≥0(a ∈R )．
(1)已知不等式的解集为(－∞，－1]∪[2，＋∞)，求a 的值； (2)解关于x 的不等式ax 2
＋(a －2)x －2≥0.
解析：(1)∵关于x 的不等式ax 2
＋(a －2)x －2≥0可化为(ax －2)(x ＋1)≥0，且该不等式的解集为(－∞，－1]∪[2，＋∞)，∴a >0. 又不等式对应方程的两个实数根为－1和2， ∴2
a
＝2，解得a ＝1.
(2)①当a ＝0时，不等式可化为－2x －2≥0，它的解集为{x |x ≤－1}；
②当a >0时，不等式可化为⎝
⎛⎭
⎪⎫x －2a (x ＋1)≥0，
则不等式对应的方程的两个实数根为2a 和－1，且2
a
>－1，
∴不等式的解集为⎩
⎨⎧
x ⎪
⎪⎪⎭
⎬
⎫x ≥2
a
或x ≤－1；
③当a <0时，不等式可化为⎝
⎛⎭
⎪⎫x －2a (x ＋1)≤0，
则不等式对应方程的两个实数根为2
a
和－1.
当－2<a <0，即2
a
<－1时，不等式的解集为⎩
⎨⎧
x ⎪⎪⎪⎭
⎬
⎫2a
≤x ≤－1；
当a ＝－2，即2
a
＝－1时，不等式的解集为{x |x ＝－1}；
当a <－2，即2
a
>－1时，不等式的解集为⎩
⎨⎧
x ⎪⎪⎪⎭
⎬
⎫－1≤x ≤2a .
综上，当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ≤－1}；
当a >0时，不等式的解集为⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭
⎬
⎫x ≥2
a 或x ≤－1；
当－2<a <0时，不等式的解集为⎩
⎨⎧
x ⎪⎪⎪⎭
⎬
⎫
2a
≤x ≤－1；
当a ＝－2时，不等式的解集为{x |x ＝－1}；
当a <－2时，不等式的解集为⎩
⎨⎧
x ⎪⎪⎪⎭
⎬
⎫
－1≤x ≤2a .。