重庆市万州二中2015-2016学年高二上学期入学数学试卷 含解析

2016-2017学年重庆市万州二中高二（上）入学数学试卷
一、选择题（共12小题,每小题5分，满分60分）
1．某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，学校学生会用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高三学生中抽取的人数应为（）
A．10 B．9 C．8 D．7
2．若向量=（1，1），=(2，5)，=（3，x）满足条件(8﹣)•=30，则x=（）A．6 B．5 C．4 D．3
3．在△ABC中，a=4，b=4，A=30°，则B的值为（）
A．45°B．135°C．45°或135°D．不存在
4．设变量x，y满足约束条件：,则z=x﹣3y的最小值（）
A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8
5．如图是2013年某市举行的名师评选活动，七位评委为某位教师打出的分数的茎叶统计图,去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的平均数和方差分别为（）
A．84，4.84 B．84，1。

6 C．85,1。

6 D．85,4
6．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若a=2bcosC，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．锐角三角形
=，则a n=（）
7．在数列｛a n｝中，a1=1，a n﹣a n
﹣1
A．B．C．D．
8．设a＞0，b＞0,若是3a与3b的等比中项，则+的最小值（）
A．2 B．C．4 D．8
9．从{1,2，3,4,5}中随机选取一个数为a，从｛1，2，3}中随机选取一个数为b，则b＞a的概率是（）
A．B．C．D．
10．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则（）
A．a=4 B．a=5 C．a=6 D．a=7
11．等差数列｛a n｝的前n项和为S n,若，则=（）
A．﹣1 B．1 C．2 D．
12．已知正项等比数列｛a n}，满足a5+a4﹣a3﹣a2=9，则a6+a7的最小值为（）
A．9 B．18 C．27 D．36
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．不等式≤3的解集是．
14．在区间(0，1）中随机地取出两个数，则两数的平方和不大于的概率．
15．设等差数列{a n｝的前n项和为S n，若S10=10，S20=30，则S30=．
16．平行四边形ABCD中，∠BAD=60°，AB=1，AD=，P为平行四边形内一点，且AP=，若=λ+μ（λ，μ∈R)，则λ+μ的最大值为．
三、解答题：本大题共7小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．为了了解高一学生的体能状况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试,将所得数据整理后,画出频率分布直方图（如图）,图中从左到右各小长方形的面积之比为2：4：17：15：9:3，第二小组频数为12．
（1）第二小组的频率是多少？
(2)样本容量是多少?
(3）若次数在110以上为达标,试估计全体高一学生的达标率为多少？
18．已知a ，b,c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边长，且acosB +bcosA=2ccosC ． (1)求角C 的值;
（2）若c=4，a +b=7，求S △ABC 的值．
19．已知数列｛a n }满足a 1=1,a n +1﹣a n =2，等比数列{b n }满足b 1=a 1，b 4=a 4+1． (1）求数列{a n },{b n }的通项公式；
(2）设c n =a n •b n ，求数列{c n ｝的前n 项和S n ．
20．已知函数f （x ）=x 2﹣2x ﹣8，g(x ）=2x 2﹣4x ﹣16， （1）求不等式g （x)＜0的解集;
(2)若对一切x ＞2，均有f(x ）≥（m +2）x ﹣m ﹣15成立，求实数m 的取值范围． 21．△ABC 中内角A,B ，C 的对边分别为a,b ，c,向量=（2sinB,﹣）,=（cos2B ，
﹣1）且∥．
(1）求锐角B 的大小；
（2）如果b=2，求△ABC 的面积S △ABC 的最大值．
22．数列｛a n }中，a 1=8,a 4=2且满足a n +2=2a n +1﹣a n ,n ∈N ＊ （1）求数列{a n ｝的通项公式;
(2)设S n =｜a 1|+｜a 2｜+…+|a n ｜，求S n ； （3）设
，是否存在最大的整数m,使得对任意n ∈N ＊，均有成立？若存在，求出m 的值：若不存在,请说明理由． 23．已知A ，B 是函数f （x)=+log 2的图象上任意两点，且
=（
+
），点M （，
m)．
（I ）求m 的值；
（II ）若S n =f （）+f （）+…+f （
），n ∈N *,且n ≥2，求S n ．
（III ）已知a n =，其中n ∈N ＊．T n 为数列{a n ｝的前项和，若T n ＞λ（S n +1+1）
对一切n ∈N *都成立，试求λ的取值范围．
2016-2017学年重庆市万州二中高二(上）入学数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(共12小题,每小题5分，满分60分）
1．某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人,学校学生会用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高三学生中抽取的人数应为（）
A．10 B．9 C．8 D．7
【考点】分层抽样方法．
【分析】本题是一个分层抽样问题，根据所给的高一学生的总数和高一学生抽到的人数，可以做出每个个体被抽到的概率,根据这个概率值做出高三学生被抽到的人数．
【解答】解：∵由题意知高一学生210人，从高一学生中抽取的人数为7
∴可以做出每=30人抽取一个人，
∴从高三学生中抽取的人数应为=10．
故选A．
2．若向量=（1，1），=（2，5），=（3,x）满足条件（8﹣）•=30,则x=（）A．6 B．5 C．4 D．3
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】根据所给的向量的坐标，写出要用的8﹣的坐标，根据它与的数量积是30，利用坐标形式写出两个向量的数量积，得到关于x的方程，解方程即可．
【解答】解：∵向量=(1，1），=(2,5），
∴
∴
∴x=4．
故选C．
3．在△ABC中，a=4，b=4，A=30°,则B的值为（)
A．45°B．135°C．45°或135°D．不存在
【考点】正弦定理．
【分析】由A的度数求出sinA的值，再由a与b的值,利用正弦定理求出sinB的值,即可求出B的度数．
【解答】解：∵a=4,b=4，A=30°,
∴由正弦定理=得：sinB===，
∵b＞a,∴B＞A，
则B=45°或135°．
故选C
4．设变量x,y满足约束条件：，则z=x﹣3y的最小值（）
A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8
【考点】简单线性规划．
【分析】我们先画出满足约束条件：的平面区域,求出平面区域的各角点，然后
将角点坐标代入目标函数，比较后,即可得到目标函数z=x﹣3y的最小值．
【解答】解：根据题意，画出可行域与目标函数线如图所示，
由图可知目标函数在点(﹣2，2）取最小值﹣8
故选D．
5．如图是2013年某市举行的名师评选活动,七位评委为某位教师打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的平均数和方差分别为(）
A．84，4.84 B．84,1.6 C．85,1。

6 D．85，4
【考点】茎叶图；众数、中位数、平均数．
【分析】正确读出相关数据,再利用平均数和方差公式计算．
【解答】解：去掉最高分93，去掉最低分79，剩下5个数据：84，84，84，86，87，
所以平均数为，
方差等于．
故选C
6．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若a=2bcosC，则△ABC的形状是(）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．锐角三角形
【考点】三角形的形状判断．
【分析】在△ABC中,由a=2bcosC利用余弦定理可得a=2b•，化简可得b2=c2，从而得出结论．
【解答】解：在△ABC中，∵a=2bcosC，由余弦定理可得a=2b•，化简可得
b2=c2,b=c，
故三角形为等腰三角形,
故选A．
7．在数列｛a n}中，a1=1,a n﹣a n
=，则a n=（）
﹣1
A．B．C．D．
【考点】数列的求和．
==，由a n=a1+（a2﹣a1)+(a3﹣a2）【分析】累加法：先变形得,a n﹣a n
﹣1
），可得a n（n≥2），注意检验a1是否适合．
+…+（a n﹣a n
﹣1
==，
【解答】解：a n﹣a n
﹣1
则,，，…,
以上各式相加得，，所以（n≥2），
又a1=1，所以,
故选A．
8．设a＞0,b＞0，若是3a与3b的等比中项，则+的最小值(）
A．2 B．C．4 D．8
【考点】基本不等式．
【分析】由于a＞0，b＞0，是3a与3b的等比中项，可得,可得a+b=1．利
用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．
【解答】解:∵a＞0，b＞0,是3a与3b的等比中项,
∴，化为3a+b=3,
化为a+b=1．
则+=（a+b）=2+=4，当且仅当a=b=时取等号，
∴+的最小值是4．
故选：C．
9．从{1，2,3,4，5}中随机选取一个数为a，从｛1,2，3}中随机选取一个数为b,则b＞a的概率是（）
A．B．C．D．
【考点】等可能事件的概率．
【分析】由题意知本题是一个古典概型，试验包含的所有事件根据分步计数原理知共有5×3种结果，而满足条件的事件是a=1，b=2;a=1,b=3;a=2，b=3共有3种结果．
【解答】解:由题意知本题是一个古典概型,
∵试验包含的所有事件根据分步计数原理知共有5×3种结果，
而满足条件的事件是a=1,b=2;a=1，b=3；a=2，b=3共有3种结果,
∴由古典概型公式得到P==，
故选D．
10．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则（）
A．a=4 B．a=5 C．a=6 D．a=7
【考点】程序框图．
【分析】根据已知流程图可得程序的功能是计算S=1++…+的值,利用裂项相消
法易得答案．
【解答】解:由已知可得该程序的功能是
计算并输出S=1++…+=1+1﹣=2﹣．
若该程序运行后输出的值是，则2﹣=．
∴a=4，
故选A．
11．等差数列｛a n｝的前n项和为S n，若，则=()
A．﹣1 B．1 C．2 D．
【考点】数列的求和．
【分析】由已知结合等差数列的性质可得,=，代入等差数列的求和公式即可求解
【解答】解：∵
∴
即=
则===1
故选B
12．已知正项等比数列｛a n｝，满足a5+a4﹣a3﹣a2=9,则a6+a7的最小值为（）
A．9 B．18 C．27 D．36
【考点】等比数列的通项公式．
【分析】可判数列{a n+a n
}也是各项均为正的等比数列，则a2+a3，a4+a5,a6+a7构成等比数
+1
列．设其公比为x,a2+a3=a，则x∈（1,+∞），a4+a5=ax，结合已知可得a=,代入可得y=a6+a7的表达式,x∈(1，+∞)，由导数求函数的最值即可．
【解答】解：∵数列{a n｝是各项均为正的等比数列,
}也是各项均为正的等比数列，
∴数列{a n+a n
+1
则a2+a3，a4+a5，a6+a7构成等比数列．
设其公比为x,a2+a3=a，
则x∈（1,+∞)，a5+a4=ax，
∴有a5+a4﹣a3﹣a2=ax﹣a=9，即a=，
∴y=a6+a7=ax2=，x∈（1，+∞），
求导数可得y′=,令y′＞0可得x＞2，
故函数在(1，2）单调递减,（2，+∞）单调递增，
∴当x=2时，y=a6+a7取最小值:36．
故选:D．
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分，共20分．
13．不等式≤3的解集是．
【考点】一元二次不等式的应用．
【分析】把原不等式移向变形，转化为一元二次不等式求得解集．
【解答】解：由≤3，得﹣3≤0,
即，
则，
解得:x＜0或．
∴不等式≤3的解集是．
故答案为:．
14．在区间（0，1）中随机地取出两个数，则两数的平方和不大于的概率．
【考点】几何概型．
【分析】事件“x2+y2≤”包含的基本事件对应的图形为图中扇形面积OHK内部，所有基本
事件对应的图形为正方形OMNP内部，求出它们的面积并利用几何概型公式，即可算出所求概率．
【解答】解:设两数分别为x、y，则所有基本事件对应的图形为正方形OMNP内部，
其面积为S=1；
记“两数平方和不大于"为事件B，则B=“x2+y2≤”，
事件B包含的基本事件为图中扇形面积OHK内部,
其半径为、圆心角是直角，面积为S'==．
∴事件B发生的概率为P（B）=．
故答案为：
15．设等差数列｛a n}的前n项和为S n,若S10=10,S20=30，则S30=．
【考点】等差数列的性质．
【分析】由给出的数列是等差数列，可知数列的第一个10项和，第二个10项和,…仍然构成等差数列，结合S10=10，S20=30，列式求解S30的值．
【解答】解：∵数列{a n}是等差数列，
则S10,S20﹣S10，S30﹣S20仍然构成等差数列,
由S10=10，S20=30,得2×20=10+S30﹣30，
∴S30=60．
故答案为：60．
16．平行四边形ABCD中，∠BAD=60°,AB=1，AD=,P为平行四边形内一点，且AP=，
若=λ+μ（λ,μ∈R)，则λ+μ的最大值为．
【考点】平面向量的基本定理及其意义．
【分析】利用数量积定义及其运算性质、不等式的性质即可得出．
【解答】解：=λ+μ
丨丨2=（λ+μ）2，
=λ2丨丨2+μ2丨丨2+2λμ••，
=λ2丨丨2+μ2丨丨2+2λμ•丨丨•丨丨cos∠BAD，
由∠BAD=60°,AB=1，AD=，AP=，
∴=λ2+2μ2+λμ×,
∴(λ+μ）2=+λμ≤+（）2,
λ+μ≤，
故答案为:．
三、解答题：本大题共7小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．为了了解高一学生的体能状况,某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图）,图中从左到右各小长方形的面积之比为2：4：17：15：9：3，第二小组频数为12．
（1）第二小组的频率是多少?
（2)样本容量是多少？
（3）若次数在110以上为达标，试估计全体高一学生的达标率为多少？
【考点】频率分布直方图；用样本的频率分布估计总体分布．
【分析】（1)根据从左到右各小长方形的面积之比为2:4:17：15：9:3,第二小组频数为12,用比值做出样本容量．
（2）第一问做出的样本容量可以把上面的过程写出来．
（3）根据上面做出的样本容量和前两个小长方形所占的比例,用所有的样本容量减去前两个的频数之和，得到结果，除以样本容量得到概率．
【解答】解：(1）∵从左到右各小长方形的面积之比为2：4：17：15:9：3，
第二小组频数为12．
∴样本容量是=150
∴第二小组的频率是=0.08
（2）样本容量是=150
（3）∵次数在110以上为达标,
次数在110以上的有150（1﹣)=132
∴全体高一学生的达标率为=0。

88
18．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B,C所对的边长，且acosB+bcosA=2ccosC．（1）求角C的值;
（2）若c=4，a+b=7，求S
的值．
△ABC
【考点】余弦定理；正弦定理．
【分析】（1）利用正弦定理与和差化积即可得出．
(2）利用余弦定理可得ab，再利用三角形面积计算公式即可得出．
【解答】解：（1）∵acosB+bcosA=2ccosC，由正弦定理可得：sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC．
∴sinC=sin（A+B)=2sinCcosC,
∵sinC≠0，∴cosC=，
∵C∈（0,π)，∴．
(2）由余弦定理：c2=a2+b2﹣2abcosC，
即，
∴ab=11,
∴．
19．已知数列｛a n｝满足a1=1，a n
﹣a n=2,等比数列｛b n}满足b1=a1，b4=a4+1．
+1
(1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；
（2）设c n=a n•b n，求数列｛c n｝的前n项和S n．
【考点】数列的求和；数列递推式．
﹣a n=2可知数列{a n}是首项为1、公差为2的等差数列，进而【分析】(1）通过a1=1、a n
+1
计算即得结论；
（2）通过（1)可知c n=（2n﹣1）•2n﹣1，利用错位相减法计算即得结论．
﹣a n=2,
【解答】解：（1）∵a1=1，a n
+1
∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，
∴b1=a1=1，b4=a4+1=8，
∴公比q===2，
∴b n=2n﹣1;
（2）由(1）可知c n=a n•b n=（2n﹣1）•2n﹣1，
∴S n=1•20+3•21+…+（2n﹣1）•2n﹣1，
2S n=1•21+3•22+…+（2n﹣3）•2n﹣1+（2n﹣1）•2n,
错位相减得：﹣S n=1+2(21+22+…+2n﹣1)﹣(2n﹣1)•2n,
∴S n=﹣1﹣2（21+22+…+2n﹣1)+（2n﹣1）•2n
=﹣1﹣2•+（2n﹣1）•2n
=3+（2n﹣3）•2n．
20．已知函数f（x)=x2﹣2x﹣8，g(x）=2x2﹣4x﹣16，
（1）求不等式g（x）＜0的解集；
（2)若对一切x＞2，均有f（x）≥(m+2）x﹣m﹣15成立，求实数m的取值范围．
【考点】一元二次不等式的解法；函数恒成立问题．
【分析】(1）直接因式分解后求解不等式的解集;
（2）把函数f(x）的解析式代入f(x）≥（m+2）x﹣m﹣15，分离变量m后利用基本不等式求解m的取值范围．
【解答】解:由g（x）=2x2﹣4x﹣16＜0，得x2﹣2x﹣8＜0，
即（x+2）（x﹣4）＜0，解得﹣2＜x＜4．
所以不等式g（x）＜0的解集为{x｜﹣2＜x＜4}；
(2）因为f（x）=x2﹣2x﹣8，
当x＞2时，f（x）≥（m+2）x﹣m﹣15成立，
则x2﹣2x﹣8≥（m+2）x﹣m﹣15成立，
即x2﹣4x+7≥m（x﹣1）．
所以对一切x＞2,均有不等式成立．
而（当x=3时等号成立）．
所以实数m的取值范围是（﹣∞,2］．
21．△ABC中内角A，B，C的对边分别为a,b，c，向量=（2sinB，﹣）,=（cos2B,
﹣1）且∥．
(1）求锐角B的大小；
(2)如果b=2，求△ABC的面积S
的最大值．
△ABC
【考点】二倍角的余弦；平行向量与共线向量；两角和与差的正弦函数．
【分析】（1）由两向量的坐标，及两向量平行时满足的关系列出关系式,利用二倍角的正弦函数公式化简，再利用同角三角函数间的基本关系弦化切后求出tan2B的值，由B为锐角，得到2B的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；
(2）由cosB的值及b的值，利用余弦定理列出关于a与c的关系式,利用基本不等式求出ac 的最大值，再由sinB及ac的最大值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC面积的最大值．
【解答】解:（1）∵=（2sinB，﹣)，=(cos2B，2cos2﹣1)，且∥，
∴2sinB•（2cos2﹣1）=﹣cos2B，即2sinBcosB=sin2B=﹣cos2B，
∴tan2B=﹣，
∵B∈（0,），∴2B∈（0，π），
∴2B=，即B=;
（2）∵B=,b=2，
∴由余弦定理cosB=得:a2+c2﹣ac﹣4=0，
又a2+c2≥2ac,代入上式得：ac≤4(当且仅当a=c=2时等号成立)，
=acsinB=ac≤(当且仅当a=c=2时等号成立），
∴S
△ABC
则S
的最大值为．
△ABC
22．数列{a n }中，a 1=8，a 4=2且满足a n +2=2a n +1﹣a n ，n ∈N ＊
（1）求数列{a n ｝的通项公式;
(2）设S n =｜a 1|+｜a 2|+…+|a n ｜，求S n ；
(3）设
，是否存在最大的整数m ，使得对任意n ∈N *,均有成立？若存在,求出m 的值：若不存在,请说明理由．
【考点】数列与不等式的综合；数列的求和；数列递推式．
【分析】（1）由条件a n +2=2a n +1﹣a n ，可得，从而｛a n ｝为等差数列,利用a 1=8，a 4=2可求公差，从而可求数列{a n ｝的通项公式；
（2）利用10﹣2n ≥0则n ≤5，确定数列中的正数项，再进行分类讨论；
（3先裂项求和，再根据对任意n ∈N ＊成立,得对任意n ∈N*成立,利用的最小值是，可知
，从而存在最大整数m=7． 【解答】解：（1）由题意，，
∴｛a n ｝为等差数列，设公差为d,
由题意得2=8+3d ⇒d=﹣2，
∴a n =8﹣2(n ﹣1）=10﹣2n
（2）若10﹣2n ≥0则n ≤5，n ≤5时，S n =|a 1｜+|a 2|+…+｜
a n |=
n ≥6时，S n =a 1+a 2+…+a 5﹣a 6﹣a 7…﹣a n =S 5﹣（S n ﹣S 5）=2S 5﹣S n =n 2﹣9n +40 故
(3）∵∴
若
对任意n ∈N*成立，即对任意n ∈N ＊成立，∵的最小值是,∴，∴m 的最大整数值是7．
即存在最大整数m=7，使对任意n ∈N*,均有
23．已知A，B是函数f(x）=+log2的图象上任意两点，且=（+）,点M（，
m）．
（I）求m的值；
(II）若S n=f（)+f（)+…+f（），n∈N＊，且n≥2,求S n．
+1）对（III）已知a n=，其中n∈N*．T n为数列｛a n｝的前项和，若T n＞λ(S n
+1
一切n∈N*都成立，试求λ的取值范围．
【考点】数列与函数的综合；数列的求和．
【分析】（1）可知M是AB的中点,根据中点坐标公式求得x1和x2的关系，代入函数解析式即可求得m的值；
（2）由（1）可知，f（x1)+f(x2）=y1+y2=1，采用倒序相加法，即可求求得S n；
+1），（3）由题意可知当n≥2时，,求得数列｛a n｝的前n项和T n,由T n＞λ(S n
+1
采用分离变量即可求得λ的表达式，即可求得λ的取值范围．
【解答】解：（1）∵，
∴M是AB的中点，设A(x1，y1）,B(x2，y2），则
由，得x1+x2=1，则x1=1﹣x2，x2=1﹣x1，
而=,
=,
=
∴．
（2)由（1）知：x1+x2=1,f（x1）+f（x2）=y1+y2=1，
，
，
两式相加，得：
=，
∴（n≥2，n∈N）．
(3）当n≥2时，，，+1)，得，
由T n＞λ（S n
+1
∴对任意n≥2，n∈N*都成立,
，
当且仅当n=2时等号成立，
∴．
故λ的取值范围是（﹣∞，）．
2016年10月14日。