2003年普通高等学校招生全国统一考试上海卷文史类

2003年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
数 学（文史类）
考生注意：
1．答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚．
2．本试卷共有22道试题，满分150分．考试时间120分钟．请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上．
3．华东师大二附中、大同中学、格致中学考生请注意试卷最后的符号说明．
一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得
4分，否则一律得零分．
（1）函数⎪⎭⎫ ⎝⎛
++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4sin cos 4cos sin ππx x x x y 的最小正周期T = .
（2）若3
π
=
x 是方程2cos （x ＋）＝1的解，其中∈（0，2），则＝ .
（3）在等差数列｛a n ｝中，a 5＝3，a 6＝－2，则a 4＋a 5＋…＋a 10＝ . （4）已知定点A （0，1），点B 在直线x ＋y ＝0上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标是
.
（5）在正四棱锥P －ABCD 中，若侧面与底面所成二面角的大小为60°，则异面直线P A
与BC 所成的大小等于 .（结果用反三角函数值表示）
（6）设集合A ={x | |x |<4}，B ={x | x 2－4x ＋3<4}，则集合{x | x ∈A 且x ∩B }= . （7）在△ABC 中，sin A ：sin B ：sin C =2：3：4，则∠ABC = .（结果用反三解函数
值表示）
（8）若首项为a 1，公比为q 的等比数列｛a n ｝的前n 项和总小于这个数列的各项和，则首
项a 1，公比q 的一组取值可以是（a 1，q ）= .
（9）某国际科研合作项目成员由11个美国人、4个法国人和5个中国人组成。

现从中随机
选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率为 .（结果用分数表示）
（10）方程x 3+lg x =18的根x ≈ .（结果精确到0.1）
（11）已知点⎪⎭⎫ ⎝⎛n A 2,0，⎪⎭⎫ ⎝⎛-n B 2,0，⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+0,24n C ，其中n 为正整数.设S n 表示△ABC 外接圆的
∈
面积，则n n S ∞
→lim ＝ .
（12）给出问题：是F 1、F 2双曲线120
162
2=-y x 的焦点，点P 在双曲线上.若点P 到焦点F 1
的距离等于9，求点P 到焦点的F 2距离.某学生的解答如下：双曲线的实轴上为8，由||PF 1|－| PF 2||＝8，即|9－| PF 2||＝8，得| PF 2|＝1或17.
该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面空格内;或不正确，将正确结果填在下面空格内.
. 二、选择题（本在题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个
结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分.
（13）下列函数中，既为偶函数又在（0，）上单调递增的是
（A ）y=tg|x |.
（B ）y ＝cos （－x ）. （C ）.2sin ⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-=πx y
（D ）.|2
ctg |x
y =
（14）在下列条件中，可判断平面与平行的是
（A ）、都垂直于平面
.
（B ）内存在不共线的三点到的距离相等. （C ）l ，m 是内两条直线，且l ∥, m ∥. （D ）是两条异面直线，且l ∥
, m ∥
, l ∥
, m ∥.
（15）在P （1，1）、Q （1，2）、M （2，3）和⎪⎭
⎫
⎝⎛41,21N 四点中，函数y =a x 的图象与其反函
数的图象的公共点只可能是点
（A ）P .
（B ）Q .
（C ）M . （D ）N .
（16）f （x ）是定义在区间[－c ，c ]上的奇函数，其图象如图所示.令g （x ）=af （x ）+b ，则
下列关于函数g （x ）的叙述正确的是
（A ）若a <0，则函数g （x ）的图象关于原点对称. （B ）若a ＝1，0<b <2，则方程g （x ）=0有大于2的实根. （C ）若a ＝－2，b ＝0，则函数g （x ）的图象关于y 轴对称.
（D ）若a ≠1， b ＝2，则方程g （x ）=0有三个实根. 三、解答题（本大题满分86分）本大题共6题，解答下列各题必须写出必要的步骤. （17）（本题满分12分）
已知复数z 1=cos －i ，z 2=sin ＋i ，求|z 1·z 2|的最大
值和最小值.
（18）（本题满分12分）
已知平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1A ⊥平面ABCD ，AB ＝4，AD ＝2.若B 1D ⊥BC ，
直线B 1D 与平面ABCD 所成的角等于30°，求平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积.
（19）（本题满分14分）
已知函数x
x
x x f -+-=11log 1)(2，求函数f （x ）的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性.
（20）（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
如图，某隧道设计为以双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个随圆的形状．
（1）若最大拱高h 为6米，则隧道设计的拱宽l 是多少？
（2）若最大拱高h 不小于6米，则应如何设计拱高h 和拱宽l ，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？
（半个椭圆的面积公式为lh S 4
π
=，柱体体积为：底面积乘以高，本题结果均精确到0.1
米）
（21）（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3
小题满分7分．
在以O 为原点的直角坐标系中，点A （4，－3）为△OAB 的直角顶点，已知|AB |=2|OA |，且点B 的纵坐标大于零．
（1）求向量AB 的坐标;
（2）求圆x 2－6x +y 2+2y ＝0关于直线OB 对称的圆的方程;
（3）是否存在实数a ，使抛物线y ＝ax 2－1上总有关于直线OB 对称的两个点？若不存在，说明理由;若存在，求a 的取值范围．
（22）（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3
小题满分6分．
已知数列{a n }（n 为正整数）是首项为a 1，公比为q 的等比数列．
（1）求和：;,3
3423313203122312202
1C a C a C a C a C a C a C a -+-+- （2）由（1）的结果归纳概括出关于正整数n 的一个结论，并加以证明; （3）设q ≠1，S n 是等比数列{a n }的前n 项和，求：
.)1(134231201n
n n n n n n n C S C S C S C S C S +-++-+-
2003年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
数学参考答案（文史类）
说明
1．本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精进行评分。

2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分。

一、（第1题到第12题）
（1） （2）π3
4 （3）－49 （4）2
1,21-
（5）arctg2 （6）[1，3]
（7）16
11arccos
（8）⎪⎭
⎫
⎝⎛21,1（a 1>0，0<q<1的一
组数）
（9）
190
119
（10）2.6 （11）4 （12）|PF 2|=17
二、（第13题至第16题）
（13）C （14）D （15）D （16）B 三、（第17题至第22题） （17）[解] |z 1·z 2| = |1+sin
cos
+（cos
－sin
）i |
22)sin (cos )cos sin 1(θθθθ-++= θθθ2sin 4
1
2cos sin 2222+=+=
故|z 1·z 2|的最大值为
2
3
，最小值为2． （18）[解]连结BC ，因为B 1B ⊥平面ABCD ，B 1D ⊥BC ，所以BC ⊥BD ．
在△BCD 中，BC =2，CD =4， 所以.32=BD
又因为直线B 1D 与平面ABCD 所成的角等于30°，
所以∠B 1DB ＝30°，于是.23
11==
BD BB
故平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为.381=⋅BB S ABCD （19）[解] x 须满足⎪⎩⎪
⎨⎧>-+≠0110
x
x x ，由011>-+x x 得－1<x<1， 所以函数f （x ）的定义域为（－1，0）∪（0，1）．
因为函数f （x ）的定义域关于原点对称，且对定义域内的任意x ，有
),()11log 1(11log 1)(22x f x
x
x x x x x f -=-+--=+---
=- 所以f （x ）是奇函数．
研究f （x ）在（0，1）内的单调性，任取x 1、x 2∈（0，1），且设x 1< x 2，则 2
2
2
211212111log 111log 1)()(x x x x x x x f x f -++--+-=
- )].112(log )112([log )11(1
22221-----+-=x x x x 由
,0)112
(log )112(log ,0111
22221>----->-x x x x 得f （x 1）－f （x 2）>0，即f （x ）在（0，1）内单调递减， 由于f （x ）是奇函数，所以f （x ）在（－1，0）内单调递减． （20）[解]（1）如图建立直角坐标系，则点p （11，4.5），
椭圆方程为.12
222=+•b y a x
将b=h ＝6与点p 坐标代入椭圆方程，得7744=
a ，此时3.337
7
882≈==a l 因此隧道的拱宽约为33.3米． （2）由椭圆方程,12222=+•b y a x
得 .15.41122
22=+b
a
因为,5
.41125.4112222ab b
a ⨯⨯≥+即a
b ≥99，且l ＝2a ，h ＝b ，
所以 .2
9924π
ππ≥=
=ab lh S 当S 取最小值时，有,
12
2
22=+•b y a x ，得,229,211==b a 故当拱高约为6.4米、拱宽约为31.1米，土方工程量最小．
[解二]由椭圆方程,12222=+•b y a x 得.15.41122
22=+b a
于是,121
48122
2
-⋅=a a b
,12181)2421212(4
8124212112112148122222
2⨯=+≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-=a a b a 即ab ≥99，当S 取最小值时，有,121
12112122
2
-=-a a
得,2
2
9,211=
=b a 以下同解一． （21）[解]（1）设},{v u =，则由,0
|
|2||⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=即,03410022⎪⎩⎪⎨
⎧=-=+v u v u 得 ,86⎩⎨⎧==v u 或.86
⎩
⎨⎧-=-=v u 因为},3,4{-+=+=v u AB OA OB 所以 v －3>0，得 v ＝8，故 }.8,6{=AB
（2）由},5,10{=得B （10，5），于是直线OB 方程：.2
1
x y = 由条件可知圆的标准方程为：（x －3）2＋（y ＋1）2＝10， 得圆心（3，－1），半径为.10
设圆心（3，－1）关于直线OB 的对称点为（x ，y ），则
,23
102
1223
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧-=-+=-⋅-+x y y x 得,31⎩⎨⎧==y x 故所求圆的方程为（x －1）2＋（y －3）2＝10．
（3）设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）为抛物线上关于直线OB 对称的两点，则
,2
02222
1212121⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=+-+x x y y y y x x 得,225222121⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧
-=-=+a a x x a
x x 即x 1、x 2为方程022522
2=-++a a x a x 的两个相异实根， 于是由,0225442
2>-⋅-=∆a a
a 得
.23>a 故当2
3
>
a 时，抛物线y =ax 2－1上总有关于直线OB 对称的两点． （22）[解]（1）,)1(221211122312202
1q a q a q a a C a C a C a -=+-=+-
.)1(3331312111334233132031q a q a q a q a a C a C a C a C a -=-+-=-+-
（2）归纳概括的结论为：
若数列｛a n ｝是首项为a 1，公比为q 的等比数列，则
n n
n n n n n n n q a C a C a C a C a C a )1()1(1134231201-=-++-+-+ ，n 为整数． 证明：n
n n n n n n n C a C a C a C a C a 134231201)1(+-++-+- n n n n n n n n C q a C q a C q a qC a C a 133********)1(-++-+-= .)1(])1([13322101n n n n n n n n n
q a C q C q C q qC C a -=-++-+-= （3）因为,111q
q a a S n
n --=
所以n n n n n n n n C S C S C S C S C S 134231201)1(+-++-+-
n
n
n n n n n C q
q a a C q q a a C q q a a C q q a a ---++--+-----=+1)1(1111
1123111211011 --++-+--=])1([132101n
n n n n n n C C C C C q
a
.)1(1
])1([113322101n n
n n n n n n n q q q a C q C q C q qC C q q a --=-++-+--。