人教版小学数学三年级下册《数学广角》——重叠问题教案

《数学广角》——重叠问题
一、生活实例，渗透方法
1、生活实例引入
（请班里一名同学站起来）
师：咱们现在排队，某同学从前向后数他排第5个，从后向前数他也是第5个，那这队有有多少人呢？
（猜想）生：9人，10人，11人。

师：你怎样证明呢？
（验证）生：（利用画图、算式，解决问题）
【预设】
生1：111101111 共有9人。

生2：4+1=5人，5+4=9人
生3：5+5-1=9人
师：有人提问吗？
生：第2位同学，4是哪来的？1是哪里来的？生解答：4是A同学前面的人数，后面的4是后面同学的人数，1是A同学。

2、图与算式相结合
师：大家一起看第3位同学写的算式，5+5-1=9人，大家有问题吗？
生：为什么减1？生：根据自己理解回答。

师：算式中第一个5在图中哪儿表示？第2个5在图中哪儿表示？
生：（板演动手，在图中圈出）
师：那你们发现什么？
生：前5位同学中有A同学，后5为同学中也有A同学。

师：但是咱们的A同学只有一个人，所以减1。

师：这个排队的问题，我们通过画图，圈图，列式计算成功解决了。

设计意图：使学生从一个实际问题出发，结合学生的生活经验，体会可以利用画图的方法解决实际问题，并使学生初步感知集合圈，激起学生的好奇心和学习新知的兴趣，为新课学习准备良好的条件。

二、情境引入，学习新知
1、实例引入
师：今天咱们在排队的基础上探索一个新的问题。

（板书课题：重叠问题）
老师说一个报兴趣班事情，根据老师大致了解，班里有5人参加合唱组，7人参加美术组，那这两组同学一共有多少人？
生：12人。

师：咱们用1个数字代表一个同学的学号。

（依次数人数填表）
合唱组 1 2 3 4 5
美术组 6 7 8 9 10 11 12
设计意图：依靠直观性原则，采用图表展示已知条件，帮助学生分析问题，为后面提出问题做铺垫。

2、创设问题，产生矛盾
师：报合唱组和美术组的同学，还可能会出现什么新情况？
生：可能一位同学2个兴趣班。

师：如果其中有2位同学既报合唱组又报美术组，假如是4号和5号同学。

（再填表：在美术组中加入4号和5号）这时合唱组有5人，美术组有9人。

合唱组 1 2 3 4 5
美术组 6 7 8 9 10 11 12 4 5
（出示学号磁片）
师：请两位同学把参加合唱组和美术组同学的学号对号入座。

【预设】学生在摆4号和5号同学时，产生冲突，都想抢4号和5号同学到自己的组里。

设计意图：由学生创设问题情境，既让学生收集了解信息，又让学生交流自己的思考。

而后通过学生的不同意见产生矛盾，引出探索解决的问题，有效地调动学生探索的欲望和积极性。

3、分析问题，解决矛盾
师：这时候怎么办呢？两位同学都想抢4号和5号同学到自己的组里，可是4、5号同学都只有一个人。

师：4、5号放在哪里好呢？
生：放在中间。

师：那他们俩是合唱组还是美术组的呢？你们有办法让大家一看就能清楚知道，选合唱组有5人，选美术组有9人，选合唱组和美术组有2人。

生：（圈两个圈）
师：我们用这个圈图，怎样列算式，就能解决合唱和美术组一共有多少人？【预设】
列式1：3+2=5 5+9-2=12（人）
师：哪位同学有问题？
生：为什么减2？
生：合唱组有5人，美术组有9人，有两人既参加了合唱组，又参加了美术组，所以减2.
师：5里面有这个2吗？
生：有。

师：9里面有这个2吗？
生：有。

师：2被算了两次，但4、5号只有两个人，所以减2。

列式2：5-2+9=12（人）
师：5-2是图中的哪部分？
师：大家同意吗？
师：看合唱和美术组都报名的同学，别算重了，可以先算到美术组中，在合唱组去掉这两个人。

把5破坏，将2人算到9中。

从中你受到哪些启发？列式3：9-2+5=12（人）
师：我们看2，3式的思路是一样的，我们把这两个式子叫做“兄弟式”。

列式4：3+2+7=12（人）
师：谁能看的懂他的式子？
生：3人报了合唱组，7人报了美术组，2人既报了合唱组又报了美术组。

师：这个方法把这一群同学分了几组？
生：3组。

师：看图中，这3人是合唱组的，那这2个人与3个人有什么区别？
生：既报合唱又报美术组。

师：什么是只报了合唱组？
生：除了合唱组，没报别的组。

师：我们通过画圆圈的方法，对学好进行了分类，分成只合不美，只美不合，又美又合。

你们这样分，谁与谁都不重复。

设计意图：使学生经历猜测、推理、实验、观察、计算、验证等活动过程，经历发现问题，解决问题过程。

引入集合图，让学生借助集合图弄清数量关系，寻找解决问题方法，经历利用集合的数学思想和方法解决问题过程。

学生交流在不同计算方法活动中，深刻感受到解决问题策略的多样性，提高学生的逻辑思维能力和学习能力，培养学生的问题意识和创新精神。

三、总结提升，拓展知识
师：算式1，其中重复2，减去2。

算式2，把2归为合唱组，加一个2。

算式3，把2归为美术组，加一个2。

算式4，分3类加。

其中算式2，3是兄弟式。

师：我们是通过什么方法，能够分清楚哪个组，又能清楚地分析算式呢？生：画圆圈。

师：比咱们同学画圈更早的人，大家知道是谁吗？
师：韦恩—韦恩图。

师：有2个人重复，那还可以有几个同学重复选课呢？
生：0，5，6，7...
（出示圆圈点图）
师：咱用5个点表示合唱组，用7个点表示美术组。

（请两位同学手拿点图，随着老师的描述，将点图重叠）
师：以前5是5，7是7。

这时，有1人选了两门课，出现什么情况？
生：将两个点图中一个点重叠放。

（依次2人，3人，4人选课两门课）
师：当5个人选两门课时，出现什么情况了？
生：小圈被大圈包围了。

师：最多可以有几人重复呢？
生：5个人。

师：会不会有6个人？会有7个人吗？
生：不会，点就出去了。

师：参加合唱组和美术组的同学人数咱们会了，有人只合不美，有人只美不合，
有人又美又合。

那参加别的课外班，咱们会算吗？
生：会。

师：说吃的，玩的，会分吗？
生：会。

师：那咱们能用字母表示吗？
生：有人只A 不B ，有人只B 不A ，有人又A 又B 。

师：其实AB 在我们身边到处都是吧！
设计意图：抛出韦恩图拓展学生思路，初步体会集合思想，理解“韦恩图”中各部分表示的意义。

学生借助动手操作，能利用集合的思想方法解决简单的实际问题，渗透集合中的包含关系，体会并集与交集。

通过整理总结，提升为字母表示，渗透数学模型思想，体会数学与生活的密切联系，培养学生对数学的积极情感，提高学习数学的兴趣。

四、练习巩固，落实新知
书110页第1题。

生将相应的动物填入对应分类中。

第2题。

弄清题意，学生用自己喜欢的算法解答问题。

设计意图：在学生有过借助直观图，利用集合的思想方法解决简单问题经历的基础上，放手让学生辨析集合图的含义，完成对一些动物的分类并填写，给学生提供再次感知、认识集合的思想方法的机会，加深对相应集合思想方法的体验。

解决问题中，放手让学生用自己喜欢的方式，有效落实问题策略多样性的改革理念，提高学生解题的灵活性。

五、板书设计
合唱组 1 2 3 4 5 美术组 6 7 8 9 10 11 12
合唱组 美术组
5+9-2=12（人）
5-2+9=12（人）
9-2+5=12（人）
3+2+7=12(人)
1 2 3 只 6 7 8 9 10 11 12 只 4 5 又....又..。