【优化方案】2015年高考数学 第七章 第5课时 直线、平面垂直的判定及其性质知能演练轻松闯关 新人

【优化方案】2015年高考数学 第七章 第5课时 直线、平面垂
直的判定及其性质知能演练轻松闯关 新人教A 版
[基础达标]
1．(2014·某某某某市质量检测)设α，β分别为两个不同的平面，直线l ⊂α，则“l ⊥β”是“α⊥β”成立的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选A ．依题意，由l ⊥β，l ⊂α可以推出α⊥β；反过来，由α⊥β，l ⊂α不能推出l ⊥β.因此“l ⊥β”是“α⊥β”成立的充分不必要条件．
2．(2014·某某某某一模)在如图所示的四个正方体中，能得出AB ⊥CD 的是( )
解析：选A ．A 中，∵CD ⊥平面A M B ，∴CD ⊥AB ；B 中，AB 与CD 成60°角；C 中，AB 与CD 成45°角；D 中，AB 与CD 夹角的正切值为 2.
3．(2013·高考某某卷)设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )
A ．若α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ⊥n
B ．若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥n
C ．若m ⊥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α⊥β
D ．若m ⊥α，m ∥n ，n ∥β，则α⊥β 解析：选D ．
如图，在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，平面BCC 1B 1⊥平面ABCD ，BC 1⊂平面BCC 1B 1，BC ⊂平面ABCD ，而BC 1不垂直于BC ，故A 错误．
平面A 1B 1C 1D 1∥平面ABCD ，B 1D 1⊂平面A 1B 1C 1D 1，AC ⊂平面ABCD ，但B 1D 1和AC 不平行，故B 错误．
AB ⊥A 1D 1，AB ⊂平面ABCD ，A 1D 1⊂平面A 1B 1C 1D 1，但平面A 1B 1C 1D 1∥平面ABCD ，故C 错误．
4．(2013·高考某某卷)已知三棱柱ABC­A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为9
4，底面是边
长为3的正三角形．若P 为底面A 1B 1C 1的中心，则P A 与平面ABC 所成角的大小为 ( )
A ．5π12
B ．π3
C ．π
4
D ．π
6
解析：选B ．
如图所示，P 为正三角形A 1B 1C 1的中心，设O 为△ABC 的中心，由题意知：PO ⊥平面ABC ，连接O A ，则∠P A O 即为P A 与平面ABC 所成的角．
在正三角形ABC 中，AB ＝BC ＝AC ＝3，
则S ＝34×(3)2
＝334
，
V ABC­A 1B 1C 1＝S ×PO ＝9
4
，∴PO ＝ 3.
又A O ＝
33×3＝1，∴tan ∠P A O ＝PO
A O
＝3， ∴∠P A O ＝π
3
. 5. 如图，在三棱锥D­ABC 中，若AB ＝CB ，AD ＝CD ，E 是AC 的中点，则下列正确的是( )
A ．平面ABC ⊥平面ABD
B ．平面ABD ⊥平面BDC
C ．平面ABC ⊥平面B
D
E ，且平面ADC ⊥平面BD E D ．平面ABC ⊥平面ADC ，且平面ADC ⊥平面BD E
解析：选C ．要判断两个平面的垂直关系，就需固定其中一个平面，找另一个平面内的一条直线与第一个平面垂直．因为AB ＝CB ，且E 是AC 的中点，所以B E ⊥AC ，同理有D E ⊥AC ，于是AC ⊥平面BD E .因为AC 在平面ABC 内，所以平面ABC ⊥平面BD E .又由于AC ⊂平面ADC ，所以平面ADC ⊥平面BD E .
6. 如图，∠BAC ＝90°，P C ⊥平面ABC ，则在△ABC ，△P AC 的边所在的直线中：与P C 垂直的直线有________；与A P 垂直的直线有________．
解析：∵P C ⊥平面ABC ，
∴P C 垂直于直线AB ，BC ，AC ． ∵AB ⊥AC ，AB ⊥P C ，AC∩P C ＝C ， ∴AB ⊥平面P AC ，
∴AB ⊥A P ，与A P 垂直的直线是AB ． 答案：AB ，BC ，AC AB
7．(2014·某某某某武昌区联考)已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，有下列命题： ①α∥β⇒l ⊥m ；②α⊥β⇒l ∥m ；③l ∥m ⇒α⊥β；④l ⊥m ⇒α∥β.
其中正确命题的序号是________．
解析：①正确，∵l⊥α，α∥β，∴l⊥β，又m⊂β，∴l⊥m；②错误，l，m还可以垂直、斜交或异面；③正确，∵l⊥α，l∥m，∴m⊥α，又m⊂β，∴α⊥β；④错误，α与β可能相交．
答案：①③
8. 点P在正方体ABCD­A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，给出下列四个命题：
①三棱锥A­D1P C的体积不变；
②A1P∥平面ACD1；
③D P⊥BC1；
④平面P DB1⊥平面ACD1.
其中正确的命题序号是________．
解析：连接BD交AC于O，连接DC1交D1C于O1，连接OO1，则OO1∥BC1.
∴BC1∥平面AD1C，动点P到平面AD1C的距离不变，
∴三棱锥P­AD1C的体积不变．
又VP­AD1C＝V A­D1P C，∴①正确．
∵平面A1C1B∥平面AD1C，A1P⊂平面A1C1B，
∴A1P∥平面ACD1，②正确．
由于DB不垂直于BC1，显然③不正确；
由于DB1⊥D1C，DB1⊥AD1，D1C∩AD1＝D1，
∴DB1⊥平面AD1C．DB1⊂平面P DB1，
∴平面P DB1⊥平面ACD1，④正确．
答案：①②④
9. (2014·某某某某市调研测试)如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，AA1＝A1C＝AC＝2，AB＝BC，AB⊥BC，O为AC的中点．
(1)证明：A1O⊥平面ABC；
(2)若E是线段A1B上一点，且满足VE­BCC1＝1
12
·V ABC­A1B1C1，求A1E的长度．解：(1)证明：∵AA1＝A1C＝AC＝2，且O为AC的中点，
∴A1O⊥AC．又∵侧面AA1C1C⊥底面ABC，
侧面AA1C1C∩底面ABC＝AC，A1O⊂平面A1AC，
∴A 1O ⊥平面ABC ．
(2)∵VE ­BCC 1＝112V ABC­A 1B 1C 1＝1
4
V A 1­BCC 1，
∴B E ＝14BA 1，即A 1E ＝3
4
A 1
B ．
连接O B(图略)，在R t △A 1O B 中，A 1O ⊥O B ，A 1O ＝3，B O ＝1，故A 1B ＝2，则A 1E 的长度为3
2
. 10. 如图所示，已知三棱锥A­B P C 中，A P ⊥P C ，AC ⊥BC ，M 为AB 的中点，D 为P B 的中点，且△PM B 为正三角形．
(1)求证：D M ∥平面A P C ；
(2)求证：平面ABC ⊥平面A P C ．
证明：(1)由已知，得M D 是△AB P 的中位线，所以M D ∥A P . 又M D ⊄平面A P C ，A P ⊂平面A P C ， 故M D ∥平面A P C ．
(2)因为△PM B 为正三角形，D 为P B 的中点， 所以M D ⊥P B ．所以A P ⊥P B ．
又A P ⊥P C ，P B∩P C ＝P ，所以A P ⊥平面P BC ． 因为BC ⊂平面P BC ，所以A P ⊥BC ．
又BC ⊥AC ，AC∩A P ＝A ，所以BC ⊥平面A P C ． 因为BC ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面A P C ．
[能力提升]
1．(2013·高考某某卷) 如图，在三棱锥S ­ABC 中，平面S AB ⊥平面S BC ，AB ⊥BC ，A S ＝AB ．过A 作A F ⊥S B ，垂足为F ，点E ，G 分别是棱S A ，S C 的中点．
求证：(1)平面EFG ∥平面ABC ； (2)BC ⊥S A ．
证明：(1)因为A S ＝AB ，A F ⊥S B ， 垂足为F ，所以F 是S B 的中点． 又因为E 是S A 的中点， 所以EF ∥AB ．
因为EF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ， 所以EF ∥平面ABC ．
同理EG ∥平面ABC ．又EF ∩EG ＝E ， 所以平面EFG ∥平面ABC ．
(2)因为平面S AB ⊥平面S BC ，且交线为S B ，
又A F ⊂平面S AB ，A F ⊥S B ，所以A F ⊥平面S BC ． 因为BC ⊂平面S BC ，所以A F ⊥BC ．
又因为AB ⊥BC ，A F ∩AB＝A ，A F ⊂平面S AB ，AB ⊂平面S AB ，所以BC ⊥平面S AB ． 因为S A ⊂平面S AB ，所以BC ⊥S A ． 2．如图所示，AD ⊥平面ABC ，C E ⊥平
面ABC ，AC ＝AD ＝AB ＝1，BC ＝2，凸多面体ABC E D 的体积为1
2
，F 为BC 的中点．
(1)求证：A F ∥平面BD E ；
(2)求证：平面BD E ⊥平面BC E .
证明：(1)∵AD ⊥平面ABC ，C E ⊥平面ABC ，
∴四边形AC E D 为梯形，且平面ABC ⊥平面AC E D ．
∵BC 2＝AC 2＋AB 2
，∴AB ⊥AC ．
∵平面ABC∩平面AC E D ＝AC ， ∴AB ⊥平面AC E D ，
即AB 为四棱锥B­AC E D 的高，
∵V B­AC E D ＝13·S AC E D ·AB＝13×12×(1＋C E )×1×1＝1
2
，
∴C E ＝2.
取B E 的中点G ，连接GF ，G D ， ∴GF 为三角形BC E 的中位线， ∴GF ∥E C ∥DA ，
GF ＝1
2
C E ＝DA ，
∴四边形GF AD 为平行四边形， ∴A F ∥G D ．
又G D ⊂平面BD E ，A F ⊄平面BD E ， ∴A F ∥平面BD E .
(2)∵AB ＝AC ，F 为BC 的中点， ∴A F ⊥BC ．
又GF ⊥A F ，BC∩GF ＝F ， ∴A F ⊥平面BC E .
∵A F ∥G D ，∴G D ⊥平面BC E . 又G D ⊂平面BD E ， ∴平面BD E ⊥平面BC E .
3. 如图，在四棱锥P ­ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，P A ＝AB ＝BC ，E 是P C 的中点．
(1)求P B 和平面P AD 所成的角的大小； (2)证明：A E ⊥平面P CD ；
(3)求二面角A­P D­C 的正弦值． 解：(1)在四棱锥P ­ABCD 中，
因P A ⊥底面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ， 故P A ⊥AB ．又AB ⊥AD ，P A∩AD＝A ， 从而AB ⊥平面P AD ，
故P B 在平面P AD 内的射影为P A ，
从而∠A P B 为P B 和平面P AD 所成的角．
在R t △P AB 中，AB ＝P A ， 故∠A P B ＝45°，
所以P B 和平面P AD 所成的角的大小为45°. (2)证明：在四棱锥P ­ABCD 中， 因P A ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， 故CD ⊥P A ．
由条件CD ⊥AC ，P A∩AC＝A ， 所以CD ⊥平面P AC ．
又A E ⊂平面P AC ，所以A E ⊥CD ． 由P A ＝AB ＝BC ，∠ABC ＝60°， 可得AC ＝P A ．
因为E 是P C 的中点，所以A E ⊥P C ． 又P C∩CD＝C ，综上得A E ⊥平面P CD ．
(3)过点E 作EM ⊥P D ，垂足为M ，连接A M ，如图所示． 由(2)知，A E ⊥平面P CD ，A M 在平面P CD 内的射影是EM ， 则A M ⊥P D ．
因此∠A ME 是二面角A­P D­C 的平面角． 由已知，可得∠CAD ＝30°. 设AC ＝a ，可得
P A ＝a ，AD ＝233a ，P D ＝21
3a ，
A E ＝
2
2
A ． 在R t △AD P 中，因为A M ⊥P D ， 所以A M ·P D ＝P A·AD，
则A M ＝
P A·AD
P D
＝a ·
23
3a 213
a ＝27
7A ．
在R t △A EM 中，
sin ∠A ME ＝A E A M ＝14
4.
所以二面角A­P D­C 的正弦值为14
4
.。