2017-2018学年江苏省常州市八年级(上)期中数学试卷

2017-2018学年江苏省常州市八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每小题2分，共16分）
1．（2分）以下四个银行标志中，是轴对称图形的是（）
A．B． C．D．
2．（2分）下列说法中，正确的是（）
A．形状相同的两个三角形全等
B．线段不是轴对称图形
C．等腰三角形的底角必小于90°
D．面积相等的两个三角形全等
3．（2分）请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请你根据所学的三角形全等有关的知识，说明画出∠A′O′B′=∠AOB的依据是（）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
4．（2分）如图，△ABC中，∠B=90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，已知∠C=38°，则∠BAE的度数为（）
A．13°B．14°C．15°D．16°
5．（2分）下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（）
A．6，12，8 B．7，24，25 C．1.5，2，2.5 D．9，12，15
6．（2分）等腰△ABC的周长为20，其中一边长为9，则这个等腰三角形的腰长
为（）
A．5.5 B．9 C．11 D．5.5或9
7．（2分）△ABC中，∠A＞90°，AB=6，AC=8，则BC的长度可能是（）A．8 B．10 C．12 D．14
8．（2分）如图，正方形ABCD中，AD=5，点E、F是正方形ABCD内的两点，且AE=FC=4，BE=DF=3，则以EF为直径的圆的面积为（）
A．πB．πC．πD．π
二、填空题（每小题2分，共20分）
9．（2分）已知△ABC≌△DEF（A、B分别对应D、E），若BC=10cm，AB=5cm，则EF为cm．
10．（2分）在镜子中看到时钟显示的时间是，实际时间是．11．（2分）等腰三角形最多有条对称轴．
12．（2分）如图，CD=CB，那么添加条件能根据SAS判定△ABC≌△ADC．
13．（2分）△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：3：2，且最长边为10cm，则最短边长为cm．
14．（2分）如图，△ABC中，∠BAC=90°，BC=6，以△ABC的三边向外作正方形，以AC为边的正方形的面积为25cm2，则正方形M的面积为cm2．
15．（2分）如图，是4×4正方形网格，其中已有4个小方格涂成了黑色，现在要从其余12个白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个黑色部分图形构成轴对称图形，这样的白色小方格有个．
16．（2分）如图，BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB于E，△ABC的面积是50cm2，AB=11cm，BC=14cm，则DE=cm．
17．（2分）如图，△ABC中，D是BC上一点，若AB=AC=CD，AD=BD，∠ADB 的度数为．
18．（2分）△ABC中，AB=AC=9，BC=12，D是线段BC上的动点（不含端点B，C），当线段AD=7时，BD的长为．
三、作图题（共14分，其中第19题6分，第20题8分）
19．（6分）如图，已知∠ABC=50°，请你利用直尺和圆规在射线BA上找一点P，使得∠BPC=80°，并画出△BPC．（保留作图痕迹）
20．（8分）如图，在8×8的正方形网格中，已知△ABC的三个顶点在格点上．（1）在图中画出△ABC关于直线l的轴对称图形△A1B1C1；
（2）在（1）中，将点B1沿网格线平移一次到格点D，使得△A1C1D为直角三角形，且A1C1为直角边，试在图中画出点D的位置．
四、解答题（共50分）
21．（6分）如图，△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在△ABC的三边上，且∠B=∠1，BD=CF．求证：△EBD≌△DCF．
22．（8分）如图，已知BA⊥AC，CD⊥DB，AC与BD交于O，BD=CA．求证：（1）BA=CD；
（2）△OBC是等腰三角形．
23．（8分）如图，小明所在学校的旗杆BD高约为13米，距离旗杆20米处刚好有一棵高约为3米的香樟树AE，活动课上，小明有意在旗杆与香樟树之间的连线上来回踱步，发现有一个位置到旗杆顶部与树顶的距离相等，请你求出该位置与旗杆之间的距离．
24．（8分）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点P是AB边上一动点，当△PCB是等腰三角形时，求AP的长度．
25．（10分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点都在格点上．
（1）在线段AC上找一点P（不能借助圆规），使得PC2﹣PA2=AB2，画出点P的位置，并说明理由．
（2）求出（1）中线段PA的长度．
26．（10分）在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，点D为直线BC上的一动点，以AD为边作△ADE（顶点A、D、E按逆时针方向排列），且∠DAE=90°，AD=AE，连接CE．
（1）如图1，若点D在BC边上（点D与B、C不重合），求∠BCE的度数；（2）如图2，若点D在CB的延长线上，连结BE，若DB=5，BC=7，求△ADE的面积．
2017-2018学年江苏省常州市八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题2分，共16分）
1．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，故本选项正确；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：B．
2．
【解答】解：A、形状相同的两个三角形全等，错误，这两个三角形大小不一定相等，故本选项错误；
B、线段是轴对称图形，对称轴为线段的垂直平分线或线段本身所在的直线，故本选项错误；
C、等腰三角形的底角必小于90°，正确，故本选项正确；
D、面积相等的两个三角形全等错误，例如，三角形的中线将三角形分成的两个三角形面积相等，但不一定全等，故本选项错误．
故选：C．
3．
【解答】解：由作法易得OD=O′D′，OC=O′C′，CD=C′D′，依据SSS可判定△COD ≌△C'O'D'（SSS），则△COD≌△C'O'D'，即∠A'O'B'=∠AOB（全等三角形的对应角相等）．
故选：D．
4．
【解答】解：∵ED是AC的垂直平分线，
∴EA=EC，
∴∠EAC=∠C=38°，
∵∠C=38°，∠B=90°，
∴∠BAC=52°，
∴∠BAE=∠BAC﹣∠CAE=14°，
故选：B．
5．
【解答】解：A、62+82≠122，不符合勾股定理的逆定理，故正确．
B、72+242=252，符合勾股定理的逆定理，故错误；
C、1.52+22=2.52，符合勾股定理的逆定理，故错误；
D、92+122=152，符合勾股定理的逆定理，故错误；
故选：A．
6．
【解答】解：∵等腰三角形的周长为20，
∴当腰长=9时，底边=2，
∴当底边=9时，腰长=5.5，
故选：D．
7．
【解答】解：∵在△ABC中，AB=6，AC=8，
∴2＜BC＜14，
当∠A=90°时，BC===10．
∵∠A＞90°，
∴10＜BC＜14．
观察选项，C选项符合题意．
故选：C．
8．
【解答】解：如图，延长BE交CF于G，
∵AB=5，AE=4，BE=3，
∴AE2+BE2=AB2，
∴△ABE是直角三角形，
∴同理可得，△DFC是直角三角形，
∵AE=FC=4，BE=DF=3，AB=CD=5，
∴△ABE≌△CDF，
∴∠BAE=∠DCF，
∵∠ABC=∠AEB=90°，
∴∠CBG=∠BAE，
同理可得，∠BCG=∠CDF=∠ABE，
∴△ABE≌△BCG，
∴CG=BE=3，BG=AE=4，
∴EG=4﹣3=1，GF=4﹣3=1，
∴EF=，
∴以EF为直径的圆的面积=π×（）2=，故选：A．
二、填空题（每小题2分，共20分）
9．
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，
∴EF=BC=10cm，
故答案为：10．
10．
【解答】解：∵实际时间和镜子中的时间关于竖直的线成轴对称，∴|16：25：08，
故答案为：16：25：08．
11．
【解答】解：等腰三角形底边的高线所在的直线是对称轴，
所以，当等腰三角形为等边三角形时对称轴最多，有3条．
故答案为：3．
12．
【解答】解：添加条件：∠DCA=∠BCA，
在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SAS）．
故答案为：∠DCA=∠BCA
13．
【解答】解：∵∠A：∠B：∠C=1：3：2，
∴设∠A、∠B、∠C分别为k、3k、2k，
k+2k+3k=180°，
解得k=30°，
∴∠A=30°，∠B=90°，∠C=60°，
∵最长边为10cm，
∴最短边长=×10=5cm．
故答案为：5
14．
【解答】解：由勾股定理得，AB==，
∴正方形M的面积为：（）2=11cm2．
故答案为：11．
15．
【解答】解：如图所示：1，2，3位置即为符合题意的答案．故答案为：3．
16．
【解答】解：过D作DF⊥BC于F，
∵BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB，
∴DF=DE，
∵△ABC的面积是50，AB=11，BC=14，
∴×BC×DF+×AB×DE=50，
∴×14×DE+×11×DE=50，
∴DE=4，
故答案为：4
17．
【解答】解：∵AD=BD，
∴设∠BAD=∠DBA=x°，
∵AB=AC=CD，
∴∠CAD=∠CDA=∠BAD+∠DBA=2x°，∠DBA=∠C=x°，
∴∠BAC=3∠DBA=3x°，
∵∠ABC+∠BAC+∠C=180°，
∴5x=180°，
∴∠DBA=36°，
∴∠ADC=180°﹣36°﹣36°=108°．
故答案为：108°．
18．
【解答】解：过A作AE⊥BC，
∵AB=AC=9，
∴EC=BE=BC=6，
∴AE==3，
∵D是线段BC上的动点（不含端点B、C），AD=7，
∴DE==2，
∴BD的长为6﹣2=4或6+2=8．
故答案为：4或8．
三、作图题（共14分，其中第19题6分，第20题8分）
19．
【解答】解：作线段BC的垂直平分线l交射线AB于点P，连接PC，则∠BPC即为所求．
理由：∵直线l垂直平分线段BC，
∴PB=PC，
∴∠B=∠C=50°，
∴∠BPC=180°﹣50°﹣50°=80°．
20．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作三角形；（2）如图，点D1与点D2即为所作点．
四、解答题（共50分）
21．
【解答】证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠EDC是△EBD的外角，
∴∠EDC=∠BED+∠B，
即∠1+∠FDC=∠BED+∠B，
∵∠B=∠1，
∴∠FDC=∠BED，
在△EBD和△DCF中
∴△EBD≌△DCF（AAS）．
22．
【解答】（1）∵BA⊥AC，CD⊥DB∴∠A=∠D=90°，
在Rt△ABC和Rt△DCB中
，
∴△ABC≌△DCB （HL），
∴BA=CD，
（2）∵△ABC≌△DCB
∴∠ACB=∠DBC，
∴BO=CO，
∴△OBC是等腰三角形．
23．
【解答】解：根据题意可得：AE=3m，AB=20m，BD=13m．
如图，设该位置为点C，且AC=xm．
由AC=xm得：BC=（20﹣x）m （1分）
由题意得：CE=CD，则CE2=CD2，
∴32+x2=（20﹣x）2+132，
解得：x=14，
∴CB=20﹣x=6，
由0＜14＜20可知，该位置是存在的．
答：该位置与旗杆之间的距离为6米．
24．
【解答】解：∵△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，
∴AB=5．
当△PCB为等腰三角形时，则PC=PB或BC=BP或CB=CP．
①若PC=PB，则P在BC的垂直平分线上，此时P为AB中点，所以AP=AB=2.5；
②若BP=BC=3，则AP=AB﹣BP=2；
③若CB=CP，过点C作CD⊥AB于点D，则DP=DB．
利用面积可求得：CD=2.4．
Rt△CBD中，利用勾股定理求得：BD=1.8，
∴BP=2BD=3.6，
∴AP=1.4．
综上：AP的长为2.5或2或1.4．
25．
【解答】解：（1）作BC的垂直平分线，分别交AC、BC于点P、Q，则PC=PB．△APB中，∠A=90°，
由根据定理得：PA2+AB2=PB2，
即：PB2﹣PA2=AB2，
∴PC2﹣PA2=AB2．
（2）由图可得：AC=6，AB=4，设PA=x，则PB=PC=6﹣x，
△PAB中，∠A=90°，PA2+AB2=PB2，
∴x2+42=（6﹣x）2，
解得：x=，
答：线段PA的长度为：．
26．
【解答】（1）∵∠BAC=90°，∠DAE=90°
∴∠BAD+∠DAC=90°，∠EAC+∠DAC=90°，
∴∠BAD=∠EAC
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE （SAS）
∴∠ACE=∠B，
∵∠BAC=90°，
∴∠B+∠ACB=90°
∴∠ACE+∠ACB=90°，
即∠BCE=90°；
（2）过点A作AF⊥DE于点F．∵AD=AE，
∴点F是DE的中点，
∵∠DAE=90°，
∴AF=，
同理可证△ABD≌△ACE，
∴∠ADB=∠AEC，DB=EC，
∵DB=5，BC=7，
∴EC=5，DC=12，
∵∠DAE=90°，
∴∠ADE+∠AED=90°，
∴∠ADC+∠CDE+∠AED=90°，∴∠AEC+∠AED+∠CDE=90°，
即∠CED+∠CDE=90°，
∴∠ECD=90°，
∴DE2=CE2+CE2=25+144=169，
∵DE＞0，
∴DE=13，
∴AF=，
∴△ADE的面积为==．。