广东深圳中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题(解析版)

深圳中学2023-2024学年度第一学期期中考试试题
年级：高一科目：数学
考试用时：120分钟 卷面总分：150分
注意事项：答案写在答题卡指定的位置上，写在试题卷上无效.选择题作答必须用2B 铅笔. 参考：以10为底的对数叫常用对数，把10log N 记为lg N ；以e(e 2.71828)= 为底的对数叫自然对数，把e log N 记为ln N ．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合{3
P x x =∈≥N 或0}x ≤，
{}
2,4Q =，则
()P Q =N （
）
A.
{}1 B.
{}2 C.{}
1,2 D.{}
1,2,4【答案】D 【解析】
【分析】根据补集的定义和运算可得{}1,2P =N ，结合并集的定义和运算即可求解. 【详解】由题意知，{}1,2P =N ，{}2,4Q =，所以()
{}1,2,4P Q =N ，故选：D ．
2.命题“()()3
1,,1,x x ∞∞∃∈+∈+”的否定是（ ）
A.()1,x ∀∈+∞，都有()
3
1,x ∞∉+B.()1,x ∀∉+∞，都有()
3
1,x ∞∉+C.()1,x ∀∈+∞，都有()
3
1,x ∞∈+D.()1,x ∀∉+∞，都有()
3
1,x ∞∈+【答案】A 【解析】
【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.
【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题命题“()()3
1,,1,x x ∞∞∃∈+∈+ ”的否定是
“()1,x ∀∈+∞，都有()3
1,x ∞∉+.
故选：A. 3.
函数()f x =
的定义域是（ ） A. (,1)(1,0)−∞−∪− B. [1,)−+∞ C. [1,0)− D. [1,0)(0,)−+∞
【答案】D 【解析】
【分析】根据根式与分式的定义域求解即可. 【详解】(
)f x =的定义域满足1020
x x +≥ ≠ ，解得[1,0)(0,)x ∈−+∞ . 故选：D
4. ()f x x 1x 2=−+−的值域是 A. ()0,∞+ B. [1,)+∞
C. ()2,∞+
D. [2,)+∞
【答案】B 【解析】
【分析】对x 的范围分类，把(f x 的表达式去绝对值分段来表示，转化成各段函数值域的并集求解．
【详解】()32,1
121,1223,2x x f x x x x x x −≤
=−+−=<< −≥
，作出函数()f x 的图像如图
所以()12f x x x =−+−的值域为[)1,+∞， 故选
B.
【点睛】本题主要考查了绝对值知识，对x 的范围进行分类，可将含绝对值的函数转化成初等函数类型来解决
5. 已知幂函数的图象经过点()8,4P ，则该幂函数在第一象限的大致图象是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B 【解析】
【分析】根据求出幂函数的解析式，再根据幂函数的性质即可得出答案. 【详解】设()a
f x x =，则328422a a =⇔=，所以32a =，所以2
3
a =
，
所以()2
3f x x ==
，因为2
013
<
<， 因为函数()f x 在()0,∞+上递增，且增加的速度越来越缓慢， 故该幂函数在第一象限的大致图象是B 选项. 故选：B .
6. 函数3
1()81ln 803x f x x -⎛⎫ ⎪=-- ⎪⎝⎭
的零点位于区间（ ）
A. (1,2)
B. (2,3)
C. (3,4)
D. (4,5)
【答案】B 【解析】
【分析】根据函数的单调性及函数零点的存在性定理选择正确选项即可．
【详解】因为函数81ln y x =与3
1803x y − =−−
在()0,∞+上均为增函数，
所以()f x 在()0,∞+上为增函数．
因为()281ln 2830f =−<，()3
81ln 3810f =−>， 所以函数()f x 的零点位于区间()2,3内． 故选：B
7. 已知不等式220ax bx ++>的解集为{}
21x x −<<，则不等式220x bx a −+<的解集为（ ）
A. 11,2 −
B. 1,12
−
C. 1,12
D. ()2,1−
【答案】A 【解析】
【分析】根据不等式解集，求得参数,a b ，再求不含参数的一元二次不等式即可.
【详解】根据题意方程220ax bx ++=的两根为2,1−，则2
21,2b a a
−+=
−−=，解得1,1a b =
−=−， 故220x bx a −+<，即2210x x +−<，()()2110x x −+<，解得11,
2x ∈−
. 即不等式220x bx a −+<的解集为11,2 −
. 故选：A .
8. 已知()f x 和()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且()()e x g x f x −=，则
(1)
(1)
f g =（ ） A. 22
e 1
e 1
+− B. 22e 1e 1−+
C. 221e 1e −+
D. 22
1e 1e +−
【答案】C 【解析】
【分析】根据奇函数与偶函数的性质即可代入1x =和=1x −求解.
【详解】因为()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，所以由()()1
11e g f −−−−=
有()()1
11e g f −+=， 又()()11e g f −=，所以()1
21e e g −=+，()1
21
e e
f −=−， 所以()()12
12
1e e 1e 1e e 1e f g −−−−==++．
故选：C
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（ ）
A. ()1f x x =+与21
()1
x g x x −=−
B. ()1f t t =−与()1g x x =−
C. ()ln e x f x =与()g x =
D. ln ()e x f x =与()g x =
【答案】BC 【解析】
【分析】根据题意，由同一函数的定义，对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】对于A ，()f x 定义域为R ，()g x 定义域为{}|1x x ≠，定义域不相同，不是同一函数，A 错误； 对于B ，函数()f x 与()g x 的定义域相同，对应关系也相同，所以是同一函数，故正确；
对于C ，函数()()f x x x =
∈R ，函数()()g x x x =∈R ，两函数的定义域与对应关系都一致，所以是同一函数，故正确；
对于D ，(
)()0f x x x =>，()g x x =，所以对应关系不相同，定义域也不同，不是同一函数，D 错误． 故选：BC
10. 下列说法正确的是（ ） A. 函数1
y x x
=+
的最小值为2 B. 若a ，b ∈R ，则“220a b +≠”是“0a b +≠”充要条件 C. 若a ，b ，m 为正实数，a b >，则a m a
b m b
+<+ D. “
11
a b
>”是“a b <”的充分不必要条件 【答案】BC 【解析】
【详解】根据基本不等式满足的前提条件即可判定A ，根据绝对值和平方的性质可判定B ，根据不等式的性质可判断CD.
【分析】对于A ，当x 取负值时显然不成立，故A 错误， 对于B ，若,a b ∈R ，由220a b +≠，可知a ，b 不同时为0， 由0a b +≠，可知a ，b 不同时为0，
所以“220a b +≠”是“0a b +≠”的充要条件，故B 正确；
对于C ，
()()()()()0b a m a b m m b a a m a b m b b b m b b m +−+−+−==<+++，所以a m a
b m b
+<+，故C 正确， 对于D ，①若
11
a b
>，则当0a >，0b >时，则0a b <<， 当0a <，0b <时，则0a b <<， 当a ，b 异号时，0a b >>．
的
②若a b <，则当a ，b 同号时，则
11a b >， 当a ，b 异号时，0a b <<，则11a b
<， 所以“11
a b
>”是“a b <”的既非充分也非必要条件，D 选项错误．
故选：BC
11. 下列命题正确的是（ ）
A. 函数
2
12
log (23)y x x =−−在区间(1,)+∞上单调递减 B. 函数e 1e 1
x x
y −=+在R 上单调递增
C. 函数lg y x =在区间(,0)−∞上单调递减
D. 函数13x
y =
与3log y x =−的图像关于直线y x =对称
【答案】BCD 【解析】
【分析】A 项，由复合函数的定义域可知错误；B 项分离常数转化为()2
1e 1
x f x =−+，逐层分析单调性可得；C 项由偶函数对称性可知；D 项，两函数互为反函数可知图象关于直线y x =对称.
【详解】对于A ，由2230x x −−>，解得1x <−，或3x >， 故函数定义域为(,1)(3,)−∞−∪+∞，
由复合函数的单调性可知该函数的减区间为()3,+∞，故A 错； 对于B ，()2
1e 1
x f x =−
+， 由于e 1x y =+在x ∈R 单调递增，且e 10x +>， 所以1e 1x y =
+在R 上单调递减，2
e 1
x
y =−+在R 上单调递增， 因此()f x 在R 上单调递增，B 正确；
对于C ，当0x >时，lg y x =（即lg y x =）在区间()0,∞+上单调递增， 又因为lg y x =为偶函数，其图象关于y 轴对称， 所以在区间(),0∞−上单调递减，C 正确；
对于D ，由于函数13x
y =
与
13
log y x =（即3log y x =−）互为反函数．
所以两函数图象关于y x =对称，D 正确． 故选：BCD.
12. 德国数学家狄里克雷在1837年时提出：“如果对于x 的每一个值，y 总有一个完全确定的值与之对应，那么y 是x 的函数．”这个定义较清楚地说明了函数的内涵：只要有一个法则，使得取值范围中的每一个x ，有一个确定的y 和它对应就行了，不管这个法则是用公式还是用图像、表格等形式表示，例如狄里克雷函数()D x ，即：当自变量取有理数时，函数值为1；当自变量取无理数时，函数值为0．下列关于狄里克雷函数()D x 的性质表述正确的是（ ） A. ()D x 的解析式为()R 1,,
0,.
x Q D x x Q ∈ = ∈
B. ()D x 的值域为[]0,1
C. ()D x 的图像关于直线1x =对称
D. (())1D D x = 【答案】ACD 【解析】
【分析】根据题意，由狄里克雷函数的定义，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A ，用分段函数的形式表示狄里克雷函数，故A 正确． 对于B ，由解析式得()D x 的值域为{}0,1，故B 错误；
过于C ，若x 为有理数，则2x −为有理数，则()()21D x D x =−=；若x 为无理数，则2x −为无理数．则
()()20D x D x =−=；所以()D x 的图像关于直线1x =对称，即C 正确；
对于D ，当x 为有理数，可得()1D x =，则()()1D D x =，当x 为无理数，可得()0D x =，则()()
1D D x =，所以()()
1D D x =，所以D 正确． 故选：ACD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.
11
0.752356416(4)−−−++++=
________．
【答案】41
4##1104
【解析】
【分析】根据题意，结合指数幂的运算法则和运算性质，准确化简、运算，即可求解. 【详解】根据指数幂的运算法则和运算性质，可得：
1111143
0.752364353355426416(4)[()](2)(2)2223
3−−−−+=+−+++⋅ 221141821033444
=
−+++==． 故答案：
41
4
. 14. 已知a ，b 是方程22(ln )3ln 10x x −+=的两个实数根，则log log a b b a +=________． 【答案】5
2
##2.5 【解析】
【分析】方法一：利用韦达定理结合换底公式求解；方法二：解方程可得e a =
，b =，代入运算求解即
可.
【详解】方法一：因为a ，b 是方程()2
2ln 3ln 10x x −+=的两个实数根， 由韦达定理得1ln ln 2a b ⋅=
，3ln ln 2
a b +=， 则()()()
()
22
2
2
ln ln ln ln 2ln ln ln ln ln ln 5log log 2ln ln ln ln ln ln ln ln 2
a b a b a b a b
a b b a b a a b
a b
a b
a b
++−⋅++=+===
−=
⋅⋅⋅，
即5log log 2
a b b a +=；
方法二：因为22310t t −+=的根为1t =或1
2
t =， 不妨设ln 1a =，1
ln 2
b =
，则e a =
，b =，
所以e 15
log log log 222
e a b b a +==+=．
故答案为：5
2
.
15. 已知0,0x y >>且2x y xy +=
，则2x y +的最小值是__________． 【答案】8 【解析】
【分析】运用“1”的代换及基本不等式即可求得结果.
为
【详解】因为2x y xy +=
，所以21
1x y
+=，
所以()214222248x y x y x y x y y x +=++=+++≥+=
，当且仅当4x y y x =，即
4,2x y ==时取等号.
所以2x y +的最小值为8. 故答案为：8.
16. 记(12)(12)T x y =−−，其中221x y +=，则T 的取值范围是________．
【答案】3,32 −+ ． 【解析】
【分析】根据基本不等式，结合换元法，将问题转化为2
13
222
T t =−− ，t ≤≤上的范围，由二
次函数的性质即可求解.
【详解】()124T x y xy =−
++，设x y t +=，则212
t xy −=， 所以221
124212
t T t t t −=−+⋅=−．
因为2
2x y xy + ≤
，所以22124t t −≤．所以t ≤≤
又213222
T t =−− ，所以当12t =时，T 有最小值32−，当t =T 有最大值3+．
故答案为：3,32 −
+ 四、解答题：本题共6小题，共20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知集合{}(,)|1A
x y y x ==−，{}2(,)|B x y y mx ax m =
=++．
（1）若1a =−，0m =，求A B ∩；
（2）若1a =，且A B ∩≠
∅，求实数m 的取值范围．
【答案】（1）11,22A B
=
−
（2）[]2,1−． 【解析】
【分析】（1）联立两方程，求出交点坐标，得到交集；
（2
）联立后得到210mx m +++=，分0m =与0m ≠两种情况，，结合根的判别式得到不等式，求出答案. 【小问1详解】 若1a =，0m =，则(){},|B
x y y x ==
． 由1y x y x =−
=− ，得121
2x y
= =− ． 所以11,22A B =
−
． 【小问2详解】
由()
2
11x y y mx x m −=
=+++
消去y
，得210mx m +++=①． 因为A B ∩≠∅，所以方程①有解．
当0m =
时，方程①可化为1=−，
解得x =
，所以1y ， 所以0m =符合要求．
当0m ≠
时，要使方程①有解，必须(()2
Δ410m m =−+≥，
即220m m +−≤，解得21m −≤≤， 所以21m −≤≤，且0m ≠． 综上所述，m 的取值范围是[]2,1−． 18. 设不等式
25
14
x x −≤−的解集为A ，关于x 的不等式2(2)20x a x a −++≤的解集为B ． （1）求集合A ；
（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．
【答案】（1）[)1,4
（2）[)1,4．
【解析】
【分析】（1）根据题意，结合分式不等式的解法，即可求解；
（2）根据题意，转化为B A ，再结合一元二次不等式的解法，分类讨论，求得集合B ，进而求得a 取值范围.
【小问1详解】 解：由不等式2514x x −≤−，可得2511044
x x x x −−−=≤−−， 即()()140x x −−≤，且4x ≠，所以14x ≤<，所以[)1,4A =．
【小问2详解】
解：因为“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，所以集合B 是A 的真子集，
由不等式()2
220x a x a −++≤，可得()()20x x a −−≤， 当2a <时，不等式的解集为2a x ≤≤，即[],2B a =，因为B A ，则12a ≤<；
当2a =时，不等式为2(2)0x −≤，解得2x =，即{}2B =；B A 成立；
当2a >时，不等式的解集为2x a ≤≤，即[]2,B a =，因为B A ，则24a <<，
综上所述14≤<a ，即a 的取值范围是[)1,4．
19. 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≤时，2()2f x x x =+，现已画出函数()f x 在y 轴左侧的图象，如图所示．
（1）请将函数()f x 的图象补充完整，并求出()()f x x ∈R 的解析式；
（2）求()f x 在区间[],0a 上的最大值．
【答案】（1）作图见解析，()222,02,0x x x f x x x x +≤= −+>
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据函数奇函数的对称性，即可根据对称作出函数图象，进而可利用奇函数的定义求解解析式，
（2）根据二次函数的性质，结合函数图象即可求解.
【小问1详解】
作出函数()f x 的图象，如图所示，
当0x >时，0x −<，则()()22()22f x x x x x −=−
+−=−， 因为()f x 为奇函数，
所以()()2
2f x f x x x =−−=−+， 所以()222,02,0x x x f x x x x +≤= −+>
． 【小问2详解】
易如()()200f f −==，
当2a <−时，()f x 在x a =处有最大值()2
2f a a a =+； 当20a −≤<时，()f x 在0x =处有最大值()00f =.
20. 为了减少能源损耗，某建筑物在屋顶和外墙建造了隔热层，该建筑物每年节省的能源费用h (万元)与
的
隔热层厚度(cm)x 满足关系式：()()3232020h x x x k
=−≤≤+．当隔热层厚度为1cm 时，每年节省费用为16万元，但是隔热层自身需要消耗能源，每年隔热层自身消耗的能源费用g (万元)与隔热层厚度(cm)x 满足关系：()2g x x =．
（1）求k 的值；
（2）在建造厚度为(cm)x 的隔热层后，每年建筑物真正节省的能源费用为()()()=−f x h x g x ，求每年该建筑物真正节省的能源费用的最大值.
【答案】（1）1k =
（2）18万元．
【解析】
【分析】（1）根据()116h =求解出k 值即可；
（2）根据条件先表示出()f x ，然后利用基本不等式求解出最大值，注意取等条件.
【小问1详解】
由题知()116h =，所以3232161k −
=+， 解得1k =；
【小问2详解】
由（1）知，()()32320201h x x x =−
≤≤+， 所以()()323220201f x x x x =−
−≤≤+， 所以()()()323232212342111f x x x x x −−++=−++= ++
， 因为(
)3221161x x ++≥=+，当且仅当()32211
x x =++，即3x =时取等号， 所以()341618f x ≤−=
， 所以每年该建筑物真正节省的能源费用的最大值为18万元．
21. 已知23()21
x x a f x −−=+， （1）若定义在R 上的函数()ln ()g x f x =是奇函数，求a 的值；
（2）若函数()()h x f x a =+在(1,)−+∞上有两个零点，求a 的取值范围．
的
【答案】（1）13
− （2）41,3
【解析】
【分析】（1）根据题意，结合()()0g x g x −+=
，得出方程，进而求得实数a 的值； （2）令()0h x =，得到()2
3210x x a a −−++=，得到()222210x x a a −⋅+=，令2x t =，转化方程可化为2210at at −+=1,2 +∞
上有两个不相等的根， 方法一：设()221p t at at =−+，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解；
方法二：把方程化为()211a t a −−=，求得1t =±，结合11,2 +∞
，即可求解. 【小问1详解】 解：因为()g x 是奇函数，所以()()2323ln ln 02121
x x x x a a g x g x −−−−−+=+=++， 可得232312121
x x x x a a −−−−⋅=++，即()()2312291x x a a −++=−恒成立， 因为220x x −+≠，所以310a +=且2910a −=，所以13
a =−． 【小问2详解】 解：由232()()1
x x h a x f a a x −=+−=++，令()0h x =，可得23021x x a a −−+=+， 所以()
23210x x a a −−++=， 两边同乘以2x 并整理，得()222210x x a a −⋅+=． 令2x t =，因为1x >−，所以12
t >， 于是方程可化为2210at at −+=，
（*） 问题转化为关于t 的方程（*）在1,2 +∞
上有两个不相等的根，显然0a ≠， 方法一：设()221p t at at =−+，抛物线的对称轴为1t =，()01p =．
若a<0，由()00p >知，()p t 必有一个零点为负数，不合题意； 若0a >，要使()p t 在1,2 +∞ 上有两个零点，由于对数轴112t =>， 故只需2102Δ440p a a > =−> ，即31044(1)0a a a −> −> ，解得413a <<． 综上可得，实数a 的取值范围是41,3
． 方法二：方程（*）可化为()211a t a −=−，
若0a =，则01=−，矛盾，故0a ≠，故()211a t a −−=， 所以10a a
−>，即a<0或1a >，①
此时，1t −=
，即1t =±
，其中11,2 +∞ ，
则112−>
12
<，即114a a −<，可得340a a −<，解得403a << ② 由①②得a 的取值范围是41,3
． 22. 定义在R 上函数()f x 满足如下条件：
①()()()4f x y f x f y +=+−；
②(2)6f =；
③当0x >时，()4f x >．
（1）求(0)f ，判断函数()f x 的单调性，并证明你的结论； （2）当[)0,x ∈+∞时，不等式()()()ln 3e 122ln 310x f a f x a −++−−≤ 恒成立，求实数a 的取值范围．
【答案】（1）()04f =，函数()f x 在R 上为增函数，证明见解析 （2）[]1,3
【解析】
的
【分析】（1）令
2,0x y ==，求得()04f =，再根据函数单调性的定义和判定方法，证得函数()f x 在R 上为增函数；
（2）根据题意，转化为不等式()ln 3e 12ln 30x a x a −+−−≤ （*）对于任意[)0,x ∈+∞成立，由对数函
数的性质，求得03a <≤，再由不等式()23e 3e 10x x a a +−−≥成立，转化为max 1e x a ≥ 对于任意[)0,x ∈+∞成立，求得1a ≥，即可求得实数a 的取值范围．
【小问1详解】
解：令2x =，0y =，可得()04f =．
函数()f x 在R 上为增函数，
证明如下：
设12x x <，因为()()()4f x y f x f y +−=−，
令1x y x +=
，2x x =，则21y x x =−，可得()()()21214f x f x f x x −=−−， 因为210x x −>，所以()214f x x −>，所以()2140f x x −−>， 所以()()210f x f x −>，即()()21f x f x >， 所以函数()f x 在R
【小问2详解】
解：由条件有()()()4f x f y f x y +=++，
则不等式可化为()()ln 3e 122ln 3410x f a x a −++−−+≤ ，
即()()
ln 3e 122ln 36x f a x a −++−−≤ ， 又由()26f =，所以()()
()ln 3e 122ln 32x
f a x a f −++−−≤ ， 因为函数()f x 在R 上为增函数，可得()ln 3e 122ln 32x a x a −++−−≤
即()ln 3e 12ln 30x a x a −+−−≤ （*）对于任意[)0,x ∈+∞成立， 根据对数函数的性质，可得()3e 10x a −+>，30a >对于任意[)0,x ∈+∞成立，
则13e 0x a a <+ >
，因为0x ≥，则e 1x ≥，所以101e x <≤， 可得1334e
x <+≤，所以03a <≤ ①， 又由（*）式可化为()()
2ln 3e 12ln 3ln 3e x x a x a a −+≤+= ， 即对于任意[)0,x ∈+∞，()23e 13e x x
a a −+≤成立，即()23e 3e 10x x a a +−−≥成立， 即对于任意[)0,x ∈+∞，()()
3e 1e 10x x a +−≥成立， 因为3e 10x +>，所以e 10x a −≥对于任意[)0,x ∈+∞成立， 即max
1e x a ≥ 对于任意[)0,x ∈+∞成立，所以1a ≥ ②． 由①②，可得13a ≤≤，所以实数a 的取值范围为[]1,3．。