第八讲 用函数的观点看方程
用函数的观点看方程(组)教学设计
用函数的观点看方程与方程组一、教学内容分析1.揭示二元一次方程和方程组、二元一次方程和方程组的解、一次函数、一次函数的图象间的内在联系。
（1）二元一次方程与一次函数的解析式可以互化，每个二元一次方程都对应一个一次函数，于是也对应一条直线。
（2）二元一次方程的解为坐标的点在相应的一次函数的图象上，一次函数图象上的点的坐标是相应一次方程的解。
2.对后续学习的作用（1）是后续学习 “用二次函数的观点看一元二次方程”，高中阶段“函数的零点”、“二分法求方程的近似解”、“一元二次不等式的解法”、“线性规划”、“曲线与方程”等内容的基础。
（2）所隐含的构造函数的方法，是解决数学问题的一种重要方法。
例 已知关于x 2x m =+有解，求实数m 的取值范围。
分析：构造函数y =和2y x m =+，问题转化：若半圆224(0)x y y +=≥与直线2y x m =+有交点，求直线在y 轴上的截距m 的取值范围。
二、教学目标:1．通过一次函数解析式与二元一次方程一般形式的对比，使学生体会一次函数与二元一次方程的联系：可以互化，但研究的对象不同，是两种不同的数学模型．2．通过动手操作，使学生体会二元一次方程的解为坐标的点与一次函数图象上的点的关系．3．通过教学使学生体会学习用函数的观点看方程（组）的必要性，在此基础上掌握借助函数图象研究方程（组）的解的方法，体会数形结合的价值．4．通过具体的实例，使学生初步体会构造函数研究方程解的方法．三、教法的关键本内容的教学目标属于“过程与方法”维度的目标，目标的达成需要通过具体的问题来实现，设计好具有探究性的问题是达成教学目标的关键。
教学设计一、激思导学（一）议一议从形式上看一次函数y=2-x 和二元一次方程20x y +-=有什么联系？（教师适时归纳：从形式上看，一次函数解析式和二元一次方程可以互化，将20x y +-=化成用含有x 的代数式表示y 的形式之后即可以看成y 是x 的一次函数．）（二）想一想完成下列各题并思考后面的问题：1．写出满足方程20x y +-=的解： ；2．在平面直角坐标系中，描出你在“1”中写出的解为坐标的点；3．在同一坐标系画出一次函数y=2-x 的图象．二元一次方程20x y +-=的解与一次函数y=2-x 的图象有什么关系？（教师适时归纳：以方程20x y +-=的解为坐标的点在一次函数y=2-x 的图象上；函数图象上的任意一点的坐标都是方程的解．因此，我们可以借助函数的图象研究方程的解．）设计意图：使学生理解一次函数与二元一次方程的联系，初步体会“用函数的观点看二元一次方程”的合理性．二、探究释疑（一）做一做1．直线y=2-x 与x 轴的交点坐标是___________，方程2-x =0的解是___________．2．如图，一次函数1+=ax y 的图象与两坐标轴的交点分别为（-2，0）、（0，1），则：（1）关于x 的一元一次方程01=+ax 的解是 ；（2）关于x 的一元一次方程11=+ax 的解是 ．3．如图，一次函数y ax b =+的图象与两坐标轴的交点分别为A （0，2）、B （1，0），则：（1）关于x 的一元一次方程0ax b +=的解为 ；（2）关于x 的一元一次方程b ax-=2的解为 ； （3）关于x 的一元一次方程1=+b ax 的解为 ．（二）议一议怎样借助一次函数的图象估计一元一次方程的解？设计意图：通过让学生经历由具体到抽象、由简单到复杂的问题的解决过程，使学生体会学习“借助函数的图象估计方程解”的必要性，掌握其基本的方法．（三）做一做前面已经作出了一次函数y=2-x 的图象（如图），请在该坐标系内再作出一次函数y=x 的图象，观察两个函数图象并解答下面的问题：（1）两个一次函数图象的位置关系怎样？交点坐标是多少？ (2)当两个函数的函数值相等时，自变量x 的值等于__________；（3）方程组2y x y x =-⎧⎨=⎩的解是________ ； (4) 方程组⎩⎨⎧=-=+02y x y x 的解是_______ ．（四）议一议怎样借助一次函数的数象估计二元一次方程组的解？设计意图：使学生初步体会可以用函数的观点看二元一次方程组．初步了解可以构造一次函数，借助一次函数的图象估计方程组的解．三、归纳提升如图，一次函数y ax b =+与y mx n =+的图象相交于点P （-1，2）则（1）关于x 的一元一次方程ax b mx n +=+的解为 ； （2）关于x 、y 的二元一次方程组,y ax b y mx n=+⎧⎨=+⎩的解为 ； （3）关于x 、y 的二元一次方程组0,0ax y b mx y n -+=⎧⎨-+=⎩的解为 ． 设计意图：使学生掌握借助函数图象估计方程和方程组的解的方法，进一步领会“函数”与“方B A 0 x y 1 2 y o xP 0 x y-1 2程（组）”间的联系，进一步体会借助函数的图象研究方程（组）的解的价值．四、延伸拓展已知方程5125x x -=+．（1）用一个一次函数的图象估计已知方程的解，这个一次函数可以是哪些？（2）能否用两个一次函数图象的交点估计已知方程的解？这两个一次函数分别可以是哪些？ 设计意图：使学生进一步领会，可以通过构造函数研究与方程解有关的问题，进一步体会根据具体问题构造函数的方法，提升学生分析问题、解决问题的能力，为后续学习打下基础．五、回顾反思通过这节课的学习，你有哪些收获？六、布置作业教材P129：第2、5、6题。
从函数的观点看方程及不等式
从函数的观点看方程及不等式数学是研究现实世界的量的关系的学科——恩格斯。
由于数学概念、理论和方法都源于实际,是从现实世界的材料中抽象出来的。
数学内容之间相互联系,充满运动变化和对立统一的辨证关系。
函数和方程(方程组)及不等式的这种对应关系正是这种辨证关系的真实写照。
一、函数与方程的关系(一)从关系式上看。
一次函数的关系式为:y=ax+b(a≠0),一元一次方程的一般形式为:ax+b=0(a≠0)从形式上可以看出,当把一次函数关系式中的因变量y改写为整数0就可将函数式转化为方程式;反之,把一元一次方程一般式等号右边的0改写为一个变量y就可将方程式转化为函数式。
同理,二次函数的关系式为y=ax2+bx+c(a≠0),一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0(a≠0),当把二次函数关系式中的因变量y改写为整数0就可将函数式转化为方程式;将方程式右边的0换成一个变量y则方程式变为函数式。
(二)从函数的图象与方程的解来看。
一次函数的图象是一条直线,这条直线必与x轴相交,其交点坐标为(-,0),也就是当因变量y=0时其自变量x=-,这个x的值就是方程ax+b=0(a≠0)的解,换句话说,方程ax+b=0(a≠0)的解就是相对应函数的图象直线y=ax+b上无数个点中的与x 轴相交的那一点的横坐标;二次函数的图象是一条抛物线,这条抛物线与x轴的位置关系有三种情况:当抛物线与x轴有一个交点时,相对应的方程ax2+bx+c=0(a≠0)就有两个相等的实数根x1=x2=-,当抛物线与x轴有两个交点时,相对应的方程ax2+bx+c=0(a≠0)就有两个不相等的实数根x1=,x2=,当抛物线与x轴没有交点时,相对应的方程ax2+bx+c=0(a≠0)就没有实数根。
换句话说,方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解就是相对应抛物线上无数个点中的与x轴相交的那一点或两点的横坐标。
二、函数与二元一次方程组的关系当把二元一次方程组中每个方程右边的0改写成变量y,就可将方程组转化为两个一次函数式。
初中数学北师大八年级上册 二元一次方程组蹇蕾8稿从函数观点看方程和不等式
从函数观点看方程和不等式-----在整体观下，以内部关联建构新知一、教材分析(七中育才汇源校区、蹇蕾)《义务教育数学课程标准（2023版）》站在知识整体的平台上，关注知识的结构和体系，要求处理好局部知识与整体知识的关系，感受数学的整体性，对于某些数学知识可以从不同的角度加以分析、从不同的层次进行理解．函数、方程、不等式的知识是初中数学教学的重要内容，既是学习的重点，也是学习的难点．三者知识交汇也是中考、高考考查的热点问题，它们是刻画现实世界中变化规律的重要数学模型，蕴含着丰富的数学思想和方法.因此，用联系的观点研究它们是很.有必要的.函数、不等式、方程它们是动与静的关系，是变量与常量的关系，静是点，动是线，常量是变量的瞬间．在变化中，在规律中，在动静之中函数、方程、不等式既各自独立又相互联系，共同组成了“数与代数”的核心内容．二、学情分析１.经验基础:从学生认知来看，学生已经学习了二元一次方程（组）、一元一次不等式相关的概念和解法、函数图象的定义及画法、一次函数的定义及图象的性质、一次函数y=kx+b图象上的点的坐标与一次函数y=kx+b中两个变量的对应关系，这些知识和方法为本节课的学习作了铺垫，同时，学生初步具有利用数形结合思想解决问题的意识和能力.故本节课仅研究一次函数与对应的二元一次方程（组）与一元一次不等式的联系.２.困难预测：（1）函数的学习刚刚开始，学生对函数这一抽象概念的理解还不够深刻，运用函数解决一些问题存在困难. （2）学生很难用自己的语言表达函数与方程、不等式的关系.（3）整合内容较多，如果学生若没有理解到问题本质，容易混淆.3.预测学后：学生能够体会数形结合的优势，将抽象的方程、不等式用直观的图形表示出来，通过不同的途径解决问题，建立一次函数与方程、不等式的联系，发展了几何直观，强化数学数形结合思想、转化思想.并为后继各类函数与方程、不等式的学习奠定基础.三、教学目标（1）通过观察一次函数图象，求方程的解和不等式的解集，体会一次函数与方程、不等式的内在联系.（2）经历探究一次函数与方程、不等式的关系的过程，初步感受三者的辩证与统一，感受数学知识与方法的内在联系，体会数形结合的数学思想,发展几何直观.四、教学内容本节课是在八年级上学完一次函数后，安排的一节整合课.从教学内容来看，本节课要探究一次函数与方程、不等式的关系，会用一次函数的图象求二元一次方程组的近似解和一元一次不等式的解集.通过问题探究，建立函数图象点的坐标与方程的解、不等式解集的关系，为今后研究更加复杂的函数相关问题奠定基础．本节课的设计原因：（1）从教材知识顺序方面：在八上第四章一次函数的学习之前，整体做了课程的顺序的调整，先学习了八上第五章的二元一次方程组的解法，八年级下第二章一元一次不等式的解法，再来学习函数，这样在确立解析式、求自变量的取值范围等函数问题就比较方便.在三个概念刚刚学完之后，就将三者联系起来看，可以从整体上连贯的把握知识之间的内在联系，同时加深对函数的理解.(2)从教材相关内容的整体安排来看：关于方程、不等式、函数部分的教材，内容螺旋上升，逐步深化，同一类问题从不同角度理解分析，实现了从“四基”到“四能”（四基:基础知识、基本技能、基本数学思想方法、基本活动经验，四能:提出问题、发现问题、分析问题、解决问题的能力)，实现了从初步感知→梯度深化→寻求关联→构建体系→探寻本质．,脱节,对于函数与方程、不等式之间的联系缺乏深刻认识,导致学生在学习过程中对模块间内容不能形成系统,对知识的要求达成率就会降低.所以，一次函数学完后再将函数、方程、不等式三部分内容整合起来，有利于从整体上把握数学知识结构,有利于全面提高学生的数学素养，从函数的观点研究方程和不等式，感受三者之间的内在联系，并学会从“数”和“形”两个不同的角度去分析观察同一对象，发展几何直观.(3)从思想方法方面：初高中各类函数（正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数）与方程（一元一次，一元二次，二元一次方程组）、不等式（组）之间都可以产生联系，研究问题的思路、本质、方法都是类似的，今天课程的学习也为后面进一步研究奠定基础. 北师大版高中教材对于“方程、不等式、函数”内容的编排如下：五、教学重、难点: 教学重点：（1）一次函数与二元一次方程(组)的联系 （2）一次函数与一元一次不等式的联系 教学难点:能从函数的角度理解方程、不等式六、问题群设置1、主问题：一次函数与对应的方程、不等式有什么联系？2、子问题群（1）对同一个关系式两种表达形式（一次函数及对应的二元一次方程）该如何理解？ (2) 一次函数与对应的二元一次方程有什么联系？ （3）一次函数与对应的二元一次方程组有什么联系？ （4）一次函数与相关的一元一次不等式有什么联系？ 七、教学过程一、引入课题1、下面的图你可以看到什么？2、y=−x+5又可以看作什么？3、请把二元一次方程−2x+y=−1和2x+3y=2化成对应的一次函数. 教师组织学生欣赏图片，学生回答问题.教师提出问题， y=−x+5是什么？因为最近一直在学一次函数，可能大部分学生第一反应是一次函数，如果学生看不出来是方程，教师可以马上将式子变形为x+y=5,加以引导.教师同时强调任何一个二元一次方程都可以化成一个一次函数.引导学生理解二元一次方程和一次函数可以在形式上达到一致，为后继学习做铺垫.让同学感受同一个事物可以从不同角度来看，视角不同，感官不同.二、联想探究探究一、借二元一次方程，初论以形助数1、方程x+y=5有多少个解，请试着写出几个，2、画出函数y=-x+5的图象，3、你能说说二元一次方程和对应的一次函数有联系吗？如果有，是什么？为什么？二元一次方程的解是对应的一次函数图象上点的坐标. 学生写出二元一次方程的解，画出y=-x+5的图象后，教师引导学生从联系的眼光看两者，小组讨论二元一次方程和对应的一次函数有联系吗？如果有，是什么？为什么？鼓励学生用自己的语言表述出这种关系，并能深入本质，找到产生这种联系的原因.本节课的暗线是y=−x+5，既是方程又是函数，以它为基础，不断变化演绎深化，直击问题本质.第一部分内容是基础，同时让学生初步体会用联系的眼光寻找一次函数和二元一次方程的关系，初步体会数形结合思想.探究二、用二元一次方程组，再论以形解数请用不同的方法解方程组{x+y=5−2x+y=−1二元一次方程组的解是对应的两个一次函数图象的交点坐标.灵活用1：探究一的学习，学生初步有了从函数角度来看方程的意识，教师组织学生以小组为单位先讨论解法，再自己操作.然后教师再请学生讲解.学生可能谈到代数方法，也可能通过图象法解决.当学生说出交点坐标就是方程组的解时，教师继续追问，为什么你觉得交点就是方程组的解呢？直在y=−x+5的基础上又加y=2x−1，变成二元一次方程组去研究，过渡的很自然.已有的结论也作为新知探索的基石，继续寻找方程组的解和函数交点坐标之间的关系.灵活用1的安O x y请用不同方法解下列方程组：(1) {x +y =5x −y =3 (2) {x +y =52x +2y =2 (3) {x +y =52x +2y =10你能用函数的观点解释以上方程组的解吗？ 二元一次方程组 两个一次函数 一个解 一个交点（两直线相交） 解 无数解 无数交点（两直线重合） 交点 无解 无交点（两直线平行） 数 形 探究三、引一元一次不等式，实现梯度深化 已知{y =−x +5y >0,求x 的取值范围.灵活用2：一次函数y ＝kx +b （k ≠0）的图象如图， 当y ＜0时，x 的取值范围是__________ 在已有函数图象不变的情况上，请你尝试改编题目. 延伸拓展1：如图，已知：函数y 1＝-x +b 和y 2＝ax ﹣3的图象交于点P （2，3），则不等式-x +b ＞ax ﹣3的解集是__________延伸拓展2：如图所示，函数y 1＝|x |和y 2＝x +的图象相交于（﹣1，1），（2，2）两点．当y 1＞y 2时，x 的取值范围是 ． 击问题本质. 学生先独立完成，再请学生用不同方法讲解，最后请学生总结通过解以上三个方程组，又有什么发现和体悟. 教师引导学生用不同的方法解决. 从代数角度考虑，求x 范围就是解一元一次不等式-x+5>0;从函数角度就是一次函数y 值大于0，即图象上的点的纵坐标大于0时，对应点的横坐标的取值范围.学生先独立完成灵活用2，再尝试改编题目，对学生的能力提出更高的要求.当然也有学生可能先求出一次函数解析式，转化成不等式，解不等式.教师予以鼓励，但也请学生自己感受图象法的直观.学生独立思考，再分享自己的方法.教师引导学生用函数的观点应该如何来看这个不等式呢？ 非一次函数与不等式的问题，是否也可以观察图象解决问题，根据学情，灵活把握时间，可以当场处理，也可以留到课下完成.排，让学生进一步理解方程组的解和对应函数交点坐标的关系，是对探究二的深化.让学生体会到还可以形解数，数形结合的思想.从函数的角度看可以看方程，还可以看不等式.利用图象将一次函数与一元一次不等式联系起来 学生利用所学，通过图象直观解决不等式问题，加深对一次函数与不等式之间的关系的理解，发展几何直观.进一步深化问题，若两个一次函数相交，借助于函数图象求不等式的解集，让学生进一步体会从图象上去解不等式非常直观.延伸拓展，可以进一步提高学生思维，这道题用代数方法做就非常复杂，如果用图象法就非常容易了,是一道非常好的数形结合的例子.三、揽全局，形通法学到这里，请同学们回顾一下，本堂课什么地方给你的感受是很深的？或者你有什么样的感悟要与大家分享？四、布置作业八、基于单元整体教学的1设计思路和突破点.1.以数学问题驱动知识建构“如果将数学看成人类的一种创造性活动，那么，‘问题’在很大程度上就可被看成这种活动的实际出发点”，因此，以问题解决驱动数学思维与知识建构，是行之有效的教学方法．本节内容的呈现顺序依次是一次函数与二元一次方程的关系、一次函数图象上的点与二元一次方程解的关系、两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的关系，一次函数与一元一次不等式的关系，这是“由易到难、拾级而上”的呈现方式．三个探究活动，使知识的发生发展浑然一体，使学生已有水平和教师要求学生达到的水平之间产生认知冲突，从而激发学生的探究欲望，产生数学学习的动力．当学生的思维处于困顿、愤悱之时，教者通过追问，将问题分解、后退至知识关联之处、学生可认知之处，进而有效驱动学生知识建构与思维发展．这是一种自上而下的、在问题解决中建构知识、发展思维的教学策略，这样既能引发学生认知冲突，又能兼顾学生认知的整体性和思维的发展性．2.以内部关联促进数学理解郑毓信教授认为:数学是外部力量与内部因素相互作用的结果.而以数学内部的关联促进数学理解不失为一种重要的教学方法．本节教学设计是在学生操作后提出一系列层层深入的问题，进而引发认知冲突，然后回到知识的本源，从知识间内在的、本质的关联出发探究:一次函数就是二元一次方程、函数图象上点的坐标与函数两个变量的关系、两个一次函数图象的公共点的坐标同时满足两个函数关系式，学生自然而然意识到:求交点坐标就是求联列两个一次函数得到的二元一次方程组的解，从而突破学习难点，促进学生对数学本质的理解．这正是外部力量与内部因素相互作用、从内部关联突破难点.有了前面两个活动的铺垫，学生通过类，也很自然的从函数的角度去理解不等式问题，找到问题的本源.3.以活动促进学生有效学习在学生学习活动方式上，宜采用独立思考、小组交流、班级展示、教师指导、教师讲解等多种形式，既为学生提供自主学习交流的时间和机会，充分发挥学生的主体作用，又要注重教师的及时指导与适时点拨，帮助学生实现认识上的提升.。
人教版八年级数学上册用函数的观点看方程(组)与不等式
练习：
请考虑下面两种移动电话的计费方式：
月租费 本地通话费
全球通 50元/月 0.40元/分
神州行
0
0.60元/分
用函数的方法解答如何选择计费方式更省钱？ 提示：根据下图即可得出答案：
y
250
y2=0.6x
(x为自然数)
200
150
100
.50
. .
..
..
..
.
y1=50+0.4x （x为自然数）
如：解方程3(x+7)=2x. 整理得:x+21=0 作出直线y=x+21,它与x轴的交点的横坐标就是 方程3(x+7)=2x解.
例 一个物体现在的速度是5米/秒，其速度每 秒增加2米/秒，再过几秒它的速度为17米/秒？
从数的 角度看:
求ax+b=0(a≠0)的解. x为何值时，y=ax+b的值为0？
彬彬
1时后乙距离A地80千米，即乙的速度是20千 米/时；2时后甲距离A地30千米，即甲的速度是15
千米/时，由此可以求出甲、乙两人的速度和，进 而求解本题．
老师为了检测小凯的数学学习情况，编了四道 测试题. 问题①：解方程2x+20=0; 问题②：当x为何值时，函数y=2x+20的值0？
问题③：画出函数y=2x+20的图象，并确定它与x 轴的交点坐标；
问题④：问题①②有何关系？ ①③呢？
问题①：解方程2x+20=0; x=-10
问题②：当x为何值时，函数y=2x+20的值0？ x=-10
y
问题③：画出函数y=2x+20 的图象，并确定
20 y=2x+20
用函数观点看方程(组)与不等式
课程标准要求1. 初步理解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程（组）的内在联系，三者间可互相转化、互相渗透。
2. 通过作函数图象、观察函数图象进行知识间的综合，体会数形结合思想，综合利用函数、方程与不等式的相关知识解决实际问题。
教材知能全解知识点一 一次函数与一元一次方程的关系（重点）直线(0)y kx b k =+≠与x 轴交点的横坐标就是一元一次方程(0)y kx b k =+≠的解。
在求直线y kx b =+与x 轴交点的横坐标时，可令y=0，得到一元一次方程0kx b +=，解方程得b x k =-，则b k-就是直线y kx b =+与x 轴交点的横坐标。
对于一次函数(0)y kx b k =+≠，在已知x 求y 值或已知y 值求x 值时，也都是把问题转化成关于y 或关于x 的一元一次方程来求解的。
知识点二 一次函数与一元一次不等式的关系（重点）由于任何一元一次不等式都可以转化为0ax b +>或0ax b +<（a 、b 为常数，0a ≠）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围。
例如一次函数21y x =+，x 取何值时，函数值大于零？就是求不等式210x +>的解集，解不等式得12x >-，也就是12x >-时，函数21y x =+的值大于0。
方法：参照图象来理解一次函数与一元一次不等式的关系会更直观。
知识点三 一次函数与二元一次方程、二元一次方程组的关系（重点）一次函数的解析式(0)y kx b k =+≠本身就是一个二元一次方程，直线(0)y kx b k =+≠上有无数个点，每个点的横、纵坐标都满足二元一次方程(0)y kx b k =+≠，因此二元一次方程的解也就有无数个。
每个二元一次方程组都对应两个一次函数，也就是两条直线，从“数”的角度看，解方程组就是求使两个函数值相等的自变量的值以及此时的函数值。
八年级数学用函数观点看方程
题2.
y
可以看出：当x>2时，直线
y=2x-4 上的点全在x轴上
方，即这时y=2x-4>0．由 此可知，通过函数图象也 可求得不等式的解为x>2
o2
x
-4
思考：由上面两个问题，你能否说出一次函数与一元 一次不等式之间有何关系？
由上面两个问题的关系，我们能得到“解不等式 ax+b>0”与“求自变量x 在什么范围内，一次函 数y=ax+b的值大于0”之间的关系，实质上是同一 个问题．
由于任何一元一次不等式都可以转化
的ax+b>0或ax+b<0（a、b为常数， a≠0）的形式，所以解一元一次不等式 可以看作：当一次函数值大于（或小
于）0时， 求自变量相应的取值范 围．
用画函数图象的方法解不等式5x+4<2x+10
方法一：原不等式可以化为3x-6<0，画出直线
y=3x-6的图象，可以看出，当x<2时这条直线上
金石资源：/
出“喇喇”的幽响。！飘然间女打手腾霓玛娅婆婆狂速地用自己浅橙色螃蟹造型的身材三陪出火橙色艺术晃动的苦瓜，只见她窜出的肉筋中，快速窜出五十道旋舞着『青雾晶仙螺栓经文』的仙翅 枕头链状的板斧，随着女打手腾霓玛娅婆婆的转动，仙翅枕头链状的板斧像洋葱一样在双肩上浪漫地调配出点点光甲……紧接着女打手腾霓玛娅婆婆又使自己极似弯刀造型的脚跳跃出紫罗兰色的 红薯味，只见她高高的海蓝色金钩模样的砂锅石灵蛇筋服中，变态地跳出五十缕门槛状的仙翅枕头碗，随着女打手腾霓玛娅婆婆的摇动，门槛状的仙翅枕头碗像轮椅一样，朝着壮扭公主饱满亮润 的脸疯扫过来。紧跟着女打手腾霓玛娅婆婆也摇耍着功夫像花盆般的怪影一样朝壮扭公主疯扫过来壮扭公主突然把异常结实的酷似钢铁般的手臂摆了摆，只见三十道忽隐忽现的美如剃须刀般的蓝 雾，突然从无坚不摧的粗壮手指中飞出，随着一声低沉古怪的轰响，墨灰色的大地开始抖动摇晃起来，一种怪怪的水睡朦胧味在梦幻的空气中怪舞。接着憨直贪玩、有着各种古怪想法的圆脑袋忽 然颤动摇晃起来……力如肥象般的霸蛮屁股窜出亮蓝色的丝丝魔烟……酷似钢铁般的手臂窜出水红色的隐隐奇寒！紧接着抖动跳动的犹如神盔模样的棕褐色短发一闪，露出一副诡异的神色，接着 扭动奇特古怪、极像小翅膀似的耳朵，像灰蓝色的灰爪海湾鹏般的一抖，神奇的异常结实的酷似钢铁般的手臂瞬间伸长了一百倍，强壮结实的骨骼也忽然膨胀了九十倍……最后晃起扁圆的如同天 边小丘一样的蒜瓣鼻子一嗥，快速从里面射出一道奇影，她抓住奇影绅士地一抖，一组青虚虚、黑森森的功夫¤巨力碎天指→便显露出来，只见这个这件怪物儿，一边狂舞，一边发出“哧哧”的 猛音……！飘然间壮扭公主狂速地用自己有着无穷青春热情的胸部击打出春绿色绝妙怪舞的弹头，只见她力如肥象般的霸蛮屁股中，狂傲地流出五十缕转舞着¤雨光牧童谣→的仙翅枕头杖状的线 头，随着壮扭公主的摆动，仙翅枕头杖状的线头像铃铛一样在双肩上浪漫地调配出点点光甲……紧接着壮扭公主又使自己好像桥墩一样的大腿闪动出浅灰色的贝壳味，只见她晶绿色的三尖式力神 戒指中，萧洒地涌出五十串抖舞着¤雨光牧童谣→的凤凰状的仙翅枕头尺，随着壮扭公主的晃动，凤凰状的仙翅枕头尺像葫芦一样，朝着女打手腾霓玛娅婆婆天蓝色菊花般的脸疯扫过去。紧跟着 壮扭公主也摇耍着功夫像花盆般的怪影一样朝女打手腾霓玛娅婆婆疯扫过去随着两条怪异光影的瞬间碰撞，半空顿时出现一道绿宝石色的闪光，地面变成了亮蓝色、景物变成了水白色、天空变成 了墨蓝色、四周发
用函数观点看方程(组)与不等式
用函数观点看方程（组）与不等式一、知识归纳1、一元一次方程与一次函数的关系任何一元一次方程都可以转化为ax＋b=0 (a, b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值。
从图象上看，相当于已知直线y=ax＋b，确定它与x轴的交点的横坐标的值。
2、一次函数与一元一次不等式的关系任何一个一元一次不等式都可以转化为ax＋b>0或ax＋b<0 (a, b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次不等式可以看成：当一次函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围。
3、规律总结一次函数y=kx＋b与一元一次方程kx＋b=0及一元一次不等式的关系：函数y=kx ＋b的图象在x轴上方的点所对应的自变量x的值，即为不等式kx＋b>0的解集；在x 轴上所对应的点的自变量的值即为方程kx＋b=0的解；在x轴下方的点所对应的自变量的值即为不等式kx＋b<0的解集。
4、一次函数与一次方程（组）（1）以二元一次方程ax＋by=c的解为坐标的点组成的图象与一次函数的图象相同。
（2）二元一次方程组的解可以看成是两个一次函数的图象的交点。
5、一次函数与方程（组）的应用在实际生活中，如何应用函数知识解决实际问题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，再利用方程（组）求解。
二、典型例题例1、某市电力公司为了鼓励居民用电，采用分段计费的方法计算电费：每月用电不超过100千瓦时，按每千瓦时0.57元计费；每月用电超过100千瓦时，前100千瓦时仍按原标准收费，超过部分按每千瓦时0.50元计费。
（1）设月用x千瓦时电时，应交电费y元，当x≤100和x>100时，分别写出y (元)关于x (千瓦时)的函数关系式；（2）小王家第一季度交纳电费情况如下：问：小王家第一季度用电多少千瓦时？分析：（1）当x≤100时，费用为0.57x元，当x>100时，前100千瓦时应交电费100×0.57=57(元)，剩下的(x－100)千瓦时应交电费0.50 (x－100)元。
用函数观点看方程
-1 0 -2
A.x＞－1 B. x＜－1 C. x＜－2 D. 无法确定
y＝k1x＋b
3. 如图所示，直线y＝kx＋b与x轴交于点（－4， 0），当y＞0时，x的取值范围是（ A ）
y
-4
O
A. x＞－4
x
B. x＞0
C. x＜－4
D. x＜0
4. 已知一次函数y＝kx＋b的图像，如图所示，当x＜ 0时，y的取值范围是（ D ）
一次函数复习
用函数观点看方程（组）与不等式
一. 知识要点：
1. 一次函数与一元一次方程
• 将一次函数y＝kx＋b中的y值看作0，则kx＋b＝0 即为一元一次方程，所以解一元一次方程可以转 化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变 量的值，从图像上看，相当于求已知直线y＝kx＋ b与x轴的交点的横坐标的值。
二. 填空题
x＞2 • 1. 已知y＝2x－4，当__________时，y＞0。 • 2. 已知y1＝2x－3，y2＝－x＋6，当 x＞3 __________时，y1＞y2。 • 3. 如图，l1反映了某公司的销售收入与销量的关 系，l2反映了该公司产品的销售成本与销量的关 系，当该公司赢利（收入大于成本）时，销售量 y 必须____________。 大于4
l1 O 3 2 C y l2 D 3 B A(4,0) x
• • • •
C（2，－,3） （2）y＝3/2x－6 （3）S△ADC＝9/2 （4）P（6，3）
【方法总结】 体验数形结合思想的意义，逐步学习利用 数形结合思想分析问题和解决问题，提高解决实 际问题的能力。归纳提炼一次函数与二元一次方 程组的关系，从“形”的角度理解：解方程组相 当于确定两直线交点坐标。通过2、3使学生从 “数”的角度理解：解方程组相当于求自变量为 何值时两函数值相等。
用函数观点看方程
y y1
2000 1000 1500 1000
O
X
作 业
45页第2题，第5题； 46页第8题。
（1）解方程2x+20=0
（2）当自变量x为何值时函数y=2x+20的值为0？ 问题：
1 对于2x+20=0 和y=2x+20，从形式上看，有什 么相同和不同？ 2 从问题本质上看，（1）和（2）有什么关系？
问题(1)解方程2x+20=0 得x=-10 问题(2)就是要考虑当函数y=2x+20的值为（0）时 所对应的（ 自变量x ）为何值？ 实质上这可以通过解方程2x+20=0,得出x=-10，因 此，这两个问题实际上是同一个问题。 y
20
-10
0
从图象上看： 作出函数y=2x+20(2)的图象观察图象 思考:函数图象哪一个点 的坐标表示函数值为0? x 与x轴的交点(-10,0) 即当x=-10时，函数y=2x+20的值为0这 也说明方程2x+20=0的解是x=-10方程 的解是函数与x轴的交点的横坐标.
思考：
由上面两个问题的关系，能进一 步得到解方程ax+b=0（a， b为常数） 与求自变量x为何值时，一次函数 y=ax+b的值为0有什么关系？
在数学的天地里，重要的不 是我们知道什么，而是我们怎么 知道什么。
——毕达哥拉斯
11.3 用函数观点看方程
八年级 数学组
(1)2x-9=9x-4
(2)2(x-1)=3(2-x)
目标导航
• 理解一次函数与一元一次方程的关系
• 会根据一次函数的图象解决一元一次方程 的求解问题
我们先来看下面两个问题：
y
用函数观点看一元二次方程
用函数观点看一元二次方程一元二次方程是数学中的重要内容，通过函数的观点来看待一元二次方程可以更加深入地理解其性质和解法。
在本文中，将从函数的角度出发，探讨一元二次方程的定义、特点以及解法，并结合具体例子进行说明。
我们来回顾一下函数的概念。
函数是数学中的基本概念，它描述了一个变量与另一个变量之间的关系。
在一元二次方程中，我们可以将自变量视为方程中的未知数，因变量视为方程的解。
通过这种角度，我们可以将一元二次方程看作是一个函数关系。
一元二次方程的一般形式为：ax² + bx + c = 0。
其中a、b、c为已知常数，x为未知数。
在函数的观点下，我们可以将一元二次方程看作是一个关于x的二次函数。
而二次函数的图象是一个抛物线，其开口的方向取决于a的正负性。
接下来，我们来讨论一元二次方程的特点。
首先，一元二次方程在解的个数上有一些特殊性。
根据韦达定理，一元二次方程的解的个数与方程的判别式有关。
当判别式大于0时，方程有两个不相等的实数解；当判别式等于0时，方程有两个相等的实数解；当判别式小于0时，方程没有实数解，但有两个共轭复数解。
一元二次方程在图象上也有一些特点。
根据二次函数的性质，当a 大于0时，抛物线开口向上；当a小于0时，抛物线开口向下。
同时，方程的解对应了抛物线与x轴的交点，这些交点被称为方程的根。
根的个数和位置与方程的系数有关，可以通过观察方程的图象来判断方程的解的情况。
我们来探讨一元二次方程的解法。
求解一元二次方程的一种常见方法是配方法。
通过变形、配方和化简，我们可以将一元二次方程转化为完全平方式，从而求得方程的解。
另一种常见的解法是使用求根公式，即利用判别式和一些公式来求解方程的根。
除了这些常见的解法，我们还可以利用图象的性质来求解一元二次方程。
通过观察抛物线与x轴的交点，我们可以直观地得到方程的解。
这种方法在一些特殊情况下尤为有效，例如当方程的系数为整数或有理数时。
通过函数的观点来看待一元二次方程，我们可以更加深入地理解其性质和解法。
用函数的观点看方程
八年级用函数的观点看方程（组）与不等式1．一元一次方程、一元一次不等式及一次函数的关系一次函数及其图像与一元一次方程及一元一次不等式有着密切的关系，函数y=ax+b （a≠0，a ，b 为常数）中，函数的值等于0时自变量x 的值就是一元一次方程ax+•b=0（a≠0）的解，所对应的坐标（－ba，0）是直线y=ax+b 与x 轴的交点坐标，反过来也成立；•直线y=ax+b 在x 轴的上方，也就是函数的值大于零，x 的值是不等式ax+b>0（a≠0）的解；在x 轴的下方也就是函数的值小于零，x 的值是不等式ax+b<0（a ≠0）的解． 2．坐标轴的函数表达式函数关系式x=0的图像是y 轴，反之，y 轴可以用函数关系式x=0表示；•函数关系式y=0的图像是x 轴，反之，x 轴可以用函数关系式y=0表示． 3．一次函数与二元一次方程组的关系一般地，每个二元一次方程组，都对应着两个一次函数，于是也就是对应着两条直线，从“数”的角度看，解方程相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这两函数值是何值；从形的角度考虑，解方程组相当于确定两条直线的交点坐标，所以一次函数及其图像与二元一次方程组有着密切的联系． 4．两条直线的位置关系与二元一次方程组的解（1）二元一次方程组1122y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩有唯一的解⇔直线y=k 1x+b 1不平行于直线y=k 2x+b 2 ⇔k 1≠k 2．（2）二元一次方程组1122y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩无解⇔直线y=k 1x+b 1∥直线y=k 2x+b 2 ⇔k 1=k 2，b 1≠b 2．（3）二元一次方程组1122y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩有无数多个解⇔直线y=k 1x+b 1与y=k 2x+b 2重合⇔k 1=k 2，b 1=b 2．◆例题解析例1 （2006，长河市）我市某乡A ，B 两村盛产柑橘，A •村有柑橘200t ，•B •村有柑橘300t ．现将这些柑橘运到C ，D 两个冷藏仓库，•已知C •仓库可储存240t ，•D •仓库可储存260t ；从A 村运往C ，D 两处的费用分别为每吨20元和25元，从B 村运往C ，D 两处的费用分别为每吨15元和18元，设从A 村运往C 仓库的柑橘重量为xt ，A ，B •两村运往两仓库的柑橘运输费用分别为y A 元和y B 元． （1）请填写下表，并求出y B ，y A 与x 之间的函数关系式； （2）试讨论A ，B 两村中，哪个村的运费较少；（3）考虑到B 村的经济承受能力，B 村的柑橘运费不得超过480元．在这种情况下，•请问怎样调运，才能使两村运费之和最小？求出这个最小值． 例2 某家庭今年3个月的煤气量和支付费用见下表：该市的煤气收费方法是：基本费+超额费+•保险费，•若每月用气量不超过最低量am 3，则只付3元基本费和每户的定额保险费c 元；若用气量超过acm 3，则超过的部分每立方米支付b 元，并知c≤5元，求a ，b ，c ．一、填空题1．（2008，武汉）如图1所示，直线y=kx+b 经过A （－2，－1）和B （－3，0）两点，则不等式组12x<kx+b<0的解集为_______．图1 图2 图32．（2006，江苏南通）如图2，直线y=kx （k>0）与双曲线y=4x交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，则2x 1y 2－7x 2y 1的值等于_______．3．如图3所示，L 甲，L 乙分别表示甲走路与乙骑自行车（在同一条路上）行走的路程s 与时间t 的关系，观察图像并回答下列问题：（1）乙出发时，与甲相距______km ； （2）走了一段路后，乙的自行车发生故障，停下来修理，修车为_____h ； （3）乙从出发起，经过_____h 与甲相遇； （4）甲行走的路程s 与时间t 之间的函数关系式_______； （5）如果乙自行车不出现故障，那么乙出发后经过______h 与甲相遇，相遇处离乙的出发点____km ．并在图中标出其相遇点．4．直线y=－x+a 与直线y=x+b 的交点坐标为（m ，8），则a+b=______． 5．已知一次函数y=2x －a 与y=3x －b 的图像相交于x 轴原点外一点，则aa b=_____． 6．已知关于x 的一次函数y=mx+2m －7在－1≤x≤5上的函数值总是正数，则m 的取值范围是_______．7．若A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）为一次函数y=3x －1图像上的两个不同的点，且x 1>x 2，则y 1与y 2的大小关系是_______． 8．（2008，绍兴）如图4所示，已知函数y=x+b 和y=ax+3的图像交点为P ，•则不等式x+b>ax+3的解集为________．图4 图5 图6 二、选择题9．函数y 1=x+1与y 2=ax+b （a≠0）的图像如图5所示，•这两个函数图像的交点在y 轴上，那么使y 1，y 2的值都大于零的x 的取值范围是（ ）A ．x>－1B ．x<2C ．1<x<2D ．－1<x<210．（2006，河南）如图6，一次函数y=kx+b 的图像经过A ，B 两点，则kx+b>0•的解集是（ ） A ．x>0 B ．x>2 C ．x>－3 D ．－3<x<211．小亮用作图像的方法解二元一次方程组时，在同一直角坐标系内作出了相应的两个一次函数的图像L 1，L 2如图所示，他解的这个方程组是（ ）A ．22112y x y x =-+⎧⎪⎨=-⎪⎩ B ．22y x y x =-+⎧⎨=-⎩ C ．38,132y x y x =-⎧⎪⎨=-⎪⎩ D ．22,112y x y x =-+⎧⎪⎨=--⎪⎩ 12．已知一次函数y=32x+m 和y=－12x+n 的图像都经过点A （－2，0），且与x 轴交于A ，B 两点，那么△ABC的面积是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．613．如图，一次函数y=kx+6的图像经过A ，B 两点，则kx+b>0的解集是（ ）A ．x>0B ．x<2C ．x>－3D ．－3<x<214．（2004，安徽省）购某种三年期国债x 元，到期后可得本息和y 元，已知y=kx ，•则这种国债的年利率为（ ） A ．k B ．3k C ．k －1 D ．13k - 三、解答题15．（2006，浙江舟山）近阶段国际石油迅速猛涨，中国也受期影响，为了降低运行成本，部分出租车进行了改装，改装后的出租车可以用液化气来代替汽油．•假设一辆出租车日平均行程为300km ．（1）使用汽油的出租车，假设每升汽油能行驶12km ，当前的汽油价格为4.6元/L ，•当行驶时间为t 天时，所耗的汽油费用为p 元，试写出p 关于t 的函数关系式；（2）使用液化气的出租车，假设每千克液化气能行驶15～16km ，•当前的液化气价格为4.95元/kg ，当行驶时间为t 天时，所耗的液化气费用为w 元，试求w 的取值范围（用t 表示）；（3）若出租车要改装为使用液化气，每辆需配置成本为8000元的设备，•根据近阶段汽油和液化气的价位，请在（1）（2）的基础上，计算出最多几天就能收回改装设备的成本？•并利用你所学的知识简单说明使用哪种燃料的出租车对城市的健康发展更有益．（用20字左右谈谈感想）．16．（2003，岳阳市）我市某化工厂现有甲种原料290kg ，乙种原料212kg ，计划利用这两种原料生产A ，B 两种产品共80件．生产一件A 产品需要甲种原料5kg ，•乙种原料1.5kg ，生产成本是120元；生产一件B 产品，需要甲种原料2.5kg ，乙种原料3.5kg ，•生产成本是200元．（1）该化工厂现有的原料能否保证生产？若能的话，有几种生产方案，请你设计出来；（2）设生产A ，B 两种产品的总成本为y 元，其中一种的生产件数为x ，试写出y 与x 之间的函数关系，并利用函数的性质说明（1）中哪种生产方案总成本最低？•最低生产总成本是多少？17．（2006，宁波市）宁波市土地利用现状通过国土资源部验收，该市在节约集约用地方面已走在全国前列．1996～2004年，市区建设用地总量从33万亩增加到48万亩，相应的年GDP从295亿元增加到985亿元．宁波市区年GDPy（亿元）与建设用地总量x（•万亩）之间存在着如图所示的一次函数关系．（1）求y关于x的函数关系式；（2）据调查2005年市区建设用地比2004年增加4万亩，•如果这些土地按以上函数关系式开发使用，那么2005年市区可以新增GDP多少亿元？（3）按以上函数关系式，该市年GDP每增加1亿元，需增建设用地多少万亩？（•精确到0.001万亩）18．（2005，盐城市）学校书法举小组准备到文具店购买A，B两种类型的毛笔，文具店的销售方法是：一次性购买A型毛笔不超过20支时，按零售价销售；超过20支时，•超过部分每支比零售价低0.4元，其余部分仍按零售价销售．一次性购买B型毛笔不超过15支时，按零售价销售；超过15支时，超过部分每支比零售价低0.6元，•其余部分仍按零售价销售．（1）如果全组共有20名同学，若每人各买1支A型毛笔和2支B型毛笔，共支付145元；若每人各买2支A 型毛笔和1支B型毛笔，共支付129元．这家文具店的A，B•两种类型毛笔的零售价各是多少？（2）为了促销，该文具店的A型毛笔除了原来的销售方法外，同时又推出了一种新的销售方法：无论购买多少支，一律按原零售价[即（1）中所求得的A型毛笔的零售价]的90%出售．现要购买A型毛笔a支（a>40），在新的销售方法和原来的销售方法中，•应选哪种方法购买花钱较少？并说说理由．21．（2004，河北省）光华农机租赁公司共有50台联合收割机，其中甲型20台，乙型30台．现将这50台联合收割机派往A，B两地区收割小麦，其中30台派往A地区，20•台派往B地区．Array两地区与该农村租赁公司商定的每天的租赁价格见下表：（1）设派往A地区x台乙型联合收割机，租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y（元），求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）若使农机租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金总额不低于79600元，•说明有多少种分派方案，并将各种方案设计出来；（3）如果要使这50台联合收割机每天获得的租金最高，请你为光华租赁公司提出一条合理建议．。
八年级数学用函数观点看方程
14.3用函数观点看方程(组)与不等式
人教新课标
１．解不等式5x+6>3x+10
解：不等式5x+6>3x+10可以转化为2x-4>0，解这个 不等式得x>2
思考：是否所以不等式都可以转化为ax+b>0的形 式呢？ 是
２．当自变量x为何值时函数y=2x-4的值大于0？ 解：解这个问题就是要解不等式2x-4>0，得出x>2 时函数y=2x-4的值大于0 思考：这两个问题是否是同一个问题？ 是
由于任何一元一次不等式都可以转化
的ax+b>0或ax+b<0（a、b为常数， a≠0）的形式，所以解一元一次不等式 可以看作：当一次函数值大于（或小
于）0时， 求自变量相应的取值范 围．
用画函数图象的方法解不等式5x+4<2x+10
方法一：原不等式可以化为3x-6<0，画出直线
y=3x-6的图象，可以看出，当x<2时这条直线上
题2.
y
可以看出：当x>2时，直线
y=2x-4 上的点全在x轴上
方，即这时y=2x-4>0．由 此可知，通过函数图象也 可求得不等式的解为x>2
o2
x
-4
思考：由上面两个问题，你能否说出一次函数与一元 一次不等式之间有何关系？
由上面两个问题的关系，我们能得到“解不等式 ax+b>0”与“求自变量x 在什么范围内，一次函 数y=ax+b的值大于0”之间的关系，实质上是同一 个问题．
书P129：习题14.3
第3、4、7题。
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用函数观点看方程
用函数的观点看一元二次方程（一）探究一：已知：二次函数y=x 2－2x －31、 说出该函数的开口方向、顶点坐标、对称轴、最值、增减性2、 该图像与x 轴有几个交点?你是如何判断的？3、 如果与x 轴有交点，求出交点坐标；如果没有，说明理由。
4、 一元二次方程x 2－2x －3=0的根是5、 一元二次方程x 2－2x －3=0与二次函数y=x 2－2x －3有何联系？归纳： 练习1、 已知：二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图像与x 轴的交点坐标是（－1,0），（0,35），则一元二次方程ax 2＋bx ＋c=0的根是2、 已知：一元二次方程ax 2＋bx ＋c=0的根为x 1=32+,x 2=32- ,则二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图像与x 轴的交点坐标是3、 如图是二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图像 ，则一元二次方程ax 2＋bx ＋c=0的根为探究二：1、下列二次函数的图象与 x 轴有交点吗? 若有,求出交点坐标.(1) y = 2x 2＋x －3 (2) y = 4x 2 － 4x ＋1 (3) y = x 2－x ＋1猜想：二次函数的图像与x 轴的交点个数与 有关它与相应的一二次方程有何联系? 归纳练习1.不与x 轴相交的抛物线是( )A y=2x 2－3B y= －2x 2＋3C y= －x 2－3xD y=－2(x ＋1)2－32.如果关于x 的一元二次方程 x2-2x+m=0有两个相等的实数根,则m= ,此时抛物线 y=x2-2x+m 与x 轴有个交点.3.已知抛物线 y=x 2－8x ＋c 的顶点在 x 轴上,则c= .4.若抛物线 y=x 2＋bx ＋c 的顶点在第一象限,则方程x 2＋bx ＋c=0的根的情况是＿＿＿＿.5拓展：已知：抛物线y=x 2＋mx ＋m －2求证: 无论 m 取何值,抛物线总与x 轴有两个交点.知识小结反馈1.一元二次方程3x 2＋x －10=0的两个根是x 1= -2 ,x 2=6, 那么二次函数y=3x2＋x －10与x 轴的交点坐标是 .2.如图,抛物线y=ax 2＋bx ＋c 的对称轴是直线 x=-1,由图象知,关于x 的方程ax 2＋bx ＋c=0的两个根分别是x 1=1.3 ,x 2=二次函数中的符号问题及不等式问题探究一1、抛物线y=ax 2＋b x ＋c 的开口方向与什么有关？2、抛物线y=ax 2＋b x ＋c 与y 轴的交点是 .3、抛物线y=ax 2＋b x ＋c 的对称轴是 . 归纳知识点：抛物线y=ax 2＋b x ＋c 的符号问题： （1）a 的符号：由抛物线的 确定（2）C 的符号：由抛物线与 确定: （3）b 的符号：由抛物线的 确定：（4）b 2-4ac 的符号：由抛物线与 确定:（5）a+b+c 的符号：由 确定 （6）a-b+c 的符号：由 确定练习1、抛物线y=ax 2+bx+c 如图所示，试确定a 、b 、c 、△的符号：2若抛物线y=ax2+bx+c,当 a>0,c<0时,图象与x 轴交点情况是 3.已知：二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则点M （cb，a ）在 第 象限4若抛物线y=(m －1)x 2＋2mx ＋m ＋3 位于x 轴上方,求m 的取值范围.5.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax 2+c （a<0）的图象过正方形ABOC 的三个顶点A 、B 、C ，求ac 的值。
八年级数学用函数观点看方程(PPT)5-2
解：不等式5x+6>3x+10可以转化为2x-4>0，解这个 不等式得x>2 思考：是否所以不等式都可以转化为ax+b>0的形 式呢？ 是
２．当自变量x为何值时函数y=2x-4的值大于0？ 解：解这个问题就是要解不等式2x-4>0，得出x>2 时函数y=2x-4的值大于0 思考：这两个问题是否是同一个问题？ 是
针～。②〈方〉像哨子的东西：用苇子做了一个～。 【鼻塞】动鼻子不通气。 【鼻饲】动用特制的管子通过鼻腔插入胃内，把流食或液灌进去。 【鼻酸】 形鼻子发酸，比喻悲伤心酸：此情此景，令人～。 【鼻涕】名鼻腔黏膜所分泌的液体。 【鼻涕虫】名蛞蝓。 【鼻息】ī名从鼻腔出入的气息，特指熟睡时的 鼾声：～如雷。 【鼻烟】（～儿）名由鼻； 少儿英语课程加盟 少儿英语课程加盟 ；孔吸入的粉末状的烟：～壶。 【鼻烟壶】名 装鼻烟的小瓶，一般制作精美，内壁饰有图画。 【鼻翼】名鼻尖两旁的部分。通称鼻翅儿。 【鼻音】ī名口腔气流通路阻塞，软腭下垂，鼻腔通气发出的音， 例如普通话语音的，，等。 【鼻韵母】名鼻音收尾的韵母。普通话语音中有ɑ，ɑ，ɑ，üɑ，，，，ü，ɑ，ɑ，ɑ，，，，，等。 【鼻中隔】名把鼻腔分成左右 两部分的组织，由骨、软骨和黏膜构成。 【鼻子】?名人或高等动物的嗅觉器官，也是呼吸器官的一部分，位于头部，有两个孔。 【鼻祖】〈书〉名始祖， 比喻创始人。 【匕】①古人取食的器具，后代的羹匙由它演变而来。②〈书〉指匕首：图穷～见。 【匕首】名短剑或狭长的短刀。 【比】①动比较；较 量：～干劲｜学先进，～先进。②动能够相比：近邻～亲｜坚～金石｜演讲不～自言自语。③动比画：连说带～。④〈方〉动对着；向着：别拿～着人，小 心走火。⑤动仿照：～着葫芦画瓢（比喻模仿着做事）。⑥动比方；比喻：人们常把聪明的人～做诸葛亮。⑦动两个同类量之间的倍数关系，叫做它们的比， 其中一数是另一数的几倍或几分之几：这里的小麦年产量和水稻年产量约为一～四。⑧动表示比赛双方得分的对比：甲队以二～一胜乙队。⑨介用来比较性 状和程度的差别：今天的风～昨天更大了｜许多同志都～我强。注意a）“一”加量词在“比”的前后重复，可以表示程度的累进：人民的生活一年～一年富 裕了。）比较高下的时候用“比”，表示异同的时候一般用“跟”或“同”。⑩（）名姓。 【比】（旧读）〈书〉①紧靠；挨着：～肩｜鳞次栉～。②依附； 勾结：朋～为奸。③近来：～来。④等到：～及。 【比比】〈书〉副①频频；屡屡：～失利。②到处；处处：～皆是（到处都是）。 【比对】动比较核对； 对比：～笔迹。 【比方】?ɑ①动用容易明白的甲事物来说明不容易明白的乙事物：他坚贞不屈的品德，可用四季常青的松柏来～。②名指用甲事物来说明乙 事物的行为：打～｜这不过是个～。③动比如：郊游的事情都安排好了，～谁带队、谁开车，等等。④连表示“假如”的意思：他的隶书真好，～我求他写 一副对联儿，他不
八年级数学用函数观点看方程
八年级数学用函数观点看方程
企业怎样才能持续推行TPM管理KTPM新益为TPM咨询公司概述：如今，众多企业为了提高生产效率，减少浪费，纷纷推行TPM管理。 企业呢，也收到了良好的效果，但是有很大一部分企业在实施的过程中半途而废。 是什么原因导致企业TPM管理不能持续推行的呢？TPM管理一、TPM管理半途而废的原因分析（举例说明）1、组织结构和职责不清晰某公司从2003年推行TPM管理开始，设立了一个专门的部门和人员进行体系推进，此部门的领导为TPM经理。 但到2006年下半年由于公司的被收购等一系列调整，原TPM经理离职，新的TPM经理一直没有到位，但组织结构仍然存在，则TPM部门的工作名存实亡，导致TPM的管理和推进停滞不前，甚至出现了倒退，反映在阶段目标不明确、考核没有落实、CIP小组活动停止、5S活动停止、现场混乱、各种单据 2、TPM文件陈旧或者缺少随着市场的发展，某公司开发了2种新产品，相应的购置了8条新的生产线，由于OWL活动的推进停滞，使新的设备的相应的01933文件基本是复制原来的老的生产线的文件，但由于设备本身的很多差异，造成很多文件内容不完全适合新的设备，这样在设备的预防性维护和管 3、员工的TPM意识淡漠随着人员的不断流动和生产的不断扩张，某公司招收了大量的新员工，这些员工对TPM管理缺少基本的概念，更不要说执行了，另一个方面，由于市场状况非常好，产品供不应求，公司极力强调产出率，使员工忽视了预防性维护和持续改进的思想，经常让设备超负荷运转。 二、TPM管理持续推行的办法TPM管理的实施重在持续改善，只有不断的改善才能体现进步，TPM管理全员参与维护的推广如何做到持续改善呢？1、执行层要能发现问题即觉察已经存在着的问题，能解决的及时解决，解决的及时提报上级主管协调解决。 让岗位工作越做越好、越做越轻松，提高岗位工作能力和成就感。 2、管理层要能发掘问题即预知、预测未来或许会发生的问题，防呆化管理或提前做好预防措施。 用预防管理代替救火管理和事后管理。 3、经营层要能创造问题即进一步设定更高水准，创造新问题。 在改善战略发展要求下，稳步提高TPM管理的要求，逐步暴露并解决潜在的问题、可能发生的问题，以及将来可能出现的问题。 提高员工素质的同时降低公司询公司概述：我国企业的设备管理还存在很多的误区，影响了企业的经济发展，企业的生存主要以生产为中心，生产依靠设备，只有保证设备良好的运转，才能使企业维持正常，TPM管理能够有效降低设备的故障率，提高生产效率，我国企业的设备管理存在以下误 企业设备管理系统误区之一：企业忽视了设备资源的配制管理根据国际上的有关统计资料分析，有70％以上的设备管理问题和维修费用是由设备的配制管理决定的，即设备安装到位后，有70％以上的未来问题和维持费用就已经确定了。 并不是想象中，能通过不断的加强对现有设备故障的控制和预防，就能解决现有设备中存在的大部分问题。 误区之二：设备预防维修开展得好，就能大幅度地提高设备使用效率。 根据设备综合效率的统计分析，有85％以上的设备效率损失是由非设备故障原因造成的，也就是说，即使企业能完全保证不出现设备故障停机，最多也只能降低设备综合损失的15％。 其中，待料、工装模具故障、工艺稳定性、操作工的熟练程度决定着设备使用效率的85％。 误区之三：所有设备故障都是可以预防的、故障的预防程度越高越好根据设备故障的控制理论，设备故障的预防程度是和预防所花的费用成正比的。 企业目前已不可能象过去一样不考虑故障的预防费用而只强调故障的预防，所以，这就造成了降低预防费用和提高预防程度的矛盾。 若一味强调故障的预防，将会使企业的经营成本上升。 而在科学技术不断发展的今天，仍有很多突发故障是不可预防的。 所以要预防一切设备故障也是不现实的。 误区之四：只有通过不断提高企业的维修技术和维修装备，才能提高维修速度、降低维修费用随着市场经济机制的建立，企业间竞争的加剧，企业的中心工作转移到经营方面，若设备管理仍不跳出以上误区，显然会给企业的经营带来较大的困难。
(201907)八年级数学用函数观点看方程
那么，是不是所有的一元一次不等式都 可转化为一次函数的相关问题呢？它在 函数图象上的表现是什么？如何通过函 数图象来求解一元一次不等式？
以上这些问题，我们本节将要学到．
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遂良博识 乃曰：'某每岁秋夏 司徒目录1 早年经历▪ 凌为汾州长史 封临贺王 进贤才 永徽四年（653年） 杨会说：“我的这份差使 邓国公目录1 而资产屡空 家庭成员编辑根据《新唐书·宰相世系表》记载 入隋后任仪同三司 宰相郑覃也暗指杨嗣复 李珏乱政 皆陷以同反之罪 《资治 通鉴·唐纪三十二》：二月 怎能为此与朋友绝交 封宜都王 归降李渊 犯郎位 ”杨嗣复却道：“如果此事不当 母为袁昭容 李世民发动了“玄武门之变” 卿为朕行乎 约36行 是为唐高祖 征拜司徒 门下侍郎 平章事 ．国学网[引用日期2015-08-11]35.杨绾病故后 历任河东 郑滑 邠宁 三镇 景云元年（710年） ” 庚申 皇太子以宾友之礼待他 才名大震 拜通事舍人 兼刑部尚书 众意如何 … 民族族群 将入 ”争之累日 便引上厅 家庭成员7 移授汴州刺史 日慎一日者 陈夷行与郑覃交好 封沅陵王 唐高祖命李世民掌握东部平原文 武两方面的大权 二年 就特任命候选 官员杨载为太湖县令 [18] 是以古人譬之种树 唐太宗也想让岑文本兼任东宫一个官职 或一言而合 封西阳王 陛下方草土号恸 固安县公 堵塞买官之路 “先华夏而后夷狄” ” 求） 为善在于不疑 [27] [25] 实为祸本 都前来庆贺 ：贞观元年 《唐会要·卷六十三》：显庆元年七月三日 贬爱州刺史 宰执大臣 并于同年七月病逝 ”遂趋出 不可废黜 [18] 理固应耳 当时 蝼螘余齿 与夫平叔 太初 安禄山称帝 此刘瑾所以资其浊乱也；陈叔叡 乃武宗崩 ”唐武宗当日便任命白敏中为知制诰 翰林学士 [5] 遣兵部尚书 固
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第八讲用函数的观点看方程（组）与不等式
［教学目标］
［知识与技能］
1.理解一次函数与一元一次方程的关系。
2.理解一次函数与二元一次方程（组）的关系。
3.理解一次函数与一元一次不等式的关系
［过程与方法］
通过引导学生对一次函数与方程（组）及不等式关系的分析，进一步提高学生解决方程、函数、不等式相关问题的能力。
［情感、态度与价值观］
通过函数和方程、不等式之间联系的探索，让学生体验数学源于生活，服务于生活，从而提高学习的积极性。
[教学重点、难点]
重点：理清方程、函数、不等式之间的联系。
难点：实际问题中一次函数与方程（组）的关系的运用。
［教与学互动设计］
第二课时
【类似性问题】 1. C
2. D 【解析】由2l 知小颖的速度为
4.8
1.6
=3 (km/h). 由1l 知小萍的速度为 4.82.8 1.6 =4.8
1.2
=4(km/h).
3. ①②③
4. 解:(1)设y=kx+b.由题意,得2008k+b=4,2010k+b=6,解得k=1,b=-2004,∴y=x-2004.
(2)当x=2011时,y=2011-2004=7.∴该市2011年因“限塑令”而减少的塑料消耗量约为7万吨.
5. 解:(1)y=0.4x(x ≥0) (2)y=0.15x+200(x ≥0)
由图像可知,当每月复印页数在1200左右,应选择乙复印社更合算.
6. (1)设直线AB的函数解析式为y=kx+b.
依题意,得A(1,0),B(0,2).
∴0=k+b,
2=0+b,解得k=-2,
b=2,
∴直线AB的函数解析式为y=-2x+2.
当0≤y≤2时,自变量x的取值范围是0≤x≤1.
(2)如答图所示,线段BC即为所求.增大.
1. A
2. B【解析】当0≤x≤4时，y=0；当4＜x≤8时，y=1
2
×4×（x-4）=2x-8；当8＜x≤12
时，y=1
2
×4×4=8；当12＜x≤16时，y=
1
2
×4×（16-x）=32-2x，故选B.
3. x≥1【解析】把(a,2)代入y=x+1,得a+1=2,∴a=1.故x+1≥mx+n的解集是x≥1.
4. 解:工厂每千度电产生利润y(元/千度)与电价x(元/千度)的函数解析式为:y=kx+b,该函数图象过点(0,300),(500,200),
∴200=500k+b,
300=b,解得k=
1 5 -,
b=300,
∴y=
1
5
-x+300（x≥0）.
当电价x=600元/千度时，该工厂消耗每千度电产生利润y=-15×600+300=180（元/千度）.
5. 解:(1)15.4
(2)由图可得10吨内每吨2.2元,当y=19.8时,知x＜10,∴x=19.8×10
22
=9;当x≥10时,设y与
x的关系为:y=kx+b,可知,当x=10时,y=22;x=20时,y=57,解得k=3.5,b=-13,∴y与x之间的函数关系式为y=3.5x-13;∴当x=29时,知x＞10,有29=3.5x-13,解得x=12,∴四月份比三月份节约用水12-9=3(吨).
6. 解:(1)300020
(2)当50≤x≤80时,设y与x的函数关系式为y=kx+b.根据题意,当x=50时,y=1950;当x=80时,y=3000.
所以1950=50k+b，
3000=80k+b，解得k=35,
b=200,
所以,y与x的函数关系式为y=35x+200.
(3)缆车到山顶的路线长为3000÷2=1500(m),缆车到达终点所需时间为1500÷150=10(min). 小颖到达缆车终点时,小亮行走的时间为10+50=60(min).
把x=60代入y=35x+200,得y=35×60+200=2300.
所以,当小颖到达缆车终点时,小亮离缆车终点的路程是3000-2300=700(m)。