备战2017高考数学(精讲+精练+精析)专题8.2点、直线、平面平行与垂直的判定与性质试题理(含解析

专题8.2 点、直线、平面平行与垂直判定与性质
【三年高考】
1. 【2021高考浙江理数】互相垂直平面αβ，交于直线l .假设直线m ，n 满足,m n αβ∥⊥， 那么〔 〕 A ．m ∥l B ．m ∥n C ．n ⊥l D ．m ⊥n 【答案】C 【解析】由题意知,l l α
ββ=∴⊂，,n n l β⊥∴⊥．应选C ．
2．【2021高考新课标2理数】 ,αβ是两个平面，,m n 是两条直线，有以下四个命题： 〔1〕如果,,//m n m n αβ⊥⊥，那么αβ⊥.〔2〕如果,//m n αα⊥，那么m n ⊥.
〔3〕如果//,m αβα⊂，那么//m β.〔4〕如果//,//m n αβ，那么m 与α所成角和n 与β ． (填写所有正确命题编号〕 【答案】②③④
④.
3．【2021高考江苏卷】如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 中点，点F 在侧棱B 1B 上，且
11B D A F ⊥ ，1111AC A B ⊥.
求证：〔1〕直线DE ∥平面A 1C 1F ； 〔2〕平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F .
4．【2021高考新课标1卷】如图,在以A ,B ,C ,D ,E ,F 为顶点五面体中,面ABEF 为正方形,AF =2FD ,
90AFD ∠=,且二面角D -AF -E 与二面角C -BE -F 都是60．
〔I 〕证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ； 〔II 〕求二面角E -BC -A 余弦值．
【解析】〔I 〕由可得F DF A ⊥,F F A ⊥E ,所以F A ⊥平面FDC E ．又F A ⊂平面F ABE ,故平面F ABE ⊥平面FDC E ．
C
A
B
D
E
F
5．【2021高考新课标3理数】如图，四棱锥P ABC -中，PA ⊥地面ABCD ，AD
BC ，
3AB AD AC ===，4PA BC ==，M 为线段AD 上一点，2AM MD =，N 为PC 中点．
〔I 〕证明MN
平面PAB ；
〔II 〕求直线AN 与平面PMN 所成角正弦值.
【解析】〔Ⅰ〕由得，取BP 中点T ，连接TN AT ,，由N 为PC 中点知BC TN //，.又BC AD //，故TN AM ，四边形AMNT 为平行四边形，于是AT MN //.因为⊂AT 平面PAB ，⊄MN 平面PAB ，所以//MN 平面
PAB .
〔Ⅱ〕取BC 中点E ，连结AE ，由AC AB =得BC AE ⊥，从而AD AE ⊥
，且
5)2
(
2
222=-=-=
BC AB BE AB AE .以A 为坐标原点，AE 方向为x 轴正方向，建立如下图空间直角坐标系xyz A -，由题意知，)4,0,0(P ，)0,2,0(M ，)0,2,5(C ，，(0,2,4)PM =-，，.设(,,)n x y z =为平面PMN 法向量，那么，即，可取(0,2,1)n =，于是||85
|cos ,|25||||
n AN n AN n AN ⋅<>=
=. 6. 【2021 高考安徽，理5】m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，那么以下命题正确是〔 〕 〔A 〕假设α，β垂直于同一平面，那么α与β平行 〔B 〕假设m ，n 平行于同一平面，那么m 与n 平行
〔C 〕假设α，β不平行，那么在α内不存在与β平行直线 〔D 〕假设m ，n 不平行，那么m 与n 不可能垂直于同一平面 【答案】D
7. 【2021 高考福建，理7】假设,l m 是两条不同直线，m 垂直于平面α，那么“l m ⊥ 〞是“//l α 〔 〕
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 【答案】B
【解析】假设l m ⊥，因为m 垂直于平面α，那么//l α或l α⊂；假设//l α，又m 垂直于平面α，那么
l m ⊥，所以“l m ⊥ 〞是“//l α 必要不充分条件，应选B ．
8.【2021 江苏高考，16】如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，BC AC ⊥，1CC BC =，设1AB 中点为D ，
E BC C B =11 .求证：〔1〕C C AA DE 11//平面； 〔2〕11AB BC ⊥.
9.【2021 高考四川，理18】一个正方体平面展开图及该正方体直观图示意图如下图，在正方体中，设BC 中点为M ，GH 中点为N
〔1〕请将字母,,F G H 标记在正方体相应顶点处〔不需说明理由〕 〔2〕证明：直线//MN 平面BDH 〔3〕求二面角A EG M --余弦值.
【解析】〔1〕点F 、G 、H 位置如下图.
A
B C
D E
A 1
B 1
C 1
M
D
C A
B
E
F
H G
O
M
D
C
A
B E
F
H G
N O
M D
C
A
B
E
F
H
G
P K N
10. 【2021高考广东卷理第7题】假设空间中四条直线两两不同直线1l 、2l 、3l 、4l ，满足12l l ⊥，23//l l ，
34l l ⊥，那么以下结论一定正确是〔 〕
A.14l l ⊥
B.14//l l
C.1l 、4l 既不平行也不垂直
D.1l 、4l 位置关系不确定 【答案】D
【解析】如以下图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，取1AA 为2l ，1BB 为3l ，取AD 为1l ，BC 为4l ，
D 1
C 1
B 1
A 1
D
C
B
A
14//l l ；取AD 为1l ，AB 为4l ，那么14l l ⊥；取AD 为1l ，11A B 为4l ，那么1l 与4l 异面，因此1l 、4l 位置关
系不确定，应选D.
11.【2021辽宁高考理第4题】m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，以下说法正确是〔 〕
A ．假设//,//,m n αα那么//m n
B ．假设m α⊥，n α⊂，那么m n ⊥
C ．假设m α⊥，m n ⊥，那么//n α
D ．假设//m α，m n ⊥，那么n α⊥
【答案】B
12.【2021高考江苏第16题】如图在三棱锥-P ABC 中，,,D E F 分别为棱,,PC AC AB 中点，
,6,8,5PA AC PA BC DF ⊥===，
求证〔1〕直线//PA 平面DEF ； 〔2〕平面BDE ⊥平面ABC .
B
【三年高考命题回忆】
纵观前三年各地高考试题,始终把直线与直线、直线与平面、平面与平面平行与垂直性质和判定作为考察重点，且线线垂直判定、线面垂直判定、面面垂直判定与性质、是高考热点，在难度上也始终以中等偏难为主，而直线与平面平行判定，以及平面与平面平行判定高考大题全国卷中很少涉及，而在小题中考察，主要考察是对概念，定理理解与运用.【2021年高考复习建议与高考命题预测】
由于在新课标教材中将立体几何要求进展了降低，重点在对图形及几何体认识上，实现平面到空间转化，是知识深化和拓展重点，因而在这局部知识点上命题，将是重中之重.高考对这局部知识考察侧重以下几个方面： 1．从命题形式来看，涉及立体几何内容命题形式最为多变. 除保存传统“四选一〞选择题型外，还尝试开发了“多项选择填空〞、“完型填空〞、“构造填空〞等题型，并且这种命题形式正在不断完善和翻新；解答题那么设计成几个小问题，此类考题往往以多面体为依托，第一小问考察线线、线面、面面位置关系，后面几问考察空间角、空间距离、面积、体积等度量关系，其解题思路也都是“作——证——求〞，强调作图、证明和计算相结合.2．从内容上来看，主要是：考察直线和平面各种位置关系判定和性质，这类试题一般难度不大，多为选择题和填空题与解答题第一步； 3．从能力上来看，着重考察空间想象能力，即空间形体观察分析和抽象能力，要求是“四会〞：①会画图——根据题设条件画出适合题意图形或画出自己想作辅助线(面)，作出图形要直观、虚实清楚；②会识图——根据题目给出图形，想象出立体形状和有关线面位置关系；③会析图——对图形进展必要分解、组合；④会用图——对图形或其某局部进展平移、翻折、旋转、展开或实行割补术；考察逻辑思维能力、运算能力和探索能力.从高考试题来看，线线垂直判定、线面垂直判定、面面垂直判定与性质、线面角等是高考热点，题型既有选择题、填空题又有解答题，难度中等偏高，客观题主要考察线面垂直、面面垂直判定与性质，考察线面角概念及求法；而主观题不仅考察以上内容，同时还考察学生空间想象能力、逻辑推理能力以及分析问题、解决问题能力．直线与直线、直线与平面、平面与平面平行性质和判定作为考察重点，题型既有选择题、填空题又有解答题，在难度上也始终以中等偏难为主，在新课标教材中将立体几何要求进展了降低，重点在对图形及几何体认识上，实现平面到空间转化，示知识深化和拓展重点，因而在这局部知识点上命题，将是重中之重.预测2021年高考，将以多面体为载体，第一问以线面垂直，面面垂直为主要考察点，第二问可能给出一个角，求点位置或设置一个探索性命题，突出考察空间想象能力和逻辑推理能力，以及分析问题、解决问题能力．复习建议;证明空间线面平行与垂直，是必考题型，解题时要由想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证明思路.
【2021年高考考点定位】
高考始终把直线与直线、直线与平面、平面与平面平行与垂直性质和判定作为考察重点.〕考题既有选择题，填空题，又有解答题；在考题上特点为：热点问题为平面根本性质，考察线线、线面和面面关系论证，此类题目将以客观题和解答题第一步为主，考察逻辑思维能力、运算能力和探索能力. 【考点1】空间点、直线、平面之间位置关系 【备考知识梳理】
1．平面概述：〔1〕平面两个特征：①无限延展 ②平〔没有厚度〕；〔2〕平面画法：通常画平行四边形来表示平面；〔3〕平面表示：用一个小写希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β；用表示平行四边形两个相对顶点字母表示，如平面AC. 2．三公理三推论:
公理1：假设一条直线上有两个点在一个平面内，那么该直线上所有点都在这个平面内： A l ∈,B l ∈,A α∈,B α∈⇒α⊂l
公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点集合是一条过这个公共点直线.
公理3：经过不在同一直线上三点，有且只有一个平面.推论一：经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面.推论二：经过两条相交直线,有且只有一个平面.推论三：经过两条平行直线,有且只有一个平面 3．空间直线:〔1〕空间两条直线位置关系：相交直线——有且仅有一个公共点；平行直线——在同一平面内，没有公共点；异面直线——不同在任何一个平面内，没有公共点.相交直线和平行直线也称为共面直线.异面直线画法常用有以下三种：
a
b
a b
a b
β
α
α
α
〔2〕平行直线：
在平面几何中，平行于同一条直线两条直线互相平行，这个结论在空间也是成立.即公理4：平行于同一条直线两条直线互相平行.
〔3〕异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点直线，和这个平面内不经过此点直线是异面直线.推理模式：
,,,A B a B a ααα∉∈⊂∉⇒AB 与a 是异面直线.
异面直线所成角：①定义：设,a b 是两条异面直线，经过空间中任一点O 作直线'a a ，'b b ，把'a 与'b 所成锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成角(或夹角)．②范围：. 4．直线和平面位置关系
〔1〕直线在平面内〔无数个公共点〕； 〔2〕直线和平面相交〔有且只有一个公共点〕；
〔3〕直线和平面平行〔没有公共点〕——用两分法进展两次分类. 它们图形分别可表示为如下，符号分别可表示为a α⊂，a
A α=，//a α.
a
α
a
A
α
a
α
5．两个平面位置关系有两种：两平面相交〔有一条公共直线〕、两平面平行〔没有公共点〕 【规律方法技巧】 1．求异面直线所成角方法
(1)平移法：即选点平移其中一条或两条直线使其转化为平面角问题，这是求异面直线所成角常用方法． (2)补形法：即采用补形法作出平面角． 2．证明共面问题两种途径
(1)首先由条件中局部线(或点)确定一个平面，再证其他线(或点)在此平面内； (2)将所有条件分为两局部，然后分别确定平面，再证明这两个平面重合．
3．证明共线问题两种途径：(1)先由两点确定一条直线，再证其他点都在这条直线上； (2)直接证明这些点都在同一条特定直线上．
4．证明共点问题常用方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点． 【考点针对训练】
1. 【2021届湖南师大附中高三上入学摸底】如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1各条棱长都相等，那么异面直线AB 1和A 1C 所成角余弦值大小为
A. B ．－ C ． D ．－ 【答案】A
2. 【2021年湖南师大附中高三三模】如图，假设Ω是长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1被平面EFGH 截去几何体EFGHB 1C 1后得到几何体，其中E 为线段A 1B 1上异于B 1点，F 为线段BB 1上异于B 1点，且EH ∥A 1D 1，那么以下结论中不正确是〔 〕
A ．EH ∥FG
B ．四边形EFGH 是矩形
C ．Ω是棱柱
D ．四边形EFGH 可能为梯形
【答案】D
【解析】假设平面EFGH 法向量为n ，那么有FG n EH n ⊥⊥,，又因为1111////C B D A EH ，所以11C B n ⊥，GF C B GF GF C B C B 111111面，面∈∈，且n 不是面GF C B 11法向量，由11C B n ⊥，FG n ⊥可知，11//C B FG ，那么EH FG EH FG =,//，可见四边形FG E H 是矩形，所以A ，B ，C 选项都正确，正确选项为D.
【考点2】直线与平面、平面与平面平行判定与性质
【备考知识梳理】
1. 线面平行判定定理：如果不在一个平面内一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.推理模式：,,////a b a b a ααα⊄⊂⇒． b
a
b a ααP P
定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.推理模式：//,,//a a b a b αβαβ⊂=⇒．
a
b
βα
3.两个平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于一个平面，那么这两个平面平行.定理
模式：//////a b a b P a b ββαβ
αα⊂⎫⎪⊂⎪⎪=⇒⎬⎪⎪⎪⎭
推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内两条相交直线，那么这两个平面互相平行. 推论模式：,,,,,,//,////a b P a b a b P a b a a b b ααββαβ'''''''=⊂⊂=⊂⊂⇒
4.两个平面平行性质〔1〕如果两个平面平行，那么其中一个平面内直线平行于另一个平面；〔2〕如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们交线平行.
易错点：1．直线与平面平行判定中易无视“线在面内〞这一关键条件．
2．面面平行判定中易无视“面内两条相交线〞这一条件．
3．如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，易误认为这两个平面平行，实质上也可以相交．
【规律方法技巧】
1. 证明线线平行方法：〔1〕平行公理；〔2〕线面平行性质定理；〔3〕面面平行性质定理；〔4〕向量平行.要注意线面、面面平行性质定理成立条件.
2.线面平行证明方法：〔1〕线面平行定义；〔2〕线面平行判断定理；〔3〕面面平行性质定理；〔4〕向量法：证明这条直线方向向量和这个平面内一个向量互相平行；证明这个直线方向向量和这个平面法向量相互垂直.
线面平行证明思考途径：线线平行⇔线面平行⇔面面平行. 证明直线与平面平行关键是设法在平面内找到一条与直线平行直线；利用几何体特征，合理利用中位线定理、线面平行性质，或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行；
3.面面平行证明方法：①反证法:假设两个平面不平行，那么它们必相交，在导出矛盾；②面面平行判断定理；③利用性质:垂直于同一直线两个平面平行；平行于同一平面两个平面平行；④平行于同一个平面两个
平面平行.//,////αβαγβγ⇒；⑤向量法：证明两个平面法向量平行.
4.两个平面平行性质有五条：
〔1〕两个平面平行，其中一个平面内任一直线必平行于另一个平面，这个定理可简记为：“面面平行，那么线面平行〞.用符号表示是：αβ，a α，那么a β.
〔2〕如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们交线平行，这个定理可简记为：“面面平行，那么线线平行〞.用符号表示是：αβ，a αγ=，b βγ=，那么a b .
〔3〕一条直线垂直于两平行平面中一个平面,它也垂直于另一个平面.这个定理可用于证线面垂直.用符号表示是：αβ，a α⊥，那么a β⊥.
〔4〕夹在两个平行平面间平行线段相等
〔5〕过平面外一点只有一个平面与平面平行
5.证明空间线面平行需注意以下几点：①由想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路.②立体几何论证题解答中，利用题设条件性质适当添加辅助线〔或面〕是解题常用方法之一.③明确何时应用判定定理，何时应用性质定理，用定理时要先申明条件再由定理得出相应结论.关键在于对题目中条件思考和分析，掌握做此类题一般技巧和方法，以及如何巧妙进展平行之间转化.
6．“升降维〞思想
直线是一维，平面是二维，立体空间是三维.运用降维方法把立体空间问题转化为平面或直线问题进展研究和解题，可以化难为易，化新为旧，化未知为，从而使问题得到解决.运用升维方法把平面或直线中概念、定义或方法向空间推广，可以立易解难，温旧知新，从探索未知，是培养创新精神和能力，是“学会学习〞重要方法.平面图形翻折问题分析与解决，就是升维与降维思想方法不断转化运用过程.
7．反证法：反证法是立体几何中常用间接证明方法.其步骤是：①否认结论；②进展推理；③导出矛盾；④肯定结论．用反证法证题要注意：①宜用此法否；②命题结论反面情况有几种.
【考点针对训练】
1. 【2021届辽宁大连八中、二十四中高三模拟】四棱锥ABCD S -中，底面ABCD 为平行四边形， 45=∠ABC ，2=AB ，22=BC ，SC SB =.
〔1〕设平面SCD 与平面SAB 交线为l ，求证：AB l //；
〔2〕求证：BC SA ⊥.
2.【2021届河南省新乡卫辉一中高考押题一】Rt ABC ∆中，
03,4,90,2,2AB BC ABC AE EB AF FC ==∠===，将AEF ∆沿EF 折起，使A 变到A '，使平面A EF '⊥平面EFCB ．
〔1〕试在线段A C '上确定一点H ，使//FH 平面A BE '；
〔2〕试求三棱锥A EBC '-外接球半径与三棱锥A EBC '-外表积．
【考点3】直线与平面、平面与平面垂直判定与性质
【备考知识梳理】
1．线线垂直
判断线线垂直方法：所成角是直角，两直线垂直；垂直于平行线中一条，必垂直于另一条.
三垂线定理：在平面内一条直线，如果它和这个平面一条斜线射影垂直，那么它也和这条斜线垂直. a
P
αO
A
三垂线定理逆定理：在平面内一条直线，如果和这个平面一条斜线垂直，那麽它也和这条斜线射影垂直.推
理模式： ,,PO O PA A a AO a a AP αααα⊥∈⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⊥⎭
.
注意：⑴三垂线指,,PA PO AO 都垂直α内直线a 其实质是：斜线和平面内一条直线垂直判定和性质定理⑵要考虑a 位置，并注意两定理交替使用.
2．线面垂直：定义：如果一条直线l 和一个平面α相交，并且和平面α内任意一条直线都垂直，我们就说直线l 和平面α互相垂直其中直线l 叫做平面垂线，平面α叫做直线l 垂面,直线与平面交点叫做垂足.直线l 与平面α垂直记作：l α⊥.
直线与平面垂直判定定理：如果一条直线和一个平面内两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.
直线和平面垂直性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行.
3．面面垂直
两个平面垂直定义：相交成直二面角两个平面叫做互相垂直平面.
两平面垂直判定定理：〔线面垂直⇒面面垂直〕
如果一个平面经过另一个平面一条垂线，那么这两个平面互相垂直.
两平面垂直性质定理：〔面面垂直⇒线面垂直〕假设两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线直线垂直于另一个平面.
【规律方法技巧】
1.证明线线垂直方法：〔1〕异面直线所成角为直角；〔2〕线面垂直性质定理；〔3〕面面垂直性质定理；〔4〕三垂线定理和逆定理；〔5〕勾股定理；〔6〕向量垂直.要注意线面、面面垂直性质定理成立条件.解题过程中要特别体会平行关系性质传递性，垂直关系多样性.
2.线面垂直证明方法：〔1〕线面垂直定义；〔2〕线面垂直判断定理；〔3〕面面垂直性质定理；〔4〕向量法：证明这个直线方向向量和这个平面法向量相互平行.
线面垂直证明思考途径：线线垂直⇔线面垂直⇔面面垂直.
3.面面垂直证明方法：①定义法；②面面垂直判断定理；③向量法：证明两个平面法向量垂直.
解题时要由相性质，由求证想判定，即分析法和综合法相结合寻找证明思路，关键在于对题目中条件思考和分析，掌握做此类题一般技巧和方法，以及如何巧妙进展垂直之间转化.
4.证面面垂直，关键是考虑证哪条线垂直哪个面.这必须结合条件中各种垂直关系充分发挥空间想象综合考虑；条件中告诉我们某种位置关系，就要联系到相应性质定理.两平面互相垂直，我们就要两平面互相垂直性质定理；在垂直关系证明中，线线垂直是问题核心，可以根据平面图形通过计算方式〔如勾股定理〕证明线线垂直，也可以根据垂直关系证明线线垂直，其中要特别重视两个平面垂直性质定理，这个定理是两个平面垂直，结论是线面垂直．
5.证明线面垂直，就考虑证明直线垂直平面内两条相交直线；而证明异面线线垂直，很多题都要通过线面
垂直来证明；对相交直线垂直证明，一般考虑用平面几何里方法.常见有以下几种，假设是等腰三角形，那么底边上中线与底边垂直；假设是锥形、菱形〔正方形〕，那么对角线互相垂直；假设是矩形，那么邻边互相垂直；有时还用到以下结论：如以下图，在矩形ABCD 中，假设，那么AF DE ⊥； F C
D A B
E
假设告诉了线段长度，或者是告诉了边与边之间关系，那么用勾股定理.
6．在解决直线与平面垂直问题过程中，要注意直线与平面垂直定义，判定定理和性质定理联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直互相转化．注意以下几点：①由想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路.②立体几何论证题解答中，利用题设条件性质适当添加辅助线〔或面〕是解题常用方法之一.③明确何时应用判定定理，何时应用性质定理，用定理时要先申明条件再由定理得出相应结论.④三垂线定理及其逆定理在高考题中使用频率最高，在证明线线垂直时应优先考虑.应用时常需先认清所观察平面及它垂线，从而明确斜线、射影、面内直线位置，再根据定理由两直线垂直得出新两直线垂直.另外通过计算证明线线垂直也是常用方法之一.
7．面面垂直性质定理是作辅助线一个重要依据．我们要作一个平面一条垂线，通常是先找这个平面一个垂面，在这个垂面中，作交线垂线即可．每一垂直判定就是从某一垂直开场转向另一垂直最终到达目.例如：有两个平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.
8.易错点：〔1〕证明线面垂直时，易无视面内两条线为相交线这一条件．〔2〕面面垂直判定定理中，直线在面内且垂直于另一平面易无视．〔3〕面面垂直性质定理在使用时易忘面内一线垂直于交线而盲目套用造成失误．
【考点针对训练】
1. 【2021届海南省农垦中学高三第九次月考】如图，在四棱锥ABCD P -中，
CD BC CD AB CD BC AB ⊥===,//,4,2,1，AB PA ABCD PAB ⊥⊥，平面平面．
〔1〕求证：PAC BD 平面⊥；
〔2〕点F 在棱PD 上，且，，若平面5//=PA FAC PB 求三棱锥D F C -A 体积D F C V -A ．
〔2〕作FO MO M AD FM ,，连接于⊥,由〔1〕知：ABCD PAD 平面平面⊥，
AD ABCD PAD =⋂平面平面,PA FM ADC FM //，平面⊥∴,
FO FAC PBD PBD PB FAC PB =⋂⊂平面，平面平面，平面// ,
PAB FMO PB FO 平面平面//,//∴∴,54,//===∴DB DO DA DM PA FM AB MO ,又4,5=∴=FM PA ,42
12-=⋅-⋅+==∆∆DC AB BC DC AB S S S ABC ABCD ADC 梯形, 2.【2021届广西柳州市高三下4月模拟】如图，在三棱锥ABC P -中，PAB ∆和CAB ∆都是以AB 为斜边等腰直角三角形.
〔1〕求证：PC AB ⊥；
〔2〕假设22==PC AB ，求三棱锥ABC P -体积.
【应试技巧点拨】
1.线线平行与垂直证明
证明线线平行方法：〔1〕平行公理；〔2〕线面平行性质定理；〔3〕面面平行性质定理；〔4〕向量平行.要注意线面、面面平行性质定理成立条件. 证明线线垂直方法：〔1〕异面直线所成角为直角；〔2〕线面垂直性质定理；〔3〕面面垂直性质定理；〔4〕三垂线定理和逆定理；〔5〕勾股定理；〔6〕向量垂直.要注意线面、面面垂直性质定理成立条件.解题过程中要特别体会平行关系性质传递性，垂直关系多样性.
线面平行与垂直位置关系确定，也是高考考察热点，在小题中考察关系确定，在解答题考察证明细节. 线面平行证明方法：〔1〕线面平行定义；〔2〕线面平行判断定理；〔3〕面面平行性质定理；〔4〕向量法：证明这条直线方向向量和这个平面内一个向量互相平行；证明这个直线方向向量和这个平面法向量相互垂直.
线面平行证明思考途径：线线平行⇔线面平行⇔面面平行.
线面垂直证明方法：〔1〕线面垂直定义；〔2〕线面垂直判断定理；〔3〕面面垂直性质定理；〔4〕向量法：证明这个直线方向向量和这个平面法向量相互平行.
线面垂直证明思考途径：线线垂直⇔线面垂直⇔面面垂直.
〔1〕面面平行证明方法：①反证法:假设两个平面不平行，那么它们必相交，在导出矛盾；②面面平行判断定理；③利用性质:垂直于同一直线两个平面平行；平行于同一平面两个平面平行；④向量法：证明两个平面法向量平行.
〔2〕面面垂直证明方法：①定义法；②面面垂直判断定理；③向量法：证明两个平面法向量垂直.
解题时要由相性质，由求证想判定，即分析法和综合法相结合寻找证明思路，关键在于对题目中条件思考和分析，掌握做此类题一般技巧和方法，以及如何巧妙进展垂直之间转化.
二年模拟
1. 【2021届河南省郑州一中高三考前冲刺五】βα,是两个不同平面，m ，n 是两条不同直线给出以下命题： ①假设,,βα⊂⊥m m 那么βα⊥；②假设ββαα∥∥n m n m ,,,⊂⊥，那么βα∥；③如果n m n m ,,,αα⊄⊂是异面直线，那么n 与α相交；④假设,,,βαβα⊄⊄=n n m n m ，且∥ 那么n ∥α且β∥n .
其中真命题是〔 〕
A ．①②
B ．②③
C ．③④
D ．①④
【答案】D
2. 【2021届浙江省义乌市5月模拟】三个平面,,αβγ，假设βγ⊥，α与γ相交但不垂直，,a b 分别为,αβ内直线，那么以下结论正确是〔 〕
A ．,a ααγ∃⊂⊥
B ．,//a ααγ∃⊂
C ．,b b βγ∀⊂⊥
D ．,//a b βγ∀⊂
【答案】B
【解析】很容易运用反例验证答案A, C, D 都是不正确,故应选答案B.
3. 【2021届浙江省杭州市学军中学高三5月模拟】直线,l m 和平面α，那么以下结论正确是〔 〕
A ．假设,l m m α⊂∥,那么l α∥
B ．假设,l m αα⊥⊂,那么l m ⊥
C ．假设,l m l α⊥⊥,那么m α⊥
D ．假设,l m αα⊂∥,那么l m ∥
【答案】B
【解析】假设,l m m α⊂∥,那么l α∥或l α⊂；假设,l m αα⊥⊂,那么l m ⊥；假设,l m l α⊥⊥,那么m α⊥或m α⊂；假设,l m αα⊂∥,那么l m ∥或,l m 异面；因此选B.
4. 【2021届福建省厦门市高三5月月考】设,m n 是两条不同直线，,αβ是两个不同平面，那么以下命题正确是〔 〕
①假设,m ααβ⊥⊥，那么//m β；②假设,//,m n ααββ⊥⊂，那么m n ⊥；
③,,//m n m n αβ⊂⊂，那么//αβ；④假设,,n n m αββ⊥⊥⊥，那么m α⊥.
A ．①②
B ．③④
C ．①③
D ．②④
【答案】D
【解析】对于①可以有β⊂m ,故不成立；关于③可以有βα ，所以不成立,故应选D.
5. 【2021届山东省潍坊一中高三下三轮冲刺模拟二】,αβ是两个不同平面，,,a b c 是三条不同直线，那么以下条件中，是//a b 充分条件个数为〔 〕
①//,,//a b αβαβ⊂； ②//a c 且//b c ；③,,,//,//c a b a b αβαββα=⊂⊂；
④a c ⊥且b c ⊥. A ．2 B ．0 C ．3 D ．1
【答案】A
6. 【2021届云南昆明高三适应性检测三】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，,M N 分别是1111,A D A B 中点，过直线BD 平面α平面AMN ，那么平面α截该正方体所得截面面积为〔 〕。