24.1.4 .2圆内接四边形课件 2024-2025学年人教版数学九年级上册
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求证：∠FGD＝∠ADC.
证明：∵四边形ACDG内接于⊙O，
∴∠FGD＝∠ACD.
又∵AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，
∴AB垂直平分CD，∴AC＝AD，
∴∠ADC＝∠ACD，
∴∠FGD＝∠ADC.
随堂练习
8. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点.若∠B=110°，
求∠ADE的度数.
随堂练习
5. 如图，圆内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E，F，且
∠A=55°，∠E=30°，则∠F=
解析：∵∠A=55°，∠E=30°，
∴∠EBF=∠A+∠E=85°，
∵∠A+∠BCD=180°，
∴∠BCD=180°﹣55°=125°，
∵∠BCD=∠F+∠CBF，
∴∠F=125°﹣85°=40°．
解析：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠B＋∠ADC＝180°.
∵四边形OABC为平行四边形，
∴∠AOC＝∠B.
知识讲解
知识点 圆内接四边形的性质
【例 1】如图，点A，B，C，D在⊙O上，点O在∠D的内部，四边形
OABC为平行四边形，则∠OAD＋∠OCD＝________度．
又由题意可知∠AOC＝2∠ADC.
∵∠BAE=∠CBD，
∴∠1=∠2．
随堂练习
10. 如图，四边形ABCD的顶点都在⊙O上，BD平分∠ADC，且BC=CD.
求证：AB=CD.
证明：∵BD平分∠ADC，
∴∠ABD=∠CDB，
∴ AB = BC
∴AB=BC，
∵BC=CD，
∴AB=CD.
课后小结
圆内接多边形
定义
多边形外接圆
圆内接四边形
∴∠ADC＝180°÷3＝60°.
连接OD，可得AO＝OD，CO＝OD.
∴∠OAD＝∠ODA，∠OCD＝∠ODC.
知识讲解
知识点 圆内接四边形的性质
【例 1】如图，点A，B，C，D在⊙O上，点O在∠ADC的内部，四边形
60
OABC为平行四边形，则∠OAD＋∠OCD＝________度．
∴∠OAD＋∠OCD＝∠ODA＋∠ODC＝
知识讲解
知识点 圆内接四边形的性质
圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补.
方法总结：圆内接四边形的性质是推导角相等关系的重要依据．
知识讲解
知识点 圆内接四边形的性质
【例 1】如图，点A，B，C，D在⊙O上，点O在∠D的内部，四边形
OABC为平行四边形，则∠OAD＋∠OCD＝________度．
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=39°+39°=78°.
随堂练习
9. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC=BC=DC．
（2）求证：∠1=∠2．
（2）证明：∵EC=BC，
∴∠CEB=∠CBE，
∵∠CEB=∠2+∠BAE，∠CBE=∠1+∠CBD，
∴∠2+∠BAE=∠1+∠CBD，
解析：∵ 四边形ABCD内接于⊙O ，
∴ ∠B+∠ADC=180°，
∴ ∠ADC=180°-∠B=180°-110°=70° ，
∵ ∠ADE+∠ADC=180°，
∴ ∠ADE=180°-∠ADC=180°-70°=110°.
随堂练习
9. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC=BC=DC．
4. 如图，在⊙O中，若圆心角∠AOB=100°，C是
AB 上一点，则
∠ACB等于( C )
A．80°
B．100°
C．130°
D．140°
解析：设点D是优弧AB上一点（不与A、B重合），
连接AD、BD，
则∠ADB= ∠AOB=50°，
∵四边形ADBC内接于⊙O，
∴∠C=180°-∠ADB=130°．
40°
．
随堂练习
6. 如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，连接AC、BO，已知
∠CAB=36°，∠ABO=30°，则∠D=
解析：连接OC，如图，
∠BOC=2∠CAB=2×36°=72°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠OBC=
（180°﹣∠BOC）
= （180°﹣72°）=54°，
∠ADC＝60°.
知识讲解
知识点 圆内接四边形的性质
【例 2】如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交
于点E.若BC＝BE.求证：△ADE是等腰三角形．
点拨：由已知易得∠E＝∠BCE，
由同角的补角相等，得∠A＝∠BCE，
则∠E＝∠A.
知识讲解
知识点 圆内接四边形的性质
【例 2】如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交
于点E.若BC＝BE.求证：△ADE是等腰三角形．
证明：∵BC＝BE，∴∠E＝∠BCE.
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A＋∠DCB＝180°.
∵∠BCE＋∠DCB＝180°，
∴∠A＝∠BCE.
知识讲解
知识点 圆内接四边形的性质
【例 2】如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交
数学 人教版
九年级上册
第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
24.1.4 圆周角
第2课时 圆内接四边形
目录
学习目标
2
情境导入
知识讲解
4
1
3
随堂练习
课后小结
5
学习目标
1．掌握圆内接多边形的有关概念及性质．（重点）
2．运用圆内接多边形的有关概念及性质解决问题．（难点）
情境导入
我们知道，任意三角形都有外接圆.那么任意正方形有外接圆吗？
为什么？任意矩形是否有外接圆？
我们从问题的反面入手：如果一个四边形内接于圆，那么这样的
四边形有什么特征？
知识讲解
知识点 圆内接四边形的性质
定义：如果一个多边形所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆
内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.
如图，四边形ADCB为⊙O的内接四边形，⊙O为四边形ABCD的外接圆.
的性质
圆补
于点E.若BC＝BE.求证：△ADE是等腰三角形．
∴∠A＝∠E.
∴AD＝DE.
∴△ADE是等腰三角形．
随堂练习
1．四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且∠A=110°，∠B=80°，则
∠C=
70° ，∠D= 100°.
随堂练习
2 ． ⊙O 的 内 接 四 边 形 ABCD 中 ， ∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3 ， 则
．
随堂练习
6. 如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，连接AC、BO，已知
∠CAB=36°，∠ABO=30°，则∠D=
∴∠ABC=∠OBA+∠OBC=
30°+54°=84°，
∵∠D+∠ABC=180°，
∴∠D=180°﹣84°=96°．
96° ．
随堂练习
7. 如图，AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，交⊙O于D，AF交⊙O于G.
（1）若∠CBD=39°，求∠BAD的度数；
（2）求证：∠1=∠2．
随堂练习
9. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC=BC=DC．
（1）若∠CBD=39°，求∠BAD的度数；
（1）解析：∵BC=DC，
∴∠CBD=∠CDB=39°，
∵∠BAC=∠CDB=39°，∠CAD=∠CBD=39°，
∠D=
90° .
随堂练习
3. 如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD＝120°，那么∠BCD
是( A )
A．120°
B．100°
C．80°
D．60°
随堂练习
4. 如图，在⊙O中，若圆心角∠AOB=100°，C是
∠ACB等于(
A．80°
AB 上一点，则
)
B．100°
C．130°
D．140°
随堂练习
证明：∵四边形ACDG内接于⊙O，
∴∠FGD＝∠ACD.
又∵AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，
∴AB垂直平分CD，∴AC＝AD，
∴∠ADC＝∠ACD，
∴∠FGD＝∠ADC.
随堂练习
8. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点.若∠B=110°，
求∠ADE的度数.
随堂练习
5. 如图，圆内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E，F，且
∠A=55°，∠E=30°，则∠F=
解析：∵∠A=55°，∠E=30°，
∴∠EBF=∠A+∠E=85°，
∵∠A+∠BCD=180°，
∴∠BCD=180°﹣55°=125°，
∵∠BCD=∠F+∠CBF，
∴∠F=125°﹣85°=40°．
解析：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠B＋∠ADC＝180°.
∵四边形OABC为平行四边形，
∴∠AOC＝∠B.
知识讲解
知识点 圆内接四边形的性质
【例 1】如图，点A，B，C，D在⊙O上，点O在∠D的内部，四边形
OABC为平行四边形，则∠OAD＋∠OCD＝________度．
又由题意可知∠AOC＝2∠ADC.
∵∠BAE=∠CBD，
∴∠1=∠2．
随堂练习
10. 如图，四边形ABCD的顶点都在⊙O上，BD平分∠ADC，且BC=CD.
求证：AB=CD.
证明：∵BD平分∠ADC，
∴∠ABD=∠CDB，
∴ AB = BC
∴AB=BC，
∵BC=CD，
∴AB=CD.
课后小结
圆内接多边形
定义
多边形外接圆
圆内接四边形
∴∠ADC＝180°÷3＝60°.
连接OD，可得AO＝OD，CO＝OD.
∴∠OAD＝∠ODA，∠OCD＝∠ODC.
知识讲解
知识点 圆内接四边形的性质
【例 1】如图，点A，B，C，D在⊙O上，点O在∠ADC的内部，四边形
60
OABC为平行四边形，则∠OAD＋∠OCD＝________度．
∴∠OAD＋∠OCD＝∠ODA＋∠ODC＝
知识讲解
知识点 圆内接四边形的性质
圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补.
方法总结：圆内接四边形的性质是推导角相等关系的重要依据．
知识讲解
知识点 圆内接四边形的性质
【例 1】如图，点A，B，C，D在⊙O上，点O在∠D的内部，四边形
OABC为平行四边形，则∠OAD＋∠OCD＝________度．
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=39°+39°=78°.
随堂练习
9. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC=BC=DC．
（2）求证：∠1=∠2．
（2）证明：∵EC=BC，
∴∠CEB=∠CBE，
∵∠CEB=∠2+∠BAE，∠CBE=∠1+∠CBD，
∴∠2+∠BAE=∠1+∠CBD，
解析：∵ 四边形ABCD内接于⊙O ，
∴ ∠B+∠ADC=180°，
∴ ∠ADC=180°-∠B=180°-110°=70° ，
∵ ∠ADE+∠ADC=180°，
∴ ∠ADE=180°-∠ADC=180°-70°=110°.
随堂练习
9. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC=BC=DC．
4. 如图，在⊙O中，若圆心角∠AOB=100°，C是
AB 上一点，则
∠ACB等于( C )
A．80°
B．100°
C．130°
D．140°
解析：设点D是优弧AB上一点（不与A、B重合），
连接AD、BD，
则∠ADB= ∠AOB=50°，
∵四边形ADBC内接于⊙O，
∴∠C=180°-∠ADB=130°．
40°
．
随堂练习
6. 如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，连接AC、BO，已知
∠CAB=36°，∠ABO=30°，则∠D=
解析：连接OC，如图，
∠BOC=2∠CAB=2×36°=72°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠OBC=
（180°﹣∠BOC）
= （180°﹣72°）=54°，
∠ADC＝60°.
知识讲解
知识点 圆内接四边形的性质
【例 2】如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交
于点E.若BC＝BE.求证：△ADE是等腰三角形．
点拨：由已知易得∠E＝∠BCE，
由同角的补角相等，得∠A＝∠BCE，
则∠E＝∠A.
知识讲解
知识点 圆内接四边形的性质
【例 2】如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交
于点E.若BC＝BE.求证：△ADE是等腰三角形．
证明：∵BC＝BE，∴∠E＝∠BCE.
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A＋∠DCB＝180°.
∵∠BCE＋∠DCB＝180°，
∴∠A＝∠BCE.
知识讲解
知识点 圆内接四边形的性质
【例 2】如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交
数学 人教版
九年级上册
第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
24.1.4 圆周角
第2课时 圆内接四边形
目录
学习目标
2
情境导入
知识讲解
4
1
3
随堂练习
课后小结
5
学习目标
1．掌握圆内接多边形的有关概念及性质．（重点）
2．运用圆内接多边形的有关概念及性质解决问题．（难点）
情境导入
我们知道，任意三角形都有外接圆.那么任意正方形有外接圆吗？
为什么？任意矩形是否有外接圆？
我们从问题的反面入手：如果一个四边形内接于圆，那么这样的
四边形有什么特征？
知识讲解
知识点 圆内接四边形的性质
定义：如果一个多边形所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆
内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.
如图，四边形ADCB为⊙O的内接四边形，⊙O为四边形ABCD的外接圆.
的性质
圆补
于点E.若BC＝BE.求证：△ADE是等腰三角形．
∴∠A＝∠E.
∴AD＝DE.
∴△ADE是等腰三角形．
随堂练习
1．四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且∠A=110°，∠B=80°，则
∠C=
70° ，∠D= 100°.
随堂练习
2 ． ⊙O 的 内 接 四 边 形 ABCD 中 ， ∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3 ， 则
．
随堂练习
6. 如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，连接AC、BO，已知
∠CAB=36°，∠ABO=30°，则∠D=
∴∠ABC=∠OBA+∠OBC=
30°+54°=84°，
∵∠D+∠ABC=180°，
∴∠D=180°﹣84°=96°．
96° ．
随堂练习
7. 如图，AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，交⊙O于D，AF交⊙O于G.
（1）若∠CBD=39°，求∠BAD的度数；
（2）求证：∠1=∠2．
随堂练习
9. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC=BC=DC．
（1）若∠CBD=39°，求∠BAD的度数；
（1）解析：∵BC=DC，
∴∠CBD=∠CDB=39°，
∵∠BAC=∠CDB=39°，∠CAD=∠CBD=39°，
∠D=
90° .
随堂练习
3. 如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD＝120°，那么∠BCD
是( A )
A．120°
B．100°
C．80°
D．60°
随堂练习
4. 如图，在⊙O中，若圆心角∠AOB=100°，C是
∠ACB等于(
A．80°
AB 上一点，则
)
B．100°
C．130°
D．140°
随堂练习