【精编Word版】广东省揭阳一中2013-2014学年高二下学期第一次阶段考试数学理试题Word版含答案

2013—2014学年度揭阳一中高二级第二学期阶段考试（一）
数学科试卷（理科）
一．选择题(每小题5分，共40分) 1．复数
1
2i
-+的虚部是（ ） A ．15- B ．15i - C ．15 D ．1
5i
2．设y=x-lnx ，则此函数在区间(0,1)内为( )
A ．单调递减
B ．有增有减
C ．单调递增
D ．不确定 3．曲线2
3y x x =+在点A (2,10)处的切线的斜率是( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7
4．()f x 在定义域内可导，其图象如左图所示，则导函数()y f x '=的图象可能是( )
5．若()ln(2)f x x b x =-++∞在(-1,+)上是减函数，则b 的取值范围是（ ）
A. [1,)+∞
B. (1,)+∞
C. (,1]-∞
D. (,1)-∞
6.一物体沿直线以速度()23v t t =-（t 的单位为:秒,v 的单位为:米/秒）的速度作变速直
线运动，则该物体从时刻t=0秒至时刻 t=5秒间运动的路程为 ( )
A.10米
B.
229 米 C.15米 D.2
25 米 7.设函数522
1)(2
3+--=x x x x f ，若对于任意[]2,1-∈x ，m x f ＜)
(恒成立，则实数m 的取值范围为( ) A ．),7(+∞
B ．),8(+∞
C ．
[),7+∞
D ．
[)8,+∞
8.若()f n 为2
1()n n N *
+∈的各位数字之和，如2
141197,19717+=++=则(14)17f =,
记1211()(),()(()),()(())k k f n f n f n f f n f n f f n +===k N *
∈则2010(8)f =( )
（A ）3； （B ）5 ； （C ）8； （D ）11
二．填空题（每小题5分，共30分） 9．函数()x
x
f x e e
-=+的导函数为 ．
10.
3
4
|2|x dx -+⎰
＝
11．复数(3)(1)i m i --+对应的点在第三象限内，则实数m 的取值范围是___ . 12．曲线2
3y x =-与直线y=2x 所围成的图形的面积_ ___ _.
13.如图，函数()2
1()5
g x f x x =+的图象在点P 处的切线方程是
8+-=x y ，则)5()5(f f '+= ．
14．函数)0(3)(2
3
>+-=a a x a x x f 的极大值为正数，极小值为负数，则a 的取值范围是____________． 三．解答题：（本大题共6小题，共80分）
15. （本小题满分12分）用数学归纳法证明：1)
n n
*++
<∈N ． 16. （本小题满分12分）设函数3
2
()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值．（1）求,a b 的值；
（2）当2c =-时，求函数()f x 在区间[03]，上的最大值．
17． （本小题满分14分）求抛物线2
43y x x =-+-及在点(0,3)-，(3,0)处的切线所围成的面积.
18．（本小题满分14分）设函数3()32f x x x =-++分别在12x x 、处取得极小值、极大值.xoy 平面上点A B 、的坐标分别为11()x f x （,）、22()x f x （,）
，该平面上动点P 满足•4PA PB =,点Q 是点P 关于直线2(4)y x =-的对称点，.求
(1)求点A B 、的坐标； (2)求动点Q 的轨迹方程.
19.（本小题满分14分）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y （单位：千克）与销售价格x （单位：元/千克）满足关系式210(6)3
a
y x x =
+--，其中3<x<6，a 为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克. （1）求a 的值
（2）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.
20.（本小题满分14分） 设函数()2x
f x e ax =--
（1）若()f x 在点()()
1,1f 处的切线平行于x 轴，求a 的值； （2）当(),0x ∈-∞时，求()f x 的单调区间；
（3）若1,a k =为整数，且当0x >时，()()10,x k f x x '-++>求k 的最大值 .
2013—2014学年度揭阳一中高二级第二学期阶段考试（一）
数学科试卷（理科）答案
一，选择题
二，填空题
9， (
)x
x
f x e e -'=
-；10， 14.5 ；11，1
13
m -<<
；12， 32/3 ；13， -5；14，
22
>a ；
三，解答题
15.证明：（
1）当1n =
时，左边1=，右边2=
，12<，所以不等式成立.…… (3分) （2）假设n k =
时不等式成立，即
1
k
+
+
<5分） 则当1a k =+时，1+< =
<
= ………………………………（10分）
即当1n k =+时，不等式也成立．
由（1）、（2）可知，对于任意n *∈N 时，不等式成立． …………………………（12分） 16.①解： 2
()663f x x ax b '=++，
因为函数()f x 在1x =及2x =取得极值，则有(1)0f '=，(2)0f '=．
即6630241230a b a b ++=⎧⎨
++=⎩，
．
解得3a =-，4b =．……………………………（5分）
②由（Ⅰ）可知，3
2
()29128f x x x x c =-++，
2()618126(1)(2)f x x x x x '=-+=--．当(01)x ∈，时，()0f x '>；
当(12)x ∈，时，()0f x '<；当(23)x ∈，时，()0f x '>．
所以，当1x =时，()f x 取得极大值(1)58f c =+，又(0)8f c =，(3)98f c =+． 则当[]03x ∈，时，()f x 的最大值为(3)987f c =+=-．………………………（12分） 17．（本小题满分14分）
解：依题意得∴+-=',42x y 在点(0,3)-处的切线是:34y x += 即：43y x =- 在点(3,0)处的切线是：2(3)y x =-- 即：26y x =-+ ……………………5 分
解方程组4326
y x y x =-⎧⎨
=-+⎩得两切线的交点为)3,23
( …………………………7 分
33
22230
2
[43(43)[62(43)]S x x x dx x x x dx =---+-+---+-⎰⎰……………………10分
3
3
22230
2
(69)x dx x x dx =+-+⎰⎰ ……………………11分
33233119
(39)23334
02
x x x x =+-+= …………………………14分 18.解: (1)令033)23()(2
3=+-='++-='x x x x f 解得11-==x x 或…………（2分）
当1-<x 时,0)(<'x f , 当11<<-x 时,0)(>'x f ,当1>x 时,0)(<'x f
所以,函数在1-=x 处取得极小值,在1=x 取得极大值,故
1,121=-=x x ,4)1(,0)1(==-f f ， 所以, 点A 、B 的坐标为)4,1(),0,1(B A -.… (6分)
(2) 设),(n m p ，),(y x Q ，
()()4414,1,122=-+-=--∙---=∙n n m n m n m ……………………（9分）
21-=PQ k ，所以21-=--m x n y ，
又PQ 的中点在)4(2-=x y 上，所以⎪⎭
⎫
⎝⎛-+=+4222m x n y 消去n m ,得()()9282
2
=++-y x . ………………………（14分）
19.（1）∵5x =时，11y =，由函数式210(6)3
a
y x x =
+--， 得11102
a
=
+，∴2a =． ……………………（3分） （2）由（1）知2a =，
∴每日的销售量为22
10(6)3
y x x =+--，()36x <<．
每日销售该商品所获得的利润为()()22
3[10(6)]3
f x x x x =-+--
3210(1572)1078x x x =-+-，()36x <<． ………………………（7分）
()210(33072)f x x x '=-+()()3064x x =--． ………………………（9分）
于是，当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：
由上表可以看出，4x =是函数在区间()3,6内的极大值点，也是最大值点．（12分） ∴当4x =时，函数()f x 取得最大值42．
因此当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．（14分）
20（本小题满分14分）
解：（1）()x
f x e a '=-，()1,f e a '∴=-又()10,f a e '=∴= …………（4分）
（2）()x
f x e a '=-
若0,a ≤则()0f x '>，()f x ∴在(),0-∞上单调递增； 若0a >，令()0x
f x e a '=-=，得ln x a =
①当01a <<时， ln 0x a =<，ln x a ∴-∞<<时，()()0,f x f x '<单调递减；
ln 0a x <<时，()()0,f x f x '>单调递增；
②当1a ≥时，ln 0x a =>，()()0,f x f x '<在(),0-∞上单调递减； 综上，0,a ≤()f x 在(),0-∞上单调递增；
01a <<时，()f x 在(),ln a -∞上单调递减，在()ln ,0a 上单调递增；
1a ≥时，()f x 在(),0-∞上单调递减.……………………………………………（9分）
（3）由于()()()()
1,111x a x k f x x x k e x '=∴-++=--++ 故当0x >时，()()()1
1001
x
x x k f x x k x x e +'-++>⇔<
+>- ①
令()1
1x x g x x e +=+-，则()()()()
2221111x x x x x e e x xe g x e e ----'=+=-- 由①知，函数()2x
h x e x =--在()0,+∞上单调递增，而()()10,20h h <>
所以()h x 在()0,+∞上存在唯一零点，故()g x '在()0,+∞上存在唯一零点。

设此零点为α，则()1,2α∈
当()0,x α∈时，()0g x '<；当(),x α∈+∞时，()0g x '>； 所以()g x 在
()0,+∞上的最小值为()g α.又由()0g α'=，可得
()()2,12,3e g αααα=+∴=+∈
由于①等价于(),k g k Z k α<∈∴的最大值为2……………………………………（14分）。