[考研类试卷]考研数学三(微积分)历年真题试卷汇编22.doc

[考研类试卷] 考研数学三(微积分)历年真题试卷汇编22
一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1(1990 年)设函数 f(x)=xtanxe sinx，贝U f(x)是()
(A )偶函数.
(B)无界函数.
(C)周期函数.
(D)单调函数.
2(2011年)已知当x—0时，函数f(x)=3sinx — sin3x与cx k是等价无穷小，则()
( A) k=1 ， c=4.
(B)k=1，c=— 4.
( C) k=3， c=4.
(D) k=3，c=一 4.
3(2000年)设函数f(x)在点x=a处可导，则函数| f(x) |在点x=a处不可导的充分条件是 ( )
( A) f(a)=0 且 f'(a)=0
(B)f(a)=0 且 f(a)工0
(C)f(a)>0 且 f(a) >0
(D)f(a) v 0 且 f(a)v 0
4 （2007年）设某商品的需求函数为 Q=160—2p,其中Q, p 分别表示需求量和价 格，如果该商品需求弹性的绝对值等于 1,则商品的价格是（）
(A) 10
(B) 20.
(C) 30.
(D) 40.
6 （2018年）设函数f （x ）在［0, 1］上二阶可导，且/ f （x ）dx=0，则
入当 /<T>< 0 时,/(y)<0. C.当 <0- B.当严⑺V 0时
D ・当 fix) > 0 <o.
()
7 （2006年）设f （x , y ）与 險,y ）均为可微函数，且 0（x, y ）工,已知（x 0, y 。

）
是f （x ,
y ）在约束条件（Kx, y ）=0下的一个极值点，下列选项正确的是（）
(A) 若 f x '(x 0, y 0)=0,则 f y '(x 0, y 0)=0.
(B) 若 f x '(x 0, y 0)=0，则 f y '(x 0, y 。

) ^0
(C) 若 f x '(x 0, y 0) M0 则 f y '(x 0, y 0)=0.
(D) 若 f x '(X 0, y 0)工0 则 f y '(X 0, y 0)工0
8 (2016年)级数 (k 为常数)()
5 （1987年）下列广义积分收敛的是
（）
(D)
(A) 绝对收敛.
(B) 条件收敛.
(C) 发散.
(D) 收敛性与k 有关.
二、填空题 lim 卞 十甲 扌］(siar + COSJ )
9 (2007年)小2 丄十x
10 (1990年)设f(x)有连续的导数，f(0)=0且f(0)=b ，若函数
/(x) +asinx^
龙手。

工
1 儿 X 。

在x=0处连续，则常数A=___________
11 (2003年)已知曲线y=x 3 — 3a 2x+b 与x 轴相切，则b 2可以通过a 表示为 b 2= .
12 (2018年)设函数 f(x)满足 f(x+ △ x)一 f(x)=2xf(x) △ x+o(△ x)(△ x—0)，且 f(0)=2， 则 f(1)= .
13 (2010年)设可导函数 y=y(x)由方程 /+y e ^t2dt= (fxsint 2dt 确定，贝』i0= __________
15 (2014年)二次积分• 三、解答题
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

{ 14 (2000 年)设 二心诗)+0・其中f ，g 均可微，则
16 (2013年)当x —0时，1 一 cosx.cos2x.cos3x 与ax n 为等价无穷小，求n 与a 的 值. 17 (1997年)在经济学中，称函数'
J '为固定替代 生产函数)•试证明：当x —0时，固定替代弹性生产函数变为 C —D 生产函数，即 limQt = Q
有十 .
18 (2007年)设函数y=y(x)由方程ylny —x+y=0确定，试判断曲线y=y(x)在点(1，
1)附近的凹凸性.
19 (1988年)过曲线y=x 2(x > 0上某点A 作一切线•使之与曲线及z 轴围成图形的面 I
1
1Z
积为 ，求：⑴切点A 的坐标.(2)过切点A 的切线方程；(3)由上述图形绕z 轴 旋转而成旋转体体积V .
20 (1997年)设函数f(x)在[0，上连续.单调不减且f(0)玄0试证函数
21 (2008年)设f(x)是周期为2的连续函数.(I )证明对任意的实数t ，有
严f(x)dx= 0%x)dx ; (H )证明 G(x)=/[2f(t) — 严f(s)ds]dt 是周期为 2 的周期函数.
22 (1991年)某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为 p 1和p 2;销 售量分别为q 1和q 2；需求函数分别为q 1=24 — 0. 2p 1，q 2=10一 0. 5p 2总成本函 数为C=35+40(qi+q 2 )试问：厂家如何确定两个市场的售价，能使其获得总利润最 大?最大利润为多少？
为Cobb — Douglas 生产函数, (简称C — D 在[0， +X 上连续且单调不减(其中n> 0) 弹性生产函数，而称函数 F(j)=
23 (2001年)设u=f(x , y, z)有连续的一阶偏导数，又函数 y=y(x)及z=z(x)分别由下
工sinr ,, -ft
■e = —那厂. 列两式确定：e xy —xy=2 . °” 王
24 （2009年）求二元函数 f （x ，y ）=x 2（2+y 2）+ylny 的极值.
25 (2018年)将长为2m 的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形.三个 图形的面积之和是否存在最小值？若存在，求出最小值.
26 (1997年)从点P i (1, 0)作 x 轴的垂线，交抛物线y=x 2
于点Q i (1, 1);再从Q i 作 这条抛物线的切线与x 轴交于P 2 .然后又从P 2作x 轴的垂线，交抛物线于Q 2,依 次重复上述过程得到一系列的点 P 1, Q 1； P 2，Q 2；…；P n ，Q n ;….(1)求 ‘
(2)求级数 的和其中为自然敷，而丽而7表示 点M 1与M 2之间的距离.
28 (1987年)某商品的需求量x 对价格p 的弹性 尸一 3p 3，市场对该商品的最大需求
量为1(万件)，求需求函数. 29 (2000年)求微分方程y ”一 2y'一 e 2x
=0满足条件y(0)=1, y'(0)=1的解. 27 （2018年）已知 CO32X
~C TT7? 1<Z< 1）,
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