陕西省宝鸡市金台区2014届高三11月会考数学(理)试题(含答案)

陕西宝鸡市金台区2014届高三11月会考
数学理试题
2013.11
本试卷分为两部分，第一部分为选择题，第二部分为非选择题. 满分150分，考试时间120分钟. 参考公式：V sh =柱体， 13V s h =
锥体， 34
3
V R π=球，
1()n n x nx -'=，
1(l n )x x -'=，
()
.x y x y x y '''=+ 第一部分（选择题，共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的． 1.设复数11z i
=-，则z 的共轭复数是 A.11i
+
B.1i +
C.1
1i
-
D.1i -
2.已知集合{}1,0,1{|}x A B y y e x A =-==∈，，，则A B =
A.{}0
B.{}1
C.{}1-
D.{}0,1
3.二项式3(6ax -
的展开式的第二项的系数为2
-a 的值为
A.1
B.1-
C.1或1-
4.已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图 中圆的直径为4，该几何体的体积为1V ．直径 为4的球的体积为2V ，则12:V V = A.1:4 B.1:2 C.1:1
D.2:1
5.已知函数3
221()13
f x x ax b x =
+++，若a 是从1，2，3三个数中任取的一个数，b 是从0，1，2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为 A.
7
9
B.1
3
C.5
9
D.
23
6.已知(,)2
π
απ∈，1
sin cos 5
αα+=
，则cos 2α的值为 A.
24
25 B.24
25-
C.7
25
-
D.
725
7.已知等比数列{}n a ，且460
a a +=
⎰
，则5357(2)a a a a ++的值为
A.
2π B.4 C.π D.9π-
8.在如右程序框图中，若0()x f x xe =，则输出的是
A.2014x x e xe +
B.2012x x
e xe +
C.2013x
x
e xe + D.2013x
e x +
9.定义在R 上的偶函数()f x 满足(,0)x ∈-∞时，
()()0f x xf x '+<成立，若0.20.22(2)a f =，
ln 2(ln 2)b f =，0.50.5(log 0.25)(log 0.25)c f =， 则,,a b c 的大小关系是
A.a b c >>
B.c a b >>
C.b a c >>
D.a c b >>
10.点P 在双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>上，
1F 、2F 是这条双曲线的两个焦点，1290F PF ∠=︒，
且12F PF ∆的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是
A. C.2 D.5
第二部分（非选择题，共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11.设函数2log ,0
()41,0
x x x f x x ->⎧=⎨+≤⎩，则2(1)(log 3)f f +-的值为 .
12.设00
x y x y +≥⎧⎨
-≥⎩与抛物线2
4y x =-的准线围成的三角形区域（包含边界）为D ，),(y x P 为D 内
的一个动点，则目标函数2z x y =-的最大值为 .
13.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若b =，4
B π
∠=，tan 2A =，则a 等
于 . 14.观察下列等式：
12133+=；781011123333+++=；16171920222339333333
+++++=；…… 则当n m <且,m n N ∈时，31323231
3333
n n m m ++--++⋅⋅⋅++= .
（最后结果用,m n 表示）．
15．（考生请注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）
A.(不等式选讲）若实数,,x y z 满足2
2
2
9x y z ++=，则23x y z ++的最大值是 . B.(几何证明选讲）如图，ABC ∆内接于圆O ，AB AC =，直线MN 切
圆O 于点C ，//BE MN 交AC 于点E .若64AB BC ==，，则AE 的
长为 .
C.(坐标系与参数方程选讲）已知点A 是曲线
2sin ρθ=上任意一点，则点A 到直线
sin()43
π
ρθ+=的距离的最小值是 .
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分12分)已知函数22()2(1)57f x x n x n n =-+++-．
（1）设函数()y f x =的图像的顶点的纵坐标构成数列{}n a ，求证：{}n a 为等差数列； （2）设函数()y f x =的图像的顶点到x 轴的距离构成数列{}n b ，求{}n b 的前n 项和n S ．
17.(本小题满分12分)在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，向量
(,2)m b a c =-，(cos ,cos )n B C =，且m //n ． （1）求角B 的大小； （2）设()cos()sin (0)2B f x x x ωωω=-
+>，且()f x 的最小正周期为π，求()f x 在区间[0,]2
π
上的最大值和最小值．
18.(本小题满分12分)学校为了使运动员顺利参加运动会,招募了8名男志愿者和12名女志愿者，这20名志愿者的身高如下茎叶图（单位：cm ）：若身高在180cm 以上（包括180cm ）定义为“高个子”，身高在180cm 以下（不包括180cm ）定义为“非高个子”，且只
有“女高个子”才能担任“礼仪小姐”.
（1）用分层抽样的方法从“高个子”和“非高
个子”中抽取5人，如果从这5人中随机
选2人，那么至少有1人是“高个子”的
概率是多少？
（2）若从所有“高个子”中随机选3名志愿者，用X 表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的
人数，试写出X 的分布列，并求X 的数学期望. 19.(
本小题满分12分)平行四边形ABCD 中，2AB =，AD =45BAD ∠=︒，以BD 为折线，把ABD ∆折起，使平面ABD ⊥平面CBD ，连结AC . （1）求证：AB DC ⊥；
（2）求二面角B AC D --的大小.
20.(本小题满分13分)设椭圆1C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别是1F 、2F ，
下顶点为A ，线段OA 的中点为B （O 为坐标原点），如图.若抛物线2C ：2
1y x =-与y 轴的交点为B ，且
B
C A
D
B
A
C
D
经过1F 、2F 两点． （1）求椭圆1C 的方程；
（2）设4
(0,)5
M -，N 为抛物线2C 上的一动
点，过点N 作抛物线2C 的切线交椭圆1C 于P 、Q 两点，求MPQ ∆面积的最大值．
21.(本小题满分14分)已知函数2
1()(21)2ln ()2
f x ax a x x a R =
-++∈. （1）若曲线()y f x =在1x =和3x =处的切线互相平行，求a 的值； （2）求()f x 的单调区间；
（3）设2
()2g x x x =-，若对任意1(0,2]x ∈，均存在2(0,2]x ∈，使得
1()f x ＜2()g x ，求a 的取值范围．
高三会考理科数学试题答案 2013.11
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1.D
2.B
3.C
4.B
5.D
6.C
7.A
8.C
9.C 10.D 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11. 10 12. 3 13. 14. 2
2
m n - 15. A. 103 C. 5
2
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．(本小题满分12分)
解：（1）∵222()2(1)57[(1)]38f x x n x n n x n n =-+++-=-++-，
∴38n a n =-， -----2分 ∴13(1)8(38)3n n a a n n +-=+---=， ∴数列{}n a 为等差数列． ---------4分 （2）由题意知，|||38|n n b a n ==-， ---------6分 ∴当12n ≤≤时，83n b n =-，
2
11()[5(83)]133;222
n n n n b b n n n n S b b ++--=++=== ----8分
当3n ≥时，38n b n =-，
123521(38)n n S b b b b n =++++=+++
+-
2(2)[1(38)]31328
722
n n n n -+--+=+=．---------10分
∴2
2
133,12231328,32
n n n n S n n n ⎧-≤≤⎪⎪=⎨-+⎪≥⎪⎩． ---------12分
17．(本小题满分12分)
解：（1）由m //n ，得,cos )2(cos B c a C b -=B a B c C b cos 2cos cos =+∴, --1分
由正弦定理，得B A B C C B cos sin 2cos sin cos sin =+ ---------3分
3
.21cos ,cos sin 2)sin(π
=∴=
∴=+B B B A C B ---------6分 （2）由题知
)6
sin(3sin 23cos 23sin )6
cos()(πωωωωπ
ω+=+=
+-
=x x x x x x f ，--8分 由已知得
πω
π
=2，2=∴ω，)6
2sin(3)(π
+
=x x f -----9分
当0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，]1,2
1
[)62sin(],67,6[62-∈+∈+
ππππ
x x -----10分 所以，当6π=
x 时，)(x f 的最大值为3；当2π=x 时，)(x f 的最小值为2
3
-． ---------12分
18.（本小题12分）
解：（1）根据茎叶图可知，这20名志愿者中有“高个子”8人，“非高个子”12人，用分层抽样的
方法从中抽出5人，则每个人被抽到的概率为
51204
=，所以应从“高个子”中抽1
824⨯=人，从“非高个子”中抽1
1234
⨯=人. …………2分
用事件A 表示“至少有一名‘高个子’被选中”，则它的对立事件A 表示“没有一名‘高个
子’被选中”，则232537
()1()111010C P A P A C ===-=-=,
因此至少有1人是“高个子”的概率是7
10
；…………6分
（2）依题意知，所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数X 的所有可能为0,1,2,3.
()34381014C P X C ===, ()1244383
17
C C P X C ===,
()214438327C C P X C ===， ()34381
314
C P X C ===，……10分
因此，X 的分布列如下：
所以X 的数学期望13313
01231477142
EX =⨯+⨯+⨯+⨯=.…………12分 19.（本小题满分12分）
解：（1）在ABD ∆中，2222cos454,2,BD AB AD AB AD BD =+-⋅︒=⇒= ……3分
易得AB BD ⊥，……4分
面ABD ⊥面BDC ∴AB ⊥面BDC ∴AB DC ⊥…………6分
（2）在四面体ABCD 中，以D 为原点，DB 为x 轴，DC 为y 轴，过D 垂直于平面BDC 的射线为z 轴，建立如图空间直角坐标系.
则D （0，0，0），B （2，0，0），C （0，2，0），A （2，0，2）
设平面ABC 的法向量为(,,)n x y z =，而(0,0,2),(2,2,0)BA BC ==-， 由00
n BA n BC ⎧⋅=⎪⎨
⋅=⎪⎩得：20
220
z x y =⎧⎨
-+=⎩，取(1,1,0)n = . …………8分
再设平面DAC 的法向量为(,,)m x y z =，而(2,0,2),(0,2,0)DA DC ==， 由00
m DA m DC ⎧⋅=⎪⎨
⋅=⎪⎩得：220
20
x z y +=⎧⎨
=⎩，取(1,0,1)m =-，……………10分
1
,2
||||n m n m n m ⋅<>=
=⋅，所以二面角B-AC-D 的大小是60︒………12分
20．(本题满分13分) 解：（1）由题意可知B （0，-1），则A （0，-2），故b =2．…………2分
令y =0得2
10x -=即1x =±，则F 1(-1，0)，F 2（1，0），故c =1．…………4分
所以2
2
2
5a b c =+=．于是椭圆C 1的方程为：22
154
x y +=．…………6分 （2）设N （2
,1t t -），由于'2y x =知直线PQ 的方程为：
2(1)2()y t t x t --=-． 即2
21y tx t =--． (7)
x
代入椭圆方程整理得：222224(15)20(1)5(1)200t x t t x t +-+++-=,
222222400(1)80(15)[(1)4]t t t t ∆=+-++-=4280(183)t t -++,
21225(1)15t t x x t ++=+ , 221225(1)20
4(15)
t x x t +-=+,…………9分
故12PQ x =-=
2
15t =
+．…………10分 设点M 到直线PQ 的距离为d
，则d =
=
所以，MPQ ∆的面积S 12PQ d =
⋅21
t +
=
=
=
5
≤=
…………12分 当3t =±时取到“=”，经检验此时0∆>，满足题意． 综上可知，MPQ ∆
．…………13分 21．（本小题满分14分） 解：2
()(21)f x ax a x
'=-++
(0)x >. …………2分 （1）(1)(3)f f ''=，解得2
3
a =. …………3分 （2）(1)(2)
()ax x f x x
--'=
(0)x >. …………5分
①当0a ≤时，0x >，10ax -<，
在区间(0,2)上，()0f x '>；在区间(2,)+∞上()0f x '<， 故()f x 的单调递增区间是(0,2)， 单调递减区间是(2,)+∞. …………6分
②当102a <<
时，1
2a
>， 在区间(0,2)和1(,)a +∞上，()0f x '>；在区间1
(2,)a
上()0f x '<，
故()f x 的单调递增区间是(0,2)和1(,)a
+∞， 单调递减区间是1(2,)a
. …………7分
③当12a =时，2
(2)()2x f x x -'=， 故()f x 的单调递增区间是(0,)+∞.……8分
④当12a >
时，1
02a <<， 在区间1(0,)a 和(2,)+∞上，()0f x '>；在区间1
(,2)a
上()0f x '<，
故()f x 的单调递增区间是1(0,)a 和(2,)+∞，单调递减区间是1
(,2)a
.………9分
（3）由已知，在(0,2]上有max max ()()f x g x <.…………10分 由已知，max ()0g x =，由（Ⅱ）可知，
①当1
2
a ≤
时，()f x 在(0,2]上单调递增， 故max ()(2)22(21)2ln 2222ln 2f x f a a a ==-++=--+， 所以，222ln 20a --+<，解得ln 21a >-，
故1
ln 212
a -<≤. …………11分
②当12a >
时，()f x 在1(0,]a 上单调递增，在1
[,2]a
上单调递减， 故max 11
()()22ln 2f x f a a a
==--
-. 由12a >可知11
ln ln ln 12e
a >>=-，2ln 2a >-，2ln 2a -<，
所以，22ln 0a --<，max ()0f x <， …………13分
综上所述，ln 21a >-. …………14分。