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最终版《简单的线性规划问题》课件ppt
2
y1x z
33
zmax 2 3 3 11
四个步骤：
1。画（画可行域） 2。作（作z=Ax+By中令z=0时的直线L:Ax+By=0 。） 3。移（平移直线L 。寻找使纵截距取得最值时的点） 4。答（求出点的坐标，并转化为最优解）
[练习]解下列线性规划问题：
1、求z＝2x＋y的最大值，使x、y满足约束条件：
(2)求z= x2 y2 的最小值（可看成可行域内点 (x, y)到原点的距离的平方）
A1, 22 5
1求z x 32 y2最值
将（3,0）带入x 4 y 3 0的距离公式得
d 3 4 0 3 6 17 半径 12 (4)2 17
zmin
d2
36 17
x4y3 0
Q(3,0)
求线性目标函数,在线性约束下的最值问题, 统称为线性规划问题,
满足线性约束的解(x,y)叫做可行解,
所有可行解组成的集合叫做可行域
x 使目标函数取得最值的可行解叫做这个
问题的最优解
变式：求利润z=x+3y的y最大值.
x2y 8
44
x y
16 12
x
0
y 0
4 N（2，3） 3
0
4
8x
y1 x4
x y 0k 1
B 1,3
A C
与C点的连线是最小值，
将C点带入得 Zmin
1 1 2
1 3
与B点的连线是最大值，
将B点带入得
Zmax
3 1 2
1
x 1
x
x y40
x y 4 0 例1、已知变量x, y满足 x y 0 ， x 1
变式：求z y 的最大值与最小值（取值范围） x
简单的线性规划问题 课件
2．对于函数 z＝2x－y，当直线 2x－y－z＝0 经过 A、B、C 三点时，z 的值分别是多少？
【提示】 直线经过 A(3,8)时，z 的值为－2； 直线经过 B(－3,2)时，z 的值为－8， 直线经过 C(3，－4)时，z 的值为 10. 3．当直线 2x－y－z＝0 经过平面区域时，z 的最大值是多 少？最小值呢？ 【提示】 z 的最大值为 10，最小值为－8.
【自主解答】 由约束条件画出可行域(如图所示)为矩形 ABCD(包括边界)．
点 C 的坐标为(3,1)，z 最大，即平移 y＝－ax 时使直线在 y 轴上的截距最大，
∴－a<kCD，即－a<－1. ∴a>1.
【答案】 a>1
1．本题属逆向思维类型，解答时要画出图形，使用数形结 合的方法．
2．解答此类问题首先要熟练线性规划问题的求解程序和确 定最优解的方法，还要明确线性目标函数的最值一般在可行域 的顶点或边界取得，对边界直线的斜率与目标函数对应的直线 的斜率要认真对照分析．
成本(百元)
30
20
300
劳动力
5
10
110
单位利润(百元)
6
8
试问：怎样确定两种货的供应量，才能使总利润最大，最
大利润是多少？
【思路探究】 提取不等信息→转化为不等式组→作出可 行域→借助线性规划分析→还原实际问题
【自主解答】 设电子琴和洗衣机月供应量分别为 x 架、y 台，总利润为 z 百元，则根据题意，
已知变量 x，y 满足约束条件1－≤2x≤＋xy－≤y4≤，2， 若 目标函数 z＝ax＋y(其中 a>0)仅在点(3,1)处取得最大值，则 a 的 取值范围为________．
简单的线性规划问题(4课时)PPT课件
12 5
.
3
x-4y+3=0
B
2
1C
3x+5y-25=0
0 1 234567 X
13
y
例2 已知x、y满足： x
y
求z＝2x＋y的最大值. y
2x＋y＝0
最优解（3，3），
最大值9.
O
x y2 3x 6
y＝x
M
x
y＝3x－6
x＋y＝2
14
小结作业
1.在线性约束条件下求目标函数的最大 值或最小值，是一种数形结合的数学思 想，它将目标函数的最值问题转化为动 直线在y轴上的截距的最值问题来解决.
19
20
探究（一）：营养配置问题 t
p
1 2
5730
【背景材料】营养学家指出，成人良好
的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳
水化合物，0.06kg的蛋白质，0.06kg的
脂肪.已知1kg食物A含有0.105kg碳水化
合物，0.07kg蛋白质，0.14kg脂肪，花
费28元；而1kg食物B含有0.105kg碳水
（3）线性规划问题： 在线性约束条件下，求线性目标函数
的最大值或最小值问题，统称为线性规 划问题．
（4）可行解： 满足线性约束条件的解（x，y）叫
做可行解．
10
（5）可行域： 由所有可行解组成的集合叫做可行域．
（6）最优解： 使目标函数取得最大或最小值的可行
解叫做最优解．
11
理论迁移
例1 设z=2x－y，变量x、y满足下列条件
3.3.2 简单的线性规划问题
第一课时
1
问题提出
t
p
1 2
《简单的线性规划问题》课件
所以，每天生产甲产品4件，乙产品2件时，工 厂可获得最大利润14万元 .
1、像上题求最大利润的这种问题，可 以转化成求二元一次不等式组与一族直线相 交点的问题. 2、遇到没有学过的问题时，一定要认 真思考，看看能不能用平时的知识去解决.
概念
(1)线性约束条件：在上述问题中，不等式 组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件 都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束 条件．
x + 2y ≤ 8 4x ≤ 16 4y ≤ 12 x≥0 y≥0
（2）画出不等式组所表示的平面区域： 如上图，图中的阴影部分的整点（坐标为整数 的点）就代表所有可能的日生产安排；
（3）提出新问题：
进一步，若生产一件甲产品获利2万元，生 产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利 润最大？
（3，2）
1 2 3 4 5 6 7 8
⑶移
X
0
⑷求
l。
由上图可得当直线z=2x+y+50过点（3，2） 时，目标函数取最小值;当直线过点（8，2）时， 目标函数取的最大值.
答：目标函数z=2x+y+50的最小值为58， 最大值为58.
解线性规划问题的步骤：
（1）画：画出线性约束条件所表示的可行域；
(2)线性目标函数;关于x、y的一次式 z=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量 x、y的解析式，叫线性目标函数 . (3)线性规划问题：一般地，求线性目标函 数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题， 统称为线性规划问题 .
(4)可行解、可行域和最优解：
满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解． 由所有可行解组成的集合叫做可行域 .
2 z y = - x+ 3 3
简单的线性规划问题PPT教学课件
3.分子永不停息地作无规则的运动.
§2 气体的状态参量 平衡态
一、体积V 气体分子所能达到的空间范围. [单位: m3]
二、压强P 气体作用于容器壁单位面积的垂直作用力. [单位:Pa] 1Pa=1N/ m2
1.1mmHg=133.3Pa 2.标准大气压(atm)
1atm 760mmHg 1.013105 Pa
作一组与 l0 平行的直线系 l，上下平移，可得： 当 l 移动到 l2 时，即过点 A(5,2)时，zmax＝2×5＋2＝12； 当 l 移动到 l1 时，即过点 B(1,1)时，zmin＝2×1＋1＝3.
正确作出可行域后，将目标函数变为直线方 程的斜截式的形式，应注意该直线在y 轴上的截距与目标函数z 取值的关系．再注意该直线的斜率与可行域边界直线的斜率关 系，以便准确找到最优解．
Po 1.01325 105 Pa
To 273.15 K
Vmol 22.4 103 m3
PV PoVo M PoVmol
T
To M mol To
其中： M 为气体的总质量。
M mol为气体的摩尔质量。
令： R PoVmol 8.31 (J mol 1 K 1) To
R 称为“普适气体常数 ”
x＋2y－2＝0 与直线 y＝1 的交点．
解方程组
x＋2y－2＝0 y＝1
，得 x＝0，y＝1.此时 z＝0＋1＝1.
故 z 的最小值为 1.
1 － 2.(2010 年 天 津 ) 设 变 量 x 、 y 满 足 约 束 条 件
xx＋ －yy≤ ≥3－1， 则目标函数 z＝4x＋2y 的最大值为( B ) y≥1
B．[2， 10] D．[ 10，9]
思维突破：本题考查线性规划与指数函数．如图 4 中的阴 影部分为平面区域 M, 显然，只需研究过(1,9)，(3,8)两种情形． a1≤9 且 a3≥8 即 2≤a≤9.
§2 气体的状态参量 平衡态
一、体积V 气体分子所能达到的空间范围. [单位: m3]
二、压强P 气体作用于容器壁单位面积的垂直作用力. [单位:Pa] 1Pa=1N/ m2
1.1mmHg=133.3Pa 2.标准大气压(atm)
1atm 760mmHg 1.013105 Pa
作一组与 l0 平行的直线系 l，上下平移，可得： 当 l 移动到 l2 时，即过点 A(5,2)时，zmax＝2×5＋2＝12； 当 l 移动到 l1 时，即过点 B(1,1)时，zmin＝2×1＋1＝3.
正确作出可行域后，将目标函数变为直线方 程的斜截式的形式，应注意该直线在y 轴上的截距与目标函数z 取值的关系．再注意该直线的斜率与可行域边界直线的斜率关 系，以便准确找到最优解．
Po 1.01325 105 Pa
To 273.15 K
Vmol 22.4 103 m3
PV PoVo M PoVmol
T
To M mol To
其中： M 为气体的总质量。
M mol为气体的摩尔质量。
令： R PoVmol 8.31 (J mol 1 K 1) To
R 称为“普适气体常数 ”
x＋2y－2＝0 与直线 y＝1 的交点．
解方程组
x＋2y－2＝0 y＝1
，得 x＝0，y＝1.此时 z＝0＋1＝1.
故 z 的最小值为 1.
1 － 2.(2010 年 天 津 ) 设 变 量 x 、 y 满 足 约 束 条 件
xx＋ －yy≤ ≥3－1， 则目标函数 z＝4x＋2y 的最大值为( B ) y≥1
B．[2， 10] D．[ 10，9]
思维突破：本题考查线性规划与指数函数．如图 4 中的阴 影部分为平面区域 M, 显然，只需研究过(1,9)，(3,8)两种情形． a1≤9 且 a3≥8 即 2≤a≤9.
《简单的线性规划问题》课件(4)
因为z=2x+y, 令x=0 y=1 则z=y（纵截距），
x 5x+6y=30
如图，平移直线l0，当直线l0向上平移时， 所对应的z随之增大；当直线l0向下平移 时, 所对应的z随之减小。
y y=3x
o l1l:22:x2+xy+=y2=4 l0:2x+y=0
l3:2x+y=-3
y=1 5x+6y=30
R（-1,-2）连线的斜率,
因为
kRA
5 2
,
kRB
1 2
,
z 所以 的范围为( , 5][ 1 , ). 22
点评：
x y6 0
C
y
6
x y 0
4
A
2
6
4
2
O
2
4x
R 2
Bx 3
此类问题转化为可行域内的点到定点的斜率.
小结： 充分理解目标函数的几何意义，诸如两点间的距离(或平方)、点到直 线的距离、过已知两点的直线斜率等． 你能说出下列表达式的几何意义吗？ ①z＝x2＋y2；②z＝x＋y；③z＝yx＋－21； ④z＝x2＋y2－2y；⑤z＝|2x－y＋1|；⑥z＝ (x＋1)2＋(y－2)2.
x=3
练习2：.画出下列不等式组表示的平面区域
y x
（1）x 2y 4
y 2
不等式化为y－x＜0,取(0.1)代 入不y等－式x化,得为1-x0+=21y>－0 4 ≤0,取 不 y(40+=.等20－,)得式代40化Y<入+0为2x=+y22+>y20－≥04y,,－取得x(＝00+0.00)代－入
同理, 对于直线 x y 1 0左下方任意点 (x, y), x y 1 0都成立。
x 5x+6y=30
如图，平移直线l0，当直线l0向上平移时， 所对应的z随之增大；当直线l0向下平移 时, 所对应的z随之减小。
y y=3x
o l1l:22:x2+xy+=y2=4 l0:2x+y=0
l3:2x+y=-3
y=1 5x+6y=30
R（-1,-2）连线的斜率,
因为
kRA
5 2
,
kRB
1 2
,
z 所以 的范围为( , 5][ 1 , ). 22
点评：
x y6 0
C
y
6
x y 0
4
A
2
6
4
2
O
2
4x
R 2
Bx 3
此类问题转化为可行域内的点到定点的斜率.
小结： 充分理解目标函数的几何意义，诸如两点间的距离(或平方)、点到直 线的距离、过已知两点的直线斜率等． 你能说出下列表达式的几何意义吗？ ①z＝x2＋y2；②z＝x＋y；③z＝yx＋－21； ④z＝x2＋y2－2y；⑤z＝|2x－y＋1|；⑥z＝ (x＋1)2＋(y－2)2.
x=3
练习2：.画出下列不等式组表示的平面区域
y x
（1）x 2y 4
y 2
不等式化为y－x＜0,取(0.1)代 入不y等－式x化,得为1-x0+=21y>－0 4 ≤0,取 不 y(40+=.等20－,)得式代40化Y<入+0为2x=+y22+>y20－≥04y,,－取得x(＝00+0.00)代－入
同理, 对于直线 x y 1 0左下方任意点 (x, y), x y 1 0都成立。
简单的线性规划问题 课件
甲
5
2
20
乙
4
5
10
托运限制
24
13
简单的线性规划问题(一)
x＋2y≤8，
4x≤16，
引例
已知x，y满足条件
4y≤12，
①
x≥0，
y≥0.
该不等式组所表示的平面区域如图，求2x＋3y②的最大值.
以此为例，尝试通过下列问题理解有关概念.
知识点一 线性约束条件
在上述问题中，不等式组①是一组对变量x、y的约束条件，这组约束 条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件.
跟踪训练2 给出平面可行域(如图)，若使目标函数z＝ax＋y取最大值
的最优解有无穷多个，则a等于 答案 解析
A.14
B.35
5
C.4
D.3
由题意知，当直线y＝－ax＋z与直线AC重合时，最优解有无穷多个， 则－a＝51－ －26＝－35 ，即a＝35 ，故选B.
例3 营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075 kg的碳
和食物B各多少kg?
将已知数据列成右表： 食物/kg 碳水化合物/kg 蛋白质/kg 脂肪/kg
解答
A
0.105
0.07
0.14
B
0.105
0.14
0.07
反思与感悟
(单1)调目性标取函决数于z＝b的ax正＋负by(.当b≠b>00)在时y，轴截上距的bz截越距大bz，是z就关越于大z的；正当比b<例0时函，数截，距其
水化合物，0.06 kg的蛋白质，0.06 kg的脂肪，1 kg食物A含有0.105 kg碳
水化合物，0.07 kg蛋白质，0.14 kg 脂肪，花费28元；而1 kg食物B含有
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线性约 束条件
x y - 1 ≥0 x - y - 1 ≤0 x - 3 y 3 ≥0
求z的最大值与最小值。
有关概念
线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最 大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．
可行解 ：满足线性约束条 件的解(x，y)叫可行解；
可行域 ：由所有可行解组 成的集合叫做可行域；
最优解 ：使目标函数取得 最大或最小值的可行解叫 线性规划问题的最优解。
可行域 可行域
新课引入 画出二元一次不等式组表示平面区域
y
x y 1 0
A (3, 2) B (0, 1)
Z=x+2y
x y 1 0
B A
C (1, 0)
x 3y 3 0
此时Z=7
O
C
xZ=2 此时 此时Z=1 x+2y=0 Zmax=7
y
1
O
选点法
任选一个不在直线上的点，带 入不等式，若适合，则该点所 在的一侧为不等式所表示的区 域，否则，直线的另一侧为所 求的平面区域
x+y-1>0
1
x
x+y-1<0 x+y-1=0
新课引入 画出二元一次不等式组表示平面区域
y
x y -1 0
A (3, 2) B (0, 1)
x y 1 0
作业
• P91 练习 1 (2)
y ≤ x x y ≤ 1 y ≥ -1
y ≤ x x y ≤ 1 y ≥ -1
y
x+y=1
A
目标函数： z=2x+y y=x
Zmin=-3
O B C
x
y=-1
B:(-1,-1) C:(2,-1)
2x+y=0
Zmax=3
结论：
1、线性目标函数的最大（小）值一般 在可行域的顶点处取得，也可能在边界 处取得。 2、求线性目标函数的最优解，要注意 分析线性目标函数所表示的几何意义.
y
二高数学组 刘素平 o x
复习
1、二元一次不等式表示的平面区域
画出不等式 x+y-1>0
y
1
O
表示的平面区域
x+y-1>0
1
x
x+y-1<0 直线x+y-1=0把平面分成两个部分。 x+y-1>0表示直线右上方的平面区域 x+y-1<0表示直线左下方的平面区域
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x+y-1=0
复习
2、判断二元一次不等式表示哪一 侧平面区域的方法
Zmin=1
解线性规划问题的步骤：
（1）画：画出线性约束条件所表示的可行域； （2）移：在线性目标函数所表示的一组平行 线中，利用平移的方法找出与可行域有公共 点且纵截距最大或最小的直线； （3）求：通过解方程组求出最优解； （4）答：作出答案。
练习1 解线性规划问题：
求z=2x+y的最大和最小值，使x、y满足约束条件：
B A
C (1, 0)
x y - 1 ≥0 x - y - 1 ≤0 x - 3 y 3 ≥0
x - 3y 3 0
O
C
x
问题1：x 有无最大（小）值？ 问题2：y 有无最大（小）值？
问题3：x+2y 有无最大（小）值？
线性规划
目标函数 问题： （线性目标函数）
设z=x+2y，式中变量满足 下列条件：