浙江省台州中学2018届高三上学期第一次统练数学试题
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台州中学2017学年第一学期第一次统练试题
高三 数学
编制: 审核:
一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分,有且只有一个正确答案,请将答案
选项填入题后的括号中) 1.已知集合,
,若,则a =( ) A .3
B .4
C .5
D .6
2. 计算 A .2
B .3
C .4
D .10
3. 已知a R ∈,则“2a >”是“22a a >”成立的 ( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C.充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知复数z =3+4i ,z 表示复数z 的共轭复数,则⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
z i =( )
A. 5
B .5
C. 6
D .6
5. 设曲线ln(1)y ax x =-+在点(0,0)处的切线方程为y =2x ,则a =( ) A .0 B .1 C .2
D .3
6. ABC ∆中,2
sin
22A c b c
-= (a b c 、、分别为角A 、B 、C 的对应边),则ABC ∆的形状为( )
A .正三角形
B .直角三角形
C .等腰直角三角形
D .等腰三角形
7.向量AB →与向量a =(-3,4)夹角为π,|AB →
|=10,若点A 的坐标是(1,2),则点B 的坐标为
( )
A .(-7,8)
B .(9,-4)
C .(-5,10)
D .(7,-6) 8. 函数f (x )=2|x -
1|的图象是( )
9. 若tan α=3
4,则cos 2α+2sin 2α等于( )
A.
6425
B.
4825
C. 1 D .
1625
10.已知函数()2
ln f x ax x =-,其中a 为非零实数,12,x x 为两个不相等的正数,且
()()12f x f x =,若102,,x x x 为等差数列,则( )
A. ()00f x '>
B. ()00f x '<
C. ()00f x '=
D. ()0f x '的正负与a 的正负有关 二.填空题(本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分.)
11.若函数()2
3f x ax bx a b =+++是偶函数,定义域为[]
1,2a a -,则a =____,
b =_____. 12. 已知ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b
c ,
且满足sin 2C C =,其中C 为锐
角,1,4a b ==,则角C =_____________,边c = . 13. 已知函数sin()y A x ωϕ=+(0,||A ϕπ><)的一段图象如右图所
示,则函数的解析式为 ,)0(f =
14. 设点P 是曲线3
2y x x =++上的任意一点,则P 点处切线倾斜角α
的取值范围为______ ,此曲线关于______成中心对称.
15.已知某矩形广场面积为4万平方米,则其周长至少为________米.
16. 在平面直角坐标系xOy 中,若定点A (1,2)与动点(,)P x y 满足向量OP 在向量
P 的轨迹方程是________________.
17.已知单位向量,,且0=⋅b a ,若]1,0[∈t ,则|))(1(12
5
|
|)(|b a t b a a b t --+++-的最小值为________________.
三.解答题(本大题共5小题,满分74分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 18.(本题满分14分)已知数列11{}1,.21
n
n n n a a a a a +==
+中
是等差数列;证明数列}1
{
)1(n
a
123n
1111(2).a a a a +++⋅⋅⋅+求
19. (本题满分15分)已知函数
(1)求
的最小正周期,单调递增区间以及函数()f x 图像的对称轴方程;
(2),42x ππ⎡⎤
∀∈⎢⎥⎣⎦
恒有()3f x m -<成立,求实数的取值范围.
20. (本题满分15分)设函数()f x 是定义在R 上的奇函数,且对任意实数x ,恒有
()()2f x f x +=-,当[]0,2x ∈时,()22f x x x =-.
(1)求证:()f x 是周期函数;
(2)当[]
2,4x ∈时,求()f x 的解析式; (3)计算()()()()0122017.f f f f ++++
21.(本题满分15分)如图,O 为总信号源点,A ,B ,C 是
三个居民区,已知A ,B 都在O 的正东方向上,OA=10km ,
OB=20km ,C 在O 的北偏西45°方向上,CO=5km .
(1)求居民区A 与C 的距离;
(2)现要经过点O 铺设一条总光缆直线EF (E 在直线OA
的上方),并从A ,B ,C 分别铺设三条最短分光缆连接到总光缆EF .假设铺设每条分光缆的费用与其长度的平方成正比,比例系数为m (m 为常数).设∠AOE=θ(0≤θ<π),铺设三条分光缆的总费用为w (元). ①求w 关于θ的函数表达式; ②求w 的最小值及此时tan θ的值.
22. (本题满分15分) 已知函数()ln (0)a
f x x x a x
=+≠32()3g x x x =--.
(1) 求()g x 的单调区间
(2)如果 存在1x ,[]20,2x ∈,使得12()()g x g x M -≥,求满足上述条件的最大整数M ; (3)若对任意1x ,21,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
,都有12()()f x g x ≥成立,求实数a 的取值范围.
台州中学2017学年第一学期第一次统练试题
高三 数学
编制:季剑锋 审核:翟美锁
一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分,有且只有一个正确答案,请将答案
选项填入题后的括号中
二.填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分. 11. 13 0 12. 3π 13. 32sin(2)4y x π
=+
;2 14. 42ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭
,,(0,2) 15. 800 16. x +2y -5=0 17.
12
13 三.解答题:本大题共5小题,满分74分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.(本题满分14分)
(2) 9分
2
123n
1111
(2)
=1+3+5++21)n n a a a a +++⋅⋅⋅+-= (14分
19. (本题满分15分) (1)∵
当即
即时
单调递增,
∴
的单调递增区间为
.对称轴5,212
k x k z ππ=+∈ 9分
(2)∵∴∴
由得
∴∴即.
20. (本题满分15分)
(1)证明∵f(x+2)=-f(x),
∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x),
∴f(x)是周期为4的周期函数,
(2)∵x∈[2,4],∴-x∈[-4,-2],∴4-x∈[0,2],
∴f(4-x)=2(4-x)-(4-x)2=-x2+6x-8,
又f(4-x)=f(-x)=-f(x),
∴-f(x)=-x2+6x-8,
即f(x)=x2-6x+8,x∈[2,4].
(3)∵f(0)=0,f(1)=1,f(2)=0,f(3)=-1,
又f(x)是周期为4的周期函数,
∴f(0)+f(1)+f(2)+f(3)
=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)
=…=f(2 012)+f(2 013)+f(2 014)+f(2 015)=0,
∴f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 016) +f(2 017)
=f(2 016) +f(2 017)=f(0) +f(1)=1
21.(本题满分15分)
解:(1)以点O位坐标原点,OA为x轴建立直角坐标系,则A(10,0),B(20,0),C(﹣5,5),
∴AC==5;
(2)①当直线l的斜率存在时,设l:y=kx,k=tanθ,
则w=m[++]=m•;
直线l的斜率不存在时,w=525m,
综上,w=
②直线l的斜率不存在时,w=525m;
当直线l的斜率存在时,w=m•
令t=k﹣10,则t=0时,w=525m;
t≠0时,w=525m+m•
∵t+≤﹣2,或t+≥2,
∴w的最小值为525m+m•=m,
此时,t=﹣,tanθ=k=10﹣.
,
22.
(Ⅰ)递减区间递增区间,
(Ⅱ)
12max max min
112
[()()]()()
27
g x g x g x g x
-=-= M=4
(Ⅲ)
m a x
()
g x=1 任意
1
x,
2
1
,2
2
x
⎡⎤
∈⎢⎥
⎣⎦
,都有
12
()()
f x
g x
≥成立等价于ln1
ax x x
+≥2ln
a x x x
≥-
2()ln h x x x x =- ,()12ln h x x x x =-- ,(1)0h =
()12ln m x x x x =-- ,()32ln 0m x x =--< ()m x ,()h x
当1x <时,()0h x >当12x <≤时,()0h x < max
()(1)1h x h == 1a ≥。