河北省衡水金卷2019届高三第一次押题考试数学(理)试卷

河北省衡水金卷2019届高三第一次押题考试
数学试题（理科）
本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★
注意事项：
1、考试范围：高考范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、单选题（每小题5分，共12小题，共60分）
1.已知集合M={}，集合N={}，(e为自然对数的底数)则=（）
A. {}
B. {}
C. {}
D.
【答案】C
【解析】
试题分析：，，故
＝．
考点：集合的运算．
2.已知复数，则复数的模为（）
A. 2
B.
C. 1
D. 0
【答案】C
【解析】
【分析】
根据复数的除法运算求出，然后再求出即可．
【详解】由题意得，
∴．
故选C．
【点睛】本题考查复数的除法运算和复数模的求法，解题的关键是正确求出复数，属于基础题．
3.若命题p为：为（）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据全称命题的否定为特称命题即可得到结果.
【详解】根据的构成方法得，为.故选C.
【点睛】全称命题的一般形式是：，，其否定为.存在性命题的一般形式是，，其否定为.
4.一个简单几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
该几何体是由两部分组成的，左半部分是四分之一圆锥，右半部分是三棱锥，运用锥体体积公式可以求解.。

【详解】该几何体是由左右两部分组成的锥体，左半部分是四分之一圆锥，其体积
==，右半部分是三棱锥，其体积=，所以该几何体的体积.故选D.
【点睛】本题考查了组合体的三视图问题，以及锥体体积公式，需要平常多强化空间想象能力。

5.为了弘扬我国优秀传统文化，某中学广播站在中国传统节日：春节，元宵节，清明节，端午节，中秋节五个节日中随机选取两个节日来讲解其文化内涵，那么春节和端午节至少有一个被选中的概率是（）
A. 0.3
B. 0.4
C. 0.6
D. 0.7
【答案】D
【解析】
【分析】
先求出从五个节日中随机选取两个节日的所有基本事件数，再求出春节和端午节至少有一个被选中的基本事件数，然后根据古典概型概率公式求解即可．
【详解】由题意得，从五个节日中随机选取两个节日的所有情况有种，设“春节和端午节至少有一个被选中”为事件A，则事件A包含的基本事件的个数为．
由古典概型概率公式可得．
故选D．
【点睛】解答本题的关键有两个：一是判断出所求概率的类型，本题中结合题意可得属于古典概型；二是正确求出所有的基本事件数和所求概率的事件包含的基本事件数．求事件的个数时可根据排列组合的知识求解，本题考查分析判断能力和计算能力，属于基础题．
6.如图所示的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损
术”，执行该程序框图，若输入的，分别为14，18，则输出的为（）
A. 4
B. 2
C. 0
D. 14
【答案】B
【解析】
【分析】
根据循环结构的特点，先判断、再根据框图中的程序依次执行，分别计算出的值，即可得到结论．
【详解】依次运行框图中的程序：
①由于，满足，故；
②由于，满足，故；
③由于，满足，故；
④由于，满足，故；
⑤由于，满足，故．
此时，
故输出．
故选B．
【点睛】程序框图的填充和判断算法的功能是算法问题在高考中的主要考查形式，和函数、数列的结合是算法问题的常见载体，解决问题的关键是搞清算法的实质，模拟运行算法以得到结果，考查理解和运用能力．
7.在等差数列中，，则数列的前11项和( )
A. 8
B. 16
C. 22
D. 44
【答案】C
【解析】
【分析】
本道题利用,得到,再利用,计算结果,即可得出答案.
【详解】利用等差数列满足,代入,得到
,解得
,故选C.
【点睛】本道题考查了等差数列的性质,利用好和,即可得出答案.
8.已知函数图象相邻两条对称轴之间的距离为，将函数
的图象向左平移个单位后，得到的图象关于轴对称，那么函数的图象（）A. 关于点对称 B. 关于点对称
C. 关于直线对称
D. 关于直线对称
【答案】A
【解析】
【分析】
由函数y=f（x）的图象与性质求出T、和，写出函数y=f（x）的解析式，
再求f（x）的对称轴和对称中心．
【详解】由函数y=f（x）图象相邻两条对称轴之间的距离为，
可知其周期为π，所以ω==2，
所以f（x）=sin（2x+）；
将函数y=f（x）的图象向左平移个单位后，
得到函数y=sin[2（x+）+]图象．
因为得到的图象关于y轴对称，
所以2×+=kπ+，k∈Z，
即=kπ﹣，k∈Z；
又||＜，所以=﹣，
所以f（x）=sin（2x﹣），
令2x﹣=kπ，k∈Z，
解得x=﹣，k∈Z；
k=0时，得f（x）的图象关于点（，0）对称，A正确．
故选：A．
【点睛】解决函数综合性问题的注意点
（1）结合条件确定参数的值，进而得到函数的解析式．
（2）解题时要将看作一个整体，利用整体代换的方法，并结合正弦函数的相关性质求解．
（3）解题时要注意函数图象的运用，使解题过程直观形象化．
9.在中，边上的中线的长为2，点是所在平面上的任意一点，则
的最小值为（）
A. 1
B. 2
C. -2
D. -1
【答案】C
【解析】
建立如图所示的平面直角坐标系，使得点D在原点处，点A在y轴上，则．
设点P的坐标为，则，
故
，当且仅当时等号成立．
所以的最小值为．选C．
10.已知四棱锥中，平面平面，其中为正方形，为等腰直角三角形，，则四棱锥外接球的表面积为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析：因为为等腰直角三角形，,故,则点到平面
的距离为,而底面正方形的中心到边的距离也为,则顶点正方形中心的
距离,正方形的外接圆的半径为,故正方形的中心是球心,则球的半径为
,所以该几何体外接球的表面积,应选D．
考点：几何体的外接球的面积与计算.
【易错点晴】本题考查的是多面体的外接球的表面积问题.解答本题的难点是如何求出该四棱锥的外接球的半径,如何确定球心的位置,这对学生的空间想象能力的要求非常高.解答时
充分借助题设条件,先求出点到平面的距离为,而底面正方形的中心到边的距离也为,则顶点正方形中心的距离,正方形的外接圆的半径为,故正方形的中心是球心,则球的半径为.从而确定球心与共面.求出了球的半径,找到解题的突破口.
11.抛物线C1：y＝x2(p>0)的焦点与双曲线C2：－y2＝1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p＝()．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析：由已知可求得抛物线的焦点F坐标及双曲线的右焦点F1的坐标，从而就可写出直线FF1的方程，联立直线方程与抛物线的方程可求得点M的横坐标，从而由导数的几何意义可用p将在点M处的切线的斜率表示出来，令其等于双曲线渐近线的斜率从而可解出p的值．
因为抛物线：的焦点F（0，），双曲线：的右焦点F1（2，0），
渐近线方程为；
所以直线FF1的方程为：代入并化简得
，
解得，
由于点M在第一象限，所以点M的横坐标为：，
从而在点处的切线的斜率=，
解得：；
故选D．
考点：1．抛物线的性质；2．双曲线的性质；3．导数的几何意义．
【此处有视频，请去附件查看】
12.已知函数，若曲线上存在点使得，则实数a的取值范围是
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
因为曲线在上递增，所以曲线上存在点，
可知，由，可得，而在上单调递减，，故选B.
二、填空题（每小题5分，共4小题，共20分）
13.的展开式的常数项为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
在展开式的通项公式中，令的幂指数等于零，求出的值，即可求出展开式的常数项．【详解】解：由于展开式的通项公式为，
令，解得，故展开式的常数项是，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．
14.已知实数，满足，则的最小值是__________．
【答案】6
【解析】
【分析】
画出不等式组表示的可行域，由可得，平移直线，结合图形可得最优解，于是可得所求最小值．
【详解】画出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示．
由可得．
平移直线，结合图形可得，当直线经过可行域内的点A时，直线在y轴上的截距最大，此时z取得最小值．
由题意得A点坐标为，
∴，
即的最小值是6．
故答案为6．
【点睛】求目标函数的最值时，可将函数转化为直线的斜截式：
，通过求直线的纵截距的最值间接求出z的最值．解题时要注意：①当时，截距取最大值时，z也取最大值；截距取最小值时，z也取最小值；②当时，截距取最大值时，z取最小值；截距取最小值时，z取最大值．
15.设、是双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上一点，满足
（为坐标原点），且，则双曲线的离心率为．
【答案】5
【解析】
试题分析：由于点P在双曲线的右支上，则由双曲线的定义可得，
，
则中，，则，
由勾股定理得，即有，
考点：双曲线的简单性质
16.设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
由得到，设，，从而由题意可得存在唯一的整数，使得在直线的下方．利用导数得到函数的单调性，然后根据两函数的图象的相对位置关系得到关于实数的不等式组，进而得到所求范围．
【详解】由，
得, 其中，
设，，
∵存在唯一的整数，使得，
∴存在唯一的整数，使得在直线的下方．
∵，
∴当时，单调递减；当时，单调递增．
∴当时，，
又当时，，
直线过定点，斜率为，
所以要满足题意，则需，解得，
∴实数的取值范围是．
故答案为．
【点睛】本题考查用导数研究函数的性质和函数图象的应
用，具有综合性和难度，考查理解能力和运算能力，解题的关键是正确理解题意，将问题转化为两函数图象的相对位置关系来处理，进而借助数形结合的方法得到关于参数的不等式（组），进而得到所求．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必答题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分
17.已知,,分别为三个内角,,的对边, =sin cos．
(1)求角;
(2)若=,的面积为,求的周长．
【答案】(1)；(2)
【解析】
试题分析：(1)利用将边化成角即可；（2）利用三角形的面积公式
和余弦定理得出关于的方程.规律总结：解三角形问题，往往要综合正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式以及三角恒等变形等知识，综合性较强，主要思路是利用有关定理实现边、角的合理互化.注意点：
1.转化成，是学生思维的难点；
2.第二问中，要注意整体思想的运用，而不是分别解出的值，可减少计算量.
试题解析：(1)由及正弦定理，得
,又,,
.
(2)因为三角形的面积公式所以，
由余弦定理，得：，
三角形的周长为.
考点：1.正弦定理;2.余弦定理3.三角形的面积公式
18.已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.
（I）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.
（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足
．．的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率.
【答案】（Ⅰ）从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）答
案见解析；（ii）．
【解析】
分析：（Ⅰ）由分层抽样的概念可知应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．
（Ⅱ）（i）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．且分布列为超几何分布，即
P（X=k）=（k=0，1，2，3）．据此求解分布列即可，计算相应的数学期望为．
（ii）由题意结合题意和互斥事件概率公式可得事件A发生的概率为．
详解：（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，
由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，
因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．
（Ⅱ）（i）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．
P（X=k）=（k=0，1，2，3）．
所以，随机变量X的分布列为
随机变量X的数学期望．
（ii）设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；
事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，
则A=B∪C，且B与C互斥，
由（i）知，P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)，
故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=．
所以，事件A发生的概率为．
点睛：本题主要在考查超几何分布和分层抽样.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：①考查对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体个数X的概率分布，超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．进行分层抽样的相关计算时，
常利用以下关系式巧解：(1) ；(2)总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比．
19.如图,在四棱锥中，平面平面
，，，，，点在棱上，且.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）是否存在实数，使得二面角的余弦值为？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.
【解析】
试题分析：(1)由边长和勾股定理得，又平面平面，由定理证得平
面(2)建立空间直角坐标系, 得出平面的一个法向量为
，设平面的一个法向量为，由题意计算得出结果
解析：（Ⅰ）过点作交于，
，，
四边形为正方形，且，
在中，，在中，
又平面平面，平面平面
平面
平面，且
平面
（Ⅱ）
又平面平面，平面平面
平面，
以点为坐标原点，、、所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，
假设存在实数使得二面角的余弦值为，令
点在棱上，
设
则，
平面，平面的一个法向量为
设平面的一个法向量为
由得令得
取
化简得又
存在实数使得二面角的余弦值为.
20.已知椭圆的离心率为，点在椭圆上.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若不过原点的直线与椭圆交于，两点，与直线交于点，并且点是线段的
中点，求面积的最大值.
【答案】（1）椭圆的方程为；（2）面积的最大值为：.
【解析】
试题分析：（1）由椭圆的方程的离心率和椭圆上的点代入方程，列出方程组，求得的值，得到椭圆的方程；
（2）当直线的斜率不存在时，的中点不在直线上，故直线的斜率存在.
设直线的方程为与椭圆的方程联立，求得，进而得到点的坐标，
因为在直线上，解得，以及利用，求得实数，
把三角形的面积表达成实数的表示，即可求解面积的最大值．
试题解析：
(1) 由椭圆的离心率为,点在椭圆上得解得
所以椭圆的方程为.
(2)易得直线的方程为.
当直线的斜率不存在时，的中点不在直线上，故直线的斜率存在.
设直线的方程为,与联立消得
,
所以.
设,则,.
由,所以的中点,
因为在直线上，所以,解得
所以,得,且
,
又原点到直线的距离,
所以，
当且仅当时等号成立，符合,且.
所以面积的最大值为：.
点睛：本题主要考查椭圆的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系,解答此类题目，通常利用的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，应用确定函数的性质求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．
21.己知，
（1）求的单调区间和极值；
（2）若对任意，均有恒成立,求正数的取值范围.
【答案】（1）详见解析；（2）.
【解析】
试题分析：（1）求导通分后，对分成两类，讨论函数的单调区间和极值.（2）化简圆不等式为对任意成立.由（1）知，由此求得. 试题解析：
解：（1）.
i)时，，
即在为增函数，无极值
ii)，
在有极小值，无极大值
的极小值.
（2），
对恒成立由（1）可知
∴. ∴.
点睛：本题主要考查导数与函数单调区间、极值的求法，考查不等式恒成立问题的转化方法.第一问要求函数的单调区间和极值，先求函数的定义域，然后求导并通分，通分后分子是含有参数的一次函数，故要对进行分类讨论.第二问可将原不等式转化为第一问的结论来证明.（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22.在平面直角坐标系中，已知曲线：（为参数），在以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为.
（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；
（2）过点且与直线平行的直线交于，两点，求点到，两点的距离之积.【答案】（1）：；：；（2）1。

【解析】
【分析】
（1）消去曲线的参数方程中的参数后可得普通方程，运用转化公式并结合直线的极坐标方程可得直线的直角坐标方程．（2）由题意得到直线的参数方程，代入曲线的普通方程后，再根据直线参数方程中参数的几何意义求解．
【详解】（1）消去方程（为参数）中的参数，可得曲线的普通方程为．由，得，
将代入上式可得，
所以直线的直角坐标方程为．
（2）由题意可得直线的倾斜角为，且过点，
所以直线的参数方程为（为参数），
把参数方程代入方程，化简得，
设，两点所对应的参数分别为，，
则，
所以.
即点到，两点的距离之积为1．
【点睛】对于直线参数方程的标准形式中t的几何意义，有如下常用结论：
①直线与圆锥曲线相交时，若两交点M1，M2对应的参数分别为，则弦长；
②若定点M0是弦M1M2的中点, M1，M2对应的参数分别为，则；
③设弦M1M2中点为M，则点M对应的参数值(由此可求|M2M|及中点坐标)．
23.已知(是常数，)．
(1)当时，求不等式的解集；
(2)若函数恰有两个不同的零点，求实数的取值范围．
【答案】（1）{|或}；（2）
【解析】
【分析】
（1）当a=1时，f（x），把或的解集取并集，即得所求；
②由f（x）=0得|2x﹣1|=﹣ax+5，作出y=|2x﹣1|和y=﹣ax+5 的图象，观察可以知道，当﹣2＜a＜2时，这两个函数的图象有两个不同的交点，由此得到a的取值范围．
【详解】(1)当时，=，
由，得或，
解得或，
故不等式的解集为{|或}．
(2)令=0，得，
则函数恰有两个不同的零点转化为与的图象有两个不同的交点，在同一平面直角坐标系中作出两函数的图象如图所示，结合图象知当时，这两个函数的图象有两个不同的交点，所以当时，函数恰有两个不同的零点，故实数的取值范围为．
【点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵
活应用，这是命题的新动向．。