第一章 希尔伯特空间

第二个例子 取数学对象为三维位形空间中由一点引
出的不同方向不同长短的线段的全体，即理论力学中
位置矢量全体。规定加法服从平行四边形法则；数乘
中的数是实数，以a数乘的结果是方向不变，长度乘
以a；内积是两矢量的点乘积。这是一个实数域上的
内积空间。
第三个例子 取数学对象为一组有次序的复数，例如四个数， 可以把它们写成一个一列矩阵：
高等量子力学
主讲人：顾运厅
参考教材：《高等量子力学》（第二版），喀兴林，
高等教育出版社
第一章 希尔伯特空间
本章讨论量子力学的主要数学工具——希尔伯特空间，即 满足一定要求的多维矢量空间。 主要内容： §1 矢量空间 §2 算符 §3 本征矢量和本征值 §4 表象理论 §5 矢量空间的直和与直积
§1 矢量空间
下面我们举出矢量空间的一些简单性质。 （1）在矢量空间中，零矢量是唯一的。
证明：
设在空间中有 1 和 2 ，对所有矢量 都满足
1 , 2
取第一式的 为 2 ，第二式中的 为 1 ，分别得
2 1 2 , 1 2 1



* * * （，）（ 2 （ ，） ， （ （（ 1） （，）（，） ，），* ，） ） ，） 2 （ ） 0 ，） ， 2，） ，） 22 （，） （ （ （，） （ 0 （ （ ，） 2 （ 2 2 2 2 2
2 2

2

1

2
1 2 2 2 ， ） 2（，） （ 2

由于
0 ，所以有 （，）
2
2

2
即 （，）
三角形不等式： 对于任意 和 ，有

（1.2）
证明：因为对任意复数 a 有 Re a a ，取 的模方，利 用此关系和 Schwartz 不等式，有
（分配律）
条件（10）（ , ）=（ , ）+ ( , ) ：
条件（11） , , ：
( , ) * ( , )
条件（12） ( , ) 0 对任意 成立；若 ( , ) 0 ，则必有 ：

具有加法与数乘两种运算并满足条件（1）~（8）的集 合称为矢量空间或线性空间。具有加法，数乘和内积三种运 算的空间称为内积空间， 而完全的内积空间称为希尔伯特空 间。 在本章中， 矢量空间一词通常指在复数域上的内积空间。
( ) 1 1
另一方面根据条件（6）和（5） ，有
( ) 1 ( 1 ) 1
二式结合，证明了当 0 时，
（7） ( , ) * ( , ) （8） ( , ) ( , ) ( , ) （9） ( , ) 0
（，）

2

作 的模方，它一定大于或等于零：
2
( , ) * ( , )

* * ） ) （，） ， （ ( , ) （，( ,（，） 0 ，） ，）, 2 )2 （，） （ ( （ 2 2 2 2
( , ) Re(, , 2 ( , ) 2 ( , ) ) ( )
2 2 2 2 2 2 2
2
2
) 2 Re( , ) 2 ( , ) 2
a
i i
i
的形式，其中 ai 是一组复数。
如果一个空间中有一个线性无关的矢量集 1 , 2 ,...n ， 但还不是完全集， 这时可以把不能表为其线性叠加的一个矢量 命名为 n1 ，加入这个矢量集。这时 1 , 2 ,...n , n 1 ，肯定是 线性无关的，如仍不完全，还可以用同样的方法使这矢量集扩 大，直到成为完全集为止。如果能做到这一点，这个矢量空间 称为有限维的，如果做不到这一点，则空间是无穷维的。
（ ， ）
2
模方的正平方根称为模， 记作 ， 又可称为矢量 的长度。 模等于 1 的矢量称为归一化的矢量。
下面我们证明两个与模有关的基本关系。
Schwartz不等式： 对于任意矢量 和 有
（，）
（1.1）
证明： 给定 和 后，构造一个矢量 ，

证明了 1 2 ，即逆元是唯一的。在上式中，第一步根据 条件（3） ，第三步根据条件（1） 。
（3） 0 （4） (1) （5） （6）如果 ，那么 0 或者
证明： 0 时上式显然成立；当 0 时，必有 1 1 / 存 在。我们计算 ( ) 1 ，一方面根据（5） ，
矢量 i 是线性无关的。
对于无穷个矢量的集合，线性无关的定义可以推广为：在 无穷个矢量的集合中，若任意有限的子集合都是线性无关的， 则整个集合就是线性无关的。
完全集
一个矢量空间中的一组完全集，是一个线性
无关的矢量集合 i ，这个空间中的每个矢量都能表为完 全集中矢量的线性叠加，即每一矢量都能写成
定理： 在有限维空间内各种不同的完全集中所含矢量的数目是 相同的。 证明（自己看，5分钟）：
设 一 矢 量 空 间 中 有 两 组 不 同 的 完 全 集 1 , 2 ,...n 和
1， 2， m ，前者有 n 个，后者有 m 个。 ...,
如 果 把 1 加 入 到 完 全 集 {} 中 去 ， 成 为 一 个 集 合
2 2 2 2 2

2
2
于是得

§1-3 基矢
1. 线性无关
矢量空间中有限个（n 个）矢量的集合 i ，若下式
a
i 1 i
n
i
0
(1.3)
只有当全部复数 ai (i 1,2,3,..., n) 都为零时才成立， 则这 n 个
1，1 , 2 ,...n ，这个集合必然是线性相关的。这是因为 是
同时把 ( ) 记为


数乘
集合内任意一矢量可以与数（实数或复数）相乘，
得出集合内另一矢量。 即规定一种数乘规则， 使任意矢量
和一个数 a，在集合内总有一个矢量 与之对应，记为
a a
称为 与 的乘积。 数乘要满足下列四个条件：
条件（5） 1 ：
l1 l2 l l 3 l 4
加法，数乘和内积的定义分别为
l1 m1 l2 m2 lm l 3 m3 l m 4 4
l1 l 2 l l 3 l 4
f ( x), g ( x) a
b
f * ( x) g ( x)dx
这样的函数全体构成一个内积空间，平方可积的意思是

b
a
f * ( x) f ( x)dx
§1-2 正交性和模
如果两个矢量 和 的内积为零，即 ，） 0 ，我 （ 们说这两个矢量正交。
矢量同它自己的内积 ，） 是一个大于零的实数， （ 称为矢量 的模方，记作
下面，讨论几个矢量空间的例子。
第一个例子 取数学对象为所有正负有理数和零，规 定加法即为算术中的加法；规定数乘中的数a也限于所 有的有理数，数乘即是算术中的乘法；最后规定内积 为两个因子的算术乘积。这是一个在有理数域上的矢 量空间。因为有理数相加和相乘所得的都是有理数， 这个空间是封闭的，即所得结果仍在空间之中。
按一定次序任取两个矢量 与 ，总有一个数 c 与之相对应，记作
( , ) c
在实数域（复数域）上的矢量空间中的内积，所得的也是 实数（复数）。内积与两个因子的次序有关，内积规则要满足 下列四个条件：
条件（9） ( , ) ( , )* ： （ c * 表示 c 的复共轭）
* * * (l , m) l1* m1 l 2 m2 l3 m3 l 4 m4
这是一个复数域上的内积空间。
第四个例子
数学对象为在 a x b 区间定义的实变
量 x 的“行为较好”的复函数 f (x) 的全体，而且都是平方可 积的。 所谓 “行为较好” 是指满足一定数学要求， 如单值性、 连续性及导数存在等等，这里我们不去详细讨论。规定加法 和数乘都是代数中的相应运算；规定两个函数 f (x) 和 g (x) 的内积为
空间的完全性的意义为空间中任何在 Cauchy 意义下 收敛的序列 { 1 , 2 , 3 ,...} 的极限也必须在本空间中。 Cauchy 意义下收敛的意思是：
对给定任意小的实数 0 ，有数 N 存在，当 m,n>N 时，有 （ m n , m n）
在量子力学中所用到的空间，就是复数域上的希尔伯特空间。
我们考虑无穷多个同类的数学对象的集合 , , ,...，
在它们之间规定加法、数乘和内积三种运算。
加法 集合中任意两个矢量相加，都能得到集合中一 矢量。即规定一种加法规则，使得集合中任意给定两个矢 量 和 ，总有一个确定的矢量 与之对应，记成

加法规则视不同对象可以不同，但一定要满足下列四个条件：
条件（1） （交换律）
条件（2） ( ) ( )
（结合律）
条件（3）集合中有零矢量 存在，对任意矢量 满足

（加法单位元存在）
条件（4）对集合中任意矢量 ，都有矢量 存在，满足

（加法逆元存在）
我们把满足条件（4）的 记为
主要内容：
§1-1 定义 §1-2 正交性和模 §1-3 基矢 §1-4 子空间 §1-5 右矢和左矢
§1-1 矢量空间的定义
我们讨论的对象是很广泛的，可以是实数或复数，可以是 有序的一组数，可以是有方向的线段，也可以是一种抽象的东 西。我们把这些通称之为数学对象。 同类的许多数学对象满足下面所述的一系列要求时，就构 成一个矢量空间；每一个对象称为空间的一个元，或称为矢量。
条件（6） ( a)b (ab) ：
（结合律）
条件（7） (a b) a b ：
（第一分配律）
条件（8） ( )a a a ：
（第二分配律）
α是实数时，空间称为在实数域上的矢量空间； α是复数时，空间称为在复数域上的矢量空间。
内积
两个矢量可以作内积，得出一个数。即规定一种内积规则，
于是，根据条件（1） ，
2 2 1 1 矢量。
（2）每个矢量的逆元是唯一的。
证明：
若 1 , 2 都是 的逆元，即
1 , 2
于是
1 1 1 ( 2 ) (1 ) 2 ( 1 ) 2 2 2
值得注意的是在这个空间中，有的序列的极限超出这一空间 之外。例如取以下序列：
n 1 1 1 1 s0 1, s1 1 , s2 1 ,..., sn 1! 1! 2! i 0 si !
这个序列的每一项都在我们的空间中，但是当n 的极限是 e=2.7182818…,这是一个无理数，不在有理数空间中。