河南省高二上学期期末考试数学试题(解析版)

一、单选题
1．直线的倾斜角为（ ） 50x +=A ． B ．
C ．
D ．
30︒60︒120︒150︒【答案】D
【分析】求出直线的斜率，然后根据斜率的定义即可求得倾斜角.
【详解】直线可化为 50x +=y x =
则斜率，满足， tan k α==α0180α≤<︒所以倾斜角为. 150︒故选：D
2．下列有关数列的说法正确的是（ ）
A ．数列1，0，，与数列，，0，1是相同的数列 1-2-2-1-
B ．如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列
C ．数列0，2，4，6，8，…的一个通项公式为 2n a n =
D ，…的一个通项公式为n a =【答案】D
【分析】根据数列的定义和表示方法，逐一判断，即可得到本题答案.
【详解】对于选项A ，数列1，0，-1，-2与数列-2，-1，0，1中的数字排列顺序不同，不是同一个数列，故A 错误；
对于选项B ，常数数列既不是递增数列，也不是递减数列，故B 错误； 对于选项C ，当时，，故C 错误；
1n =120a =≠
对于选项D ，因为123a a a =====4a ==
…，所以数列的一个通项公式为D 正确. n a =故选：D
3．已知直线l 过点且方向向量为，则l 在x 轴上的截距为（ ） ()3,4-()1,2-A ． B ．1
C ．
D ．5
1-5-【答案】A
【分析】先根据方向向量求得直线的斜率，然后利用点斜式可求得直线方程，再令，即2k =-0y =可得到本题答案.
【详解】因为直线的方向向量为，所以直线斜率， l ()1,2-2k =-又直线过点，所以直线方程为，即， l ()3,4-42(3)y x -=-+220x y ++=令，得，所以在x 轴上的截距为-1. 0y ==1x -l 故选：A
4．已知，“直线与平行”是“”的（ ）
m ∈R 1:0l mx y +=2
2:910l x my m +--=3m =±A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据平行的成比例运算即可求解.
【详解】直线与平行
1:0l mx y +=2
2:910l x my m +--=则
， 210=91
m m m ≠--所以， 29m =解得，
3m =±经检验，均符合题意， 3m =±故选：C.
5．已知等差数列中，，是函数的两个零点，则{}n a 5a 14a 232()=--x x x f 381116a a a a +++=（ ） A ．3 B ．6
C ．8
D ．9
【答案】B
【分析】由等差数列的性质进行计算即可.
【详解】由已知，函数的两个零点，即方程的两根，， 232()=--x x x f 2320x x --=1x 2x ∴， 514123
31
a a x x -+=+=-
=∵数列为等差数列， {}n a ∴， 3168115143a a a a a a +=+=+=∴. 3811166a a a a +++=故选：B.
6．已知圆关于y 轴对称的圆与直线相切，则m 的值为（ ）
221:230C x y x ++-=2C x m =
A ．
B ．3
C ．或3
D ．1或
1-1-3-【答案】C
【分析】先求出关于y 轴对称的圆的标准方程，然后利用圆心到切线的距离等于半径，列出方2C 程求解，即可得到本题答案.
【详解】由圆，可得标准方程，圆心为，半径， 221:230C x y x ++-=22(1)4x y ++=(1,0)-2r =故关于轴对称的圆的圆心为，半径，则其标准方程为， y 2C (1,0)2r =22(1)4x y -+=又因为圆与直线相切，所以圆心到切线的距离等于半径， 2C x m =即，解得或. 12m -=1m =-3m =故选：C
7．已知数列满足，且，则数列的前项和为（ ） {}n a 13n n a a +=11a =-{}2n a n +5A ． B ． C ． D ．
151-91-91151【答案】B
【分析】由等比数列的定义判断出数列为等比数列，再使用分组求和法求解即可. {}n a 【详解】∵数列满足，且， {}n a 13n n a a +=11a =-∴数列是首项为，公比为的等比数列，
{}n a 1-3∴，
11
133n n n a --=-⨯=-∴数列的前项和为，
{}2n a n +5
()()()()()01234532343638310S =-++-++-++-++-+
()()0123433333246810=-----+++++
()()5113210513
2
-⨯-+⨯=
+
-
12130=-+.
91=-故选：B.
8．已知椭圆过点且与双曲线有相同焦点，则椭圆的离心率
22221(0)x y a b a b +=>>()3,2-22
132x y -=为（ ）
A B C D 【答案】C
【分析】由题可得，，联立方程可求得，然后代入公式，即
2
2
5a b -=22941a b +=22
,a b e =可求得本题答案.
【详解】因为椭圆与双曲线有相同焦点，所以椭圆两个焦点分别为22
132x y -=12(F F ，则①， 2225c a b =-=又椭圆过点，所以
②， ()3,2P -22
941a b +=结合①，②得，，
2215,10a b ==
所以， e ==
故选：C
9．已知圆与圆的公共弦长为2，则m 的值为
221:2220C x y x y +-+-=22
2:20(0)C x y mx m +-=>（ ）
A B ．
C D ．3
32
【答案】A
【分析】根据圆的圆心和半径公式以及点到直线的距离公式，以及公共线弦方程的求法即可求解. 【详解】联立和, 222220x y x y +-+-=2220x y mx +-=得，由题得两圆公共弦长，
(1)10m x y -+-=2l =
圆的圆心为，半径， 22
1:2220C x y x y +-+-=(1,1)-r 2=
圆心到直线
(1,1)-(1)10m x y -+-=
，
===平方后整理得,
， 2230m -=
所以 m m =故选：A.
10．“斐波那契数列”又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，…，即斐波那契数列满足，，设其前n 项和为，若，则{}n a 121a a ==21++=+n n n a a a n S 2021S m =2023a =（ ） A ． B ．m
C ．
D ．
1m -1m +2m 【答案】C
【分析】由斐波那契数列满足，归纳可得，令{}n a 12121,1,n n n a a a a a --===+21m m a S +=+2021m =，即可求得本题答案.
【详解】因为斐波那契数列满足， {}n a 12121,1,n n n a a a a a --===+所以，
321a a a =+， 432211a a a a a =+=++， 5433211a a a a a a =+=+++……
， 21122111m m m m m m m a a a a a a a a S ++--=+=++++++=+ 则. 2023202111a S m =+=+故选：C
11．如图，在直四棱柱中，底面ABCD 是边长为2的正方形，，M ，N 分1111ABCD A B C D -13D D =别是，AB 的中点，设点P 是线段DN 上的动点，则MP 的最小值为（ ）
11B C
A B C D 【答案】D
【分析】建立空间直角坐标系，设出点的坐标，根据两点距离公式表示，利用二次函数求值P MP 域，即可得到本题答案.
【详解】以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空D 1,,DA DC DD x y z 间直角坐标系.
因为底面ABCD 是边长为2的正方形，，所以， 13D D =(1,2,3)M ∵点在平面上，∴设点的坐标为，
P xOy P ()[],,0,0,1x y y ∈∵在上运动，∴
，∴，∴点的坐标为， P DN 2AD x y AN
==2x y =P (2,,0)y y
==
∵，∴当时， 取得最小值
. []0,1y ∈45y =MP 故选：D
12．已知双曲线C ：l 与C 相交于A ，B 两
2
2
21(0)y x b b
-=>点，若线段的中点为，则直线l 的斜率为（ ） AB ()1,2N
A ．
B ．1
C
D ．2
1-【答案】B
【分析】先利用题目条件求出双曲线的标准方程，然后利用点差法即可求出直线的斜率.
l 【详解】因为双曲线的标准方程为，
2
2
21(0)y x b b
-=>所以它的一个焦点为，一条渐近线方程为， (,0)c 0bx y -=
所以焦点到渐近线的距离，化简得，解得，
d =
2222(1)b c b =+22b =所以双曲线的标准方程为，
2
2
12y x -=设，所以①，②， 1122(,),(,)A x y B x y 221112y x -
=22
2212
y x -=
①-②得，，
2222
12121()()02
x x y y ---=化简得③，
121212121()()()()02
x x x x y y y y +--+-=因为线段的中点为，所以， AB ()1,2N 12122,4x x y y +=+=代入③，整理得， 1212x x y y -=-显然，所以直线的斜率. 1212,x x y y ≠≠l 12
12
1y y k x x -==-故选：B
二、填空题
13．已知A （1，－2，11）、B （4，2，3）、C （x ，y ，15）三点共线，则xy=___________. 【答案】2．
【详解】试题分析：由三点共线得向量与共线，即，，
AB AC AB
k AC = (3,4,8)(1,2,4)k x y -=-+，解得，，∴． 124
348x y -+==-12x =-4y =-2xy =【解析】空间三点共线．
14．已知抛物线的焦点为F ，直线与抛物线交于点M ，且，则22(0)x py p =>2x =2MF =p =_______. 【答案】2
【分析】先求点的纵坐标，然后根据抛物线的定义，列出方程，即可求得的值.
M p 【详解】
把代入抛物线标准方程，得，
2x =22(0)x py p =>2(2,)M p 根据抛物线的定义有，，化简得，，解得. 2
22p MF MH p
==+=244p p +=2p =故答案为：2
15．已知点，点为圆上的任意一点，点在直线上，其中为坐标原(1,1)--P M 22:1C x y +=N OP O
点，若恒成立，则点的坐标为______.
|||MP MN =N
【答案】
11,22⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
【分析】设和的坐标，由，列等式，利用点在圆上，点在直线上，N
M |||MP MN =M N OP 化简得恒成立的条件，求得点的坐标.
N 【详解】易知直线的方程为，由题意可设，
OP 0x y -=00(,)N x x 设，则可得，由
，可得
(,)M x y '
'
22
1x y ''+=||||MP MN 222
222
00||(1)(1)||()()MP x y MN x x y x ''+++==''-+-， 2
00
2()3
22()12x y x x y x ''++=''-+++则，化简得，
2002()322()12x y x x y x ''''⎡⎤++=-+++⎣⎦2
00(24)()41x x y x ''++=-即，
[]
00(12)2()(12)0x x y x ''+++-=若恒成立，则，解得，故.
|||MP MN =0120x +=012x =-11,22N ⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
故答案为：
11,22⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
16．已知双曲线C ：的左、右焦点分别为，，其中与抛物线的
22
221(0,0)x y a b a b
-=>>1F 2F 2F 28y x =焦点重合，点P 在双曲线C 的右支上，若，且，则
的面积为122PF PF -=1260F PF ∠=︒12F PF △_______. 【答案】【分析】结合题目条件与余弦定理，先算出的值，然后代入三角形的面积公式
12PF PF ⋅，即可得到本题答案. 1212121
sin 2
F PF S PF PF F PF =
⋅∠A 【详解】由双曲线右焦点与抛物线的焦点重合，可得，所以， 2F 28y x =2(2,0)F 124F F =设，则，
1122,PF r PF r ==122r r -=因为，所以， 22212121212||||2cos F F PF PF PF PF F PF =+-⋅⋅∠22
12121
2162
r r r r +-⨯
=则
，解得，
2
1212()16r r r r -+=1212r r =所以，. 12121
sin 602
F PF S r r =
︒=A
故答案为：
三、解答题
17．已知数列满足，且点在直线上.
{}n a 11a =111,n n a a +⎛⎫
⎪⎝⎭
2y x =+(1)求数列的通项公式；
{}n a (2)设，求数列的前n 项和. 1n n n b a a +={}n b n T 【答案】(1) 1
21
n a n =-(2) 21
n
n + 【分析】（1）先求出数列的通项公式，从而可得到数列的通项公式；
1n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
{}n a （2）根据（1）中数列的通项公式，可写出数列的通项公式，再利用裂项相消的方法即可{}n a {}n b 求得前n 项和.
n T 【详解】（1）由题意得，即
， 1112n n a a +=+111
2n n a a +-=所以数列是首项为，公差为2的等差数列，
1n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
1
11a =故
，即. 1112(1)21n n n a a =+-=-121
n a n =-（2）由（1）知，
11111(21)(21)22121n n n b a a n n n n +⎛⎫
==
=- ⎪-+-+⎝⎭
所以
1111111112323522121n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=⨯-+⨯-++⨯- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 111111123352121n n ⎛⎫
=⨯-+-++- ⎪-+⎝⎭
. 111221n ⎛⎫=
- ⎪+⎝⎭21
n n =
+18．已知的顶点坐标分别是，，. ABC A ()3,0A ()1,2B ()1,0C -(1)求外接圆的方程；
ABC A (2)若直线l ：与的外接圆相交于M ，N 两点，求. 3480x y +-=ABC A MCN ∠【答案】(1) 22(1)4x y -+=(2) 60MCN ∠=︒
【分析】（1）设出圆的一般方程，代入点，求出方程组的解，即可得到本题答案； ,,A B C （2）先求出圆心到直线的距离，即可得到，然后求出，即可得到本题答MN 30PMN ∠=︒MPN ∠案.
【详解】（1）设圆的一般方程为：，， 220x y Dx Ey F ++++=22(40)D E F +->代入点得，
(3,0),(1,2),(1,0)A B C -，解得，
9+30142010
D F D
E
F D F +=⎧⎪++++=⎨⎪-+=⎩
203D E F =-⎧⎪
=⎨⎪=-⎩所以圆的一般方程为：， 22230x y x +--=标准方程为：.
22(1)4x y -+=（2）圆心到直线的距离，
(1,0)P :3480l x y +-
=d 又因为，在等腰中，， 2PM =PMN A 30PMN ∠=︒所以圆心角，则.
260120MPN ∠=⨯︒
=︒60MCN ∠=︒
19．如图所示，在四棱锥中，平面ABCD ，，，且
P ABCD -PA ⊥AD BC ∥AB BC ⊥，.
1AB AP BC ===2AD =
(1)求证：平面；
CD ⊥PAC (2)若E 为PC 的中点，求与平面所成角的正弦值.
PD AED 【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）先证，，由此即可证得平面； AC CD ⊥PA CD ⊥CD ⊥PAC （2）建立空间直角坐标系，求出,平面的一个法向量为，然后利用公
(0,2,1)PD =- AED ()1,0,1n =- 式，即可求得本题答案. sin cos ,n PD n PD n PD
θ⋅==⋅ 【详解】（1）作，垂足为，易证，四边形为正方形.
CF AD ⊥F ABCF 所以，
又
1CF AF DF ===CD ==AC ==因为，所以.
222AC CD AD +=AC CD ⊥因为平面，
平面，所以.
PA ⊥ABCD CD ⊂ABCD PA CD ⊥又，平面，平面，所以平面.
AC PA A ⋂=AC ⊂PAC PA ⊂PAC CD ⊥PAC
（2）以点为坐标原点，以所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间A ,,AB AD AP 直角坐标系，
则，，，，. ()0,0,0A ()0,0,1P ()1,1,0C ()0,2,0D 111,,222E ⎛⎫ ⎪⎝⎭
则，，. (0,2,0)AD = (0,2,1)PD =- 111(,,)222
AE = 设平面的法向量为，
AED (),,n x y z = 由，得， 00n AE n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 11102220
x y z y ⎧++=⎪⎨⎪=⎩令，可得平面的一个法向量为.
1z =AED ()1,0,1n =- 设与平面所成角为，
PD AED θ则
sin cos ,n PD n PD n PD
θ⋅====⋅ 20．已知抛物线：（）的焦点为，过上一点向抛物线的准线作垂线，垂足C 22y px =0p >F C P 为，是面积为
.
Q PQF △(1)求抛物线的方程；
C (2)过点作直线交于，两点，记直线，的斜率分别为，，证明：()1,0M -l C A B FA FB 1k 2k .
120k k +=【答案】(1)
24y x =(2)证明见解析
【分析】（1）由等边三角形的面积可以求出边的长，再求出中的长，即可求出QF Rt FQN A FN 的值，从而求出抛物线的标准方程；
p （2）设过的直线方程，与抛物线方程联立，借助，坐标表示，化简证明即可.
M A B 12k k +
【详解】（1）
如图所示，的面积 PQF △1sin 602PQF S PQ PF =
︒A ∴， 4PF PQ QF ===设准线与轴交于点，则在中，， x N Rt FQN A 906030FQN ∠=︒-︒=︒∴， 122
p FN QF ===∴抛物线的方程为.
C 24y x =（2）
由题意知，过点的直线l 的斜率存在且不为，
()1,0M -0∴设直线的方程为：（），
l l ()1y k x =+0k ≠直线的方程与抛物线的方程联立，得，消去y 整理得， l C 2(1)4y k x y x
=+⎧⎨=⎩，
()2222240k x k x k +-+=当，即时，设，， ()2
242440k k ∆=-->()()1,00,1k ∈-⋃()11,A x y ()22,B x y 则，， 2122
24k x x k =-+-121=x x 由第（1）问知，，
()1,0F ∴直线的斜率，直线的斜率， FA 1111y k x =
-FB 2221y k x =-∴. ()()()()()()()()()
12112121212121221121011111111x x k x x y y k x k x x k k x x x x x -++--+=+===------+
∴原命题得证.
21．已知数列满足，且.
{}n a 12n n a a +=12314++=a a a (1)求的通项公式；
{}n a (2)设，数列的前n 项和为，若对任意的，不等式2n n b n a =⋅{}n b n T n *∈N ()
2224844n n T n n λ++-≥-恒成立，求实数λ的取值范围.
【答案】(1)
2n n a =(2) 3,128⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
【分析】（1）由，可得数列为等比数列，公比，代入到，算出12n n a a +={}n a 2q =12314++=a a a ，即可得到本题答案；
1a （2）根据错位相减的方法求得，然后将不等式，逐步等价转化为n T ()
2224844n n T n n λ++-≥-，再利用单调性求出的最大值，即可得到本题答案. 2112n n λ-≥2112n n
n c -=【详解】（1）因为，所以是公比为2的等比数列， 12n n a a +={}n a 所以，故，
1231112414a a a a a a ++=++=12a =故.
2n n a =（2），
1222n n n b n n +=⋅=⋅则，
23411222322n n T n +=⨯+⨯+⨯++⨯ 所以，
()345121222321222n n n n n T ++⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯= 两式相减得，，
()()2234
122221222222212412n n n n n n T n n n ++++--=++++-⋅=-⋅=-⋅-- 因此. 2(1)24n n T n +=-⋅+由，可得，所以， ()2224844n n T n n λ++-≥-222844n n n n λ+⋅≥-2112n
n λ-≥该式对任意的恒成立，则. n *∈N max
2112n n λ-⎛⎫≥ ⎪⎝⎭令，则， 2112n n n c -=()1112111211132222
n n n n n n n n c c ++++----=-=当时，，即数列递增，当时，，即数列递减，
6n ≤10n n c c +->{}n c 7n ≥10n n c c +-<{}n c
所以当时，， 7n =()max 3128
n c =所以实数λ的取值范围是. 3,128⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭22．已知椭圆M ：的短轴长为
. 22221(0)x y a b a b +=>>(1)求椭圆M 的方程；
(2)若过点的两条直线分别与椭圆M 交于点A ，C 和B ，D ，且共线，求直线AB 的
()1,1Q -,AB CD 斜率.
【答案】(1)
22
193
x y +=(2) 13
【分析】（1）由短轴长可求出可求出，由此即可求得本题答案； 23b =29a =（2）设点，因为共线，可设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y ,AB CD ,AQ QC BQ QD λλ== ，可得，，代入椭圆方程，然后相减，即可得到本题答案. 13131(1)x x y y λλλλ+-⎧=⎪⎪⎨-+-⎪=⎪⎩24241(1)x
x y y λλλ
λ+-⎧=⎪⎪⎨-+-⎪=⎪⎩
【详解】（1）因为短轴长为
，
b =23b =因为离心率，所以，可得， e 2222213
c b a a =-=2
213b a =29a =所以椭圆M 的方程为. 22
193
x y +=（2）设.
()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y 设，则，即， AQ QC λ= 13131(1)1(1)x x y y λλ-=-⎧⎨--=+⎩13131(1)x x y y λλλλ+-⎧=⎪⎪⎨-+-⎪=⎪⎩
代入椭圆方程，得， ()()22112211193x y λλλλ
+-++⎡⎤⎡⎤⎣
⎦⎣⎦+=即① ()()221141211993x y λλλ+⎛⎫-+-=- ⎪⎝⎭
同理可得② ()()222241211993x y λλλ+⎛⎫-+-=- ⎪⎝⎭
由②-①，得， 11229393x y x y -=-所以，
()12123y y x x -=-所以直线AB 的斜率. 121213
y y k x x -==-【点睛】思路点睛：把共线这个条件，转化为，是解决此题的关键. ,AB CD ,AQ QC BQ QD λλ==。