2019年北京中考数学习题精选：方案设计题

2019年北京中考数学习题精选：方案设计题
1.(2018北京交大附中初一第一学期期末)画一画：如下图所示，河流在两个村庄A 、B 的附近可以近似地看成是两条折线段（图中l ），A 、B 分别在河的两旁. 现要在河边修建一个水泵站，同时向A 、B 两村供水，为了节约建设的费用，就要使所铺设的管道最短. 某人甲提出了这样的建议：从B 向河道作垂线交l 于 P ，则点P 为水泵站的位置. （1）你是否同意甲的意见？（填“是”或“否”）；
（2）若同意，请说明理由，若不同意，那么你认为水泵站应该建在哪？ 请在图中作出来，并说明作图的依据.
2.（2018北京石景山区第一学期期末）16．石景山区八角北路有一块三角形空地（如图1）准备
绿化，拟从点A 出发，将△ABC 分成面积相等的三
个三角形，栽种三种不同的花草．
下面是小美的设计（如图2）． 作法：（1）作射线BM ；
（2）在射线BM 上顺次截取BB 1=B 1B 2=B 2B 3； （3）连接B 3C ，分别过B 1、B 2作B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C ， 交BC 于点C 1、C 2；
图1
C
B
A
（4）连接AC 1、AC 2． 则C AC C AC ABC
S S S 2211
∆∆∆==．
请回答，C AC C AC ABC
S S S 2211
∆∆∆==成立的理由是：
①； ②．
答案：①两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例； ②等底同高的三角形面积相等
3.（2018北京石景山区初一第一学期期末）阅读下面材料： 在数学课上，老师提出如下问题：
小丁、小力、小川三位同学的设计方案如下：
答案：小力．………………………………… 1分
图2
B 3
B 1
B 2M
C 2
C 1
A
B
C
理由是：（1）两点之间线段最短；……………… 3分
（2）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．…… 5分
4.（2018北京市怀柔区初二期末）近年来，为减少空气污染，北京市一些农村地区实施了煤改气工程，某燃气公司要从燃气站点A向B，C 两村铺设天然气管道，经测量得知燃气站点A到B村距离约3千米，到C村距离约4千米，B，C两村间距离约5千米.下面是施工部门设计的三种铺设管道方案示意图.
请你通过计算说明在不考虑其它因素的情况下，下面哪个方案所用管道最短.
解：方案1：AB+AC=3+4=7千米. …………………2分
方案2：连接AB,AC.
∵AB=3，AC=4，BC=5.
∴∠BAC=90°.…………………3分
∵AD⊥BC于D，
∴S△ABC=1
2AB⋅AC=1
2
BC⋅AD
∴345AD
⨯=
∴AD=12
5.…………………5分
∴AD+BC=12
+5=7.4千米.…………………6分
5
方案3：方法1：∵AE＞AD, ∴AE+BC＞7.4千米. …………………8分综上，在不考虑其它因素的情况下，方案1所用管道最短.
方法2：利用直角三角形斜边中线等于斜边一半.
即AE+BC=5+2.5=7.5千米.……………8分
方法3：延长AE到F使EF=AE，
∵E为BC中点，∠BEF=∠AEC.
∴△AEC≌△BEF(SAS).
∵∠BAC=90°,
∴∠2+∠F=90°.
∴∠ABF=90°.
∴AF=5.
∴AE=2.5.
∴AE+BC=5+2.5=7.5千米.…………………8分
所以，方案1所用管道最短.。