2020高考数学一轮复习讲练测浙江版专题5.6第五章平面向量数系的扩充与复数的引入(单元测试)(测)含解析

2020年高考数学一轮复习讲练测（浙江版）
《平面向量、数系的扩充与复数的引入》单元---测
【满分：150分 时间：120分钟】
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（浙北四校2019届高三12月模拟）i 为虚数单位，（ ）
A ． i
B ．
C ． 1
D ．
【答案】D 【解析】
，
故选：D ．
2．（2019·北京高考模拟（文））已知i 是虚数单位，a R ∈，则“1a =”是“2
(i)a +为纯虚数”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】
因为2
(i)a +＝212i a a -+，
当1a =时，2
(i)a +＝2i ，是纯虚数， 当2
(i)a +为纯虚数时，1a =±，
故选：A
3．（2019·福建高考模拟（文））若已知向量，
，若，则的值为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D 【解析】 ∵向量
，
，且
，
∴，即
∴，
故选：D
4．（2019·四川高考模拟（文））在平行四边形ABCD 中，AB a =，AC b =，若E 是DC 的中点，则BE =（ ） A ．
1
2
a b - B ．
3
2
a b - C ．1
2
a b -
+ D ．3
2
a b -
+ 【答案】D 【解析】
13
22
BE BC CE AC AB CE b a a a b =+=-+=--=-+.
故选D.
5．（2019·北京高考模拟（文））在平行四边形ABCD 中，AB∥CD，()()2221AB AD =-=，，，，则AC DB ⋅=（ ）
A ．3-
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C 【解析】
在平行四边形ABCD 中，//AB CD ，(2,2),(2,1)AB AD →
→
=-=，
(4,1)AC AB AD →→→=+=-，(0,3)DB AB AD →→→
=-=-，
则40(1)(3)3AC DB →
→
=⨯+--=⋅． 故选：C ．
6．（2019·江西高考模拟（文））若复数z 满足i iz 42+=，其中i 为虚数单位，则复数z 在复平面内对应的点的坐标为（ ） A ．()4,2-- B ．()4,2
C ．()4,2-
D ．()4,2-
【答案】B 【解析】
24(24)421
i i i
z i i ++=
==--,其z 在复平面内对应的点的坐标为()4,2
故选B
7．（2019·陕西高考模拟（文））已知向量，，若
与垂直，则的值为（ ） A ． B ．
C ．
D ．
【答案】B 【解析】 因为
与垂直，所以
，解得
．故应选B ．
8．（2019·山西高三月考）平行四边形ABCD 中，,AC BD 在AB 上投影的数量分别为3，-1，则BD 在BC 上的投影的取值范围是（ ） A ．()1,-+∞ B ．()1,3-
C ．()0,∞+
D ．()0,3
【答案】A 【解析】
建立直角坐标系：设(,0)B a ，(3,)C b ，(1,)D a b -，则3(1)a a --=， 解得：2a =，所以，(1,),(3,)D b C b ，()=1,BC b ，()1,BD b =-，
则BD 在BC 上的投影2
c os BC BD BM BD BC
θ=
=⋅=
⋅=
()1t t =>，则2
2t B M t =
=-，令()2f t t t =-，则有()22
'1f t t =+，在()1,+∞上，()'0f t >，
()f t 单调递增，故()()1f t f >-，故()1f t >-，
则BD 在BC 上的投影的取值范围是()1,-+∞
9．（2019·广东深圳高中高考模拟（理））在平行四边形ABCD 中，113,2,,D,32
AB AD AP AB AQ A ====uu u r uu u r uuu r uuu r
若
CP C 12,Q ⋅=uu r uu u r
则ADC ∠=( )
A ．
56
π B ．
34
π C ．
23
π D ．
2
π 【答案】C 【解析】
如图所示,
平行四边形ABCD 中, 3,2AB AD ==,
11
,32
AP AB AQ AD =
=， 2
3CP CB BP AD AB ∴=+=--，
1
2CQ CD DQ AB AD =+=--,
因为12CP CQ ⋅=,
所以2132CP CQ AD AB AB AD ⎛⎫⎛⎫
⋅=--⋅-- ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
22214
323AB AD AB AD =
++⋅ 22214
3232cos 12323
BAD =⨯+⨯+⨯⨯⨯∠=, 1
cos 2BAD ∠=
，,3
BAD π∴∠= 所以23
3
ADC π
π
π∠=-
=
，故选C. 10. （2019·江苏高考模拟（文））已知圆C 的方程为22
(1)(1)2x y -+-=，点P 在直线3y x =+上，线段AB 为
圆C 的直径，则PA PB ⋅的最小值为（ ） A ．2 B ．
5
2
C ．3
D ．
72
【答案】B 【解析】
()()()()PA PB PC CA PC CB PC CA PC CA ⋅=+⋅+=+⋅-2
222||||||22
PC CA PC =-=-≥-52=.故选B.
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分 11．（2017·浙江高考真题）已知a ，b ∈R，
（i 是虚数单位）则 ______，ab =________.
【答案】5, 2 【解析】 由题意可得
，则
，解得
，则
．
12．（2019·浙江高考模拟）已知复数z 满足(12)34i z i +=-，i 为虚数单位，则z 的虚部是_____，z =_____． 【答案】2-
【解析】
由(12)34i z i +=-，得34(34)(12)
1212(12)(12)
i i i z i i i i ---=
==--++-，∴z 的虚部是2-
，z = 故答案为：2-
13．（2019·浙江高三期中）已知i 是虚数单位，则上的虚部为__ __；若，则__ __．
【答案】-1 0 【解析】 由
，得
的虚部为
；
，
，解得
．
则
．
故答案为：
；0．
14．（2018·北京高考模拟（理））如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1,点A,B 对应的复数分别是12,z z ，则
2
1
z z =_______.
【答案】12i --
【解析】 由题意，根据复数的表示可知12,2z i z i ==-，所以
()()()
212212i i z i i z i i i -⋅--===--⋅-． 15．（2019·浙江高三期末）在ABC ∆中，D 为边BC 中点，经过AD 中点E 的直线交线段,AB AC 于点,M N ，若
,AB mAM AC nAN ==u u u r u u u r u u u r u u u r
，
则m n +=___ __；该直线将原三角形分成的两部分，即三角形AMN 与四边形BCNM 面积之比的最小值是_ __. 【答案】4；1
3
. 【解析】
∵ABC 中，D 为BC 边的中点，E 为AD 的中点，
∴()
11
=+24
AE AD AB AC =， ∵,AB mAM AC nAN ==，
∴()
11
4
AE AM ME AB ME AB AC m =+=+=+， ∴111 44ME AB AC m ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，同理111 44NE AB AC n ⎛⎫
=+- ⎪⎝⎭
∵ M E 与 NE 共线，∴存在实数λ，使 M E NE λ=（0λ<）， 即111111 []4444AB AC AB AC m n λ⎛⎫⎛⎫
-+=+-
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
∴1144 111()4
4m n λ
λ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得41m λ=-，41n λλ=-，
∴44411m n λλλ+=
+=--； ∵1
sin 12
1sin 2
AMN ABC
AM AN A
S AM AN S
AB AC mn AB AC A ⋅⋅===⋅⋅，
∵4m n +=，∴2
42m n mn +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭
，当且仅当2m n ==时取等号，此时1mn 有最小值14， 则有M ，N 分别为AB ，AC 的中点，
ABC
MBCN
S
S 四边形取得最小值
13，故答案为4，1
3
．
16. （2019·山东高考模拟（文））如图，在圆内接四边形ABCD 中，AC 是外接圆直径，
120,
1BAD AB AD ︒∠===，若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ⋅的最小值为______．
【答案】
21
16
【解析】
因为在圆内接四边形ABCD 中，AC 是外接圆直径，所以90ADC ABC ∠=∠= ，以D 为原点，DA 所在直线为x 轴建立空间直角坐标系，如图所示
因为120,
1BAD AB AD ︒
∠===，
所以()1,0A ，直线AB
所以32B ⎛ ⎝⎭
因为AB BC ⊥，所以直线BC 的斜率为3
-
直线BC 的方程为3232y x ⎫-=--⎪⎝⎭
令0x =，解得y =
(C
设点E 的坐标为()0,t ，则t ⎡∈⎣
所以()1,AE t =-，3,2BE t ⎛=- ⎝⎭
所以2322
AE BE t ⋅=-
+，
又因为t ⎡∈⎣，所以当t =时，AE BE ⋅的最小值为21
16 .
17. （2019·山东高考模拟（理））如图，在中，
为上一点，且满足
，
若
的面积为
，则
的最小值为______．
【答案】
【解析】 因为的面积为，
所以,
因此， 因为，
所以
因此
，
当且仅当时取等号 即
，
的最小值为
.
三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18．（2019·浙江高一期末）已知ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知6AB AC ⋅=，ABC S ∆=(Ⅰ)求角A 的大小；
(Ⅱ)设点M 满足2BM MC =，求线段AM 长度的取值范围.
【答案】(Ⅰ) A =3
π
(Ⅱ) )
⎡+∞⎣ 【解析】
(Ⅰ)因为6AB AC ⋅=，所以cos 6bc A =
因为ABC S ∆=sin bc A =
两式相除得tan A =所以A =
3
π (Ⅱ)因为A =
3
π
，所以12bc = 因为2BM MC =，
所以12
33AM AB AC =
+ 所以2222
11(2)(44)99AM AB AC AB AC AB AC =+=++⋅
所以222
11(424)(424)899
AM c b bc =++≥+=．
当且仅当2c b =时取得等号
所以线段AM 长度的取值范围时)
22,⎡+∞⎣. 19. （2017·江苏高考真题）已知向量．
（1）若，求x 的值；
（2）记，求函数y ＝f （x ）的最大值和最小值及对应的x 的值．
【答案】（1）（2）
时，
取到最大值3；
时，
取到最小值
.
【解析】 （1）∵向量．
由，
可得：，
即
， ∵x ∈[0，π] ∴．
（2）由
∵x ∈[0，π]， ∴
∴当时，即x ＝0时f （x ）max ＝3； 当
，即
时
．
20. （2019·江苏高二期末（文））如图，已知矩形ABCD ，2AB =
，AD =点P 为矩形内一点，且||1AP =，
设BAP α∠=
.
（1）当3
π
α=
时，求证：PC PD ⊥；
（2）求()PC PD AP +⋅的最大值. 【答案】（1）见解析（2）2 【解析】
以A 为坐标原点建立平面直角坐标系， 则(0,0)A ，(2,0)B
，C
，D .
当3π
α=
时，1,22P ⎛ ⎝⎭
，则3,22PC ⎛= ⎝⎭
，1,22PD ⎛=- ⎝⎭
，
∴2
31222PC PD ⎛⎛⎫⋅=⨯-+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭
33044=-+=. ∴PC PD ⊥.
（2）由三角函数的定义可设(cos ,sin )P αα，
则(2cos sin )PC αα=-
，(cos sin )PD αα=-，(cos ,sin )AP αα=，
从而(22cos ,2sin )PC PD αα+=-，
所以()PC PD AP +⋅222cos 2cos 2sin αααα=-+-4sin 26πα⎛⎫=+
- ⎪⎝⎭， 因为02π
α<<，故当3π
α=时，()PC PD AP +⋅取得最大值2.
21．（2019·浙江高一期末）在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，向量()()1,2,2,1OA OB ==-
()1若C 是AB 所在直线上一点，且OC AB ⊥，求C 的坐标．
()2若()OD OA OB λ=+，当()10OD DA DB ⋅+=-，求λ的值．
【答案】（1）13,22⎛⎫-
⎪⎝⎭
；（2）12-或1 【解析】 ()()()() 11,2,2,13,1OA OB AB OB OA ==-∴=-=--，
因为C 是AB 所在直线上一点，
设AC AB λ=，可得()13,2C λλ--，
又因为OC AB ⊥，
所以0OC AB ⋅=， 解得12
λ=， 所以13,22C ⎛⎫- ⎪⎝
⎭， 故答案为：13,22⎛⎫-
⎪⎝⎭ ()()()21,2,2,1OA OB ==-且()OD OA OB λ=+，
显然0λ≠，所以1OA OB OD λ+=
，()()1,3,3OD λλλ=-=-， 又()
10OD DA DB ⋅+=- 所以()210OD DO OA OB ⋅++=-，即()2210OD OD OA OB -+⋅+=-， 所以22
1
210OD OD λ-+=-， 所以2201010λλ-+=-
即2210λλ--=，
解得：12
λ=-
或1λ=， 故答案为：12-或1． 22．（2018·浙江高一期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点A （2，0）和单位圆上的两点B （1，0），C （-35，45
），点P 是劣弧BC 上一点，∠BOC =α，∠BOP =β． （Ⅰ）若OC ⊥OP ，求sin （π-α）+sin （-β）的值；
（Ⅱ）设f （t ）=|OA +t OP |（t ∈R ），当f （t ）的最小值为1时，求OP •OC 的值．
【答案】（Ⅰ）
15；（Ⅱ）433 -【解析】 由已知可得，3cos 5α=-，4sin 5α=，P （cos β，sin β）． （Ⅰ）∵2π
βα=-，
∴sin β=sin （2π
α-）=-cos 35
α=． ∴sin（π-α）+sin （-β）=sin α-sin β=
431555-=； （Ⅱ）∵|OA +t OP |=（2+t cos β，t sin β），
∴f （t ）
∴f （t ）min 2sin 1β==， ∴1sin 2
β=． ∵0＜β＜α， ∴6π
β=．
∴cos β=，即P 12）．
∴OP •OC =314525⎛⎫-+⨯= ⎪⎝⎭．。