2005年数学三真题及答案

0 1−t2
2 1− x
又由于 S1 (0) = 0 ，故
S1 ( x)
=
⎪⎨⎧−1 + ⎪⎩
1 ln 2x
0,
1+ 1−
x x
,
x x
< 1, = 0.
所以
S ( x)
=
S1 ( x)
−
S2 (x)
=
⎪⎧ 1 ⎨2x ⎪⎩
ln 1 + 1−
x− x 0,
1 1− x2
,
x x
< 1, = 0.
（19）【解】设
因此 x ∈[0,1] 时， F (x) ≥ 0 ，由此可得对任何 a ∈[0,1] ，有
∫ ∫ a g(x) f ′(x)dx + 1 f (x)g′(x)dx ≥ f (a)g(1).
0
0
(20) 【解】 方程组（ii）的未知量个数大于方程个数，故方程组方程组（ii）有无穷
多解.因为方程组（i）与（ii）同解，所以方程组（i）的系数矩阵的秩小于 3.
n=1
n=1
是( )
∞
∞
∞
∞
∑ ∑ ∑ ∑ (A) a2n−1 收敛， a2n 发散 . （B） a2n 收敛， a2n−1 发散.
n=1
n=1
n=1
n=1
1
∞
∑ (C)
(a2n−1 + a2n ) 收敛.
n=1
∞
∑ (D)
(a2n−1 − a2n ) 收敛.
n=1
（10）设 f (x) = x sin x + cos x ,下列命题中正确的是( )
D2 = {(x, y) x 2 + y 2 > 1, (x, y) ∈ D}，
5
∫∫ ∫∫ ∫∫ 于是
x2 + y 2 −1dσ = − (x 2 + y 2 −1)dxdy + (x2 + y 2 −1)dxdy
D
D1
D2
π
∫ ∫ ∫∫ ∫∫ = − 2 dθ 1 (r 2 −1)rdr + (x2 + y 2 −1)dxdy − (x2 + y 2 −1)dxdy
3
(A)
3
(B) 3
1
(C)
3
(D) 3
（13）设 λ1, λ2 是矩阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1,α 2 ，则α1 ，
A(α1 + α 2 ) 线性无关的充分必要条件是
(A) λ1 = 0
(B) λ2 = 0
(C) λ1 ≠ 0
(D) λ2 ≠ 0
（14） 设一批零件的长度服从正态分布 N (μ,σ 2 ) ，其中 μ,σ 2 均未知. 现从中随机抽
（II） Z = 2 X − Y 的概率密度 f Z (z).
( III ) P{Y ≤ 1 X ≤ 1}. 22Biblioteka （23）（本题满分 13 分）
设 X1, X 2 ,L, X n (n > 2) 为来自总体 N(0,σ 2 )的简单随机样本，X 为样本均值， 记Yi = X i − X ,i = 1,2,L, n. 求：（I） Yi 的方差 DYi ,i = 1,2,L, n ； （II）Y1 与 Yn 的协方差 Cov(Y1,Yn ). （III）若 c(Y1 + Yn ) 2 是σ 2 的无偏估计量，求常数 c.
取 16 个零件，测得样本均值 x = 20(cm) ，样本标准差 s = 1(cm) ，则 μ 的置信
度为 0.90 的置信区间是( )
(A)
⎛ ⎜⎝
20
−
1 4
t0.05
(16),
20
+
1 4
t0.05
(16)
⎞ ⎟⎠
(B)
⎛ ⎜⎝
20
−
1 4
t0.1
(16),
20
+
1 4
t0.1
(16)
⎞ ⎟⎠
(A)
f(0)是极大值，
f
π (
) 是极小值
2
(B) f(0)是极小值， f (π ) 是极大值. 2
（C） f(0)是极大值， f (π ) 也是极大值 2
(D) f(0)是极小值， f (π ) 也是极小值. 2
（11）以下四个命题中，正确的是( )
(A) 若 f ′(x) 在（0，1）内连续，则 f(x)在（0，1）内有界.
∫ ∫ F (x) = x g(t) f ′(t)dt + 1 f (t)g′(t)dt − f (x)g(1) ，
0
0
则 F(x)在[0，1]上的导数连续，并且
F ′(x) = g(x) f ′(x) − f ′(x)g(1) = f ′(x)[g(x) − g(1)] ，
由于 x ∈[0,1] 时， f ′(x) ≥ 0, g′(x) ≥ 0 ，因此 F ′(x) ≤ 0 ，即 F(x)在[0，1]上单调
（II）利用(I)的结果判断矩阵 B − C T A−1C 是否为正定矩阵，并证明你的结论.
（22）（本题满分 13 分） 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
f
(x,
y)
=
⎧1, 0 ⎩⎨0,
<
x
< 1,0 < 其他.
y
<
2x,
求：（I） (X,Y)的边缘概率密度 f X (x), fY ( y) ；
D
（18）（本题满分 9 分）
∑∞
求幂级数 (
1
− 1)x 2n 在区间(-1,1)内的和函数 S(x).
n=1 2n + 1
（19）（本题满分 8 分）
设 f(x),g(x)在[0，1]上的导数连续，且 f(0)=0, f ′(x) ≥ 0 , g′(x) ≥ 0 .证明：对任
何 a∈[0,1],有
所以
x2
∂2g ∂x 2
−
y2
∂2g ∂y 2
=
2y x
f ′( y ) + x
y2 x2
f ′′( x ) + x 2 yy
f ′′( x ) − y
y2 x2
f ′′( y ) − x 2 xy
f ′′( x ) y
= 2 y f ′( y ). xx
(17) 【解】 记 D1 = {(x, y) x 2 + y 2 ≤ 1, (x, y) ∈ D} ，
2005 年全国硕士研究生入学统一考试
一、 填空题
（1）2
数学三答案
（2）xy=2
4
（3） 2edx + (e + 2)dy
（4） 1 2
13
(5)
48
（6）a=0.4, b=0.1
二、选择题
（7）B
(11) C
三、解答题
(8) A (12) A
(9) D (13) D
(10) B (14) C
（15）【解】
对方程组（i）的系数矩阵施以初等行变换
⎡1 2 3⎤ ⎡1 0 1 ⎤
⎢⎢2 3 5⎥⎥ → ⎢⎢0 1
1
⎥ ⎥
，
⎢⎣1 1 a⎥⎦ ⎢⎣0 0 a − 2⎥⎦
从而 a=2. 此时，方程组（i）的系数矩阵可化为
bx2 + cx3 = 0, x2 + (c + 1)x3 =
0,
同解，求 a, b, c 的值.
3
（21）（本题满分 13 分）
设
D
=
⎡A ⎢⎣C T
C B
⎤ ⎥ ⎦
为正定矩阵，其中
A,B
分别为
m
阶，n
阶对称矩阵，C
为
m
×
n
矩阵.
(I)
计算 PT DP ，其中 P
=
⎡E ⎢
m
−
A−1C
⎤ ⎥
；
⎣ o En ⎦
1+ x
lim( x→0 1
−
e
−
x
−
1) x
=
lim
x→0
x + x2 −1+ e−x x(1 − e−x )
x + x2 −1+ e−x
= lim
x→0
x2
= lim 1 + 2x − e−x
x→0
2x
2 + e−x = lim
=
3.
x→0 2
2
（16）【解】 由已知条件可得
∂g = − y f ′( y ) + f ′( x ) ，
x 2n
，
则
S(x) = S1(x) − S2 (x) ， x ∈ (−1,1).
由于
∑ S2 (x)
=
∞ n=1
x 2n
x2
=
1− x2
，
∑ ⎡⎣ xS1 ( x)⎤⎦'
=
∞ n=1
x2n
=
x2 1− x2
,
x ∈ (−1,1)
,
因此
∫ xS1 (x) =
x t 2 dt = −x + 1 ln 1 + x ，
6
递减.
∫ ∫ 注意到 F (1) = 1 g(t) f ′(t)dt + 1 f (t)g′(t)dt − f (1)g(1) ，
0
0
∫ ∫ ∫ 而
1 g(t) f ′(t)dt =
1
g(t)df (t) = g(t) f (t)
1
−
1 f (t)g′(t)dt
0
0
00
故 F(1)=0.
∫ = f (1)g(1) − 1 f (t)g′(t)dt ， 0
P{Y = 2} = ＿＿＿＿＿＿ .
（6）设二维随机变量(X,Y) 的概率分布为
XY 0
1
0
0.4
a
1
b
0.1
已知随机事件{X = 0}与{X + Y = 1}相互独立，则 a=
, b=
.
二、选择题（本题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分. 每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）
= ＿＿＿＿＿＿＿ .
(1,0)
（4）设行向量组 (2,1,1,1) ， (2,1, a, a) ， (3,2,1, a) ， (4,3,2,1) 线性相关，且 a ≠ 1 ，则
a= ＿＿＿＿ .
（5）从数 1,2,3,4 中任取一个数，记为 X, 再从1,2,L, X 中任取一个数，记为 Y, 则
0
0
D
D1
∫ ∫ ∫ ∫ π
=+
1
dx
1(x2
+
y2
−1)dy −
π
2 dθ
1(r 2 −1)rdr = π − 1 .
80 0
0
0
43
∑ (18)
【解】
设 S(x) =
∞ n=1
⎛ ⎜⎝
1 2n +
1
−
1⎞⎟⎠
x
2n
，
∑ ∑ S1(x)
=
∞ n=1
1 x2n 2n +1
， S2 (x)
=
∞ n =1
2005 年全国硕士研究生入学统一考试
数学三试题
一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）
（1）极限 lim x sin x→∞
2x
x2
=
+1
＿
＿＿
.
（2）微分方程 xy′ + y = 0 满足初始条件 y(1) = 2 的特解为 ＿＿＿＿.
（3）设二元函数 z = xex+y + (x + 1) ln(1 + y) ，则 dz
2
（C）
⎛ ⎜⎝
20-
1 4
t0.05
(15),20+
1 4
t0.05
(15)
⎞ ⎟⎠
(D)
⎛ ⎜⎝
20
−
1 4
t0.1
(15),
20
+
1 4
t0.1
(15)
⎞ ⎟⎠
三 、解答题（本题共 9 小题，满分 94 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） （15）（本题满分 8 分）
求
lim
x→0
∫ ∫ a g(x) f ′(x)dx + 1 f (x)g′(x)dx ≥ f (a)g(1).
0
0
（20）（本题满分 13 分） 已知齐次线性方程组
（i）
⎪⎨⎧2xx11++23xx22
+ 3x3 + 5x3
= 0, = 0,
⎪⎩ x1 + x2 + ax3 = 0,
和
（ii）
⎧ ⎩⎨2x1
x1 + + b2
∂x x 2 x
y
∂ 2 g = 2 y f ′( y ) + y 2 f ′′( x ) + 1 f ′′( x ) ， ∂x 2 x3 x x 4 y y y
∂g = 1 f ′( y ) + f ( x ) − x f ′( x ) ，
∂y x x
yy y
∂ 2 g = 1 f ′′( y ) − x f ′( x ) + x f ′( x ) + x2 f ′′( x ) ， ∂y 2 x 2 x y 2 y y 2 y y 3 y
（7）当 a 取下列哪个值时，函数 f (x) = 2x3 − 9x2 + 12x − a 恰好有两个不同的零点
()
(A) 2.
(B) 4.
(C) 6.
(D) 8.
∫∫ ∫∫ ∫∫ （8）设 I1 = cos x2 + y 2 dσ , I 2 = cos(x2 + y 2 )dσ , I3 = cos(x2 + y 2 )2dσ ,
⎛ ⎜⎝
1+ x 1− e−x
−
1 x
⎞ ⎟⎠
.
（16）（本题满分 8 分）
设 f(u)具有二阶连续导数，且 g(x, y)
=
f (y)+ x
yf ( x ) ，求 x 2 y
∂2g ∂x 2
−
y2
∂2g ∂y 2 .
（17）（本题满分 9 分）
∫∫ 计算二重积分 x2 + y 2 −1dσ ，其中 D = {(x, y) 0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 1}.
（B）若 f (x) 在（0，1）内连续，则 f(x)在（0，1）内有界.
（C）若 f ′(x) 在（0，1）内有界，则 f(x)在（0，1）内有界.
(D) 若 f (x) 在（0，1）内有界，则 f ′(x) 在（0，1）内有界.
（12）设矩阵 A= (aij )3×3 满足 A* = AT ，其中 A* 是 A 的伴随矩阵， AT 为 A 的转置 矩阵. 若 a11, a12 , a13 为三个相等的正数，则 a11 为( )
D
D
D
其中 D = {(x, y) x 2 + y 2 ≤ 1} ，则（ ）