2024-2025学年河南省周口市太康第一高级中学高三(上)第一次月考数学试卷(含答案)

2024-2025学年河南省周口市太康第一高级中学高三（上）第一次月
考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A ={x|x x−1≤0}，则∁R A =( )
A. (−∞,0)∪(1,+∞)
B. (−∞,0]∪[1,+∞)
C. (−∞,0)∪[1，+∞)
D. [0,1)2.设x ∈R ，则“ x +1≤2”是“|x−1|<2”的( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
3.十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若a ，b ，c ∈R ，则下列命题正确的是( )
A. 若a >b ，则a|c|>b|c|
B. 若a >b ，则1a 2<1b 2
C. 若a c 2>b c 2，则a >b
D. 若a 2>b 2，则a >b 4.已知a ，b ∈R ，且2a−b−2=0，则9a +13b 的最小值为( )
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
5.已知函数f(x)的定义域为R ，f(x +2)为偶函数，f(2x +1)为奇函数，则( )
A. f(−12)=0
B. f(−1)=0
C. f(2)=0
D. f(4)=0
6.已知函数f(x)的定义域为R ，满足f(x +1)=f(1−x)，当x 1，x 2∈(1,+∞)，且x 1≠x 2时，
f(x 1)−f(x 2)
x 1−x 2<0恒成立，设a =f(−1)，b =f(0)，c =f(e)(其中e =2.71828…)，则a ，b ，c 的大小关系为( )
A. c >a >b
B. c >b >a
C. b >a >c
D. b >c >a
7.已知函数f(x)={−x 2+ax,x ≤1ax−1,x >1，若∃x 1，x 2∈R ，x 1≠x 2，使得f(x 1)=f(x 2)成立，则实数a 的取值
范围是( )
A. a <2
B. a >2
C. −2<a <2
D. a >2或a <−28.如果函数f(x)=12(m−2)x 2+(n−8)x +1(m ≥0,n ≥0)在区间[12,2]上单调递减，那么mn 的最大值为( )
A. 16
B. 18
C. 25
D. 81
2
二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知a>0，b>0，且a+2b=1，则( )
A. ab的最大值为1
9B. 1
a
+2
b
的最小值为9
C. a2+b2的最小值为1
5
D. (a+1)(b+1)的最大值为2
10.函数f(x)在(−∞,+∞)单调递减，且为奇函数．若f(1)=−1，则满足−1≤f(x−2)≤1的x的取值范围是( )
A. [−2,2]
B. [−1,1]
C. [0,4]
D. [1,3]
11.以数学家约翰⋅卡尔⋅弗里德里希⋅高斯的名字命名的“高斯函数”为y=[x]，其中[x]表示不超过x的最大整数，例如[3.2]=3，[−1.5]=−2，则( )
A. ∀x∈R，[x]−[x−1]=1
B. 不等式[x]2−[x]≤2的解集为{x|−1≤x<3}
C. 当|x|≥1，[|x|]+3[|x|]的最小值为23
D. 方程x2=4[x]+3的解集为{15}
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知函数f(x)={2−x+b,x≥0
g(x),x<0，为R上的奇函数，则f(−1)=______．
13.已知关于x的不等式log2x<ax+2恰有一个整数解，则实数a的取值范围是______．
14.我们知道，函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数
y=f(x+a)−b为奇函数．
(1)请你利用这个结论求得函数f(x)=x3+3x2的对称中心为______．
(2)已知函数g(x)=−x+2
x+1
−x3−3x2与一次函数y=k(x+1)−3有两个交点M(x1,y1)，N(x2,y2)，则x1+y1 +x2+y2=______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.（13分）已知幂函数f(x)=(2m2−m−2)x m−1在定义域内单调递增．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求关于x的不等式f(x+1)<f(x2−2x+3)的解集．
16.（15分）设a ∈R ，函数f(x)=2x −a 2x +a (a >0)．
(1)若函数y =f(x)是奇函数，求a 的值；
(2)请判断函数y =f(x)的单调性，并用定义证明．
17.（15分）已知A ={x|log 2(x−1)<1}，B ={x|x 2+mx +n <0}．
(1)若m =−6，n =8，求A ∩B ，A ∪B ；
(2)若A ∪B ={x|1<x <4}，求m 的取值范围．
18.（17分）佩戴口罩能起到一定预防新冠肺炎的作用，某科技企业为了满足口罩的需求，决定开发生产口罩的新机器．生产这种机器的月固定成本为400万元，每生产x 台，另需投入成本p(x)(万元)，当月产量不足70台时，p(x)=12x 2+40x(万元)；当月产量不小于70台时，p(x)=101x +6400x −2060(万元).若每台机器售价100万元，且该机器能全部卖完．
(1)求月利润y(万元)关于月产量x(台)的函数关系式；
(2)月产量为多少台时，该企业能获得最大月利润？并求出其利润．
19.（17分）已知二次函数f(x)=x 2+2ax +2．
(1)若∃x ∈[0,2]，使等式f(2x )=0成立，求实数a 的取值范围．
(2)解关于x 的不等式(a +1)x 2+x >f(x)(其中a ∈R)．
参考答案
1.C
2.B
3.C
4.C
5.B
6.D
7.A
8.B
9.BC
10.D
11.AB
12.12
13.(−2,−12]
14.(−1,2). −8
15.解：(1)由题意，令2m 2−m−2=1，解得m =−1或m =32，
当m =−1时，f(x)=x −2，不满足在定义域内单调递增；
当m =32时，f(x)=x 12，满足在定义域内单调递增；
f(x)的解析式为f(x)=x 12．
(2)∵f(x)=x 12在[0,+∞)上单调递增，
∴{x +1≥0
x 2−2x +3≥0x +1<x 2−2x +3
，解得x ∈[−1,1)∪(2,+∞)．即关于x 的不等式f(x +1)<f(x 2−2x +3)的解集为[−1,1)∪(2,+∞)． 16.解：(1)若函数y =f(x)为奇函数，则f(−x)=−f(x)，
f(−x)=2−x −a 2−x +a =1−a ⋅2x 1+a ⋅2x ，则1−a ⋅2x 1+a ⋅2x =a−2x
2x +a ，
解得a =±1，由a >0，得a =1；
(2)由(1)知f(x)=2x −12x +1=1−22x +1，函数为单调递增函数，证明如下：
设x 1<x 2，
f(x 1)−f(x 2)=2x 1−12x 1+1−2x 2−12x 2+1=2(2x 1−2x 2)(2x 1+1)(2x 2+1)，
因为x 1<x 2，所以2x 1<2x 2，即2x 1−2x 2<0且2x 1+1>0，2x 2+1>0，所以f(x 1)−f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2)，
所以函数y =f(x)在R 上为增函数．
17.解：(1)因为A ={x|log 2(x−1)<1}={x|1<x <3}，
当m =−6，n =8时，B ={x|x 2−6x +8<0}={x|2<x <4}，
故A ∩B ={x|2<x <3}，A ∪B ={x|1<x <4}；
(2)因为A ={x|1<x <3}，B ={x|x 2+mx +n <0}，且A ∪B ={x|1<x <4}，所以4是方程x 2+mx +n =0的根，设另一个根为x 1，
则1≤x 1<3，
所以5≤x 1+4=−m <7，
解得−7<m ≤−5，
即m 的取值范围为(−7,−5]．
18.解：(1)当0<x <70时，y =100x−(12x 2+40)−400=−12x 2+60x−400，当x ≥70时，y =100x−(101x +6400x −2060)−400=1660−(x +6400x ). 所以利润y(万元)关于月产量x(台)的函数关系式为
y ={−12x 2+60x−400,0<x <70且x ∈N ∗
1660−(x +6400x
),x ≥70且x ∈N ∗
；(2)当0<x <70时，y =−12x 2+60x−400=−12(x−60)2+1400，
当x =60时，y 取得最大值为1400万元；
当x ≥70时，y =1660−(x +6400x )≤1660−2 x ⋅6400x =1500，当且仅当x =6400x ，即x =80时y 取最大值1500．
综上，当月产量为80台时，该企业能获得最大月利润，最大月利润为1500万元． 19.解：(1)x ∈[0,2]时，2x ∈[1,4]，
所以f(2x )=(2x )2+2a ⋅2x +2，
令t =2x ∈[1,4]，
设g(t)=t 2+2at +2=0，可得2a =−t−2t ，
令y =−t−2t ，则t 在[1, 2]上单调递增，在( 2,4]单调递减，所以y max =− 2−2
2=−2 2，y min =min{−3,−92}=−9
2，所以a ∈[−94,− 2]. (2)不等式(a +1)x 2+x >f(x)，整理可得(ax +1)(x−2)>0，①当a =0时，不等式可得x−2>0，解得x >2；当a ≠0，方程(ax +1)(x−2)=0，可得x =−1
a 或x =2，②当a >0时，(x +1a )(x−2)>0，
又因为−1a <x <2，可得不等式的解集为{x|x <−1a 或x >2}；③当a <0时，则不等式为(x +1a )(x−2)<0，
(i)当−1a =2，即a =−12，不等式为(x−2)2<0，则解集为⌀；(ii)当−1a >2，即a <−12，则(x +1a )(x−2)<0，解集为{x|2<x <−1a }；(iii)当−1a <2，即−12<a <0，则(x +1a )(x−2)<0，解集为{x|−1a <x <2}．综上所述：当a =0时，不等式解集为{x|x >2}；a >0时，不等式的解集为{x|x <−1a 或x >2}；
a =−12时，不等式的解集为⌀；
a <−12时，不等式的解集为{x|2<x <−1a }；
−12<a <0时，不等式的解集为{x|−1a <x <2}．。