高三第一次月考试卷数学
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考试时间：120分钟满分：150分
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）
1. 已知函数$f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4$，则$f(1)$的值为（）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
2. 若$a > 0$，$b > 0$，则下列不等式中恒成立的是（）
A. $a^2 + b^2 \geq 2ab$
B. $a^3 + b^3 \geq 2ab(a + b)$
C. $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2$
D. $a^2 + b^2 + c^2 \geq ab + bc + ca$
3. 已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，若$S_5 = 50$，$S_8 = 80$，则$a_6 + a_7$的值为（）
A. 15
B. 20
C. 25
D. 30
4. 函数$y = \log_2(x + 1)$的图像与直线$y = x - 1$的交点个数是（）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
5. 在直角坐标系中，点$A(1, 2)$关于直线$x + y = 1$的对称点$B$的坐标是（）
A. $(-2, -1)$
B. $(-1, -2)$
C. $(2, -1)$
D. $(1, -2)$
6. 已知复数$z = 3 + 4i$，则$|z|$的值为（）
A. 5
B. 7
C. 9
D. 12
7. 若等比数列$\{a_n\}$的首项为$a_1$，公比为$q$，且$a_1 + a_2 + a_3 = 21$，$a_2 \cdot a_3 = 27$，则$q$的值为（）
A. 3
B. $\frac{3}{2}$
C. $\frac{2}{3}$
D. 1
8. 在$\triangle ABC$中，$a = 3$，$b = 4$，$c = 5$，则$\sin A$的值为（）
A. $\frac{3}{5}$
B. $\frac{4}{5}$
C. $\frac{5}{3}$
D.
$\frac{5}{4}$
9. 已知函数$f(x) = x^2 - 2x + 1$，则$f(x)$的对称轴方程是（）
A. $x = 1$
B. $x = -1$
C. $y = 1$
D. $y = -1$
10. 若平面直角坐标系中，点$P(2, 3)$在直线$l$上，且直线$l$的方程为$y = kx + b$，则$k$的值为（）
A. 2
B. 3
C. -2
D. -3
二、填空题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
）
11. 函数$f(x) = \frac{1}{x - 1}$的定义域为______。
12. 若$a + b = 5$，$ab = 6$，则$a^2 + b^2$的值为______。
13. 已知数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n = 2^n - 1$，则$a_{2019}$的值为
______。
14. 已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，若$S_5 = 10$，$S_8 = 28$，则$a_6$的值为______。
15. 函数$y = \sin(x + \frac{\pi}{3})$的周期为______。
16. 在$\triangle ABC$中，$a = 5$，$b = 7$，$c = 8$，则$\cos A$的值为
______。
17. 若复数$z = 3 - 4i$，则$|z|$的值为______。
18. 已知等比数列$\{a_n\}$的首项为$a_1$，公比为$q$，且$a_1 + a_2 + a_3 = 21$，$a_2 \cdot a_3 = 27$，则$q$的值为______。
19. 函数$f(x) = x^2 - 2x + 1$的顶点坐标为______。
20. 若平面直角坐标系中，点$P(2, 3)$在直线$l$上，且直线$l$的方程为$y = kx + b$，则$k$的值为______。
三、解答题（本大题共3小题，共50分。
）
21. （本小题共10分）已知函数$f(x) = \frac{x^2 - 4x + 3}{x - 1}$，求：
（1）$f(x)$的定义域；
（2）$f(x)$的值域；
（3）$f(x)$的单调区间。
22. （本小题共15分）已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，若$S_5 = 10$，$S_8 = 28$，求：
（1）数列$\{a_n\}$的首项$a_1$和公比$q$；
（2）数列$\{a_n\}$的通项公式；
（3）数列$\{a_n\}$的前10项和$S_{10}$。
23. （本小题共25分）已知函数$f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4$，求：
（1）$f(x)$的对称轴方程；
（2）$f(x)$的极值点；
（3）$f(x)$的零点。
注意：本试卷仅供参考，实际考试题目及分值可能有所不同。
考生在答题时请仔细阅读题目要求，确保答案的准确性和完整性。