八年级上册《数学》三角形专项练习题(含答案)

八年级上册《数学》三角形专项练习题
11.1.1三角形的边
一、能力提升
1.如图,在图形中,三角形有()
A.4个
B.5个
C.6个
D.7个
2.已知三角形三边长分别为2,x,13,若x为正整数,则这样的三角形个数为()
A.2
B.3
C.5
D.13
3.若一个三角形的两条边长分别为3和8,而第三条边长为奇数,则第三条边长为()
A.5或7
B.7
C.9
D.7或9
4.在△ABC中,若三条边长均为整数,周长为11,且有一条边长为4,则这个三角形最长边可能取值的最大值是()
A.7
B.6
C.5
D.4
5.若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”,则图中以BC 为公共边的“共边三角形”有对.
6.若等腰三角形的腰长为6,则它的底边长a的取值范围
是.
7.用7根相同的火柴棒首尾顺次连接摆成一个三角形,能摆成的不同的三角形的个数为.
8.已知等腰三角形的两边长分别为3cm和7cm,求这个三角形的周长.
9.已知等腰三角形的周长是16cm.
(1)若其中一边的长为4cm,求另外两边的长;
(2)若其中一边的长为6cm,求另外两边的长.
10.若a,b,c是△ABC的三边长,请化简|a-b-c|+|b-c-a|+|c-a-b|.
11.已知等腰三角形的周长为20cm,设腰长为xcm.
(1)用含x的式子表示底边长.
(2)腰长x能否为5cm,为什么?
(3)求x的取值范围.
二、创新应用
12.在平面内,分别用3根、5根、6根、…小棒首尾依次相接,能搭成什么形状的三角形?通过尝试,形状如表所示.
小棒数
目
3 5 6 ……
示意图……
形状
等边三角
形等腰三角
形
等边三角
形
……
(1)4根小棒能搭成三角形吗?
(2)8根、12根小棒能搭成几种不同形状的三角形?并画出它们的示意图.
答案
一、能力提升
1.B
2.B;由题意知2+x>13,且x<13+2,解得11<x<15,因为x为正整数,所以x 可以是12,13,14.故选B.
3.D;由题意知第三条边长大于5小于11.因为第三条边长为奇数,所以它的大小为7或9.
4.C由题意知三角形的三条边长分别为2,4,5或3,4,4,所以最长边可能取值的最大值为
5.
5.3;△BDC与△BEC,△BDC与△BAC,△BEC与△BAC,共3对.
6.0<a<12.
7.2.
8.解：若腰长为3cm,则三边长分别为3cm,3cm,7cm,而3+3<7,此时不能构成三角形;若腰长为7cm,则三边长分别为3cm,7cm,7cm.此时能构成三角形,其周长为3+7+7=17(cm).故这个三角形的周长为17cm. 9.解：(1)若腰长为4cm,则底边长为16-4-4=8(cm).三边长分别为
4cm,4cm,8cm,不符合三角形的三边关系,所以应该是底边长为4cm.所以腰长为(16-4)÷2=6(cm).三边长分别为4cm,6cm,6cm,符合三角形的三边关系.所以另外两边的长都为6cm.
(2)若腰长为6cm,则底边长为16-6-6=4(cm).三边长分别为
4cm,6cm,6cm,符合三角形的三边关系.所以另外两边的长分别为6cm 和4cm.
若底边长为6cm,则腰长为(16-6)÷2=5(cm).三边长分别为
6cm,5cm,5cm,符合三角形的三边关系.所以另外两边的长都为5cm.
10.解：因为a,b,c是△ABC的三边长,
所以a<b+c,b<c+a,c<a+b,
即a-b-c<0,b-c-a<0,c-a-b<0.
所以|a-b-c|+|b-c-a|+|c-a-b|=-(a-b-c)-(b-c-a)-(c-a-b)=a+b+c.
11.解：(1)底边长为(20-2x)cm.
(2)不能.理由如下:若腰长为5cm,则底边长为20-2×5=10(cm).
因为5+5=10,不满足三角形的三边关系.
所以腰长不能为5cm.
(3)根据题意,得
解得0<x<10.
由三角形的三边关系,得x+x>20-2x,解得x>5.
综上所述,x的取值范围是5<x<10.
二、创新应用
12.解：(1)4根小棒不能搭成三角形.
(2)8根小棒能搭成一种三角形,示意图如图甲;12根小棒能搭成三种不同形状的三角形,示意图如图乙.
11.1.2三角形的高、中线与角平分线
一、能力提升
1.若一个三角形中仅有一条高在三角形的内部,则该三角形是()
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.直角三角形或钝角三角形
2.如图,AE⊥BC于点E,BF⊥AC于点F,CD⊥AB于点D.在△ABC中,边AC上的高是线段()
A.AE
B.CD
C.BF
D.AF
3.如图,线段AE是△ABC的中线,已知EC=6,DE=2,则线段BD的长为()
A.2
B.3
C.4
D.6
4.如图,在△ABC中,∠C=90°,D,E为AC上的两点,且AE=DE,BD平分∠EBC,则下列说法不正确的是()
A.线段BC是△ABE的高
B.线段BE是△ABD的中线
C.线段BD是△EBC的角平分线
D.∠ABE=∠EBD=∠DBC
5.如图,在△ABC中,E,F分别是AB,AC的中点,△CEF的面积为2.5,则△ABC的面积为()
A.6
B.7
C.8
D.10
6.如图,BD和CE是△ABC的两条角平分线,且∠DBC=∠ECB=31°,则∠ABC=度,∠ACB=度.
7.如图,线段AD,CE分别是△ABC中边BC,AB上的高.若
AD=10,CE=9,AB=12,则BC的长是.
8.如图,在△ABC中,AB=AC,线段AD是△ABC的中线,△ABC的周长为34cm,△ABD的周长为30cm,求AD的长.
9.已知在等腰三角形ABC中,AB=AC,若腰AC上的中线BD将等腰三角形ABC的周长分成15和6两部分,求三角形ABC的腰长及底边长.
10.如图,AD是△CAB的角平分线,DE∥AB,DF∥AC,EF交AD于点O.请问:DO是△EDF的角平分线吗?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由.
二、创新应用
11.有一块三角形优良品种试验基地,如图,由于引进四个优良品种进
行对比试验,需将这块土地分成面积相等的四块,请你制定出两种以上的划分方案供选择.(画图即可)
答案
一、能力提升
1.D;直角三角形和钝角三角形都只有一条高在三角形的内部.
2.C
3.C
4.D
5.D;∵F为AC的中点,
∴线段EF为△AEC的中线,
∴S△AEC=2S△CEF=5.
∵E为AB的中点,
∴线段CE为△ABC的中线,
∴S△ABC=2S△AEC=10.
6.62;62.
7.10.8;
S△ABC=BC·AD=AB·CE,
则BC===10.8.
8.解：∵线段AD是△ABC的中线,∴BC=2BD.
∵AB=AC,△ABC的周长为34cm,∴2AB+2BD=34cm,
即AB+BD=17cm.
又△ABD的周长为30cm,即AB+BD+AD=30cm,
∴AD=13cm.
9.解：设AB=AC=2x,则AD=CD=x.
当AB+AD=15,BC+CD=6时,有2x+x=15,所以
x=5,AB=AC=2x=10,BC=6-5=1.
当BC+CD=15,AB+AD=6时,有2x+x=6,所以x=2,AB=AC=2x=4,BC=13.因为4+4<13,所以不能组成三角形.
故三角形ABC的腰长为10,底边长为1.
10.解：DO是△EDF的角平分线.
证明如下:
∵AD是△CAB的角平分线,
∴∠EAD=∠FAD.
∵DE∥AB,DF∥AC,
∴∠EDA=∠FAD,∠FDA=∠EAD.
∴∠EDA=∠FDA,
即DO是△EDF的角平分线.
二、创新应用
11.解：如图(答案不唯一).
11.1.3三角形的稳定性
一、能力提升
1.如图,桥梁的斜拉钢索是三角形的结构,主要是为了()
A.节省材料,节约成本
B.保持对称
C.利用三角形的稳定性
D.美观漂亮
2.下列不是利用三角形稳定性的是()
A.伸缩晾衣架
B.三角形房架
C.自行车的三角形车架
D.矩形门框的斜拉条
3.如图,一扇窗户打开后,用窗钩AB可将其固定,这里所运用的几何原理是()
A.三角形的稳定性
B.两点之间线段最短
C.两点确定一条直线
D.垂线段最短
4.王师傅用四根木条钉成一个四边形木架.如图,要使这个木架不变形,他至少还要再钉上()根木条.
A.0
B.1
C.2
D.3
5.如图,要使四边形木条框架ABCD变“活”(具有不稳定性),应将木条拆除.
6.伸缩铁门能自由伸缩,主要是应用了四边形的.
7.我们所用的课桌和所坐的凳子,时间长了总是摇摇晃晃的,这是什么原因?要使自己用的桌凳不晃动应该怎么办?如图,如果有六边形木框,要使它不变形,应该怎么办?
二、创新应用
8.如图,我们知道要使四边形木架不变形,至少要钉一根木条.那么要使五边形木架不变形,至少要钉几根木条?要使七边形木架不变形,至少要钉几根木条?要使n边形木架不变形,又至少要钉多少根木条呢?
答案
一、能力提升
1.C.
2.A.
3.A;打开的那一扇窗户下边的一部分OB、窗户框下边的一部分OA 及AB组成一个三角形,根据三角形的稳定性,知可用AB固定窗户.
4.B.
5.AC.
6.不稳定性.
7.解：这是因为课桌和凳子的四个侧面都是四边形木架,当交接处松动后就具有不稳定性.解决这类问题的方法是在每个侧面加上一根木条(或木板),使之成为三角形.要使六边形木框不变形,至少应加3根木条使其划分为三角形.
二、创新应用
8.解：要使五边形木架不变形,至少要钉2根木条;要使七边形木架不变形,至少要钉4根木条;要使n边形木架不变形,至少要钉(n-3)根木条.
11.2.1三角形的内角
一、能力提升
1.在△ABC中,∠A=55°,∠B比∠C大25°,则∠B的度数为()
A.50°
B.75°
C.100°
D.125°
2.如图,CD∥AB,∠1=120°,∠2=80°,则∠E等于()
A.40°
B.60°
C.80°
D.120°
3.(2020·辽宁锦州中考)如图,在△ABC中,∠A=30°,∠B=50°,CD平分∠ACB,则∠ADC的度数是()
A.80°
B.90°
C.100°
D.110°
4.在△ABC中,若∠A=∠B+∠C,则∠A的度数是.
5.如图,点B,C,D在同一条直线上,CE∥AB,∠ACB=90°.如果∠ECD=36°,那么∠A的度数是.
6.如图,一个直角三角形纸片,剪去直角后,得到一个四边形,则∠1+∠2的度数是.
7.在△ABC中,若最大角∠A等于最小角∠C的两倍,最大角又比另一个角大20°,则△ABC的三个角的度数分别是多少?
8.如图,E是△ABC中边AC上的一点,过点E作ED⊥AB,垂足为D.若∠1=∠2,则△ABC是直角三角形吗?为什么?
9.如图,在△ABC中,D是BC上一点,F是BA延长线上一点,连接DF交AC于点E,且∠B=42°,∠C=59°,∠DEC=47°,求∠F的度数.
二、创新应用
10.如图,在△ABC中,∠ABC,∠ACB的平分线相交于点D.
(1)若∠ABC+∠ACB=110°,则∠BDC=;
(2)若∠A=100°,则∠BDC=;
(3)若∠A=n°,求∠BDC的度数.
答案
一、能力提升
1.B;设∠C的度数为x°,则∠B的度数为x°+25°,则55°+x°+x°+25°=180°,解得x=50,则∠B=75°.
2.A;∵CD∥AB,∠1=120°,
∴∠CDB=∠1=120°,
∴∠EDC=60°.
∵∠2=80°,
∴∠E=180°-80°-60°=40°.
3.C∵∠A=30°,∠B=50°,
∴∠ACB=180°-∠A-∠B=100°.又CD平分∠ACB,
∴∠ACD=∠ACB=50°.
∴∠ADC=180°-∠A-∠ACD=100°.
4.90°.
5.54°.
6.270°.由三角形三内角之间的关系,得∠3+∠4=90°,
所以∠1+∠2=(180°-∠3)+(180°-∠4)=2×180°-(∠3+∠4)=360°-90°=270°.
7.解：设∠C=x°,则∠A=2x°,∠B=2x°-20°,
根据三角形的内角和定理,有
2x+(2x-20)+x=180,解得x=40,即∠C=40°.
所以2x=80,∠A=80°,
2x-20=60,∠B=60°.
故△ABC的三个角的度数分别为∠A=80°,∠B=60°,∠C=40°.
8.解：△ABC是直角三角形.理由如下:
∵ED⊥AB,
∴∠ADE=90°,
∴∠1+∠A=90°.
又∠1=∠2,
∴∠2+∠A=90°.
∴△ABC是直角三角形.
9.解：在△EDC中,∠EDC=180°-(∠C+∠
DEC)=180°-(59°+47°)=74°.
∴∠FDB=180°-∠EDC=180°-74°=106°.
在△BDF中,∠F=180°-(∠B+∠FDB)=180°-(42°+106°)=32°.
二、创新应用
10.解：(1)125°.
(2)140°.
(3)∵∠A=n°,
∴∠ABC+∠ACB=180°-n°.
∵BD平分∠ABC,CD平分∠ACB,
∴∠DBC+∠DCB=∠ABC+∠ACB
=(∠ABC+∠ACB)
=×(180°-n°)=90°-.
∴∠BDC=180°-(∠DBC+∠DCB)=180°-=90°+.
11.2.2三角形的外角
一、能力提升
1.一副三角尺有两个直角三角形,如图叠放在一起,则∠α的度数是()
A.165°
B.120°
C.150°
D.135°
2.如图,在△ABC中,AD为边BC上的中线,在△ABD中,AE为边BD上的中线,在△ACD中,AF为边DC上的中线,则下列结论错误的是()
A.∠1>∠2>∠3>∠C
B.BE=ED=DF=FC
C.∠1>∠4>∠5>∠C
D.∠1=∠3+∠4+∠5
3.如图,若∠A=32°,∠B=45°,∠C=38°,则∠DFE等于()
A.120°
B.115°
C.110°
D.105°
4.(2020·湖北中考)将一副三角尺按如图摆放,点E在AC上,点D在BC 的延长线上,EF∥BC,∠B=∠EDF=90°,∠A=45°,∠F=60°,则∠CED的度数是()
A.15°
B.20°
C.25°
D.30°
5.如图,∠ABC的平分线与∠ACD的平分线相交于点P.若∠A=60°,则∠P等于()
A.30°
B.40°
C.50°
D.60°
6.(2020·湖北黄冈中考)如图,AB∥EF,∠ABC=75°,∠CDF=135°,则∠BCD=.
7.如图,已知在△ABC中,D是AB上一点,E是AC上一点,BE与CD相交于点F,∠A=62°,∠ACD=35°,∠ABE=20°,则∠
BDC=,∠BFC=.
8.如图,D,E,F分别是△ABC三边延长线上的点,求∠D+∠E+∠F+∠1+∠2+∠3的度数.
9.如图,在△ABC中,E是AC延长线上的一点,D是BC上的一点.求证:
(1)∠BDE=∠E+∠A+∠B.
(2)∠BDE>∠A.
10.如图,在△ABC中,D是边BC上一点,∠1=∠2,∠3=∠4,∠BAC=63°,求∠DAC的度数.
二、创新应用
11.如图①,有一个五角形图案ABCDE,你能说明∠A+∠DBE+∠C+∠D+∠E=180°吗?如果点B向下移动到AC上(如图②)或AC的另一侧(如图③),上述结论是否依然成立?请说明理由.
答案
一、能力提升
1.A如图,∵∠2=90°-45°=45°,
∴∠1=∠2-30°=15°.
∴∠α=180°-∠1=165°.
2.C由三角形的一个外角大于与它不相邻的内角,知∠1>∠2>∠3>∠C,故选项A正确;根据三角形中线的定义,知BE=ED=DF=FC,故选项B正确;∠4与∠5的大小不能判定,故选项C错误;根据三角形的一个外角等于与它不相邻两个内角的和,知∠1=∠2+∠4,∠2=∠3+∠5,所以∠1=∠3+∠4+∠5,故选项D正确.
3.B
4.A
5.A利用三角形的外角性质,得∠P=∠PCD-∠PBD=(∠ACD-∠
ABC)=∠A=30°.
6.30°.
7.97°;117°.
8.解：∵∠D+∠3=∠CAB,∠E+∠1=∠ABC,∠F+∠2=∠ACB,
∴∠D+∠E+∠F+∠1+∠2+∠3=∠CAB+∠ABC+∠ACB=180°.
9.证明：(1)∵∠BDE,∠DCE分别是△CDE,△ABC的一个外角,∴∠BDE=∠E+∠DCE,∠DCE=∠A+∠B,
∴∠BDE=∠E+∠A+∠B.
(2)由(1)得∠BDE=∠E+∠A+∠B,
∴∠BDE>∠A.
10.解：∵∠3是△ABD的外角,
∴∠3=∠1+∠2.
∵∠1=∠2,∠3=∠4,
∴∠4=2∠2.
在△ABC中,
∵∠2+∠4=180°-∠BAC=180°-63°=117°,
∴∠1=∠2
=117°÷(1+2)=39°.
∴∠DAC=∠BAC-∠1=63°-39°=24°.
二、创新应用
11.解：在题图①中,∠A+∠C=∠DNM, ①
∠DBE+∠E=∠DMN, ②
①+②,得
∠A+∠DBE+∠C+∠E=∠DNM+∠DMN.
∵∠D+∠DNM+∠DMN=180°,
∴∠A+∠DBE+∠C+∠D+∠E=180°.
在题图②、题图③中,上述结论仍然成立,理由与题图①完全相同.
11.3.1多边形
一、能力提升
1.在下列关于正多边形的特征说法中,错误的是()
A.每一条边都相等
B.每一个内角都相等
C.每一个外角都相等
D.所有对角线都相等
2.过多边形的一个顶点可以引2017条对角线,则这个多边形的边数是()
A.2017
B.2018
C.2019
D.2020
3.如果过多边形的一个顶点的对角线把多边形分成8个三角形,那么这个多边形的边数为()
A.8
B.9
C.10
D.11
4.将一个四边形截去一个角后,它不可能是()
A.三角形
B.四边形
C.五边形
D.六边形
5.在n边形的一边上任取一点(不包含顶点)与各顶点相连,可得三角形的个数是()
A.n
B.n-2
C.n-1
D.n+1
6.过m边形的一个顶点有7条对角线,n边形没有对角线,则
m n=.
7.已知一个多边形的边数恰好是从这个多边形的一个顶点出发所作的对角线的条数的2倍,求此多边形的边数.
二、创新应用
8.观察下面图形,解答下列问题:
(1)在上面第四个图中画出六边形的所有对角线;
(2)观察规律,把下表填写完整.
边数 3 4 5 6 7 …n
对角线条
0 2 5 …
数
答案
一、能力提升
1.D
2.D
3.C
4.D一个多边形截去一个角后,可能出现三种情况:少一个角、角的个数不变或多一个角.
5.C
6.1000;从m边形的一个顶点出发有(m-3)条对角线,由m-3=7,得m=10. n边形没有对角线,所以n=3.所以m n=103=1000.
7.解：设这个多边形的边数为n,则从多边形的一个顶点出发所作的对角线的条数为n-3.
依题意,得n=2(n-3),解得n=6.
二、创新应用
8.解：
(1)
(2)
边数 3 4 5 6 7 …n
对角线条
数0 2 5 9 14 …
n(n-3)
11.3.2多边形的内角和
一、能力提升
1.如果一个正多边形的每一个外角都是锐角,那么这个正多边形的边数一定不小于()
A.3
B.4
C.5
D.6
2.(2020·山东济宁中考)一个多边形的内角和是1080°,则这个多边形的边数是()
A.9
B.8
C.7
D.6
3.若一个多边形的边数由5增加到11,则内角和增加的度数是()
A.1080°
B.720°
C.540°
D.360°
4.如图,∠1,∠2,∠3,∠4是五边形ABCDE的外角,且∠1=∠2=∠3=∠4=70°,则∠AED的度数是()
A.110°
B.108°
C.105°
D.100°
5.如果一个多边形的内角和是其外角和的一半,那么这个多边形是()
A.六边形
B.五边形
C.四边形
D.三角形
6.若凸n边形的内角和为1260°,则从一个顶点出发引的对角线条数是.
7.如图,在四边形ABCD中,∠A+∠B=210°,且∠ADC的平分线与∠DCB的平分线相交于点O,则∠COD的度数是.
8.一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°,求这个多边形的边数和内角和.
9.如图,求∠A+∠B+∠OCD+∠ODC+∠E+∠F的度数.
二、创新应用
10.在一个多边形中,一个内角相邻的外角与其他各内角的和为600°.
(1)如果这个多边形是五边形,请求出这个外角的度数;
(2)是否存在符合题意的其他多边形?如果存在,请求出边数及这个外角的度数;如果不存在,请说明理由.
答案
一、能力提升
1.C每个外角都是锐角,即小于90°,设边数为n,则这些锐角的和一定小于n×90°.而外角和为360°,所以360°<n×90°,n>4,即n不小于5.
2.B设这个多边形的边数是n,则(n-2)×180°=1080°,解得n=8.
3.A因为每增加一条边,内角和增加180°,所以增加6条边,内角和增加180°×6=1080°.
4.D由题意知∠AED的补角为80°,则∠AED=100°.
5.D多边形的外角和是360°,内角和等于外角和的一半,则内角和是180°,可知此多边形为三角形.
6.6因为凸n边形的内角和为1260°,
所以(n-2)×180°=1260°,得n=9.
故从一个顶点出发引的对角线的条数为9-3=6.
7.105°∵四边形的内角和为360°,∠A+∠B=210°,
∴∠ADC+∠BCD=360°-210°=150°.
∵DO,CO分别为∠ADC与∠BCD的平分线,
∴∠ODC=∠ADC,∠OCD=∠BCD.
∴∠ODC+∠OCD
=(∠ADC+∠BCD)
=×150°=75°.
∴∠COD=180°-75°=105°.
8.解：由题意知这个多边形的内角和为3×360°-180°=900°.
设这个多边形的边数为n,
根据题意,得
(n-2)×180°=900°,
解得n=7.
故这个多边形的边数为7.
9.解：如图,连接BE,则在△COD与△BOE中,∠ODC+∠OCD+∠COD=180°,∠OBE+∠OEB+∠BOE=180°.
∵∠COD与∠BOE是对顶角,∴∠COD=∠BOE.
∵∠ODC+∠OCD=180°-∠COD,∠OBE+∠OEB=180°-∠BOE,
∴∠ODC+∠OCD=∠OBE+∠OEB.
∴题图中的∠A+∠B+∠OCD+∠ODC+∠E+∠F等于上图中的∠A+∠F+∠ABC+∠DEF+∠OBE+∠OEB=∠A+∠F+∠ABE+∠
BEF=360°,即所求六个角的和为360°.
二、创新应用
10.解：(1)设这个外角的度数是x°,则(5-2)×180-(180-x)+x=600,
解得x=120.
故这个外角的度数是120°.
(2)存在.设边数为n,这个外角的度数是x°,则
(n-2)×180-(180-x)+x=600,
整理得x=570-90n.
因为0<x<180,
即0<570-90n<180,并且n为正整数,
所以n=5或n=6.
故这个多边形的边数是6,这个外角的度数为30°.。