2022-2023学年河北省石家庄重点学校九年级(上)期末数学试卷(含解析)

2022-2023学年河北省石家庄重点学校九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共16小题，共52.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.如图，在一块直角三角板ABC中，∠A=30°，则sinA的值是( )
A. 1
2
B. 2
2
C. 3
2
D. 3
3
2.下列事件中，是随机事件的是( )
A. 晴天太阳从东方升起
B. 从一个只装有白球的袋中摸球，摸出红球
C. 任意画一个三角形，其内角和是360°
D. 随意翻到一本书的某页，这页的页码是偶数
3.如图，在△ABC中，DE//BC，如果AD=3，BD=6，AE=2，那么CE的值为
( )
A. 4
B. 6
C. 8
D. 9
4.把二次函数y=x2+2x−6配方成顶点式为( )
A. y=(x−1)2−7
B. y=(x+1)2−7
C. y=(x+2)2−10
D. y=(x−3)2+3
5.如图，已知AB是半圆O的直径，∠D=125°，D是弧AC上任意一点，那么∠BA
C的度数是( )
A. 25°
B. 35°
C. 45°
D. 40°
6.二次函数y=x2−3x+1的图象大致是( )
A. B.
C. D.
7.若一个圆内接正多边形的中心角是60°，则这个多边形是( )
A. 正九边形
B. 正八边形
C. 正七边形
D. 正六边形
8.在对一组样本数据进行分析时，佳琪列出了方差的计算公式：s2=
(1−4)2+(3−4)2+(4−4)2+(6−4)2+(6−4)2
5
，由公式提供的信息，则下列说法错误的是( ) A. 样本的平均数是4 B. 样本的众数是4 C. 样本的中位数是4D. 样本的总数n=5
9.河堤的横断面如图所示，堤高BC=6m，迎水坡AB的坡比为1：3，则AB的
长是( )
A. 12m
B. 6m
C. 123m
D. 63m
10.2019年在武汉市举行了军运会，在军运会比赛中，某次羽毛球的运动路线可以
看作是抛物线y=−1
4
x2+x+5
4
的一部分(如图)，其中出球点B离地面O点的距离
是5
4
米，球落点的距离是( )
A. 1米
B. 3米
C. 5米
D. 25
16
米
11.如图，以点O为位似中心，把△ABC放大得到△A′B′C′，且位似比为2：5，以
下说法中错误的是( )
A. △ABC∽△A′B′C′
B. AO：AA′=2：5
C. AB ：A′B′=2：5
D. AC //A′C′
12.下面是李老师编辑的一份文档，由于粗心，作法的步骤被打乱了：已知：如图，∠ACB 是△ABC 的一个内角．求作：∠APB =∠ACB ．作法：
①以点O 为圆心，OA 为半径作△ABC 的外接圆；
②在弧ACB 上取一点P ，连结AP ，BP ，所以∠APB =∠ACB ．
③分别以点A 和点B 为圆心，大于12
AB 的长为半径作弧，两弧相交于M ，N 两点，作直线M N ；分别以点B 和点C 为圆心，大于1
2BC 的长为半径作弧，两弧相交于E ，F 两点，作直线EF ；与直线MN 交于点O ．
正确的作图步骤应该是( )A. ①③②
B. ③②①
C. ③①②
D. ②①③
13.关于反比例函数y =4x
，点(a ,b )在它的图象上，下列说法中错误的是( )A. 当x <0时，y 随x 的增大而减小 B. 图象位于第一、三象限C. 点(b ,a )和(−b ,−a )都在该图象上
D. 当x <1时，y >4
14.如图，小明为了测量遵义市湘江河的对岸边上B ，C 两点间的距离，在河的岸边与BC 平行的直线EF 上点A 处测得∠EAB =37°，∠FAC =60°，已知河宽18米，则B ，C 两点间的距离为( )(参考数据：sin 37°≈3
5
，cos 37°≈45
，tan 37°≈34
)
A. (18+63)米
B. (24+103)米
C. (24+63)米
D. (24+183)米
15.二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，且a≠0)中的x与y的部分对应值如表.下列结论错误的是( )
x…−10123…
y…0343…
A. a<0
B. 2a+b=0
C. 当x>1时，y的值随x的增大而增大
D. 表中盖住的数是0
16.如图，点I为△ABC的内心，AB=5，AC=4，BC=3，将∠ACB平移使其顶
点与I重合，则图中阴影部分的面积为( )
A. 1
B. 25
24
C. 26
25
D. 3
2
二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）
17.如图是一个可以自由转动的质地均匀的转盘，被分成12个相同的小扇形若把某些小扇形涂上红色，使转
，则涂上红色的小扇形有______ 个.
动的转盘停止时，指针指向红色的概率是1
4
18.如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与
海平线交于A，B两点，他测得“图上”圆的半径为5厘米，AB=8厘米.若从
目前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为8分钟，则①现在“图
上”太阳与海平线的位置关系是______ ；②“图上”太阳升起的平均速度为______ 厘米/分．
19.某公司分别在A，B两城生产同种产品，共80件，A城生产产品的总成本y(万元)由两部分和组成，一部分与x(产品数量，单位：件)的平方成正比，比例系数为a；另一部分与x成正比，比例系数为b，生产中得到表中数据.B城生产产品的每件成本为60万元．
x(件)1020
y万元5001200
①a=______ ，b=______ ；
②当A城生产______ 件时，这批产品的总成本的和最少，最小值为______ 万元．
20.如图，等边三角形△ABC的边长为16，动点P从点B出发沿BC运动到点C，连接AP，
作∠APD=60°，PD交AC于点D．
①若PC=12，则CD的长为______ ；
②动点P从点B运动到点C时，点D的运动路径长为______ ．
三、解答题（本大题共3小题，共32.0分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
21.(本小题12.0分)
某校在开展“网络安全知识教育周”期间，在九年级随机抽取了20名学生分成甲、乙两组，每组各10人，进行“网络安全”现场知识竞赛.把甲、乙两组的成绩进行整理分析(满分100分，竞赛得分用x表示：90≤x ≤100为网络安全意识非常强，80≤x<90为网络安全意识强，x<80为网络安全意识一般)．
收集整理的数据制成如下两幅统计图：
分析数据：
平均数中位数众数
甲组8380c
乙组a b90
根据以上信息回答下列问题：
(1)填空：a=______ ，b=______ ，c=______ ；
(2)已知该校九年级有1200人，估计九年级网络安全意识非常强的人数一共是多少？
(3)现在准备从甲乙两组满分的同学中抽取两名同学参加校级比赛，求抽取的两名同学恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率．
22.(本小题11.0分)
已知：抛物线y=t2−(t−x)2与x轴交于点A、B两点，C为抛物线顶点.曲线段MN是双曲线上的一段，点M(3, 3)，点N(a,1)．
(1)如图，当抛物线经过点M(3,3)时，
①请求出这个抛物线的解析式，并求出点A、B的坐标；
②该抛物线是否存在一点异于点C的点D使得S△A B D=S△A B C，若存在请求出点D坐标，若不存在请说明理由；
③若E(m,y1)、F(m+4,y2)为抛物线上两点，且m>0，直接写出y1、y2的大小关系．
(2)若抛物线y=t2−(t−x)2与曲线段MN有交点，则满足条件的整数t有______ 个.
23.(本小题9.0分)
如图，在边长为6的等边三角形ABC中，动点P从点A出发，沿AB边向终点B运动，同时，动点Q从点B出发，沿BC边向终点C运动，两者速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t，以PQ为直径在PQ右侧作半圆O．
(1)当P在A处时，半圆O落在三角形ABC内部的弧MN长为______ ；
(2)当半圆O与BC除点Q外，另有交点G时，若∠QOG=30°，求∠BPQ的度数；
(3)直接写出：当t为何值时，半圆O正好与等边三角形ABC的一边相切．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵∠C=90°，∠A=30°，
∴sinA=1
2
，
故选：A．
利用特殊角的三角函数值，即可解答．
本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：A、晴天太阳从东方升起，是必然事件，不符合题意；
B、从一个只装有白球的袋中摸球，摸出红球，是不可能事件，不符合题意；
C、任意画一个三角形，其内角和是360°，是不可能事件，不符合题意；
D、随意翻到一本书的某页，这页的页码是偶数，是随机事件，符合题意；
故选：D．
根据事件发生的可能性大小判断即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3.【答案】A
【解析】解：∵DE//BC，
∴AD DB =AE
CE
，
∴3 6=2
CE
，
∴CE=4，
故选：A．
利用平行线分线段成比例定理求解．
本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理，属于中考常考题型．4.【答案】B
【解析】解：y=x2+2x−6=(x2+2x+1)−6−1=(x+1)2−7．
故选：B．
由于二次项系数是1，直接加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．
本题考查了二次函数解析式的三种形式：
(1)一般式：y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)；
(2)顶点式：y=a(x−ℎ)2+k；
(3)交点式(与x轴)：y=a(x−x1)(x−x2).
5.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD为圆的内接四边形，
∴∠B+∠D=180°，
∵∠D=125°，
则∠B=180°−∠D=55°，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BAC=90°−∠B=90°−55°=35°，
故选：B．
由AB为半圆的直径，根据圆周角定理可得直径所对的圆周角为直角，可得∠ACB为直角，在三角形ABC中，∠BAC与∠B互余，由∠BAC的度数求出∠B的度数，再根据圆内接四边形的对角互补，进而求得答案．
此题考查了圆周角定理，以及圆内接四边形的性质，涉及的知识有：直径所对的圆周角为直角，直角三角
形的两个锐角互余，以及圆内接四边形的对角互补，利用了转化的思想，熟练掌握以上知识是解本题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：∵二次函数y=x2−3x+1，a=1>0，b=−3<0，c=1，
∴该函数的图象开口向上，对称轴在y轴的右侧，与y轴交于正半轴，
故选：B．
根据题目中的函数解析式，利用二次函数的性质，可以得到该函数图象的开口方向，对称轴所在的位置，
与y轴的交点位置，然后即可判断哪个选项符合题意．
本题考查二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
7.【答案】D
【解析】解：设这个多边形的边数是n ，由题意得，
360°
n
=60°，解得，n =6，故选：D ．
根据正多边形的中心角的计算公式计算即可．
本题考查的是正多边形和圆的有关知识，掌握正多边形的中心角的计算公式是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：由题意知，这组数据为1、3、4、6、6，所以这组数据的样本容量为5，中位数为4，众数为6，平均数为1+3+4+6+6
5
=4，
故选：B ．
先根据方差的公式得出这组数据为1、3、4、6、6，再根据样本容量、中位数、众数和平均数的概念逐一求解可得答案．
本题主要考查方差、样本容量、中位数、众数和平均数，解题的关键是根据方差的定义得出这组数据．
9.【答案】A
【解析】解：∵Rt △ABC 中，BC =6m ，迎水坡AB 的坡比为1： 3，∴BC ：AC =1： 3，∴AC = 3⋅BC =6 3(m )，∴AB = AC 2+BC 2=12(m )．故选：A ．
在Rt △ABC 中，已知坡面AB 的坡比以及铅直高度BC 的值，通过解直角三角形即可求出斜面AB 的长．本题考查解直角三角形的应用−坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，利用坡度和勾股定理解答．
10.【答案】C
【解析】解：令y =0，则−14
x 2+x +54
=0，解得：x 1=5，x 2=−1(舍去)，∴球落地点A 到O 点的距离是5米．故选：C ．
根据解析式与x 轴的交点得出球落地点A 到O 点的距离．
本题主要考查二次函数的应用，利用函数的性质求最值是解题的关键．
11.【答案】B
【解析】解：∵以点O为位似中心，把△ABC放大得到△A′B′C′，且位似比为2：5，
∴△ABC∽△A′B′C′，AO：AA′=2：7，AB：A′B′=2：5，AC//A′C′，
故选项A、C、D说法正确，不符合题意，选项B说法错误，符合题意；
故选：B．
根据位似图形是相似图形、相似三角形的性质判断即可．
本题考查的是位似变换，掌握位似变换的概念和性质是解题的关键．
12.【答案】C
【解析】解：正确的作图步骤应该是：③①②，
故选：C．
根据同弧所对的圆周角相等求解．
本题考查了作图，掌握圆周角定理是解题的关键．
13.【答案】D
【解析】解：A.∵k=4>0，
∴当x<0时，y随x的增大而减小，选项A不符合题意；
B.∵k=4>0，
∴反比例函数y=4
的图象位于第一、三象限，选项B不符合题意；
x
C.∵点(a,b)在反比例函数y=4
的图象上，
x
∴ab=4，
∴点(b,a)和(−b,−a)都在反比例函数y=4
的图象上，选项C不符合题意；
x
D.当x=1时，y=4，且当x<0时，y随x的增大而减小，
∴当x<1时，y>4或y<0，选项D符合题意．
故选：D．
A.利用反比例函数的性质，可得出当x<0时，y随x的增大而减小；
B.利用反比例函数的性质，可得出反比例函数y=4
的图象位于第一、三象限；
x
C.利用反比例函数图象上点的坐标特征，可得出点(b,a)和(−b,−a)都在反比例函数的图象上；
D.利用反比例函数图象上点的坐标特征及反比例函数的性质，可得出当x<1时，y>4．
本题考查了反比例函数的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，逐一分析四个选项的正误是解题的关键．
14.【答案】C
【解析】解：作AD⊥BC于点D，如图，∵BC//EF，
∴∠DBA=∠EAB，∠DCA=∠CAF，
∵∠EAB=37°，∠CAF=60°，
∴∠DBA=37°，∠DCA=60°，
∵AD=30米，tan∠DBA=AD
BD ，tan∠DCA=AD
CD
，
∴3 4=18
BD
，3=18
CD
，
解得BD=24米，CD=63米，
∴BC=BD+CD=(24+63)米，
故选：C．
根据题意和题目中的数据，利用平行线的性质和锐角三角函数，可以表示出BD和CD，然后即可得到BC的长．
本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是作出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答．15.【答案】C
【解析】解：由表格可得抛物线经过(0,3)，(2,3)，
∴抛物线对称轴为直线x=1，
∴(1,4)为抛物线顶点，抛物线开口向下，
∴a<0，故A正确，不合题意；
∵抛物线对称轴为直线x=1，
∴−b
2a
=1，
∴2a+b=0，故B正确，不合题意；
∵抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线x=1，
∴当x>1时，y的值随x的增大而减小，故C错误，符合题意；
∵抛物线对称轴为直线x=1，
∴(−1,0)的对称点为(3,0)，
∴表中盖住的数是0，故D正确，不合题意．
故选：C．
由表格可得抛物线经过(0,3)，(2,3)，从而可得抛物线的对称轴及顶点坐标，进而求解．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题关键．
16.【答案】B
【解析】解：如图，
连接AI 、BI ，
∵AB =5，AC =4，BC =3，
∴AC 2+BC 2=AB 2，
∴∠C =90°，
∵点I 为△ABC 的内心，
∴AI 平分∠BAC ，BI 平分∠ABC ，
∴∠CAI =∠DAI ，∠CBI =∠EBI ，
∵∠ACB 平移使其顶点与I 重合，
∴ID //AC ，IE //BC ，
∴∠CAI =∠DIA ，∠CBI =∠EIB ，∠IDE =∠CAB ，∠IED =∠ABC ，
∴∠DIA =∠DAI ，∠EIB =∠EBI ，△DIE∽△ACB ，
∴DI =DA ，EI =EB ，IE ：ID ：DE =3：4：5，
设AD =IE =3x ，BE =ID =4x ，DE =5x ，
由AD +DE +BE =AB 得，
3x +4x +5x =5，
∴x =512
，∴ID =4x =53，IE =54，
∴S △D I E =12×53×54=
2524
，故选：B ．
连接AI 、BI ，可证得AD =DI ，IE =BE ，△DIE∽△ACB ，进而设AD =IE =3x ，BE =ID =4x ，DE =5x ，
进而求得x的值，进一步得出结果．
本题考查了内心的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．
17.【答案】3
=3(个)．
【解析】解：12×1
4
故涂上红色的小扇形有3个．
故答案为：3．
，而共有12个等分区，结合概率公式即可求出答案．
先根据题意可知指针指向红色的概率是1
4
本题考查了概率公式，掌握概率公式的求法，即概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键，是一道常考题型．
18.【答案】相交1
【解析】解：①结合图形，依题意得：“图上”太阳与海平线的位置关系是相交；
故答案为：相交．
②设圆心为O，过点O作OE⊥AB于E，直线OE交圆于C，D，如图：
∴OA=OD=5cm，AE=BE=1/2AB=4cm，
在Rt△AOE中，由勾股定理得：OE=√OA2−AE2=3(cm)，
∴DE=OD+OE=5+3=8(cm)，
∴“图上”太阳升起的平均速度为：8÷8=1(厘米/分)．
故答案为：1．
①结合图形依题意即可得出答案；
②设圆心为O，过点O作OE⊥AB于E，直线OE交圆于C，D，先利用勾股定理得求出OE=3cm，进而得DE= 8cm，据此可求出“图上”太阳升起的平均速度．
此题主要考查了垂径定理及其推论，勾股定理等，理解垂径定理及其推论，灵活运用勾股定理进行计算是解答此题的关键．
19.【答案】140104700
【解析】解：①根据题意得：y=ax2+bx，
把{x=10
y=500和{x=20
y=1200分别代入，
得{100a+10b=500
400a+20b=1200
∴{a=1
b=40．
故答案为：1，40；
②由①知：A城生产产品的总成本为：y=x2+40x，
设当A城生产m件时，这批产品的总成木的和最少，最小值为w万元
则B城生产(80−m )件，
根据题意得：w=m2+40m+60(80−m )，
得w=(m−10)2+4700，
∵a=1>0，
∴当m=10时，这批产品的总成本的和最少，最小值为4700万元，
故答案为：10，4700．
①首先根据题意得：y=ax2+bx，再利用待定系数法即可求得a、b的值；
②首先由①知：A城生产产品的总成本为：y=x2+40x，设当A城生产m件时，这批产品的总成本的和最少，最小值为w万元，根据题意得：w=m2+40m+60(80−m)，再根据二次函数的性质，即可求得．
本题主要考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，准确求得二次函数的解析式，熟练运用二次函数的性质是解决本题的关键．
20.【答案】38
【解析】解：①∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，AB=BC=16，
∵∠APD+∠DPC=∠B+∠BAP，∠APD=60°，
∴∠DPC=∠BAP，
∴△PCD∽△ABP，
∴CD：PB=PC：AB，
∵PC=12，
∴PB=BC−PC=16−12=4，
∴CD：4=12：16，
∴CD =3，
故答案为：3．
②设PB =x ，CD =y ，
∵△PCD∽△ABP ，
∴CD ：PB =PC ：AB ，
∵PC =BC−PB =16−x ，
∴y ：x =(16−x )：16，
∴y =116(16−x )x =−116
(x−8)2+4，∴当x =8时，y 有最大值4，
∴当P 运动到BC 中点时，CD 最大是4，
∴当P 从BC 中点运动到C 时，D 又回到C ，
∴点D 的运动路径长为4+4=8．
故答案为：8．
①由三角形外角的性质，等边三角形的性质，可以证明△PCD∽△ABP ，即可求出CD 的长．
②设PB =x ，CD =y ，由△PCD∽△ABP ，得到y 关于x 的函数关系式，即可求出CD 的最大值，从而求出D 运动路径长．
本题考查等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，轨迹，关键是明白D 运动的轨迹．
21.【答案】85 80 80
【解析】解：(1)乙组的平均数a =70×3+80+90×4+100×210
=85(分)，将乙组的10名同学的成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数都是90，即中位数b =90，
甲组10名同学成绩出现次数最多的是80分，共出现6次，因此众数是80分，即c =80，
故答案为：85，90，80；
(2)1200×2+1+4+220
=540(人)，答：该校八年级1200名学生中网络安全意识非常强的大约有540人；
(3)甲组1名，乙组2名满分的同学中任意选取2名，所有可能出现的结果如下：
共有6种可能出现的结果，其中两名同学恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的有4种，
所以两名同学恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率为4
6=2
3
．
(1)根据平均数、中位数、众数的定义进行计算即可；
(2)求出样本中，网络安全意识强的所占的百分比即可估计总体中的百分比，进而计算出相应的人数；
(3)列举出所有可能出现的结果情况，再根据概率的定义进行计算即可．
本题考查列表法或树状图法求概率，条形统计图、折线统计图以及样本估计总体，掌握中位数、众数平均数的计算方法是正确解答的前提，列举出所有可能出现的结果是计算概率的关键．
22.【答案】3
【解析】解：(1)①将点M的坐标代入抛物线的表达式得：3=t2−(t−3)2，
解得：t=2，
故抛物线的表达式为：y=4−(2−x)2=−(x−2)2+4；
令y=−(x−2)2+4=0，
解得：x=0或4，
故点A、B的坐标分别为(0,0)、(4,0)；
②由y=−(x−2)2+4知，顶点C(2,4)，
∵S△A B D=S△A B C，
∴y D=−4，
当y=−4时，y=−(x−2)2+4=−4，
解得：x=2±22，
即点D的坐标为(2+22,−4)或(2−22,−4)；
③由抛物线的表达式知，其对称轴为x=m，
当m>0时，点F离对称轴的距离比点E离对称轴的距离远，
∴y1>y2；
(2)设反比例函数的表达式为：y=k
x
，
将点M的坐标代入上式得：3=k
3
，
解得：k=9，
将点N的坐标代入上式得：1=9
a
，
解得：a=9，
即点N(9,1)，
当抛物线过点M时，由(1)知：t=2，
将抛物线过点N时，则1=t2−(t−9)2，
解得：t=4.5，
若抛物线y=t2−(t−x)2与曲线段MN有交点，
则2≤t≤4.5
即t=2或3或4，即符合条件的t有3个，
故答案为：3．
(1)①用待定系数法即可求解；
②由S△A B D=S△A B C，得到y D=−4，进而求解；
③当m>0时，点F离对称轴的距离比点E离对称轴的距离远，进而求解；
(2)当抛物线过点M时，由(1)知：t=2，同理可得抛物线过点N时，t=4.5，进而求解．
本题考查二次函数综合题，涉及到反比例函数的应用、二次函数点的数据特征、面积的计算，有一定能够的综合性，难度适中．
23.【答案】π
【解析】解：(1)如图1，
连接OM，ON，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=60°，
∵OA=ON，OB=OM，
∴△AON和△BOM是等边三角形，
∴∠AON=60°，∠BOM=60°，
∴∠MON=180°−∠AON−∠BOM=60°，
∴l M N=60⋅π⋅3
=π，
180
故答案为：π；
(2)如图2，
∵OQ=OG，∠QOG=30°，
=75°，
∴∠OQG=∠OGQ=180°−∠GOQ
2
∴∠BPQ=∠OQG−∠ABC=75°−60°=15°；
(3)如图3，
当直径⊥BC时，
⊙O切BC于Q，
∴BP=2BQ，
∴6−t=2t，
∴t=2，
如图4，
当直径QP⊥AB于P时，
BQ=2BP，
∴t=2(6−t)，
∴t =4，
如图5，
当⊙O 切AC 于E 时，连接OE ，作OH //BC ，交AC 于H ，作OG ⊥BC 于G ，作HF ⊥BC 于F ，连接PT ，则∠EHO =∠C =60°，∠PTB =90°，
∴OE =OH ⋅sin 60°= 32
OH ，在Rt △PBT 中，BP =6−t ，∠B =60°，
∴BT =BP ⋅cosB =12(6−t )=3−12t ，
PT =BP ⋅sin 60°= 32
(6−t )，∴FH =OG =12PT = 34
(6−t )，QT =BT−BQ =3−12t−t =3−32t ，∴GQ =GT =12QT =32−34t ，CF =FH tanC = 34
(6−t ) 3=14(6−t )=32−14t ，
∴OH =GF =BC−BQ−GQ−CF =6−t−(32−34t )−(32−1
4t )=3，
∴OE =3 3
2，
∴PQ =2OE =3 3，
∵PQ 2=PT 2+QT 2=
316(6−t )2+(3−32t )2，∴316(6−t )2+(3−32t )2=(3
3)2，
∴t =3± 6，
综上所述：t =2或4或3± 6．
(1)连接OM ，ON ，求得∠MON 的度数，进而根据弧长公式得出结果；
(2)先求出∠OQG 的度数，进而根据三角形的外角与内角的关系得出结果；
(3)分为⊙O 与AB ，BC ，AC 分别相切三种情形．当⊙O 与AB 相切时，此时PQ ⊥AB ，根据BQ =2BP 求得结果；当⊙O 与BC 相切时，此时PQ ⊥BC ，根据PQ =2BQ 求得结果；当⊙O 与AC 相切时，连接OE ，作OH //BC ，交AC 于H ，作OG ⊥BC 于G ，作HF ⊥BC 于F ，连接PT ，解△ABQ ，表示出PQ ，QG ，GT ，CF ，进而求
出OH=GF=3，进而得出OE=33
，从而得出PQ=33，进而列出方程求得结果．
2
本题考查了等边三角形性质，圆的切线的性质，弧长公式，垂径定理，解直角三角形等知识，解决问题的关键是正确分类和较强的计算能力．
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