广东省广州市南沙区第一中学17—18学年上学期高一期中考试数学试题(附答案)

南沙一中2017学年第一学期期中考试高（一）
数学试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷12小题，共60分，第Ⅱ卷10小题，共90分，全卷共计150分。

考试时间为120分钟。

第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．若集合M={-1，0，1},则下面结论中正确的是( )
A 、{-1}⊆M
B 、0⊆M
C 、{1}∈M
D 、1∉M 2．已知全集}22|{<<-=x x U ,}02|{<<-=x x A ，则u C A =( )
A. }22|{<<-x x
B. }20|{<<x x
C. }21|{<<x x
D.
}20|{<≤x x 3．函数()
f x 的定义域是（）．
A ．(,2)-∞
B ．[2,)+∞
C ．(,2]-∞
D ．(2,)+∞
4．下列四个函数中，满足)()()(y f x f y x f +=⋅的函数是（ ）
A 、x x f 3)(=
B 、x x f 3log )(=
C 、3)(x x f =
D 、x x f 2)(= 5．下列四组函数中，表示同一函数的一组是( )
A. y=1
12--x x ，y=x+1 B. y=4lgx ，y=2lgx 2
C. y=x+1，x ∈R ，y= x+1 ，x ∈Z ，
D. y=│x │ ，y=2
x 6．.函数y ＝2x 2-3x+1的单调递增区间是（ ）
7．下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的函数是（ ）．
A ．3y x =
B ．1y x =+
C ．21y x =-+
D ．2x y -=
8．已知ln πx =，51
log 2
y =，12e z -=，则（）．
A ．x y z <<
B ．z x y <<
C ．y z x <<
D ．z y x <<
9．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2()log 1f x x =+，则(4)f -= A. 3 B.1- C. 3- D. 1 10．函数1
(0,1)
x y a a a a =->≠的图象可能是（ ）．
A ．
B
．
C
．
D
．
11．给出下列四种说法：
（1）函数(0,1)x y a a a =>≠与函数log (0,1)x a y a a a =>≠的定义域相同； （2）函数3y x =与3x y =的值域相同； （3）函数11221x y =
+-与21log 1x y x
+=-均是奇函数； （4）函数2(1)y x =-与21y x =-在(0,)+∞上都是增函数． 其中正确说法的序号是( ) A ．(1)、（2） B ．（1）、（3）
C ．（1）（2）、(3)
D ．(1) 、（2）、(3)、(4)
12．已知()f x 是定义在[]2,2-上的奇函数，当(]0,2x ∈时，()21x
f x =-，函数2
()2g x x x m =-+，如果对于任意[]12,2x ∈-，存在[]22,2x ∈-，使得21()()g x f x =，则实
数m 的取值范围是（）． A ．[]5,2m ∈-- B ．[],2m ∈-∞- C ．[]3,2m ∈-
D ．[]3,m ∈+∞
第Ⅱ卷
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．函数)12(log )(2+=x x f 的定义域是 。

14．幂函数经过点(2,8)，则该幂函数的解析式是 。

15. 已知集合
{}
01A x x =∈<<R ，
{}
(21)(1)0B x x x =∈-+>R ，则A B = 。

16. 已知函数=⎩⎨⎧>+-≤+=)]25
([,)
1(3)1(1)(2f f x x x x x f 。

三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17. （本小题满分12分）设{}
2
60A x x x =-->，{}20B x a x =-≥．
（1）当6a =时，求A B ，A B ．
（2）当A B =R 时，求实数a 的取值范围．
18. （本小题满分12分）已知函数23,[1,2]()3,(2,5].
x x f x x x ⎧-∈-=⎨-∈⎩，
（1）在图给定的直角坐标系
内画出()f x 的图象；（2）写出()f x 的单调递增区间。

19．（本小题满分12分）已知22()log (1)log (1)f x x x =++-． （Ⅰ）求函数()f x 的定义域．
（Ⅱ）判断函数()f x 的奇偶性．
（Ⅲ）求f ⎝⎭的值．
20．（本小题满分12分）已知函数2()1
ax b
f x x +=+是定义域在(1,1)-上的奇函数，并1225
f ⎛⎫= ⎪⎝⎭． （1）求函数()f x 的解析式．
（2）判断()f x 的单调性，并证明你的结论．
21．（本小题满分12分）某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价60元，该厂为鼓励销售商订购．决定当一次订购超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂价不低于51元．
（1）当一次订购量为多少时，零件的实际出厂单价降为51元？
（2）当一次订购量为x 个，零件的实际出厂单价为p 元，写出函数()p f x =的表达式． （3）当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少？
22. （本小题满分10分）已知函数4
()1(0,1)2x f x a a a a
=->≠+且(0)0f =．
（1）求a 的值．
（2）当(0,1)x ∈时，()22x f x m >⋅-恒成立，求实数m 的取值范围．
参考答案
ADDBD BBCCD BA
12.【答案】A
【解析】∵()f x 是定义在[]2,2-的奇函数， ∴(0)0f =，
当(]0,2x ∈时，(]()210,3x
f x =-∈，
∴当[]2,2x ∈-时，()f x 的值域为：[]3,3-； ∵2()2g x x x m =-+，对称轴为：1x =， ∴min ()(1)1g x g m ==-，max ()(2)8g x g m =-=+， 即()g x 的值域为[]1,8m m -+．
∵对于任意的[]12,2x ∈-，存在[]22,2x ∈-，便得21()()g x f x =， 则max ()3g x ≥且min ()3g x -≤， 即83m +≥且13m --≤， 解得：52m --≤≤，
所以实数m 的取值范围是：[]5,2--， 故选A ．
13.（21-，+∞） 14. 3()f x x = 15. (,1)(0,)-∞-+∞ 16. 4
5
17.解：（1）当6a =时，{}
{2
|60|2A x x x x x =-->=<-或}3x >，……………………………
2分
{}{}|620|3B x x x x =-=≥≤， ………………………
……3分 ∴A B =R ，{}|2A
B x x =<-． ……………………………
6分
（2）{|2A x x =<-或}3x >，{}|20|2a B x a x x x ⎧
⎫=-=⎨⎬⎩
⎭≥≤， ………………………
8分 ∵A
B =R ,
∴32
a
≥， ……………………………11分 6a ≥，
故实数a 的取值范围是：[)6,+∞． ……………………………12分
18．（1）略 ……………………………6分
（2）单调递增区间是[)0,1-，(]5,2 ……………………………12分
19．（Ⅰ）∵10x +>且10x ->， ……………………………1分
∴11x -<<， ……………………………2分
∴函数()f x 的定义域为：(1,1)-． ……………………………3分
（Ⅱ）∵()f x 的定义域为(1,1)-，关于原点对称，且
[][]2222()log 1()log 1()log (1)log (1)f x x x x x -=+-+--=-++， ……………………………6分
∴()()f x f x -=， ……………………………7分
∴函数()f x 为偶函数． ……………………………8分
（3）22221
log 1log 1log 11log 12f ⎛⎛⎛=+=+==- ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
． (12)
分
20．（1）根据题意可以知道()()f x f x -=-， ∴
2
2
11
ax b ax b
x x -++=-++， ……………………………1分 ∴ax b ax b -+=--，
∴0b =， ……………………………3分
∴1225
f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，
∴1a =， ……………………………5分 因此，函数()f x 的解析式是1
)(2+=
x x x f ． ……………………………6分
（2）设任意的)1,1(,21-∈x x ，且21x x <,则
1
1)()(2
2221121+-+=-x x x x x f x f (7)
分
)
1)(1()1()1(22212
12221+++-+=x x x x x x
)
1)(1()()(222121212221++-+-=
x x x x x x x x ……………………………8分
)
1)(1()1)((22212112++--=x x x x x x ……………………………9分 ∵21x x < ∴012>-x x
∵)1,1(,21-∈x x ∴1121<<-x x ∴0121<-x x ……………………………10分
又0)1)(1(2
221>++x x ∴0)1)(1()1)((2
2212112<++--x x x x x x ……………………………11分 ∴0)()(21<-x f x f 即)()(21x f x f <
因此，函数()f x 在)1,1(-上单调递增。

……………………………12分
21．解：（1）设每个零件的实际出厂价格恰好降为51元时，一次订购量为0x 个， 则：06051
1005500.02
x -=+
=， 因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价格恰好降为51元．………………………3分 （2）当0100x <≤时，
60P =； ………………………4分
当100550x <<时，
600.02(100)6250
x
P x =--=-
； ……………………………5分 当550x ≥时，
51P =， ……………………………6分
故：60,0100()62,1005505051,550
x x P f x x x <<⎧⎪⎪
==-<<⎨⎪⎪⎩≥（其中
x ∈N ）． ……………………………8分
（3）设销售商的一次订购量为x 个时，工厂获得的利润为L 元，则： 220,0100(40)22,1005505011,550
x x x L P x x x x x <<⎧⎪
⎪
=-=-<<⎨⎪
⎪⎩≥，
()x ∈N ， ……………………………10分
当500x =时，6000L =； 当1000x =时，
11000L =， ……………………………11分
因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6000元； 如果订购1000个，利润是11000
元． ……………………………12分 22. 【解析】（1）对于函数4
()1(0,1)2x f x a a a a
=->≠+，
由4
(0)102f a
=-
=+， ……………………………1分 求得
2a =， (3)
分 故42
()1122221
x x f x =-
=-
⋅++． ……………………………4分
（2）∵当(0,1)x ∈，()22x f x m >⋅-恒成立，即2
12221
x x
m ->⋅-+恒成立，……………………5分
令2x t =，则(1,2)t ∈，且
323112(1)(1)1
t m t t t t t t t +<
-==++++， ……………………………7分 因为121
t t ++在(1,2)∈上单调递
减， ……………………………8分 ∴1212722216
t t +>+=++，∴7
6
m ≤． ……………………………10分。