高三数学一轮 2.6 对数与对数函数导学案 理 北师大版

学案8 对数与对数函数
导学目标： 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化为自然对数或常用对数，了解对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念，理解对数函数
的单调性与函数图象通过的特殊点，知道指数函数y ＝a x
与对数函数y ＝log a x 互为反函数(a>0，a ≠1)，体会对数函数是一类重要的函数模型．
自主梳理
1．对数的定义
如果________________，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作__________，其中____叫做对数的底数，______叫做真数．
2．对数的性质与运算法则 (1)对数的性质(a>0且a ≠1)
①N
a a log ＝____； ②1log a ＝____；
③N a a log ＝____；
④a a log ＝____.
(2)对数的重要公式
①换底公式：log b N ＝________________(a ，b 均大于零且不等于1)； ②b a log ＝
a
b log 1
，推广d c b c b a log log log ∙∙＝________.
(3)对数的运算法则
如果a>0且a ≠1，M>0，N>0，那么
①log a (MN)＝___________________________；
②log a M
N ＝______________________；
③log a M n
＝__________(n ∈R )； ④n
a M m log ＝n m
log a M . 3
4.反函数
指数函数y ＝a x
与对数函数____________互为反函数，它们的图象关于直线______对称． 自我检测
1．(2010·四川)2log 510＋log 50.25的值为
( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．4
2．(2010·辽宁)设2a ＝5b
＝m ，且1a ＋1b
＝2，则m 的值为
( ) A.10
B ．10
C ．20
D ．100 3．(2009·辽宁)已知函数f (x )满足：当x ≥4时，f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x
；当x <4时，f (x )＝f (x
＋1)．则f (2＋log 23)的值为 ( )
A.124
B.112
C.18
D.38
4．(2010·安庆模拟)定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上递增，f (1
3
)＝0，则满足
)(log 8
1x f >0的x 的取值范围是 ( )
A ．(0，＋∞)
B ．(0，1
2
)∪(2，＋∞)
C ．(0，18)∪(12，2)
D ．(0，1
2
)
5．(2011·台州期末)已知0<a <b <1<c ，m ＝log a c ，n ＝log b c ，则m 与n 的大小关系是______.
探究点一 对数式的化简与求值 例1 计算：(1))32(log 3
2--
；
(2)12lg 3249－4
3
lg 8＋lg 245； (3)已知2lg x －y
2＝lg x ＋lg y ，求y
x )
22
3(log -.
变式迁移1 计算：
(1)log 2748＋log 212－1
2log 242－1；
(2)(lg 2)2
＋lg 2·lg 50＋lg 25.
探究点二 含对数式的大小比较 例2 (1)比较下列各组数的大小．
①log 323与log 565
；
②log 1.10.7与log 1.20.7.
(2)已知log 12b <log 12a <log 12
c ，比较2b,2a,2c
的大小关系．
变式迁移2 (1)(2009·全国Ⅱ)设a ＝log 3π，b ＝log 23，c ＝log 32，则
( )
A ．a >b >c
B ．a >c >b
C ．b >a >c
D ．b >c >a
(2)设a ，b ，c 均为正数，且2a
＝a 2
1log ，(12)b ＝b 2
1log ，(12
)c ＝log 2c ，则
( )
A ．a <b <c
B ．c <b <a0
C ．c <a <b
D ．b <a <c
探究点三 对数函数的图象与性质
例3 已知f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)，如果对于任意的x ∈[1
3
，2]都有|f (x )|≤1成
立，试求a 的取值范围．
变式迁移3 (2010·全国Ⅰ)已知函数f (x )＝|lg x |，若0<a <b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋2b 的取值范围是 ( )
A ．(22，＋∞)
B ．[22，＋∞)
C ．(3，＋∞)
D ．[3，＋∞)
分类讨论思想的应用
例 (12分)已知函数f (x )＝log a (1－a x
)(a >0，a ≠1)．
(1)解关于x 的不等式：log a (1－a x
)>f (1)；
(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1≠x 2)是f (x )图象上的两点，求证：直线AB 的斜率小于0.
【答题模板】
(1)解 ∵f (x )＝log a (1－a x
)，
∴f (1)＝log a (1－a )．∴1－a >0.∴0<a <1.
∴不等式可化为log a (1－a x
)>log a (1－a )．
∴⎩⎪⎨⎪⎧
1－a x >0，1－a x
<1－a .，即⎩
⎪⎨⎪⎧
a x
<1，a x >a .∴0<x <1. ∴不等式的解集为(0,1)．[4分]
(2)证明 设x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝)1(log 2
x a a -－)1(log 1
x a a -＝1
2
11log x x a a a --.
∵1－a x
>0，∴a x
<1.
∴a >1时，f (x )的定义域为(－∞，0)；[6分]
0<a <1时，f (x )的定义域为(0，＋∞)．
当0<a <1时，∵x 2>x 1>0，∴2x a <1x
a .
∴1211x x a a -->1.∴1
211log x x a a
a --<0. ∴f (x 2)<f (x 1)，即y 2<y 1.
同理可证，当a >1时，也有y 2<y 1.[10分]
综上：y 2<y 1，即y 2－y 1<0.∴k AB ＝y 2－y 1
x 2－x 1
<0.
∴直线AB 的斜率小于0.[12分] 【突破思维障碍】
解决含参数的对数问题，不可忽视对底数a 的分类讨论，即a >1或0<a <1，其次要看定义域，如果将函数变换，务必保证等价性．
1．求解与对数函数有关的复合函数的单调性的步骤： (1)确定定义域；
(2)弄清函数是由哪些基本初等函数复合而成的，将复合函数分解成基本初等函数y ＝f (u )，u ＝g (x )；
(3)分别确定这两个函数的单调区间；
(4)若这两个函数同增或同减，则y ＝f (g (x ))为增函数，若一增一减，则y ＝f (g (x ))为减函数，即“同增异减”．
2．用对数函数的性质比较大小 (1)同底数的两个对数值的大小比较
例如，比较log a f (x )与log a g (x )的大小， 其中a >0且a ≠
1.
①若a >1，则log a f (x )>log a g (x )⇔f (x )>g (x )>0. ②若0<a <1，则log a f (x )>log a g (x )⇔0<f (x )<g (x )． (2)同真数的对数值大小关系如图：
图象在x 轴上方的部分自左向右底逐渐增大，即0<c <d <1<a <b . 3．常见对数方程式或对数不等式的解法
(1)形如log a f (x )＝log a g (x )(a >0且a ≠1)等价于f (x )＝g (x )，但要注意验根．对于
log a f (x )>log a g (x )等价于0<a <1时，⎪⎩⎪⎨⎧<>>);()(,0)(,0)(x g x f x g x f a >1时，⎪⎩
⎪
⎨⎧>>>).()(,0)(,0)(x g x f x g x f
(2)形如F (log a x )＝0、F (log a x )>0或F (log a x )<0，一般采用换元法求解．
(满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．(2010·北京市丰台区高三一调)设M ＝{y |y ＝(12
)x
，x ∈[0，＋∞)}，N ＝{y |y ＝log 2x ，
x ∈(0,1]}，则集合M ∪N 等于 ( )
A ．(－∞，0)∪[1，＋∞)
B ．[0，＋∞)
C ．(－∞，1]
D ．(－∞，0)∪(0,1)
2．(2010·全国Ⅰ)设a ＝log 32，b ＝ln 2，c ＝5－1
2
，则
( )
A ．a <b <c
B ．b <c <a
C ．c <a <b
D ．c <b <a
3．(2010·天津)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
log 2x ，x >0，log 1
2
(－x )，x <0，若f (a )>f (－a )，则实数a 的
取值范
围是( )
A ．(－1,0)∪(0,1)
B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C ．(－1,0)∪(1，＋∞)
D ．(－∞，－1)∪(0,1) 4．(2011·济南模拟)设函数f (x )定义在实数集上，f (2－x )＝f (x )，且当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则有 ( )
A ．f (13)<f (2)<f (12)
B ．f (12)<f (2)<f (13)
C ．f (12)<f (1
3
)<f (2)
D ．f (2)<f (12)<f (1
3
)
5．(2011·青岛模拟)已知函数f (x )＝a x
＋log a x (a >0，a ≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为log a 2＋6，则a 的值为 ( )
A.12
B.1
4 C ．2 D ．4
6．2lg 5＋23
lg 8＋lg 5·lg 20＋lg 2
2＝________.
7．(2011·湖南师大附中检测)已知函数f (x )＝lg ax ＋a －2
x
在区间[1,2]上是增函数，
则实数a 的取值范围是____________．
8．已知f (3x )＝4x log 23＋233，则f (2)＋f (4)＋f (8)＋…＋f (28
)＝________. 三、解答题(共38分)
9．(12分)已知f (x )＝2＋log 3x ，x ∈[1,9]，求y ＝[f (x )]2＋f (x 2
)的最大值及y 取最大值时x 的值．
10．(12分)(2011·北京东城1月检测)已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a >0且a ≠1.
(1)求f (x )的定义域；
(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明；
(3)若a >1时，求使f (x )>0的x 的解集．
11．(14分)(2011·郑州模拟)已知函数f (x )＝lg(a x －b x
)(a >1>b >0)． (1)求y ＝f (x )的定义域；
(2)在函数y ＝f (x )的图象上是否存在不同的两点，使得过这两点的直线平行于x 轴； (3)当a ，b 满足什么条件时，f (x )在(1，＋∞)上恒取正值．
答案 自主梳理
1．a x
＝N(a >0，且a ≠1) x ＝log a N a N 2.(1)①N ②0 ③N ④1 (2)①log a N log a b
②log a d (3)①log a M ＋log a N ②log a M －log a N ③nlog a M 3.(1)(0，＋∞) (2)R (3)(1,0) 1 0 (4)y >0 y <0 (5)y <0 y >0 (6)增 (7)减 4.y ＝log a x y ＝x
自我检测 1．C 2.A
3．A [因为3<2＋log 23<4，故f (2＋log 23)＝f (2＋log 23＋1)＝f (3＋log 23)．又3＋
log 23>4，故f (3＋log 23)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋log23＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫123·13＝124
.]
4．B [由题意可得：f (x )＝f (－x )＝f (|x |)，f (|log 18x |)>f (1
3
)，f (x )在[0，＋∞)上
递增，于是|log 18x |>13，解得x 的取值范围是(0，1
2
)∪(2，＋∞)．]
5．m >n
解析 ∵m <0，n <0，∵m n
＝log a c ·log c b ＝log a b <log a a ＝1，∴m >n .
课堂活动区
例1 解题导引 在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底和指数与对数互化．
解 (1)方法一 利用对数定义求值：
设)32(log )
32(-+
＝x ，
则(2＋3)x ＝2－3＝12＋3
＝(2＋3)－1
，
∴x ＝－1.
方法二 利用对数的运算性质求解：
)32(log )
32(-+＝)
32(1
log )
32(++
＝1)
32()32(log -+
+＝－1.
(2)原式＝12(lg 32－lg 49)－43lg 81
2
＋
12lg 245＝12(5lg 2－2lg 7)－43×32lg 2＋1
2(2lg 7＋lg 5) ＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋1
2lg 5 ＝12lg 2＋1
2lg 5 ＝12lg (2×5)＝12lg 10＝12
. (3)由已知得lg(x －y 2
)2
＝lg xy ，
∴(x －y 2)2＝xy ，即x 2－6xy ＋y 2＝0.
∴(x y
)2
－6(x y )＋1＝0.∴x y
＝3±2 2.
∵⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y >0，x >0，y >0，
∴x
y >1，∴x y
＝3＋22，
∴log (3－22)
x
y
＝log (3－22)
(3＋22)
＝log
－2
2
1
3－22
＝－1.
变式迁移1 解 (1)原式＝log 2748
＋log 212－log 242－log 22
＝log 2
7×12
48×42×2＝log 2122
＝log 22－32＝－3
2.
(2)原式＝lg 2·(lg 2＋lg 50)＋lg 25 ＝21g 2＋lg 25＝lg 100＝2.
例2 解题导引 比较对数式的大小或证明等式问题是对数中常见题型，解决此类问题的方法很多，①当底数相同时，可直接利用对数函数的单调性比较；②若底数不同，真数相同，可转化为同底(利用换底公式)或利用对数函数图象，数形结合解得；③若不同底，不同真数，则可利用中间量进行比较．
解 (1)①∵log 32
3
<log 31＝0，
而log 565>log 51＝0，∴log 323<log 565
.
②方法一 ∵0<0.7<1,1.1<1.2， ∴0>log 0.71.1>log 0.71.2.
∴1log 0.71.1<1log 0.71.2
， 由换底公式可得log 1.10.7<log 1.20.7.
方法二 作出y ＝log 1.1x 与y ＝log 1.2x 的图象，
如图所示，两图象与x ＝0.7相交可知log 1.10.7<log 1.20.7.
(2)∵y ＝log 1
2x 为减函数，
且log 12b <log 12a <log 1
2c ，∴b >a >c .
而y ＝2x 是增函数，∴2b >2a >2c
.
变式迁移2 (1)A [a ＝log 3π>1，b ＝12log 23，则12<b <1，c ＝12log 32<1
2
，∴a >b >c .]
(2)A [∵a ，b ，c 均为正，
∴log 12a ＝2a
>1，log 12b ＝(12)b ∈(0,1)，
log 2c ＝(12)c
∈(0,1)．
∴0<a <12，1
2<b <1,1<c <2.
故a <b <c .]
例3 解题导引 本题属于函数恒成立问题，即对于x ∈[1
3
，2]时，|f (x )|恒小于等于
1，恒成立问题一般有两种思路：一是利用图象转化为最值问题；二是利用单调性转化为最值问题．由于本题底数a 为参数，需对a 分类讨论．
解 ∵f (x )＝log a x ，
则y ＝|f (x )|的图象如右图．
由图示，可使x ∈[1
3
，2]时恒有|f (x )|≤1，
只需|f (13)|≤1，即－1≤log a 1
3
≤1，
即log a a －1
≤log a 13
≤log a a ，
亦当a >1时，得a －1
≤13≤a ，即a ≥3；
当0<a <1时，得a －1
≥13≥a ，得0<a ≤13
.
综上所述，a 的取值范围是(0，1
3
]∪[3，＋∞)．
变式迁移3 C
[画出函数f (x )＝|lg x |的图象如图所示．∵0<a <b ，f (a )＝f (b )，∴0<a <1，b >1，∴lg a <0，lg b >0.由f (a )＝f (b )，
∴－lg a ＝lg b ，ab ＝1.
∴b ＝1a ，∴a ＋2b ＝a ＋2a ，
又0<a <1，函数t ＝a ＋2
a
在(0,1)上是减函数，
∴a ＋2a >1＋2
1＝3，即a ＋2b >3.]
课后练习区
1．C [∵x ≥0，∴y ＝(12
)x
∈(0,1]，∴M ＝(0,1]．
当0<x ≤1时，y ＝log 2x ∈(－∞，0]，即N ＝(－∞，0]． ∴M ∪N ＝(－∞，1]．]
2．C [∵1a ＝log 23>1，1
b
＝log 2e>1，log 23>log 2e.
∴1a >1
b
>1，∴0<a <b <1.
∵a ＝log 32>log 33＝12，∴a >1
2.
b ＝ln 2>ln e ＝12，∴b >1
2
.
c ＝5－12＝15<1
2
，∴c <a <b .]
3．C [①当a >0时，f (a )＝log 2a ，f (－a )＝a 2
1log ，
f (a )>f (－a )，即lo
g 2a >a 2
1log ＝log 21
a
，
∴a >1
a
，解得a >1.
②当a <0时，f (a )＝)(log 2
1a -，f (－a )＝log 2(－a )，
f (a )>f (－a )，即)(lo
g 2
1a ->log 2(－a )＝a
-1log 2
1
， ∴－a <1
－a
，解得－1<a <0，
由①②得－1<a <0或a >1.]
4．C [由f (2－x )＝f (x )知f (x )的图象关于直线x ＝
2－x ＋x
2
＝1对称，又当x ≥1时，f (x )＝ln x ，所以离对称轴x ＝1距离大的x 的函数值大，
∵|2－1|>|13－1|>|1
2
－1|，
∴f (12)<f (1
3
)<f (2)．]
5．C [当x >0时，函数a x ，log a x 的单调性相同，因此函数f (x )＝a x
＋log a x 是(0，＋
∞)上的单调函数，f (x )在[1,2]上的最大值与最小值之和为f (1)＋f (2)＝a 2
＋a ＋log a 2，由
题意得a 2＋a ＋log a 2＝6＋log a 2.即a 2
＋a －6＝0，解得a ＝2或a ＝－3(舍去)．]
6．3 7．(1,2)
解析 因为f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫a ＋a －2x 在区间[1,2]上是增函数，所以g (x )＝a ＋a －2x
在区间
[1,2]上是增函数，且g (1)>0，于是a －2<0，且2a －2>0，即1<a <2. 8．2 008
解析 令3x
＝t ，f (t )＝4log 2t ＋233，
∴f (2)＋f (4)＋f (8)＋…＋f (28
)＝4×(1＋2＋…＋8)＋8×233＝4×36＋1 864＝2 008.
9．解 ∵f (x )＝2＋log 3x ，
∴y ＝[f (x )]2＋f (x 2)＝(2＋log 3x )2＋2＋log 3x 2＝log 23x ＋6log 3x ＋6＝(log 3x ＋3)2
－3.……(4分)
∵函数f (x )的定义域为[1,9]，
∴要使函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2
)有意义，必须⎩
⎪⎨⎪⎧
1≤x 2
≤9，1≤x ≤9，∴1≤x ≤3，∴0≤log 3x ≤1，(8分)
∴6≤(log 3x ＋3)2
－3≤13.
当log 3x ＝1，即x ＝3时，y max ＝13.
∴当x ＝3时，函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2
)取最大值13.………………………………………(12分)
10．解 (1)f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，则⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＋1>0，
1－x >0，解得－1<x <1.
故所求函数f (x )的定义域为{x |－1<x <1}．………………………………………………(4分)
(2)由(1)知f (x )的定义域为{x |－1<x <1}， 且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x ) ＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]
＝－f (x )，故f (x )为奇函数．………………………………………………………………(8分)
(3)因为当a >1时，f (x )在定义域{x |－1<x <1}内是增函数，所以f (x )>0⇔x ＋1
1－x
>1.
解得0<x <1.所以使f (x )>0的x 的解集是{x |0<x <1}．…………………………………(12分)
11．解 (1)由a x －b x
>0，得(a b
)x
>1，且a >1>b >0，得a b
>1，所以x >0，即f (x )的定义域为(0，＋∞)．…………………………………………………………………………………………(4分)
(2)任取x 1>x 2>0，a >1>b >0，则1x
a >2x
a >0，21
x x b b
<，所以11x x b a ->22x x b a ->0，
即)lg(11x
x
b a ->)lg(22x
x
b a -．故f (x 1)>f (x 2)．
所以f (x )在(0，＋∞)上为增函数．………………………………………………………(8分)
假设函数y ＝f (x )的图象上存在不同的两点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，使直线平行于x 轴，则x 1≠x 2，y 1＝y 2，这与f (x )是增函数矛盾．
故函数y ＝f (x )的图象上不存在不同的两点使过两点的直线平行于x 轴．…………(10
分)
(3)因为f(x)是增函数，所以当x∈(1，＋∞)时，f(x)>f(1)．这样只需f(1)＝lg(a－
b)≥0，即当a≥b＋1时，f(x)在(1，＋∞)上恒取正值．……………………………………………(14分)。