(好题)高中数学选修1-2第四章《数系的扩充与复数的引入》检测卷(包含答案解析)(3)

一、选择题
1．已知复数2i 1i z =
+(i 为虚数单位)，则z = ( )
A ．3
B ．2
C
D 2．复数(),z a bi a b R =+∈，()m z z b =+，n z z =⋅，2p z =，则（ ）
A ．m 、n 、p 三数都不能比较大小
B ．m 、n 、p 三数的大小关系不能确定
C ．m n p ≤=
D ．m n p ≥=
3．若复数1z ，2z 满足1134z z i +=-，212z i ++=，则12z z -的最小值为（ ）．
A ．110
B ．1110
C ．2110
D ．2110
-
4．若1+是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则（ ）
A ．2,3b c ==
B ．2,1b c ==-
C ．2,1b c =-=-
D ．2,3b c =-=
5．已知复数1cos 2()z x f x i =+，)
2cos z x x i =++，x ∈R .在复平面上，设复数1z ，2z 对应的点分别为1Z ，2Z ，若1290Z OZ ∠=︒，其中O 是坐标原点，则函数()f x 的最大值为（）
A ．14-
B ．14
C ．12-
D ．12 6．i 是虚数单位，若复数()2421i z i +=
-在复平面内对应的点在直线20x y a --=上，则a 的值等于（ ）
A ．5
B ．3
C ．-5
D ．-3
7．已知复数1i z =-+，则
22z z z +=+（ ） A ．1- B ．1 C ．i - D ．i
8．已知复数z 满足(1i)2z ⋅+=，则z =（ ）
A ．1 B
C ．2
D ．3 9．若复数(32)z i i =-，则z =（ ） A ．32i -
B ．32i +
C ．23i +
D ．23i - 10．设复数3422i i z +-=
, 则复数z 的共轭复数是（ ） A ．5-2i B ．
52i + C ．5-2i + D ．5--2i 11．若复数z 满足()211z i i -=+，其中i 为虚数单位，则z 在复平面内所对应的点位于
（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 12．在复平面内满足11z -=的动点z 的轨迹为（ ）
A ．直线
B ．线段
C ．两个点
D ．圆
二、填空题
13．已知复数a bi +（a ，b 为常数，,a b ∈R ）是复数z 的一个平方根，那么复数z -的两个平方根为______.
14．设复数z 满足12iz i =+，则复数z 的共轭复数为______________．
15．设复数z 满足()()2
13z i i +=-，则z 的虚部为__________． 16．若复数2i 12i
a -+（i 是虚数单位）是纯虚数，则实数a =_______． 17．关于x 的方程240x x m ++=（m R ∈）的两虚根为α、β，且||2αβ-=，则实数m 的值是________.
18．若复数z 满足1z =，则1z i -+的最大值是______．
19．设m R ∈，若z 是关于x 的方程2210x mx m ++-=的一个虚根，则z 的取值范围是____.
20．已知复数242(1)
i
z i +=+（i 是虚数单位），在复平面内对应的点在直线20x y m -+=上，则m =__________．
三、解答题
21．已知方程21000x kx -+=，k C ∈.
（1）若1i +是它的一个根，求k 的值；
（2）若*k N ∈，求满足方程的所有虚数的和.
22．在复平面上，点(),P x y 所对应的复数p x yi =+（i 为虚数单位），
(),z a bi a b R =+∈是某给定复数，复数q p z =⋅所对应的点为(),Q x y ，我们称点P 经过变化成为了点Q ，记作()Q z P =.
（1）给出12z i =+，且()()8,1z P Q =，求点P 的坐标；
（2）给出34z i =+，若点P 在椭圆22
194
x y +=上，()Q z P =，求OQ 的取值范围； （3）已知点P 在双曲线221x y -=上运动，试问是否存在z ，使得()Q z P =在双曲线
1y x
=上运动？若存在，求出z ；若不存在，说明理由.
23．已知复数2()z a ai a R =+∈，若
z =z 在复平面内对应的点位于第四象限.
（1）求复数z ； （2）若22m m mz +-是纯虚数，求实数m 的值.
24．已知复数1()2i
a z a =
+∈+R . （I ）若z ∈R ，求复数z ； （II ）若复数z 在复平面内对应的点位于第一象限，求a 的取值范围.
25．解答下面两个问题：
（Ⅰ）已知复数12z =-+，其共轭复数为z ，求21()z z +； （Ⅱ）复数z 1＝2a ＋1＋（1＋a 2）i ，z 2＝1－a ＋（3－a ）i ，a ∈R ，若12z z +是实数，求a 的值．
26．已知复数1z i =，22z =，212z z ⨯是虚部为正数的纯虚数.
（1）求2
12z z ⨯的模；
（2）求复数2z .
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一、选择题
1．D
解析：D
【分析】 化简复2i 11i
z i =
=++，利用复数模的公式求解即可. 【详解】 ∵2i 1i z ==+ ()()()
21221112i i i i i i -+==++- ∴z
=
故选D.
【点睛】
本题考查复数的模的定义，两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i 的幂运算性质，两个复数相除，分子和分母同时除以分母的共轭复数．
2．C
解析：C
【分析】
根据复数的四则运算，结合基本不等式，即可得出结论.
【详解】
z a bi =-，()2m a bi a bi b ab =++-=，22()()n a bi a bi a b =+-=+，22p a b =+
222a b ab +，当且仅当a b =时，取等号
m n p ∴≤=
故选：C
【点睛】
本题主要考查了复数的四则运算，涉及了基本不等式的应用，属于中档题.
3．A
解析：A
【分析】
由复数模的定义求出1z 对应的点在一条直线上，2z 对应的点在圆上，利用圆的性质可求得直线上的点到圆上点的距离的最小值．
【详解】
复数1z 对应的点为1(,)Z x y ，因为1134z z i +=-
，所以
=6870x y +-=，所以点1Z 的轨迹是一条直线． 复数2z 对应的点为2(,)Z x y ，因为212z i ++=表示点(),x y 到定点()1,1--的距离为2，所以点2Z 的轨迹表示以()1,1--为圆心、半径为2的圆，
12z z -
211221010
-=-=． 故选：A ．
【点睛】 本题考查复数的模的运算，考查模的几何意义，利用几何意义把复数问题转化为直线上的点到圆上点的距离的最小值这个几何问题，利用几何性质得出求解方法．
4．D
解析：D
【分析】
由题意，将根代入实系数方程x 2+bx +c ＝0整理后根据得数相等的充要条件得到关于实数
a ，b
的方程组100
b c -++=⎧⎪⎨=⎪⎩，解方程得出a ，b 的值即可选出正确选项 【详解】
由题意
1是关于x 的实系数方程x 2+bx +c ＝0
∴
﹣2+
b bi +
c ＝0
，即()
10b c i -+++=
∴100b c -++=⎧⎪⎨=⎪⎩
，解得b ＝﹣2，c ＝3 故选：D ．
【点睛】
本题考查复数相等的充要条件，解题的关键是熟练掌握复数相等的充要条件，能根据它得
到关于实数的方程，本题考查了转化的思想，属于基本计算题
5．B
解析：B
【分析】
根据向量垂直关系的坐标运算和三角函数的最值求解.
【详解】
据条件，()1cos ,2()Z x f x ，)2
cos ,1Z x x +，且12OZ OZ ⊥，
所以，)cos cos 2()0x x x f x ⋅
++=，化简得，11()sin 2264f x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭， 当sin 216x π⎛⎫+
=- ⎪⎝⎭时，11()sin 2264f x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭取得最大值为14
. 【点睛】
本题考查向量的数量积运算和三角函数的最值，属于基础题. 6．C
解析：C
【分析】
利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z 的值，然后找到其在复平面对应的点，代入到直线20x y a --=，即可求出a 的值．
【详解】 ()24242(42)(2)1 2.24
1i
i i i z i i i +++⋅====-+--复数z 在复平面内对应的点的坐标为(-1,2),将其代入直线20x y a --=得， 5.a =-
【点睛】
本题考查了复数代数形式的乘除运算，以及复数的几何意义．
7．A
解析：A
【解析】
分析：先代入，再根据复数乘法与除法法则求解.
详解：因为1i z =-+，所以
2221211(1)11z i i z z i i i
+-+++===-+-+-+--, 选A.
点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，
如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为.-a bi
8．B
解析：B
【解析】
分析：利用复数的除法求出z ，进而得到z .
详解：由题()()()
2121,111i z i z i i i ⋅-=
==-∴=++⋅- 故选B.
点睛：本题考查复数逇除法运算及复数的模，属基础题. 9．C
解析：C
【解析】
分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.
详解：由复数的运算法则可得：
()2323223z i i i i i =-=-=+.
本题选择C 选项.
点睛：本题主要考查复数的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 10．B
解析：B
【解析】
分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果. 详解：由题意可得：342525222i i i z i +--=
==-， 则其共轭复数为：52z i =
+. 本题选择B 选项.
点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 11．B
解析：B
【解析】
分析：把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z 的坐标即可得到结论. 详解：()2
11z i i -=+， ()()()221i i 1i
1i 2i 2i 1i z +++∴===---1i 11i 222
-+==-+， z ∴在复平面内所对应的点坐标为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭
，位于第二象限，故选B. 点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出
错，造成不必要的失分.
12．D
解析：D
【分析】
由题意把|1|2||z z -=平方可得关于x 、y 的方程，化简方程可判其对应的图形．
【详解】
解：设z x yi =+，|1|1z -=，
2|1|1z ∴-=，
2|1|1x yi ∴-+=，
22(1)1x y ∴-+=，
故该方程表示的图形为圆，
故选：D ．
【点睛】
本题主要考查复数的代数形式及其几何意义，考查圆的方程，涉及复数的模长公式，属于中档题．
二、填空题
13．【分析】由题可知再对开根号求的两个平方根即可【详解】由题故即故复数的两个平方根为与故答案为：【点睛】本题主要考查了复数的基本运算运用即可联系与的关系属于基础题型
解析：ai b -,ai b -+
【分析】
由题可知()2a bi z +=,再对z -开根号求z -的两个平方根即可.
【详解】
由题()2a bi z +=,故()()()()222222a bi z i
a bi ai bi ai
b -+=-=+=+=-, 即()2z ai b -=-,故复数z -的两个平方根为ai b -与ai b -+
故答案为：ai b -,ai b -+
【点睛】
本题主要考查了复数的基本运算,运用21i =-即可联系z -与()2
a bi z +=的关系,属于基础题型. 14．2+i 【分析】由得然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z 则复数z 的共轭复数可求【详解】由得则复数的共轭复数故答案是【点睛】该题考查的是有关共轭复数的问题涉及到的知识点有复数的除法运算共轭复数的概念 解析：2+i
【分析】
由12iz i =+，得12i z i +=
，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z ，则复数z 的共轭复数z 可求.
【详解】
由12iz i =+，得2
12(12)2i i i z i i i +-+===--， 则复数z 的共轭复数2z i =+，
故答案是2i +.
【点睛】
该题考查的是有关共轭复数的问题，涉及到的知识点有复数的除法运算，共轭复数的概念，属于简单题目.
15．-7【解析】分析：先求出复数z 再求z 的虚部详解：由题得所以z 的虚部为-7故答案为-7点睛：（1）本题主要考查复数的运算和复数的虚部概念意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的运算能力(2)复数的实部
解析：-7
【解析】
分析：先求出复数z,再求z 的虚部. 详解：由题得86(86)(1)214171(1)(1)2i i i i z i i i i ----=
===-++-，所以z 的虚部为-7， 故答案为-7.
点睛：（1）本题主要考查复数的运算和复数的虚部概念，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的运算能力.(2) 复数(,)z a bi a b R =+∈的实部是a,虚部为b ，不是bi. 16．4【解析】∵且复数是纯虚数∴即故答案为4
解析：4
【解析】 ∵()()()()()2124222i 22412i 1212145a i i a a i a a ai i i i ----+----===++-+，且复数212a i i
-+是纯虚数 ∴405
a -=，即4a = 故答案为4
17．5【分析】关于方程两数根为与由根与系数的关系得：由及与互为共轭复数可得答案【详解】解：与是方程的两根由根与系数的关系得：由与为虚数根得：则解得经验证符合要求故答案为：【点睛】本题考查根与系数的关系的 解析：5
【分析】
关于x 方程240x x m ++=两数根为α与β，由根与系数的关系得：4αβ+=-，m ，由||2αβ-=及α与β互为共轭复数可得答案．
【详解】
解：α与β是方程240x x m ++=的两根
由根与系数的关系得：4αβ+=-，m ，
由α与β为虚数根得： α，β=，
则|||2αβ-==，
解得5m =，经验证∆<0，符合要求，
故答案为：5．
【点睛】
本题考查根与系数的关系的应用．求解是要注意α与β为虚数根情形，否则漏解，属于基础题．
18．【分析】利用复数模的三角不等式可得出可得出的最大值【详解】由复数模的三角不等式可得因此的最大值是故答案为【点睛】本题考查复数模的最值的计算可将问题转化为复平面内复数对应的点的轨迹利用数形结合思想求解
解析：1【分析】 利用复数模的三角不等式可得出()111z i z i z i -+=--≤+-可得出1z i -+的最大值.
【详解】
由复数模的三角不等式可得()11111z i z i z i -+=--≤+-==+
因此，1z i -+的最大值是1
故答案为1
【点睛】
本题考查复数模的最值的计算，可将问题转化为复平面内复数对应的点的轨迹，利用数形结合思想求解，同时也可以利用复数模的三角不等式进行计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 19．【解析】【分析】设z=a+bi(ab ∈R)则也是此方程的一个虚根由方程有虚根可知判别式为负数据此可求出m 的范围再利用根与系数的关系可得从而求出结果【详解】设z=a+bi(ab ∈R)则也是此方程的一个
解析：⎫∞⎪⎪⎝⎭
【解析】
【分析】
设z =a +bi ，(a ,b ∈R )，则z a bi =-也是此方程的一个虚根，由方程有虚根可知，判别式为
负数，据此可求出m 的范围，再利用根与系数的关系可得||z =.
【详解】
设z =a +bi ，(a ,b ∈R )，则z a bi =-也是此方程的一个虚根，
z 是关于x 的方程x 2+mx +m 2−1=0的一个虚根，可得()22410m m ∆=--<，即243
m >，
则由根与系数的关系，2221z z a b m ⋅=+=-，则||z =
>，
所以z 的取值范围是：⎫∞⎪⎪⎝⎭
.
故答案为⎫∞⎪⎪⎝⎭
.
【点睛】
本题考查实系数多项式虚根成对定理，以及复数的模的求解，属中档题.
20．-5【详解】分析：利用复数的运算法则可得z=1﹣2i 再利用复数的几何意义可得其对应的点代入直线x ﹣2y+m=0即可得出详解：∵复数z==所对应的点为（1﹣2）代入直线x ﹣2y+m=0可得1﹣2×（﹣
解析：-5
【详解】
分析：利用复数的运算法则可得z=1﹣2i ，再利用复数的几何意义可得其对应的点，代入直线x ﹣2y+m=0即可得出．
详解：∵复数z=()2421i i ++=()24+22122i i i i i i i i i
-++===--⋅所对应的点为（1，﹣2），代入直线x ﹣2y+m=0，可得1﹣2×（﹣2）+m=0，解得m=﹣5．
故答案为-5.
点睛：本题考查了复数的运算法则、复数的几何意义、点与直线的位置关系，属于基础题．复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.
三、解答题
21．（1）5149i -；（2）190.
【分析】
（1）先设出k 的代数形式，把1i +代入所给的方程，化简后由实部和虚部对应相等进行求值；
（2）由方程由虚根的条件∆<0，求出k 的所有的取值，再由方程虚根成对出现的特点，求出所有虚根之和．
【详解】
解：（1）设(,)k a bi a b R =+∈，1i +是21000x kx -+=的一个根，
2(1)()(1)1000i a bi i ∴+-+++=，100(2)0b a a b i ∴-++--=，
∴100020b a a b -+=⎧⎨--=⎩
，解得51a =，49b =-，5149k i ∴=-， （2）
方程21000x kx -+=有虚根，∴241000k ∆=-⨯<，解得2020k -<<， *k N ∴∈，1k ∴=，2，319⋯， 又虚根是成对出现的，∴所有的虚根之和为1219190++⋯+=．
【点睛】
本题是复数的综合题，考查了复数相等条件的应用，方程有虚根的等价条件，以及方程中虚根的特点，属于中档题．
22．（1）(2,3)-；（2）[]10,15；（3）存在，复数1z i =+和1i z =--.
【分析】
（1）根据题意得到()812i i p +=+⋅，求出82312i p i i
+==-+，从而可得出结果； （2）先由点P 在椭圆22
194
x y +=上，得到[]2,3p OP =∈，再由5z =，即可求出结果；
（3）假设存在，先设(,)P x y ，求出经过变换后的点为(),Q ax by bx ay -+，再由曲线方程，即可求出结果.
【详解】
（1）根据题意，有()812i i p +=+⋅， 所以8(8)(12)10152312(12)(12)5
i i i i p i i i i ++--====-++-， 所以点P 的坐标为(2,3)-；
（2）因为点P 在椭圆22
194
x y +=上， 所以[]2,3p OP =∈， 又345z i =+=，所以[]10,15OQ q p z ==⋅∈；
（3）假设存在z a bi =+，(),a b ∈R ，使得()Q z P =在双曲线1y x
=上运动， 设(,)P x y ，所以()()q ax by bx ay i =-++，对应的点为(),Q ax by bx ay -+，
因为(),Q ax by bx ay -+在双曲线1y x =
上运动， 所以1bx ay ax by
+=-，所以22221abx a xy b xy aby +--=， 即P 在曲线22221abx a xy b xy aby +--=上运动，
所以有2210ab a b =⎧⎨-=⎩，解得：11a b =⎧⎨=⎩或11a b =-⎧⎨=-⎩
， 所以，存在复数z 满足题意，分别为1z i =+和1i z =--.
【点睛】
本题主要考查复数的运算与复数的几何意义，熟记复数的四则运算，以及复数的几何意义与复数的运算法则即可，属于常考题型.
23．(1)1z i =-.
(2)1m =-.
【解析】
分析：（1）先根据z =和z 在复平面内对应的点位于第四象限求出a 的值，即得复数z.(2)直接根据纯虚数的定义求m 的值.
详解：（1）因为z ，
所以422a a +=，所以21a =.
又因为z 在复平面内对应的点位于第四象限，所以1a =-，
即1z i =-.
（2）由（1）得1z i =-，
所以22z i =-，所以2222m m mz m m mi +-=++.
因为22m m mz +-是纯虚数，
所以2020
m m m ⎧+=⎨≠⎩，所以1m =-. 点睛：（1）本题主要考查复数的模和复数的几何意义，考查纯虚数的概念，意在考查学生对这些知识的掌握水平.（2）复数(,)z a bi a b R =+∈为纯虚数0,0a b =⎧⇔⎨
≠⎩不要把下面的b≠0漏掉了.
24．（1）2z =；（2）()0,5.
【解析】
试题分析：
(1)由题意计算可得2555
a a z i -=+,若z R ∈，则5a =，2z =. (2)结合(1)的计算结果得到关于实数a 的不等式，求解不等式可得a 的取值范围为()0,5. 试题
（1）()
225555
a i a a z i i --=+=+,若z R ∈，则505a -=，∴5a =，∴2z =. （2）若z 在复平面内对应的点位于第一象限，则
205a >且505a ->， 解得05a <<，即a 的取值范围为()0,5.
25．（Ⅰ
）
122
+;（Ⅱ）a ＝1，或a ＝－2． 【解析】 试题分析：
(1)利用复数的运算法则可得：11z =，(
)212z =-+
，则原式＝12+． (2)利用题意得到关于实数a 的方程，解方程可得a ＝1，或a ＝－2．
试题
（Ⅰ
）因为12z =-
，所以11122i z =--==． (
)22112222z ⎛⎫=--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭
，
所以原式＝11122-
+=+． （Ⅱ）()()()
22122111322z z a a i a a i a a a i +=++++---=+++- 因为12z z +是实数，所以a 2＋a －2＝0，解得a ＝1，或a ＝－2，
故a ＝1，或a ＝－2．
26．（1）8；（2
）2)z i =±.
【分析】
（1）由复数的模的性质，知|221212z z z z ⨯=⋅ ，由此利用题设条件能够求出2
12z z ⨯的模；
（2）由212z z ⨯是虚部为正数的纯虚数，212z z ⨯的模是8，知2128z z i ⨯=，设复数()2,z a bi a b R =+∈，利用复数相等的性质能求出复数z 2．
【详解】
（1）222121212
8z z z z z z ⨯===； （2）212z z ⨯是虚部为正数的纯虚数
2128z z i ∴⨯=,
)2
2824i i z ==+，
设复数()2,z a bi a b R =+∈，
2222a b abi -+=+，
2222a b ab ⎧-=⎪⎨=⎪⎩
1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩
1a b ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，
∴2)z i =±.
【点睛】
复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查乘除法运算，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.。