2017-2018学年广东省揭阳市普宁华美实验学校高二上学期第一次月考数学(理)试题

2017-2018学年第一学期华美实验学校第一次月考试卷
高二数学（理）
一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.请将正确答案
．．．卷．上．）．
．．．．．．填涂
．．在答题
1. 集合A={x|x2+2x＞0}，B={x|x2+2x﹣3＜0}，则A∩B=（）
A．（﹣3，1）B．（﹣3，﹣2）C．R D．（﹣3，﹣2）∪（0，1）
2. 下列命题中正确的是（）
A．若a＞b，则ac2＞bc2 B．若a＞b，c＜d，则＞
C．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d D．若ab＞0，a＞b，则＜
3. 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=3，b=，A=，则角B等于（）
A． B． C．或 D．以上都不对
4. 在△ABC中，A=60°，AB=2，且△ABC的面积为，则BC的长为（）
A． B． C．2 D．2
5. 已知等差数列{a n}满足a1+a2+a3+…+a101=0，则有（）
A．a1+a101＞0 B．a2+a100＜0 C．a3+a99=0 D．a51=51
6. 已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3=12，S6=60，则S9=（）
A．192 B．300 C．252 D．360
7. 等比数列{a n}的前n项和为S n，已知a2a5=2a3，且a4与2a7的等差中项为，则S5=（）
A．29 B．31 C．33 D．36
8.如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使在C塔底B的正东方向上，测得点A
的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC=45°，则塔
高AB 的
高度为（ ）
A ．10
B ． 10
C ．10
D ．10
9. 已知数列{a n }中，a 1=2，a n =1﹣（n ≥2），则a 2017等于（ ）
A ．﹣
B ．
C ．﹣1
D ．2
10. 下列函数中，最小值为4的是（ ）
A ．y=x+
B ．y=sinx+
（0＜x ＜π） C ．y=e
x
+4e
﹣x
D ．y=+
11. 设实数x ，y 满足条件，若目标函数z=ax+by （a ＞0，b ＞0）的最大值
为 12，
则 + 的最小值为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．4
12. 已知正实数a ，b 满足12=+b a ，则ab
b a 1
42
2
++的最小值为 （ ） A ．
2
7
B ．4
C ．36161
D ．2
17
二、填空题：(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)答案填写在答题卡相应的位置上.
13. 若变量x ，y 满足约束条件的最大值= ．
14. 已知关于x 的不等式ax 2-ax ＋2＞0在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是_________.
15. 已知数列{a n }满足递推关系式a n+1=3a n +3n ﹣8（n ∈N +），且{
n
n 3
a λ+}为等差数
列，
则λ的值是 ．
16. 如图：已知ABC △，15AC =，M 在AB 边上，且CM =
cos ACM ∠=
，sin α=，（α为锐角），则ABC △的 面积为_________．
三、解答题 ：(本大题6个小题，其中17题10分,其余每题12分,共70分;必须写出必
要的文字说明、演算步骤或推理过程).
17.（10分）解下列关于x 的不等式．
（1）
≥3， （2）x
2
﹣ax ﹣2a 2
≤0（a ∈R ）
18. （12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a+b=5，c=，
且4sin
2
﹣cos2C=
．
（1）求角C 的大小； （2）求△ABC 的面积．
19. （12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cosC+（cosA ﹣sinA ）
cosB=0．
（1）求角B 的大小； （2）若a+c=1，求b 的取值范围．
20. （12分）已知数列{a n }满足a 1=1，且a n =2a n ﹣1+2n
（n ≥2，且n ∈N *
）
（1）求数列{a n }的通项公式；
（2）设数列{a n }的前n 项之和S n ，求证：．
21. （12分）若数列{a n }是的递增等差数列，其中的a 3=5，且a 1，a 2，a 5成等比数列， （1）求{a n }的通项公式； （2）设b n
=
，求数列{b n }的前项的和T n ．
（3）是否存在自然数m
，使得 ＜T n
＜对一切n ∈N *
恒成立？若存在，求出m 的值；
若不存在，说明理由． 22.（12
分）在数列{}n a 中，对于任意
*n ∈N ，等式
21123+222(221)n n n n a a a a n b -+++=⋅-+
成立，其中常数0b ≠.
（Ⅰ）求12,a a 的值；
（Ⅱ）求证：数列
{2}n
a 为等比数列； （Ⅲ）如果关于n 的不等式
248
1
2111
1()R n c c a a a a a ++++>∈的解集为 *{|3,}n n n ≥∈N ，求b 和c 的取值范围.
2017-2018学年第一学期华美实验学校第一次月考试卷
高二数学 答案
13. 3 14.[0,8) 15. -4 16. 225
15.﹣4【解答】解：因为{
}为等差数列，所以
，d 为常数，
因为a n+1=3a n +3n
﹣8（n ∈N +），所以
，
则左边===为常数，
则﹣8﹣2λ=0，解得λ=﹣4，故答案为：﹣4． 16.225
在AMC △中，由余弦定理可得2222cos 72AM AC CM AC CM ACM =+-⋅∠=，得
AM =，在AMC △中，由正弦定理sin sin AM MC
ACM MAC
=∠∠，解得
sin MAC ∠=
π4MAC ∠=，在ABC △中，
()sin sin πsin ACB αα∠=-==
，
由正弦定理可得
sin sin AC AB
ABC ACB
=∠∠，解得AB =，
所以ABC △的面积为
11sin 1522BAC AB AC ⨯∠⨯⨯=225=．
17.【解答】（1）解：
≥3⇔
⇔
⇒x ∈（2，]；
（2）x 2
﹣ax ﹣2a 2
≤0（a ∈R ）解：当a=0时，不等式的解集为{0}；
当a ≠0时，原式⇔（x+a ）（x ﹣2a ）≤0, 当a ＞0时，不等式的解集为x ∈[﹣a ，2a]； 当a ＜0时，不等式的解集为x ∈[2a ，﹣a]；
18.【解答】解：（1）∵A+B+C=180°，∴=90°﹣
，
由
得：
，
∴
，整理得：4cos 2
C ﹣4cosC+1=0，解得：
，
∵0°＜C ＜180°，∴C=60°；
（2）由余弦定理得：c 2
=a 2
+b 2
﹣2abcosC ，即7=a 2
+b 2
﹣ab ， ∴7=（a+b ）2
﹣3ab=25﹣3ab ⇔ab=6，
∴
．
19.解：（1）由已知得：﹣cos （A+B ）+cosAcosB ﹣sinAcosB=0，
即sinAsinB ﹣
sinAcosB=0，∵sinA ≠0，∴sinB ﹣
cosB=0，即tanB=
，
又B 为三角形的内角，则B=
；
（2）∵a+c=1，即c=1﹣a ，cosB=，
∴由余弦定理得：b 2
=a 2
+c 2
﹣2a c•cosB，即b 2
=a 2
+c 2
﹣ac=（a+c ）2
﹣3ac=1﹣3a （1﹣a ）=3（a
﹣）2+，
∵0＜a ＜1，∴≤b 2＜1，则≤b ＜1．
20.【解答】（1）∵a n =2a n ﹣1+2n （≥2，且n ∈N *）∴
∴
∴数列{}是以为首项，1为公差的等差数列；∴
a n =；
（2）∵S n =++…+
∴2S n =
+
+…+
两式相减可得﹣S n =1+22+23+…+2n ﹣=（3﹣2n ）•2n ﹣3
∴S n =（2n ﹣3）•2n +3＞（2n ﹣3）•2n ∴．
21.【解答】解：（1）在等差数列中，设公差为d ≠0，
由题意
，∴
，解得
．
∴a n =a 1+（n ﹣1）d=1+2（n ﹣1）=2n ﹣1． （2）由（1）知，a n =2n ﹣1．
则b n =
=
=（﹣
），
所以T n =（1﹣+﹣+﹣+﹣）=（1﹣
）=
；
（3）T n+1﹣T n =
﹣
=
＞0，
∴{T n }单调递增，∴T n ≥T 1=．∵T n =
＜，∴≤T n ＜
＜T n ＜对一切n ∈N *
恒成立，则≤﹣＜∴≤m ＜∵m 是自然数，
∴m=2．
22.（Ⅰ）解：因为2
1123+222(221)n n n n a a a a n b -++
+=⋅-+，
所以1
1
1(221)a b =-+，2
2
12+2(2221)a a b =⋅-+，
解得 1a b =，22a b =. ………………………… 3分 （Ⅱ）证明：当2n ≥时，由2
1123+222(221)n n n n a a a a n b -+++=⋅-+， ①
得2
2111231+222[(1)221]n n n n a a a a n b ----++
+=-⋅-+， ②
将①，②两式相减，得 1
112
(221)[(1)221]n n n n n n a n b n b ---=⋅-+--⋅-+,
化简，得n a nb =，其中2n ≥. ………………… 5分
因为1a b =，
所以 n a nb =，其中*n ∈N . ………………………… 6分
因为 11
222(2)2n
n n n a a a b a n ---==≥为常数，
所以数列{2}n a
为等比数列. …………………… 8分
（Ⅲ）解：由（Ⅱ），得22n n
a b =， ……………………… 9分
所以
248
211(1)
111111111122(1)1242212
n n n n
a a a a
b b
b b b -++++
=+++=⨯=--， 11分 又因为
111a b
=， 所以不等式
248
21111n a a a a ++++
1c
a >化简为11(1)2n c
b b
->， 当0b >时，考察不等式
11(1)2n c
b b
->的解， 由题意，知不等式1
12
n c -
>的解集为*{|3,}n n n ≥∈N ， 因为函数11()2x y =-在R 上单调递增，
所以只要求 3112c ->且21
12
c -≤即可，
解得37
48
c ≤<； …………………… 13分
当0b <时，考察不等式11(1)2n c
b b ->的解，
由题意，要求不等式112
n c -<的解集为*
{|3,}n n n ≥∈N ，
因为2311
1122
-<-，
所以如果3n =时不等式成立，那么2n =时不等式也成立， 这与题意不符，舍去. 所以0b >，37
48
c ≤<. ………………………… 14分。