2020-2021高一数学上期中一模试卷(含答案)(1)

2020-2021高一数学上期中一模试卷(含答案)(1)
一、选择题
1．在下列区间中，函数()43x
f x e x =+-的零点所在的区间为（ ）
A ．1,04⎛⎫
-
⎪⎝⎭
B ．10,4⎛
⎫ ⎪⎝⎭
C ．11,42⎛⎫
⎪⎝⎭
D ．13,24⎛⎫
⎪⎝⎭
2．已知函数()25,1,
,1,x ax x f x a x x
⎧---≤⎪
=⎨>⎪⎩是R 上的增函数，则a 的取值范围是（ ）
A ．30a -≤<
B ．0a <
C ．2a ≤-
D ．32a --≤≤
3．关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：
①f (x )是偶函数 ②f (x )在区间（2
π
,π）单调递增 ③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2
其中所有正确结论的编号是 A ．①②④
B ．②④
C ．①④
D ．①③
4．若函数()(),1
231,1
x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨-+≤⎪⎩是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是( )
A ．2,13⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．3,14⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
C ．23,34⎛⎤
⎥⎝⎦
D ．2,3⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭
5．若函数()(1)(0x
x
f x k a a a -=-->且1a ≠）在R 上既是奇函数,又是减函数,则
()log ()a g x x k =+的图象是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．设集合{1,2,3},{2,3,4}A B ==，则A B =U
A ．{}1
23,4，， B ．{}123，， C ．{}234，， D ．{}13
4，， 7．已知函数(
)
245f
x x x +=++，则()f x 的解析式为( )
A ．()2
1f x x =+ B ．()()2
12f x x x =+≥
C ．()2
f x x =
D ．()()2
2f x x
x =≥
8．函数()f x 的图象如图所示,则它的解析式可能是( )
A ．()212
x
x f x -= B ．()()2
1x
f x x =-
C ．()ln f x x =
D ．()1x
f x xe =-
9．函数()2log ,0,2,0,
x x x f x x ⎧>=⎨≤⎩则函数()()()2
384g x f x f x =-+的零点个数是（ ）
A ．5
B ．4
C ．3
D ．6
10．设a ＝25
35⎛⎫ ⎪⎝⎭，b ＝35
25⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，c ＝25
25⎛⎫ ⎪⎝⎭
，则a ，b ，c 的大小关系是( )
A ．a>c>b
B ．a>b>c
C ．c>a>b
D ．b>c>a 11．设0.60.3a =，0.30.6b =，0.30.3c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）
A ．b a c <<
B ．a c b <<
C ．b c a <<
D ．c b a <<
12．已知集合{
}
22
(,)1A x y x y =+=，{}
(,)B x y y x ==，则A B I 中元素的个数为（ ） A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
二、填空题
13．已知函数()(),y f x y g x ==分别是定义在[]3,3-上的偶函数和奇函数，且它们在
[]0,3上的图象如图所示，则不等式
()
()
0f x g x ≥在[]3,3-上的解集是________.
14．已知偶函数()f x 满足3
()8(0)f x x x =-≥，则(2)0f x ->的解集为___ ___
15．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2)．若当x ∈[－3,0]时，f (x )＝6－x ，则f (919)＝________.
16．已知函数()log (4)a f x ax =-（0a >，且1a ≠）在[0,1]上是减函数，则a 取值范围是_________．
17．定义在[3,3]-上的奇函数()f x ，已知当[0,3]x ∈时，()34()x x
f x a a R =+⋅∈，
则()f x 在[3,0]-上的解析式为______．
18．用{}min ,,a b c 表示,,a b c 三个数中最小值，则函数{}()min 41,4,8f x x x x =++-+的最大值是 ．
19．甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程
()(1,2,3,4)i f x i =关于时间(0)x x ≥的函数关系式分别为1()21x f x =-，22()f x x =，3()f x x =，42()log (1)f x x =+，有以下结论：
①当1x >时，甲走在最前面； ②当1x >时，乙走在最前面；
③当01x <<时,丁走在最前面，当1x >时，丁走在最后面； ④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面； ⑤如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲．
其中，正确结论的序号为 （把正确结论的序号都填上,多填或少填均不得分）．
20．已知函数42
()(0)f x x ax bx c c =+++<，若函数是偶函数，且4
((0))f f c c =+，
则函数()f x 的零点共有________个.
三、解答题
21．已知函数()()()lg 2lg 2f x x x =++-. （1）求函数()f x 的定义域；
（2）若不等式f ()x m >有解，求实数m 的取值范围. 22．已知函数()()2
,,f x ax bx c a b c R =++∈.
（1）若0a <，0b >，0c =且()f x 在[]0,2上的最大值为
9
8
，最小值为2-，试求a ，b 的值；
（2）若1c =，1
02
a <<，且()2f x x ≤对任意[]
1,2x ∈恒成立，求b 的取值范围.（用a 来表示）
23．2018年1月8日，中共中央､国务院隆重举行国家科学技术奖励大会，在科技界引发热烈反响，自主创新正成为引领经济社会发展的强劲动力.某科研单位在研发新产品的过程中发现了一种新材料，由大数据测得该产品的性能指标值y 与这种新材料的含量x （单
位：克）的关系为：当06x ≤<时，y 是x 的二次函数；当6x ≥时，13x t
y -⎛⎫= ⎪
⎝⎭
测得数据
如下表（部分）： x （单位：克） 0
1
2
9
…
y
74
3
19
…
（1）求y 关于x 的函数关系式()y f x =；
（2）当该产品中的新材料含量x 为何值时，产品的性能指标值最大. 24．已知函数()lg(2)lg(2)f x x x =++-. （1）求函数()y f x =的定义域； （2）判断函数()y f x =的奇偶性； （3）若(2)()f m f m -<，求m 的取值范围.
25．某厂生产某产品的年固定成本为250万元，每生产千件，需另投入成本（万
元），若年产量不足
千件，
的图象是如图的抛物线，此时的解集为
，且
的最小值是
，若年产量不小于
千件，
，每千件商品售价为50万元，通过市场分析，该厂生产的商
品能全部售完.
（1）写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；
（2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
26．国庆期间,某旅行社组团去风景区旅游,若旅行团人数在30人或30人以下,每人需交费用为900元；若旅行团人数多于30人,则给予优惠：每多1人,人均费用减少10元,直到达到规定人数75人为止．旅行社需支付各种费用共计15000元．
（1）写出每人需交费用y 关于人数x 的函数； （2）旅行团人数为多少时,旅行社可获得最大利润？
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】
先判断函数()f x 在R 上单调递增，由104102f f ⎧⎛⎫< ⎪⎪⎪
⎝⎭
⎨
⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭
⎩
,利用零点存在定理可得结果. 【详解】
因为函数()43x
f x e x =+-在R 上连续单调递增，
且11
44
11
22114320
4411431022f e e f e e ⎧⎛⎫=+⨯-=-<⎪ ⎪⎪⎝⎭
⎨⎛⎫⎪=+⨯-=-> ⎪⎪⎝⎭
⎩, 所以函数的零点在区间11,42⎛⎫
⎪⎝⎭
内，故选C.
【点睛】
本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.
2．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据分段函数的单调性特点，两段函数在各自的定义域内均单调递增，同时要考虑端点处的函数值. 【详解】
要使函数在R 上为增函数，须有()f x 在(,1]-∞上递增，在(1,)+∞上递增，
所以21,20,115,
1a a a a ⎧-≥⎪⎪
<⎨⎪
⎪--⨯-≤⎩
，解得32a --≤≤.
故选D. 【点睛】
本题考查利用分段函数的单调性求参数的取值范围，考查数形结合思想、函数与方程思想的灵活运用，求解时不漏掉端点处函数值的考虑.
3．C
解析：C 【解析】 【分析】
化简函数()sin sin f x x x =+，研究它的性质从而得出正确答案． 【详解】
()()()()sin sin sin sin ,f x x x x x f x f x -=-+-=+=∴Q 为偶函数，故①正确．当
2x π
π<<时，()2sin f x x =，它在区间,2π⎛⎫
π ⎪⎝⎭
单调递减，故②错误．当0x π≤≤时，()2sin f x x =，它有两个零点：0,π；当0x π-≤<时，
()()sin sin 2sin f x x x x =--=-，它有一个零点：π-，故()f x 在[],-ππ有3个零
点：0-π,,π，故③错误．当[](
)2,2x k k k *
∈ππ+π∈N
时，()2sin f x x =；当
[]()2,22x k k k *∈π+ππ+π∈N 时，()sin sin 0f x x x =-=，又()f x 为偶函数，
()f x ∴的最大值为2，故④正确．综上所述，①④ 正确，故选C ．
【点睛】
画出函数()sin sin f x x x =+的图象，由图象可得①④正确，故选C ．
4．C
解析：C 【解析】 【分析】
由题意结合分段函数的解析式分类讨论即可求得实数a 的取值范围. 【详解】
当1x >时，x a 为减函数，则01a <<，
当1x ≤时，一次函数()231a x -+为减函数，则230a -<，解得：23
a >， 且在1x =处，有：()1
2311a a -⨯+≥，解得：34
a ≤
， 综上可得，实数a 的取值范围是23,34⎛⎤ ⎥⎝⎦
. 本题选择C 选项. 【点睛】
对于分段函数的单调性，有两种基本的判断方法：一保证各段上同增(减)时，要注意上、下段间端点值间的大小关系；二是画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质进行直观的判断．
5．A
解析：A 【解析】 【分析】
由题意首先确定函数g (x )的解析式，然后结合函数的解析式即可确定函数的图像. 【详解】
∵函数()(1)x
x
f x k a a -=--(a >0,a ≠1)在R 上是奇函数，
∴f (0)=0，∴k =2， 经检验k =2满足题意， 又函数为减函数， 所以01a <<， 所以g (x )=log a (x +2)
定义域为x >−2，且单调递减， 故选A . 【点睛】
本题主要考查对数函数的图像，指数函数的性质，函数的单调性和奇偶性的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
6．A
解析：A 【解析】
由题意{1,2,3,4}A B =U ，故选A. 点睛:集合的基本运算的关注点：
(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．
(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．
(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图．
7．B
解析：B 【解析】 【分析】
利用换元法求函数解析式，注意换元后自变量范围变化. 【详解】
2t =,则2t ≥，所以()()()()2
2
24t 251,2,f t t t t =-+-+=+≥
即()2
1f x x =+ ()2x ≥.
【点睛】
本题考查函数解析式，考查基本求解能力.注意换元后自变量范围变化.
8．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据定义域排除C ，求出()1f 的值，可以排除D ，考虑()100f -排除A . 【详解】
根据函数图象得定义域为R ，所以C 不合题意；
D 选项，计算()11f e =-，不符合函数图象；
对于A 选项， ()100
10099992
f -=⨯与函数图象不一致；
B 选项符合函数图象特征.
故选：B 【点睛】
此题考查根据函数图象选择合适的解析式，主要利用函数性质分析，常见方法为排除法.
9．A
解析：A 【解析】 【分析】
通过对()g x 式子的分析，把求零点个数转化成求方程的根，结合图象，数形结合得到根的个数，即可得到零点个数． 【详解】 函数()()()2
384g x f x f x =-+=()()322f x f x --⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的零点
即方程()2
3
f x =
和()2f x =的根， 函数()2log ,0,2,0x x x f x x ⎧>=⎨≤⎩
的图象如图所示：
由图可得方程()2
3
f x =和()2f x =共有5个根， 即函数()()()2
384g x f x f x =-+有5个零点,
故选：A . 【点睛】
本题考查函数的零点与方程的根的个数的关系，注意结合图象，利用数形结合求得结果时作图很关键，要标准．
10．A
解析：A 【解析】
试题分析：∵函数2()5
x
y =是减函数，∴c b >；又函数25y x =在(0,)+∞上是增函数，故
a c >.从而选A
考点：函数的单调性.
11．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据指数函数的单调性得出0.60.30.30.3<，而根据幂函数的单调性得出0.30.30.30.6<，从而得出a ，b ，c 的大小关系． 【详解】
解：0.3x
y =Q 在定义域上单调递减，且0.360.<，
0.60.30.30.3∴<，
又0.3
y x
∴=在定义域上单调递增，且0.360.<，
0.30.30.30.6∴<，
0.60.30.30.30.30.6∴<<，
a c
b ∴<<
故选：B ． 【点睛】
考查指数函数和幂函数的单调性，以及增函数和减函数的定义．
12．B
解析：B 【解析】
试题分析：集合中的元素为点集，由题意，可知集合A 表示以()0,0为圆心，1为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B 表示直线y x =上所有的点组成的集合，又圆
2
2
1x y +=与直线y x =相交于两点⎝⎭，⎛ ⎝⎭
，则A B I 中有2个元
素.故选B.
【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.
二、填空题
13．【解析】【分析】不等式的解集与f （x ）g(x)0且g （x ）0的解集相同观察图象选择函数值同号的部分再由f （x ）是偶函数g （x ）是奇函数得到f （x ）g （x ）是奇函数从而求得对称区间上的部分解集最后两部 解析：(]()(]3,21,01,2--⋃-⋃
【解析】 【分析】 不等式
()()
f x 0
g x ≥的解集，与f （x ）⋅g(x)≥0且g （x ）≠0的解集相同，观察图象选择函数
值同号的部分，再由f （x ）是偶函数，g （x ）是奇函数，得到f （x ）⋅g （x ）是奇函数，从而求得对称区间上的部分解集，最后两部分取并集即可. 【详解】 将不等式
()()
f x 0
g x ≥转化为f （x ）⋅g(x)≥0且g （x ）≠0，
如图所示：满足不等式的解集为：（1,2]
∵y=f （x ）是偶函数，y=g （x ）是奇函数∴f （x ）⋅g （x ）是奇函数, 故在y 轴左侧，满足不等式的解集为(-3,-2]U (-1,0) 故不等式()()
0f x g x ≥在[]3,3-上的解集是(-3,-2]U (-1,0)U （1,2]
【点睛】
本题考查了函数的奇偶性在解不等式中的应用，考查了数形结合，转化，分类讨论等思想方法，根据函数奇偶性的性质以及数形结合是解决本题的关键.
14．【解析】【分析】通过判断函数的奇偶性增减性就可以解不等式【详解】
根据题意可知令则转化为由于偶函数在上为增函数则即即或即或【点睛】本题主要考查利用函数的性质（奇偶性增减性）解不等式意在考查学生的转化能 解析：{|40}x x x ><或
【解析】 【分析】
通过判断函数的奇偶性，增减性就可以解不等式. 【详解】
根据题意可知(2)0f =，令2x t -=，则转化为()(2)f t f >，由于偶函数()f x 在
()0,∞+上为增函数，则()(2)f t f >，即2t
>，即22x -<-或22x ->，即0x <或
4x >.
【点睛】
本题主要考查利用函数的性质（奇偶性，增减性）解不等式，意在考查学生的转化能力，分析能力及计算能力.
15．6【解析】【分析】先求函数周期再根据周期以及偶函数性质化简再代入求值【详解】由f(x+4)=f(x-2)可知是周期函数且所以【点睛】本题考查函数周期及其应用考查基本求解能力
解析：6 【解析】 【分析】
先求函数周期，再根据周期以及偶函数性质化简()()9191f f =-，再代入求值. 【详解】
由f (x +4)=f (x -2)可知,()f x 是周期函数,且6T =,所以()()()919615311f f f =⨯+=
()16f =-=.
【点睛】
本题考查函数周期及其应用，考查基本求解能力.
16．；【解析】【分析】分为和两种情形分类讨论利用复合函数的单调性结合对数函数的性质求出取值范围【详解】∵函数（且）在上是减函数当时故本题即求在满足时函数的减区间∴求得当时由于是减函数故是增函数不满足题意
解析：(1,4)； 【解析】 【分析】
分为1a >和01a <<两种情形分类讨论，利用复合函数的单调性，结合对数函数的性质求出a 取值范围． 【详解】
∵函数()log (4)a f x ax =-（0a >，且1a ≠）在[0,1]上是减函数，
当1a >时，故本题即求4t ax =-在满足0t >时，函数t 的减区间， ∴40a ->，求得14a <<，
当01a <<时，由于4t ax =-是减函数，故()f x 是增函数，不满足题意， 综上可得a 取值范围为(1,4)， 故答案为：(1,4)． 【点睛】
本题主要考查复合函数的单调性，对数函数，理解“同增异减”以及注意函数的定义域是解题的关键，属于中档题．
17．f （x ）＝4﹣x ﹣3﹣x 【解析】【分析】先根据计算再设代入函数利用函数的奇偶性得到答案【详解】定义在﹣33上的奇函数f （x ）已知当x∈03时f （x ）＝3x+a4x （a∈R）当x ＝0时f （0）＝0解得
解析：f （x ）＝4﹣x ﹣3﹣x
【解析】 【分析】
先根据()00f =计算1a =-，再设30x ≤≤﹣ ，代入函数利用函数的奇偶性得到答案. 【详解】
定义在[﹣3，3]上的奇函数f （x ），已知当x ∈[0，3]时，f （x ）＝3x +a 4x （a ∈R ）， 当x ＝0时，f （0）＝0，解得1+a ＝0，所以a ＝﹣1． 故当x ∈[0，3]时，f （x ）＝3x ﹣4x ．
当﹣3≤x ≤0时，0≤﹣x ≤3，所以f （﹣x ）＝3﹣x ﹣4﹣
x ，
由于函数为奇函数，故f （﹣x ）＝﹣f （x ），所以f （x ）＝4﹣x ﹣3﹣x .
故答案为：f （x ）＝4﹣x ﹣3﹣
x
【点睛】
本题考查了利用函数的奇偶性求函数解析式，属于常考题型.
18．6【解析】试题分析：由分别解得则函数则可知当时函数取得最大值为6考点：分段函数的最值问题
解析：6 【解析】
试题分析：由414,418,48x x x x x x +>++>-++>-+分别解得1, 1.4,2x x x >>>，
则函数()8,2
{4,1241,1
x x f x x x x x -+≥=+<<+≤
则可知当2x =时，函数{}()min 41,4,8f x x x x =++-+取得最大值为6 考点：分段函数的最值问题
19．③④⑤【解析】试题分析：分别取特值验证命题①②；对数型函数的变化是先快后慢当x=1时甲乙丙丁四个物体又重合从而判断命题③正确；指数
函数变化是先慢后快当运动的时间足够长最前面的动物一定是按照指数型函数
解析：③④⑤ 【解析】
试题分析：分别取特值验证命题①②；对数型函数的变化是先快后慢，当x=1时甲、乙、丙、丁四个物体又重合，从而判断命题③正确；指数函数变化是先慢后快，当运动的时间足够长，最前面的动物一定是按照指数型函数运动的物体，即一定是甲物体；结合对数型和指数型函数的图象变化情况，可知命题④正确．
解：路程f i （x ）（i=1，2，3，4）关于时间x （x≥0）的函数关系是：
，
，f 3（x ）=x ，f 4（x ）=log 2（x+1），
它们相应的函数模型分别是指数型函数，二次函数，一次函数，和对数型函数模型． 当x=2时，f 1（2）=3，f 2（2）=4，∴命题①不正确； 当x=4时，f 1（5）=31，f 2（5）=25，∴命题②不正确；
根据四种函数的变化特点，对数型函数的变化是先快后慢，当x=1时甲、乙、丙、丁四个物体又重合，从而可知当0＜x ＜1时，丁走在最前面，当x ＞1时，丁走在最后面， 命题③正确；
指数函数变化是先慢后快，当运动的时间足够长，最前面的动物一定是按照指数型函数运动的物体，即一定是甲物体，∴命题⑤正确．
结合对数型和指数型函数的图象变化情况，可知丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面，命题④正确． 故答案为③④⑤．
考点：对数函数、指数函数与幂函数的增长差异．
20．2【解析】因为是偶函数则解得又所以故令所以故有2个零点点睛：本题涉及函数零点方程图像等概念和知识综合性较强属于中档题一般讨论函数零点个数问题都要转化为方程根的个数问题或两个函数图像交点的个数问题本题
解析：2 【解析】
因为()4
2
(0)f x x ax bx c c =+++<是偶函数，则()()f x f x -=，解得0b =，又
()()4240()f f f c c ac c c c ==++=+，所以0a =，故4()f x x c =+，令4()0f x x c =+=，40x c =->，所以4x c =-2个零点.
点睛：本题涉及函数零点，方程，图像等概念和知识，综合性较强，属于中档题.一般讨论函数零点个数问题，都要转化为方程根的个数问题或两个函数图像交点的个数问题，本题由于涉及函数为初等函数，可以考虑方程来解决，转化为方程根的个数，同时注意偶函数性质在本题中的应用.
三、解答题
21．（1）(2,2)-；（2）lg 4m <． 【解析】
试题分析：（1）由对数有意义，得20{
20
x x +>->可求定义域；（2）不等式()f x m >有解
⇔max ()m f x <，由2044x <-≤，可得()f x 的最大值为lg 4，所以lg 4m <．
试题解析：（1）x 须满足20
{20
x x +>->，∴22x -<<，
∴所求函数的定义域为(2,2)-.
（2）∵不等式()f x m >有解，∴max ()m f x <
()()()lg 2lg 2f x x x =++-=2lg(4)x -
令24t x =-，由于22x -<<，∴04t <≤
∴()f x 的最大值为lg 4.∴实数m 的取值范围为lg 4m <. 考点：对数性质、对数函数性、不等式有解问题．
22．(1)
2,3a b =-=；(2) 当104a <≤时，5212a b a --≤≤-；当11
42
a <<时，
21b a -≤≤-.
【解析】 【分析】
（1）求得二次函数的对称轴，根据对称轴和区间的位置关系，分类讨论，待定系数即可求得,a b ；
（2）对参数a 进行分类讨论，利用对勾函数的单调性，求得函数的最值，即可容易求得参数范围. 【详解】
（1）由题可知2
y ax bx =+是开口向下，对称轴为02b
a
-
>的二次函数， 当22b
a
-
≥时，二次函数在区间[]0,2上单调递增， 故可得0min y =显然不符合题意，故舍去； 当122b a ≤-
<，二次函数在0,2b a ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，在,22b a ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
单调递减，
且当0x =时，取得最小值，故0min y =，不符合题意，故舍去； 当012b a <-
<时，二次函数在2x =处取得最小值，在2b
x a
=-时取得最大值. 则422a b +=-；2
9228
b b a b a a ⎛⎫⎛⎫⨯-+⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得292b a -=；
则24990b b --=，解得3b =或3
4
b =-（舍）， 故可得2a =-.
综上所述：2,3a b =-=.
（2）由题可知()2
1f x ax bx =++，
因为
()2f x x
≤对任意[]1,2x ∈
恒成立，
即1
2ax b x
+
+≤对任意[]1,2x ∈恒成立， 即1
22ax b x
-≤+
+≤对任意[]1,2x ∈恒成立， 令()1
g x ax b x
=+
+，则()2max g x ≤，且()2min g x ≥-.
因为1
2
a <<> 2
≥，即1
04
a <≤时， ()g x 在区间[]1,2单调递减，
故()()11max g x g a b ==++，()()1
222
min g x g a b ==++ 则1
12,222a b a b ++≤++≥-， 解得51,22
b a b a ≤-≥--. 此时，()5721022a a a ⎛⎫----=--< ⎪⎝⎭，也即5212
a a --<-， 故5
212
a b a --
≤≤-.
2
<
<，即11
42
a <<时， ()g x 在
⎛ ⎝单调递减，在2⎫
⎪⎭单调递增.
()
2
min g x g b ==≥-，即2b ≥-
又因为()11g a b =++，()1222
g a b =++， 则()()1
1202
g g a -=-+
>， 故()g x 的最大值为()11g a b =++， 则12a b ++≤，解得1b a ≤-，
此时()(
))
2
213140a a ---=-=-<，
故可得21b a -≤≤-. 综上所述： 当104a <≤时，5
212
a b a --≤≤-； 当
11
42a <<
时，21b a -≤≤-. 【点睛】
本题考查二次函数动轴定区间问题的处理，以及由恒成立问题求参数范围，涉及对勾函数的单调性，属综合中档题.
23．（1）()2
7
12,0641,63x x x x f x x -⎧-+≤<⎪⎪
=⎨⎛⎫⎪≥ ⎪⎪⎝⎭
⎩（2）4x = 【解析】 【分析】
（1）利用待定系数法，结合所给数据可求函数关系式()y f x =； （2）分段求解函数的最大值，比较可得结果. 【详解】
（1）当06x ≤<时，由题意，设()2
f x ax bx c =++（0a ≠），
由表格数据得()()()007142423f c f a b c f a b c ⎧==⎪
⎪
=++=⎨⎪=++=⎪⎩，解得1420
a b c ⎧=-⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩
，
所以，当06x ≤<时，()2
124
f x x x =-
+， 当6x ≥时，()13x t
f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭
，由表格数据可得()911939
t
f -⎛⎫==
⎪⎝⎭
， 解得7t =，所以当6x ≥时，()7
13x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，
综上，()2
7
12,0641,63x x x x f x x -⎧-+≤<⎪⎪
=⎨⎛⎫⎪≥ ⎪⎪⎝⎭
⎩.
（2）当06x ≤<时，()()2
21124444
f x x x x =-
+=--+， 可知4x =时，()()max 44f x f ==，
当6x ≥时，()7
13x f x -⎛⎫= ⎪
⎝⎭
单凋递减，
可知6x =时，()()67
max
1633f x f -⎛⎫
=== ⎪
⎝⎭
.
综上可得，当4x =时，产品的性能指标值最大. 【点睛】
本题主要考查函数解析式的求解及最值，待定系数法是求解析式的常用方法，根据函数的类型设出解析式，结合条件求解未知系数，侧重考查数学抽象 24．（1）{|22}x x -<<（2）偶函数（3）01m << 【解析】 【分析】 【详解】
（Ⅰ）要使函数有意义，则，得
.
函数
的定义域为
. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，函数
的定义域为
，关于原点对称，对任意
，
.
由函数奇偶性可知，函数为偶函数.
（Ⅲ）
函数
由复合函数单调性判断法则知，当时，函数
为减函数
又函数为偶函数，
不等式
等价于
，
得
.
25．(1) ；(2) 当年产量千件时，该厂在这一
商品的生产中所获利润最大为万元.
【解析】 【分析】
（1）由题可知，利润=售价-成本，分别对年产量不足件，以及年产量不小于件计
算，代入不同区间的解析式，化简求得；
（2）分别计算年产量不足件，以及年产量不小于件的利润，当年产量不足80件时，
由配方法解得利润的最大值为950万元，当年产量不小于件时，由均值不等式解得利润最大值为1000万元，故年产量为件时，利润最大为
万元.
【详解】 （1）当
时，
；
当
时，
，
所以（）.
（2）当时，
此时，当时，
取得最大值
万元．
当
时，
此时，当时，即
时，
取得最大值万元，
,
所以年产量为
件时，利润最大为
万元．
考点：•配方法求最值 均值不等式
26．（1）900,030,120010,3075,x x N y x x x N +
+<≤∈⎧=⎨-<≤∈⎩
；（2）当人数为60时，旅行社可获最大
利润. 【解析】 【分析】
（1）当030x <≤时，900y =；当3075x <≤，用900减去优惠费用，求得y 的表达.由此求得每人需交费用y 关于人数x 的分段函数解析式.
（2）用收取的总费用，减去15000，求得旅行社获得利润的分段函数表达式，利用一次函数和二次函数最值的求法，求得当人数为60时，旅行社可获得最大利润. 【详解】
（1）当030x <≤时，900y =；
当3075x <≤，90010(30)120010y x x =--=-
即900,030,120010,3075,x x N y x x x N +
+<≤∈⎧=⎨-<≤∈⎩
；
（2）设旅行社所获利润为S 元，则 当030x <≤时，90015000S x =-；
当3075x <≤时，2(120010)1500010120015000S x x x x =--=-+-
即2
90015000,030,10120015000,3075,x x x N S x x x x N +
+-<≤∈⎧=⎨-+-<≤∈⎩
Q 当030x <≤时，900 15000S x =-为增函数
30x ∴=时，max 12000S =，
当3075x <≤时，2
10(60)21000S x =--+，
60x =，max 2100012000S =>.
∴当人数为60时，旅行社可获最大利润.
【点睛】
本小题主要考查分段函数模型在实际生活中的运用，考查一次函数、二次函数的值域的求法，属于中档题.。