河北省抚宁县第六中学高三数学专题复习 7.1计数原理、二项式定理教案(第1课时)

课题
计数原理、二项式定理课时共 3课时本节第1 课时选用教材专题七知识模块概率与统计课型复习
教学目标会用计数原理、二项式定理解决问题
重点会用计数原理、二项式定理解决问题
难点会用计数原理、二项式定理解决问题
关键会用计数原理、二项式定理解决问题
教学方法
及课前准备
多媒体辅助教学学生自主探究讲练结合
教学流程多媒体辅助教学内容
网络构建
考点溯源
[思考1] 试写出排列数A m n、组合数C m n的表达式？
提示：A m n＝
n！
n－m！
＝n(n－1)…(n－m＋1)，
C m n＝n！
m！n－m！＝
n n－1…n－m＋1
m！
.
[思考2] 若C x n＝C m n，则x＝m，这个结论一定正确吗？
提示：不正确．由C x n＝C m n，可得x＝m或x＝n－m.
[思考3] 二项式定理(a＋b)n＝C0n a n b0＋C1n a n－1b1＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n a0b n中，交换a，b的顺序对各项是否有影响？
提示：从整体看，(a＋b)n与(b＋a)n相同，但具体到某一项是不同的，如(a＋b)n的第k＋1项T k＋1＝C k n a n－k b k，(b＋a)n的第k＋1项T′k′＋1＝C k n b n－k a k.
[思考4] 如何区分二项式系数与各项的系数？
提示：二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念．二项式系数是指C0n，C1n，…，C n n，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的部分，它不仅与各项的二项式系数有关，而且也与a，b的值有关．复习知识点，用多媒体展示，带领学生对相关知识进行回忆与记忆
教学流程多媒体辅助教学内容
考向一两个计数原理及应用
①以实际问题为背景考查两个原理，②结合排列、组合考查计数原理；③在概率的解答题中涉及计数原理，试题难度为中档，约占5分左右．
【例1】 (1)将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有( )．
A．12种 B．10种
C．9种 D．8种
(2)(2020·深圳模拟)值域为{2,5}，其对应关系为y＝x2＋1的函数的个数为( )．
A．1 B．7
C．9 D．8
[思路点拨](1)第一步安排教师→第二步安排学生
(2)确定函数的定义域→按定义域中元素的个数分类求解
解析(1)分两步：第一步，选派一名教师到甲地，另一名到乙地，共有C12＝2(种)选派方法；第二步，选派两名学生到甲地，另外两名到乙地，共有C24＝6(种)选派方法．
由分步乘法计数原理不同的选派方案共2×6＝12(种)．
(2)分别由x2＋1＝2，x2＋1＝5，解得x＝±1，x＝±2.
由函数的定义，定义域中元素的选取分三种情况．
①取两个元素，有C12·C12＝4种．
②取三个元素，从±1，±2两组中选取一组，再从剩下的一组中取一个数，有C12·C12＝4种．
③取四个元素，有一种方法
∴由分类加法计数原理，共有4＋4＋1＝9种．
答案(1)A (2)C
[探究提升] 1.本题(2)在求解过程中，按函数定义域中元素的情况分为三类求解，从而做到“不重不漏”．
2．“分类”与“分步”的区别：关键是看事件完成情况，如果每种方法都能将事件完成则是分类；如果必须要连续若干步才能将事件完成则是分步．
【变式训练1】 (1)
如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有________个．
(2)将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有( )．
A．12种 B．18种 C．24种 D．36种
解析(1)把与正八边形有公共边的三角形分为两类．
第一类，有一条公共边的三角形共有8×4＝32(个)．
第二类，有两条公共边的三角形共有8(个)．
由分类加法计数原理知，共有32＋8＝40(个)．
(2)先排第一列，由于每列的字母互不相同，因此共有A33种不同排法．
再排第二列，其中第二列第一行的字母共有A12种不同的排法，第二列第二、三行的字母只有1种排法．
因此共有A33·A12·1＝12(种)不同的排列方法．
答案(1)40 (2)A
考向二考查排列与组合
有限制条件的排列、组合、或排列与组合的交汇问题是常考内容，解题的关键是将实际问题转化为排列、组合问题，难度中档．
【例2】 (1)(2020·四川高考)从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，
A ．9
B ．10
C ．18
D ．20
(2)(2020·浙江高考)将A 、B 、C 、D 、E 、F 六个字母排成一排，且A 、B 均在C 的同侧，则不同的排法共有________种(用数字作答)．
[思路点拨](1)由对数的运算性质，确定实数a ，b 的限制条件，利用排列求解．(2)选出3个位置排特殊元素A 、B 、C ，并把元素A 、B 作为元素集团进行排列． 解析 (1)由于lg a －lg b ＝lg a b
(a >0，b >0)， ∴lg a b 有多少个不同的值，只需看a b
不同值的个数．
从1,3,5,7,9中任取两个作为a b 有A 2
5种，又13与39相同，31与93
相同，∴lg a －lg b 的不同值的个数
有A 2
5－2＝20－2＝18.
(2)先将A 、B 视为元素集团，与C 先排在6个位置的三个位置上，有C 36A 22C 1
2种排法； 第二步，排其余的3个元素有A 3
3种方法．
∴由分步乘法计数原理，共有C 36A 22C 1
2·A 3
3＝480种排法． 答案 (1)C (2)480
[探究提升] 1.第(1)题求解过程中采用了“间接法”；第(2)题求解的关键是特殊元素优先，“小集团”问题采用“捆绑法”．
2．排列与组合综合题目，首先依据两个原理解决好分类与分步，树立“特殊元素”和“特殊位置”的优先原则，注意“分组”与“分配”、“平均分组”与“不平均分组”的差异． 【变式训练2】 (1)一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( )．
A ．3×3! B．3×(3！)3
C ．(3！)4
D ．9!
(2)(2020·海淀区质检)从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为( )． A ．24 B ．18 C ．12 D ．6
解析 (1)此排列可分两步进行，先把三个家庭分别排列，每个家庭有3！种排法． 第二步，3个家庭全排列有A 3
3种，
∴共有不同的坐法有3！·3！·3！·A 3
3＝(3！)4
. (2)根据所选偶数为0和2分类讨论求解．
①当选数字0时，再从1,3,5中取出2个数字排在个位与百位．∴排成的三位奇数有C 23A 2
2＝6个． ②当取出数字2时，再从1,3,5中取2个数字有C 2
3种方法．然后将选中的两个奇数数字选一个排在个位，其余2个数字全排列． ∴排成的三位奇数有C 23A 12A 2
2＝12个．
∴由加法计数原理，共有6＋12＝18个不同三位数． 答案 (1)C (2)B 考向三 考查二项式定理
常考查①利用通项公式求特定项或特定项的系数；②二项式系数及其性质；③利用二项式定理求相关参数．是历年高考的热点，以客观题的形式命题，不超过中等难度． 课堂同步练习：
1．(2020·江西高考)⎝
⎛⎭
⎪⎫x 2－2x 35
展开式中的常数项为
( )．
A ．80
B ．－80
C ．40
D ．－40
解析 T r ＋1＝C r
5(x 2)
5－r
⎝ ⎛⎭
⎪⎫－2x 3r ＝C r 5(－2)r x 10－5r ， 令10－5r ＝0得r ＝2.∴常数项为T 3＝C 2
5(－2)2
＝40. 答案 C
2．(2020·福建高考)满足a ，b ∈{－1,0,1,2}，且关于x 的方程ax 2
＋2x ＋b ＝0有实数解的有序数对(a ，b )的个数为 ( )．
A ．14
B ．13
C ．12
D ．10
解析 当a ＝0时，b ＝－1,0,1,2，有4种可能； 当a ≠0时，方程有实根，则Δ＝4－4ab ≥0，ab ≤1. 若a ＝－1时，b ＝－1,0,1,2，有4种可能； 若a ＝0时，b ＝－1,0,1,2，有4种可能； 若a ＝1时，b ＝－1,0,1，有3种可能； 若a ＝2时，b ＝－1,0，有2种可能．
考
点探究突破
典型例题讲解，先让学生自己思考，老师再给出思路，最后用多媒体展示解答过程，要求学生自己做题时要规范。

同时给出做这种题的思路指导，并且加以
∴共有(a，b)的个数为4＋4＋3＋2＝13. 答案 B 总结，指出要记住的，要注意的，易错点等。

课堂要求学生掌握的内容：
两个计数原理及应用；排列与组合；二项式定理
板书设计
1、网络构建
2、考点溯源
3、题型：
一．两个计数原理及应用
二．排列与组合
三．二项式定理
4总结
课后
作业
知能提升.演练。