安徽省马鞍山市2013届高三第一次教学质量检测(理科)数学试卷及答案

安徽马鞍山市2013届高三第一次教学质量检测
理科数学试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3至第4页.全卷满分150分，考试时间120分钟. 考生注意事项：
1.答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致. 务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号（四位数字）.
2.答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
3.答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．书写，要求字体工整、笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卡．．．规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上答题无效．．．．．．．．
. 4.考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交.
第Ⅰ卷（选择题，共50分）
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡相应位置将正确结论的代号用2B 铅笔涂黑.
（1）已知集合{}
2
|20A x x x =->，{}|1B x x =>，R 为实数集，则()
R B A =ð
A.[]
0,1 B.(]0,1 C.(],0-∞ D.以上都不对 【答案】B.
【命题意图】本题考查不等式的解法和集合的运算，容易题. （2）复数
12i
i -（为虚数单位）的虚部是 A.15 B.15- C.15i D.15
i - 【答案】A.
【命题意图】本题考查复数的概念及运算，容易题.
（3）已知平面上不共线的四点,,,O A B C ，若430OA OB OC -+=，则AB BC ||
=||
A.3
B.4
C.5
D.6 【答案】A.
【命题意图】本题考查向量的运算，容易题.
（4）设{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，且56S S <，678S S S =>，则下列结论错误．．
的是
A.0d <
B.70a =
C.95S S >
D.6S 和7S 均为
n S 的最大值
【答案】C.
【命题意图】本题考查等差数列的基本运算与性质，容易题.
（5）在平面直角坐标系中，若不等式组101010x y x ax y +-≥⎧⎪
-≤⎨⎪-+≥⎩
(a 为常数)所表示的平面区域的
面积等于2，则a 的值为
A.-5
B.1
C.2
D.3【答案】D.
【命题意图】本题考查二元一次不等式(组)表示的平面区域、直线的斜率、三角形面积公式等基础知识，考查数形结合思想，容易题.
（6）设函数()f x 在定义域内可导，()y f x =的图象如下左图所示，则导函数()y f x '=的图象可能是
【答案】A.
【命题意图】本题考查导数的概念与几何意义，中等题.
（7
22
221x y a b
-=恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值
范围是
A.[)2,+∞
B.)+∞
C.(1
D.(2,)+∞
【答案】D.
【命题意图】本题考查双曲线的性质，中等题.
（8）已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是
A.8
B.203
C.
173 D.143
【答案】C.
【命题意图】本题考查三视图的概念与几何体体积的计算，考查空间想象能力，较难题.
（9）袋中有大小相同的4个红球和6个白球，随机从袋中取个球，取后不放回，那么恰好在第5次取完红球的概率是
A.
1210 B.2105 C.221 D.821
【答案】B.
【命题意图】本题考查排列组合、古典概型等基础知识，考查分析问题解决问题的能力，较难题.
（10）已知函数()f x 是以2为周期的偶函数，当[1,0]x ∈-时，()f x x =-．若关于x 的方程()1f x kx k =-+（1k R k ∈≠且）在区间[3,1]-内有四个不同的实根，则k 的取值范围是
A.(0,1)
B.1(0,)2
C.1(0,)3
D.1(0,)4
【答案】C.
【命题意图】本题考查函数的性质与图象，考查数形结合能力，较难题.
第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分．请在答题卡上答题． （11）运行如图所示的程序框图，若输入4n =，则输出S 的值为 .
【答案】11.
【命题意图】本题考查程序框图，容易题.
（12）已知总体的各个个体的值由小到大依次为3,7,,,12,20a b ，且总体的中位数为12，若要使该总体的标准差最小，则a
= .
【答案】12.
【命题意图】本题考查统计知识，重要不等式，容易题. 说明：本题数据给的不科学，改为3,7,,,15,20a b 较好
（13）已知2
(n x -
的展开式中第三项与第五项的系数之比为3
14，则展开式中常数
项是______．
【答案】45.
【命题意图】本题考查二项式定理，考查运算能力，中等题.
（141ny +=（,m n 是实数）与圆2
2
1x y +=相交于
,A B 两点，且
AOB ∆（O 是坐标原点）是直角三角形，则点(,)P m n 与点(0,1)Q 之间距离的最小值
1.
.
（15）函数π()3sin(2)3
f x x =-的图象为C ，如下结论中正确的是
（写出所有正确结论的编号）． ①图象C 关于直线11
π12
x =
对称； ②图象C 的所有对称中心都可以表示为(
0)()6
k k Z π
π+∈，；
③函数()f x 在区间π5π1212⎛⎫
-
⎪⎝⎭
，内是增函数； ④由3cos 2y x =-的图象向左平移12
π
个单位长度可以得到图象C ． ⑤函数()f x 在[0,
]2
π
上的最小值是3-.
【答案】①③④.
【命题意图】本题考查三角函数的图象与性质，较难题.
三、解答题：本大题共6个小题，满分75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
（16）(本题满分12分) 在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，2C A =，
3cos 4
A =
. （Ⅰ）求cos ,cos B C 的值； （Ⅱ）若27
2
BA BC ⋅=
，求边AC 的长. （16）【命题意图】本题考查两角和与差的三角函数、平面向量的数量积定义、正弦定理、余弦定理等基础知识，考查逻辑推理和运算求解能力，简单题．
解：（Ⅰ）∵2C A =，3cos 4A =
，∴2
231cos cos 22cos 12()148
C A A ==-=⨯-=.
∴sin C =
，sin A =，∴c o s c o s ()s i n s i n
c o s B A C A C A C
=-+=-=
319
484816
-⨯=.……6分 （Ⅱ）∵927cos 162BA BC ca B ac ⋅===，∴24ac =；又由正弦定理sin sin a c
A C
=，得3
2
c a =
，解得4a =，6c =，∴2222cos 25b a c ac B =+-=，5b =，即边AC 的长为5.…………12分
（17）(本题满分12分)一厂家向用户提供的一箱产品共12件，其中有2件次品，用户
先对产品进行抽检以决定是否接收．抽检规则是这样的：一次取一件产品检查（取出的产品不放回箱子），若前三次没有抽查到次品，则用户接收这箱产品；若前三次中一抽查到次品就立即停止抽检，并且用户拒绝接收这箱产品.
（Ⅰ）求这箱产品被用户接收的概率；
（Ⅱ）记抽检的产品件数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望． （17）【命题意图】本题考查概率知识，分布列和期望的求法，考查学生应用知识解决问题的能力，中等题.
解：（Ⅰ）设“这箱产品被用户接收”为事件A ，则8767
()109815
P A ⨯⨯==⨯⨯.即这箱产
品被用户接收的概率为
7
15
．………………4分 （Ⅱ）X 的可能取值为1，2，3． ……5分 ∵()211105P X ==
=，()828210945P X ==⨯=， ()8728310945
P X ==⨯=， ……8分
∴X
……………
10分
∴1828109()1235454545
E X =⨯
+⨯+⨯=． ………………（12分）
（18）(本题满分12分)在如图的多面体中，
EF ⊥平面AEB ，
AE EB ⊥,AD EF //，EF BC //，24BC AD ==，3EF =，2AE BE ==，G 是BC 的中点．
(Ⅰ) 求证：AB //平面DEG ； (Ⅱ) 求证：BD EG ⊥；
(Ⅲ) 求二面角C DF E --的余弦值.
（18）【命题意图】本题考查线面位置关系、二面角等有关知识，考查空间想象能力，中等题.
解：(Ⅰ)证明：∵//,//AD EF EF BC ，∴//AD BC ； 又∵
2BC AD =，G 是BC 的中点，∴AD BG //，且AD BG =，∴四边形ADGB 是平行四边形， ∴ //AB DG . ∵AB ⊄平面DEG ，DG ⊂平面DEG ，∴//AB 平面DEG . …………4分
(Ⅱ) 解法1：证明：∵EF ⊥平面AEB ，AE ⊂平面AEB ，∴EF AE ⊥；又,A E E B E B
E F E ⊥=，,EB EF ⊂平面
B C F E ，∴AE ⊥平面BCFE . 过D 作//DH AE 交EF 于H ，则DH ⊥平面BCFE . ∵
EG ⊂平面BCFE ， ∴DH EG ⊥.
∵//,//AD EF DH AE ，∴四边形AEHD 平行四边形，∴2EH AD ==，∴
2E H B G ==，又//,E H B G E H B E ⊥，∴四边形BGHE 为正方形， ∴BH EG ⊥，又,B H
D H H B H =⊂平面BHD ，DH ⊂平面BHD ，
∴EG ⊥平面BHD . ∵BD ⊂平面BHD ，∴BD EG ⊥. ………………8分
解法2：∵EF ⊥平面AEB ，AE ⊂平面AEB ，BE ⊂平面AEB ，∴E F A E ⊥，EF BE ⊥，又AE EB ⊥，∴
,,EB EF EA 两两垂直. 以点E 为坐标原点，,,EB EF EA 分别
为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系. 由已知得，
(0,0,2)A ，(2,0,0)B ，(2,4,0)C ，(0,3,0)F ，(0,2,2)D ，(2,2,0)G ；∴(2,2,EG =，(2,2,2)BD =-，∴
2222B D E G ⋅=-⨯+⨯=，∴BD EG ⊥.………8分
(Ⅲ)由已知得(2,0,0)EB =是平面E F D A 的法向量. 设平面D C F 的法向量为(,,)n x y z =，∵(0,1,2),
(2,10)F D F C =-=
，∴00F
D n F
C n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020y z x y -+=⎧⎨+=⎩，令1z =,
得(1,2,1)n =-.
设二面角C DF E --的大小为θ，由法向量n 与EB 的方向可知，,n EB θ=<>
，∴
cos cos ,6n EB θ=<>=
=-
，即二面角C DF E --
的余弦值为6-.………12分
（19）（本题满分12分）已知数列{}n a 满足11121,(*)2
n n
n n
n a a a n N a ++==∈+. （Ⅰ）证明数列2n n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是等差数列；
（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅲ）设(1)n n b n n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S .
（19）
【命题意图】本题考查等差数列与等比数列的概念与通项公式、数列求和等基础
知识知识，考查运算求解能力、推理论证能力，中等题.
解：（Ⅰ）由已知可得1122n n n n
n a a a ++=+，所以11221n n n n a a ++=+，即11221n n
n n
a a ++-=，∴数列2n n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是公差为1的等差数列.………4分 （Ⅱ）由（1）可得1
22
(1)11n n n n a a =+-⨯=+，∴21n n a n =
+.………7分 （Ⅲ）由（2）知，2n n b n =⋅，所以231222322n n S n =⋅+⋅+⋅+
+⋅，
234121222322n n S n +=⋅+⋅+⋅++⋅，相减得231
22222
n n n S n +-=+++
+-⋅ 11222n n n ++=--⋅，∴1(1)22n n S n +=-⋅+.………12分
（20）（本题满分13分）已知椭圆E ：22
221x y a b
+=(0a b >>)过点(3, 1)P ，其左、
右焦点分别为12, F F ，且126F P F P ⋅=-.
(Ⅰ)求椭圆E 的方程；
(Ⅱ)若,M N 是直线5x =上的两个动点，且12F M F N ⊥，则以
MN 为直径的圆C 是否过定点？请说明理由．
（20）【命题意图】本题考查圆与椭圆的方程等相关知识，考查运算求解能力以及分析
问题、解决问题的能力，较难题.
解：（Ⅰ）设点12,F F 的坐标分别为(,0),(,0)(0)c c c ->，则
12(3,1),(3,1)F P c F P c =+=-，故2
12
(3)(3)1106FP F P c c c ⋅=+-+=-=-，可得4c =，………………2分
所以122||||a PF PF =+=
=
a =，…………………4分
∴2
2
2
18162b a c =-=-=，所以椭圆E 的方程为22
1182
x y +=． …………………………6分
（Ⅱ）设,M N 的坐标分别为(5,),(5,)m n ，则1
(9,)FM m =，2(1,)F N n =. 由
12FM F N ⊥，可得1
290FM F N mn ⋅=+=，即9mn =-， …………………8分 又圆C 的圆心为(5,
),2m n +半径为||
2
m n -，故圆C 的方程为222
||(5)()()22
m n m n x y +--+-=，即22(5)()0x y m n y mn -+-++=，也就是
22(5)()90x y m n y -+-+-=，令0y =，可得8x =或2，
故圆C 必过定点(8,0)和(2,0)． ……………………13分
（21）（本题满分14分）设函数2
1()ln 2
f x c x x bx =+
+(),,0R c c b ∈≠，且1x =为()f x 的极值点．
(Ⅰ) 若1x =为()f x 的极大值点，求()f x 的单调区间（用c 表示）； (Ⅱ) 若()0f x =恰有两解，求实数c 的取值范围．
（21）【命题意图】本题考查导数的应用，分类讨论思想，考查运算求解能力、逻辑思维能力和分析问题解决问题的能力，较难题.
解：2
'()c x b x c f x x b x x
++=++=，又'(1)0f =，则10b c ++=，所以(1)()
'()
x x c f x x
--=且1c ≠， …………3分
（Ⅰ）因为1x =为()f x 的极大值点，所以1c >. 令'()0f x >，得01x <<或x c >；令'()0f x <，得1x c <<. 所以()f x 的递增区间为(0,1)，(,)c +∞；递减区间为
(1,)c ．…………6分
（Ⅱ）①若0c <，则()f x 在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增. 若()0f x =恰有两解，则(1)0f <，即
102b +<，所以1
02
c -<<. ②若01c <<，则2
1
()()l n 2
f x
f c c c
c b c ==++极大值
，1
()(1)2
f x f b ==
+极小值. 因为
1b c
=--，则
22
()ln (1)ln 0
22
c c f x c c c c c c c =++--=--<极大值
，
1
()2
f x c =--极小值，从而()0f x =只有一解；
③若1c >，则1
()02
f x c =-
-<极大值，从而22
()ln (1)ln 022
c c f x c c c c c c c =++--=--<极小值
，则()0f x =只有一解.
综上，使()0f x =恰有两解的c 的范围为1
02
c -<<．…………14分。