2018版高中数学第1讲坐标系四柱坐标系与球坐标系简介练习新人教A版选修4_42018050313

四 柱坐标系与球坐标系简介
一、基础达标
π
1.在空间直角坐标系中，点 P 的柱坐标为(
2， ，3)
，P 在 xOy 平面上的射影为 Q ，则 Q 点
4
的坐标为( ) π
A.(2，0，3)
B.(
2，
，0
) 4 π
π
C.
( 2，
，3
)
D.
( 2，
，0
)
4
4
解析 由点的空间柱坐标的意义可知，选 B. 答案 B
2.空间直角坐标系 Oxyz 中，下列柱坐标对应的点在平面 yOz 内的是( ) π
π
A.(
1，
，2
) B.(
2，
，0
) 2 3 π π π π
C.(
3，
6)
D.(
3，
2)
， ， 4
6
π
解析 由 P (ρ，θ，z )，当 θ＝ 时，点 P 在平面 yOz 内.
2 答案 A
3.设点 M 的直角坐标为(2，0，2)，则点 M 的柱坐标为( ) A.(2，0，2) B.(2，π，2) C.( 2，0，2)
D.( 2，π，2)
y
解析 设点 M 的柱坐标为(ρ，θ，z )，∴ρ＝ x 2＋y 2＝2，tan θ＝
＝0，
x
∴θ＝0，z ＝2.∴点 M 的柱坐标为(2，0，2).
答案 A
π 5
4.若点 M 的球坐标为(
8，
π)
，则它的直角坐标为(
)
， 3 6
A.(－6，2 3，4)
B.(6，2 3，4)
C.(－6，－2 3，4)
D.(－6，2 3，－4)
π 5π π 5π π
解析 由 x ＝8sin cos ＝－6，y ＝8sin sin ＝2 3，z ＝8cos ＝4，得点 M 的直角 3 6 3 6 3 坐标为(－6，2 3，4).
答案 A
1
π 3π
5.已知点 M 的球坐标为(
4，
4 )
，则点 M 到 Oz 轴的距离为________. ， 4
π 3
π 3
解析 设 M 的直角坐标为(x ，y ，z )，则由(r ，φ，θ)＝(
4，
π)
，知 x ＝4sin cos π＝－
，
4 4
4 4
π 3 π
2，y ＝4sin sin π＝2，z ＝r cos φ＝4cos ＝2 2. 4 4 4 ∴点 M 的直角坐标为(－2，2，2 2).
故点 M 到 Oz 轴的距离 （－2）2＋22＝2 2. 答案 2 2
π 5π
π
6.已 知 点 P 1的 球 坐 标 是 P 1(
4，
3 )
， P 2的 柱 坐 标 是 P 2(
2，
，1)
， 则 |P 1P 2|＝
，
2
6
________.
解析 点 P 1的直角坐标为(2，－2 3，0)点 P 2的直角坐标为( 3，1，1)，由两点距离公式 得|P 1P 2|＝ 21. 答案 21
5π
π π
7.已知点 P 的柱坐标为(
4，
，－ 3)，点 B 的球坐标为(
8，
4
)，求这两个点的直角
， 6
3
坐标.
5π 3
5π
6
(－ 2
) 3
6
解 设点 P 的直角坐标为(x ，y ，z )，则 x ＝4cos ＝4× ＝－2 ，y ＝4sin ＝4×
1
＝2，z ＝－ 3.
2
π π 3 2 π π
设点 B 的直角坐标为(x ，y ，z )，则 x ＝8sin cos ＝8× × ＝2 6，y ＝8sin sin 3 4 2 2 3 4
3 2 π 1 ＝8× × ＝2 6，z ＝8cos ＝8× ＝4. 2 2 3 2 所以点 P 的直角坐标为(－2 3，2，－ 3)，点 B 的直角坐标为(2 6，2 6，4).
二、能力提升 π
π π
8.已知点 P 的柱坐标为
( 2，
，5)
，点 B 的球坐标为
( 6，
6
)，则这两个点在空间直
， 4
3
角坐标系中的点的坐标为( )
3 6 3 2
A.P 点(5，1，1)，B 点
(
6
2
)
，
， 4
4
3 6 3 2
B.P 点(1，1，5)，B 点
(
， ，
4
4 6 2
)
3 6 3 2
6
C.P 点
(
2 )
，B 点(1，1，5) ， ，
4
4
D.P 点(1，1，5)，B 点( 6 3 6 3 2 4 )
，
，
2
4
2
π 2 π 解析 设 P 点的直角坐标为(x ，y ，z )，x ＝ 2·cos ＝ 2· ＝1，y ＝ 2·sin ＝1，z 4 2 4 ＝5.
设 B 点的直角坐标为(x ，y ，z )， π π 3 3 3 6
x ＝ 6·sin ·cos ＝ 6· · ＝ ， 3 6 2 2 4 π π 3 1 3 2 y ＝ 6·sin ·sin ＝ 6· · ＝ ， 3 6 2 2 4
π 1 6 z ＝ 6·cos ＝ 6· ＝ . 3 2 2
3 6 3 2 6
所以，点 P 的直角坐标为(1，1，5)，点 B 的直角坐标为
(
2 )
. ， ， 4 4
答案 B
π
9.在球坐标系中，方程 r ＝1表示____________，方程 φ＝ 表示空间的____________.
4
π 答案
球心在原点，半径为 1的球面 顶点在原点，中心轴为 z 轴，轴截面顶角为 的上半
2
个圆锥面
π
10.已知柱坐标系 Oxyz 中，若点 M 的柱坐标为(2， ， 5)
，则|OM |＝________.
3
π
解析
∵(ρ，θ，z )＝(2， ， 5)
，设 M 的直角坐标为(x ，y ，z )，则 x 2＋y 2＝ρ2＝4，∴
3
|OM |＝ x 2＋y 2＋z 2＝ 4＋（ 5）2＝3. 答案 3
π π π 3π
11.在球坐标系中，求两点 P (
3，
4)，Q (3，
4 )
的距离.
， ， 6
6
解 设 P ，Q 两点球坐标转化为直角坐标.设点 P 的直角坐标为(x ，y ，z )， π π 3 π π 3 π 3 3 x ＝3sin cos ＝ 2，x ＝3sin sin ＝ 2，z ＝3cos ＝3× ＝ 3. 6 4 4 6 4 4 6 2 2
3 2 3 2 3 3 π 3 2
3π
∴P
( 2 )
.设点 Q 的直角坐标为(x 1，y 1，z 1)，x 1＝3sin cos ＝－
，y 1 ， ， 4 4 6 4 4
π 3π 3 2 π 3 ＝3sin sin ＝ ，z 1＝3cos ＝ .
3
6 4 4 6 2 3 2 3 2 3 3 ∴点 Q (
－
2 )
. ，
，
4
4
3 2 3 2 2 3 2 2 3 3 2
3 2 3 3
∴|PQ|＝( 4 )＋( 4 )＋( 2 )
＋－－
4 4 2
3 2 3 2
＝.即P，Q两点间的距离为.
2 2
3
ρ＝1
12.在柱坐标系中，求满足{
0 ≤ z ≤ 2)
的动点 M (ρ，θ，z )的围成的几何体的体积.
0 ≤ θ < 2π 解 根据柱坐标系与点的柱坐标的意义可知，满足ρ＝01≤，θ<2π，0≤z ≤2的动点M (ρθ，，z )的轨迹如图所示，是以直线 Oz 为轴，轴截面为正方形 的圆柱，圆柱的底面半径 r ＝1，h ＝2，∴V ＝Sh ＝πr 2h ＝2π. 三、探究与创新
13.在赤道平面上，我们选取地球球心 O 为极点，以 O 为端点且与零子午线相交的射线 Ox 为
π π
， 极轴，建立坐标系
.有 A 、 B 两 个 城 市 ， 它 们 的 球 坐 标 分 别 为 A (
R ，
6
)、
4
π 2π
B (
R ，
3 )
，飞机从 A 到 B 应该走怎样的航线最快？所走的路程有多远？ ， 4
π π π 2π
解 如图所示，∵A (
R ，
6
)、B (R ，
3 )
，
， ， 4
4
π
∴∠AOO 1＝∠BOO 1＝ .
4
设赤道面上与 A 、B 经度相同的点分别为 C 、D ，x 轴与赤道大圆的交点为 π 2π 2π π π E ，则∠EOC ＝ ，∠EOD ＝ ，∴∠COD ＝ － ＝ .∴∠AO 1B ＝∠COD
6 3 3 6 2 π
＝ . 2
π 2
2
π
在 Rt △OO 1B 中，∠O 1BO ＝ ，OB ＝R ，∴O 1B ＝
R ，同理 O 1A ＝
R .∵∠AO 1B ＝ ，∴AB ＝
4 2
2
2
π R .
在△AOB 中，AB ＝OB ＝OA ＝R ，∴∠AOB ＝ .
3
π 则
经过 A 、B 两地的球面距离为 R .
3
π
答：走经过 A 、B 两地的大圆，飞机航线最短，其距离为 R .
3
4。